抛物线练习题
抛物线练习题
抛物线练习题
一、选择题
1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设1
2
,F F 分别为双曲线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得()
2
21
2
3,
PF
PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为 （）
215
417
【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值.
【解析】选 D.由双曲线的定义知，()
2
21
2
4,
PF PF a -=又
()2
2
1
2
3,PF PF b ab -=-
所以2
243a
b ab
=-
等号两边同除2
a ，化简得2
340b b a a ??
-?-= ???
，解得4,b a =或1b
a
=-（舍去） 故离心率
2
22222
117.c c a b b e a a a a +??
====+= ???
2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线
)0,0(12
2
22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线
,
102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.
120
52
2=-y x B.
15
202
2=-y x C.
1100
32532
2=-y x D.
125
310032
2=-y x
【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以
0210,
c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有
2,b a
=结合2
2
2
,
c
a b =+得2
2
5,20,
a
b ==所以双曲线的标准方程为
120
52
2=-y x
3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123
F PF π
∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A.
433 B.23
3
C.3
D.2 【解题提示】 椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值 【解析】选A. 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，
12||a a PF -=，
因为
123F PF π
∠=
，由余弦定理得
22211114()()2()()cos
3c a a a a a a a a π
=++--+-，
所以2
1
2
2
34a a c +=，即2
122122221)(2124c a c a c a c a c a +≥+=-，
所以21
214
8)11(e e e -≤+，
利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
43
.
4.(2014·广东高考理科)若实数k 满足0 225 x - 29y k -=1与曲线 225x k --29 y =1的 ( ) A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 【解题提示】先判断两曲线是哪种圆锥曲线,进而求a ,b ,c ,e 加以判断. 【解析】选A.因为0 x -29y k -=1与曲线 225x k --29 y =1都表示焦点在x 轴上 的双曲线,且25≠25-k ,9-k ≠9,但a 2 +b 2 =34-k ,故两双曲线的焦距相等. 10. （2014·山东高考理科·Ｔ10） 已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22 221x y a b -=，1C 与2C 的离心 率之积为 3 ，则2C 的渐近线方程为（ ） A 、20x y ±= B 、20x y ±= C 、20x y ±= D 、20x y ±= 【解题指南】 本题考查了考查了椭圆、双曲线的几何性质，利用椭圆，双曲线中a,b,c 之间的关系即可求解. 【解析】选 A.椭圆的离心率为2222221 a b a a c e -==，双曲线的离心率为2 22222 2a b a a c e +==，所以() 4 34 442 21=+=a b a e e ，所以444b a =. 所以 22±=a b .双曲线的渐近线方程为x y 2 2 ±=，即02=±y x ，故选A. 5.(2014·江西高考文科·T9)过双曲线C :-=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为 ( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【解题指南】设右焦点为F ,|OF|=|AF|=4. 【解析】选A.设右焦点为F ,由题意得|OF|=|AF|=4,即a 2+b 2=16, 又A (a ,b ),F (4,0)可得(a-4)2+b 2=16, 故a=2,b 2=12,所以方程为-=1. 填空题 1. （2014·四川高考文科·Ｔ11）双曲线2 214 x y -=的离心 率等于____________. 【解题提示】本题主要考查双曲线的离心率，属于基本题． 【解析】415 22 c e a +===. 5 2. （2014·浙江高考文科·Ｔ17）与（2014·浙江高考理科·Ｔ16）相同 （2014·浙江高考文科·Ｔ17）设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 、B ，若 点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是 ______________. 【解题指南】求出,A B 的坐标，写出AB 中点Q 的坐标，因为PB PA =，所以PQ 与已知直线垂直，寻找a 与c 的关系. 【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为 b y x a = 与b y x a =-，分别与)0(03≠=+-m m y x 联立方程组，解得 ,33am bm A a b a b --?? ?--? ?， ,33am bm B a b a b -?? ?++? ?，设AB 的 中点为Q ，则 3333,22am am bm bm a b a b a b a b Q ---??++ ? -+-+ ? ? ?? ，因为PB PA =，所 以PQ 与已知直线垂直，所以3 PQ k =-，解得2 222288() a b c a ==-， 即 225 4 c a =， 5 2 c a = 答案： 5 2 3. （2014·浙江高考理科·Ｔ16）设直线) 0(03≠=+-m m y x 与双曲线 12 2 22=-b y a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若 点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________ 【解题指南】求出,A B 的坐标，写出AB 中点Q 的坐标，因为PB PA =，所以PQ 与已知直线垂直，寻找a 与c 的关系. 【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为 b y x a = 与b y x a =-，分别与)0(03≠=+-m m y x 联立方程组，解得 ,33am bm A a b a b --?? ?--?? ， ,33am bm B a b a b -?? ?++?? ，设AB 的 中点为Q ，则3333,22am am bm bm a b a b a b a b Q ---??++ ? -+-+ ? ? ?? ，因为PB PA =，所 以PQ 与已知直线垂直，所以3 PQ k =-，解得2222288() a b c a ==-， 即 2254 c a =， 5 2 c a = 5 2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. 求该抛物线的解析式； 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为 ???? ??--a b ac a b 44,22） 如图，抛物线 21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线 2L 对应的函数表达式； （2）抛物线1L 或2L 在轴上x 方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在， 求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P 是抛物线 1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由. 如图16，在平面直角坐标系中，直 线 y=与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物 线2(0) y ax x c a =+≠ 经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且1 AB= ，OB=ABOC绕点O按顺时针方向旋转60 后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线 2 y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2016年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标． 考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想． 分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可． 二次函数压轴题（相似类） 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y 轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=． （1）求抛物线的解析式； （2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2.