2020年高三数学下期末试卷(及答案)(2)

2020年高三数学下期末试卷(及答案)(2)

一、选择题

1．已知2a i

b i i

+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1

B ．1

C ．2

D ．3

2．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v

对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v

对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i + D ．12i -+

3．

()()3

1i 2i i --+=（ ）

A ．3i +

B ．3i --

C ．3i -+

D ．3i - 4．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）

A ．6

B ．8

C

．D

．5．一动圆的圆心在抛物