如图，顶点为C（﹣1，1）的抛物线经过点D（﹣5，﹣3），且与x轴交于点A、B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=，求点Q的坐标； （3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离； （3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标． 4.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值； （3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； 5. 如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程； （2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由； （3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 初中数学试卷 拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建 常见模型 思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形 ABCD。在射线BD上可以找出一点组成三角形，可得△ABC、△BEC、△CBD 为等腰三角形。 二、拔高精讲精练 探究点一：因动点产生的平行四边形的问题 例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S． 求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。 解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax 2+bx+c （a ≠0）， 将A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点代入函数解析式得：16404420a b c c a b c -+?-+?? +??＝＝＝ 解得1412a b c -??????? ＝＝＝，所以此函数解析式为：y=12x 2+x ?4； （2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ， 12m 2+m ?4）， ∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB = 12×4×（-12m 2-m+4）+12×4×（-m ）-12×4×4=-m 2-2m+8-2m-8 =-m 2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m ＜0，当m=-2时，S 有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S 有最大值S=4． （3）设P （x ，12 x 2+x-4）． 当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，且PQ=OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标， 又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x-（ 12x 2+x-4）|=4， 解得x=0，-4，-2±5x=0不合题意，舍去．如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）． 由此可得Q （-4，4）或（5555）或（4，-4）． 2016年10月26日二次函数压轴2 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标； （2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值． 3．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标； （3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内 交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C． （1）求△AOD的面积； （2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标； （3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标． 5．如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2， 与y轴交于点C． （1）求抛物线L2的解析式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 抛物线压轴题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 绝密★启用前 xxｘ学校2014-２015学年度2月月考卷 试卷副标题 考试范围：xxx；考试时间：１00分钟；命题人：xxx 题号一总分 得分 注意事项: 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ｉ卷（选择题) 请点击修改第I卷的文字说明 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人得分 一、解答题（题型注释) 1.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件１0元，出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元）之间的关系近似满足一次函数：y=-１０x＋５0０． ⑴李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元? ⑵设李明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ ⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于2５元,如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 2．如图所示，直线l:y=３x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C,抛物线过点B、Ｃ和Ｄ（3，0）. (1)求直线BＤ和抛物线的解析式. （２)若BD与抛物线的对称轴交于点Ｍ，点N在坐标轴上，以点Ｎ、B、D为顶点的三角形与△MCＤ相似,求所有满足条件的点N的坐标． (3)在抛物线上是否存在点Ｐ，使S△PBD=6?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．根据市场分析,若按每千克50元销售，一个月能销售500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少1０千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题: —4 — 3 — 2 — 1 F 列说确的是（ ） A .抛物线的开口向下 二次函数常考题型与解析 ?选择题（共12小题） 若二次函数y=x 2+mx 的对称轴是X =3，则关于X 的方程x 2 +mx=7的解为 X 1=0 , X 2=6 B . X 1=1 , X 2=7 C . X 1 =1 , X 2= — 7 D . X 1= — 1 , X 2=7 点 P 1 (— 1 , y 1), P 2 (3 , y 2), P 3 (5 , y )均在二次函数 y= — X 2+2X +C 的图象上，贝U y 1, y 2, y 3的大小关系是（ ） A . y 3 >y 2>y 1 B . y >y 1=y 2 C . y 1>y 2 >y 3 D . y 1=y 2 >y 3 .抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 4 .二次函数 y=ax 2+bx+c y=—在同一平面直角坐标系的图象大致为 C ,自变量X 与函数y 的对应值如表: B. 当x > - 3时，y 随x 的增大而增大 C. 二次函数的最小值是-2 D .抛物线的对称轴是x=-二 5 .已知函数y=ax 2 - 2ax - 1 （a 是常数，a^O ）,下列结论正确的是（ ） A. 当a=1时，函数图象过点（-1 , 1） B. 当a= - 2时，函数图象与x 轴没有交点 C. 若a >0，则当x >1时，y 随x 的增大而减小 D .若a v 0，则当x <1时，y 随x 的增大而增大 6.如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a^O ）的图象与x 轴交于点A （- 1，0）， 与y 轴的交点B 在（0，- 2）和（0，- 1）之间（不包括这两点），对称轴为直 线x=1 .下列结论： ① abc > 0 ② 4a+2b+c >0 ③ 4ac - b 2v 8a ④ 菲a v t ⑤ b > c . 其中含所有正确结论的选项是（ 7 ?抛物线y=x 2+bx+c （其中b , c 是常数）过点A （2, 6）,且抛物线的对称 C .②④⑤ D .①③④⑤ 2021年中考数学压轴题及答案精选（二） 2021年中考数学压轴题汇编（二） 31．（12分）（2021?宜昌）如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax+bx+n（a≠0）过E，A′两点． （1）填空：∠AOB= 45 °，用m表示点A′的坐标：A′（ m ，﹣m ）；（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且 =时，△D′OE与△ABC是否 2 相似？说明理由； （3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN ⊥y轴，垂足为N： ①求a，b，m满足的关系式； ②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围． 考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（ 1）由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC﹣OB表示出BC的长，由题意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即可确定出A′坐标；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由=，表示出P坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E坐标代入整理得到m与n的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证； 2（3）①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y=ax+bx+c，整理即可得到a，b，m的关系式；②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10， 佳题赏析双抛物线型中考压轴题解法 近几年各地中考试题中出现了一类以双抛物线为背景立意的综合性压轴题，它集知识、方法、能力于一体，重在考查考生综合应用数学知识解决问题的能力，具有较强的探索性。这类试题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。本文选取三道比较典型的中考压轴题予以解析。 一、以横轴为对称轴的双抛物线型压轴题 例1、（2006烟台市）如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点， （1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式； （2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上； （3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。 解：设l2的解析式为y=a(x-h)2+k ∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称， ∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4） ∴y=ax2+4 ∴0=4a+4 得 a=-1 ∴l2的解析式为y=-x2+4 (2)设B(x1 ,y1) ∵点B在l1上 ∴B(x1 ,x12-4) ∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称 ∴B、D关于O对称 ∴D(-x1 ,-x12+4). 将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4 ∴左边=右边 ∴点D在l2上. ★启用前 xxx学校2014-2015学年度2月月考卷 试卷副标题 考试围：xxx 题号一总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 第II卷（非选择题） 评卷人得分 一、解答题（题型注释） 大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=－10x＋500． ⑴明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ ⑵设明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ ⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 2.如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）． （1）求直线BD和抛物线的解析式． （2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标． （3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能 销售500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式； （3）商店想在月销售成本不超过10 000元的情况下，使得月销售利润达到5 000元，销售单价应定为多少？ 4.如图，抛物线y=－x2+4x+5交x轴于A、B（以A左B右)两点，交y轴于点C. (1)求直线BC的解析式； (2)点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式； (3)在(2)的条件下，连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分，如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标. 5.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件。设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． (1) 求y与x的函数关系式 (2) 每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ (3) 若每个月的利润不低于2160元，售价应在什么围？ 6.如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积． （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三 1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点 H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值； （3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标． 动点与抛物线专题复习 一、平行四边形与抛物线 1、（2012?钦州）如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上； （3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物 线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴是直线x=﹣．） 2、（2012?鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． （1）求A、B两点的坐标． （2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标． （3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（2012?恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值． 二、梯形与抛物线 1、已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点， OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将 Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处． （1）求点C的坐标； （2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式； （3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作 y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2、（2012?泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q． （1）求h的值； （2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）； （3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中， 四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形 的形状． A B 中考压轴题一一抛物线 1. 如图,抛物线y=a^+bx+c 经过A （—1,0）、3（3,0）、C （0 ,3）三点,直线/是抛物线的对称轴. （1） 求抛物线的函数关系式； （2） 设点P 是直线/上的一个动点，当△B4C 的周长最小时，求点F 的坐标； （3） 在直线/上是否存在点使为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的 坐标；若不存在，请说明理由. 2. 如图1,点A 在x 轴上，OA=4,将线段OA 绕点。顺时针旋转120°至。8的位置. （1） 求点B 的坐标； （2） 求经过A 、0、B 的抛物线的解析式； （3） 在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P 、。、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 3. 如图1,已知抛物线y=-^+bx+c 经过A （0, 1）、顷4,3）两点. 1） 求抛物线的解析式； 2） 求 tanZABO 的值； 3） 过点8作BCLx 轴，垂足为C,在对称轴的左侧旦平行于y 轴的直线交线段AB 于点N,交抛物线 于点若四边形MVCB 为平行四边形，求点M 的坐标. 4. 如图1,抛物线 > =-定+2尤+ 3与尤轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C, 顶点为D. (1) 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； (2)连结8C,与抛物线的对称轴交于点E,点F为线段BC上的一个动点，过点F作PF//DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m. %1用含〃2的代数式表示线段户尸的长，并求出当，〃为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ %1设的面积为S,求S与〃?的函数关系. 5.如图1,已知抛物线+ +女(。是实数旦人>2)与X轴的正半轴分别交于点A、B (点A 4 4 4 位于点B是左侧)，与)，轴的正半轴交于点C. (1)点B的坐标为，点C的坐标为 (用含人的代数式表示)； (2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于M, HAPBC是以点P为直角顶点的等腰宜角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； 3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)？如果存在，求出点。的坐标；如果不存在，请说明理由. 6.如图1,已知抛物线的方程Cl：),=__L Q +2)(X-梢(m>0)与工轴交于点8、C,与y轴交于点E, m 旦点B在点C的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值； 2)在(1)的条件下，求2\8京的面积； (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小，求出点H的坐标； (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F,使得以点8、C、F为顶点的三角形与相似? 若存在，求〃2的值；若不存在，请说明理由. 6.拔高专题抛物线中的压轴题常见模型 思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形 ABCD。在射线BD上可以找出一点组成三角形，可得△ABC、△BEC、△CBD为等腰三角形。 探究点一：因动点产生的平行四边形的问题 例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S． 求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。 解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0）， 将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得： 1640 4 420 a b c c a b c -+ ? - + ? ?+ ? ? ＝＝ ＝ 解得1412a b c - ??????? ＝＝＝，所以此函数解析式为：y=12x 2+x ?4； （2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ， 12m 2+m ?4）， ∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB =12×4×（-12m 2-m+4）+12×4×（-m ）-12 ×4×4=-m 2-2m+8-2m-8 =-m 2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m ＜0，当m=-2时，S 有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S 有最大值S=4． （3）设P （x ，12 x 2+x-4）． 当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，且PQ=OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标， 又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x-（12 x 2+x-4）|=4， 解得x=0，-4，-2±25．x=0不合题意，舍去．如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）． 由此可得Q （-4，4）或（-2+25，2-25）或（-2-2 5，2+2 5）或（4，-4）． 【变式训练】（2015?贵阳）如图，经过点C （0，-4）的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A （-2，0），B 两点． （1）a ＞ 0，b 2-4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）； （2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若 二次函数压轴题 1.如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1）求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在， 请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）， OB ＝OC ，tan∠ACO＝3 1 ． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. 3.如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴 交于点C（0，3）。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P， 使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存 在，请说明理由; ⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。 专题训练-25二次函数抛物线压轴题 郧西三中薛代星 1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除 外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直 接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的 m的值． 2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0， 4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线 C′． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点， 它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上 的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的 动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？ 若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 3、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标； （3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐 标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标． 4、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数 图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点． （1）求b、c的值； （2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标； （3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试 问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在， 求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由． 中考压轴题分类专题六——抛物线中的圆 例1、已知如图，过O 且半径为5的⊙P 交x 的正半轴于点M （2m ，0）、交y 轴的负半轴于点D ，弧OBM 与弧OAM 关于x 轴对称，其中A 、B 、C 是过点P 且垂直于x 轴的直线与两弧及圆的交点. （1）当m =4时， ①填空：B 的坐标为 ，C 的坐标为 ，D 的坐标为 ； ②若以B 为顶点且过D 的抛物线交⊙P 与点E ，求此抛物线的函数关系式和写出点E 的坐标； ③除D 点外，直线AD 与②中的抛物线有无其它公共点？并说明理由． （2）是否存在实数m ，使得以B 、C 、D 、E 为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由. D C B A P M O y x 例2、在ABC ?中，90A ? ∠=，4,3AB AC ==，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作 //MN BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM x =． （1）用含x 的代数式表示MNP ?的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记MNP ?与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ A B C M N D 图 2 O A B C M N P 图 1 O A B C M N P 图 3 O C O D E A B O 例3、如图，在RT ?ABC 中，∠C=90 (∠A>∠B)。它的两个锐角正弦值恰为方程 0)1(242=++-m x m x 的两根。他的内切圆半径为13-，抛物线c bx ax y ++=2过A 、B 、C 三点 (1).求m 的值 (2).求抛物线的解析式 (3).在抛物线上是否存在点P,使APB S ?=83,若存在，求出P 的坐标，若不存在说明理由 如图，直线y =－ 3 3 x +1与两轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边长在第一象限内作正三角形ABC.圆O '为?ABC 的外接圆与x 轴交于另一点E (1).求C 点坐标 (2).求过C 点与AB 中点的直线的解析式 (3).求过点E 、O '、A 三点的二次函数的解析式2016年中考数学压轴题精选及详解
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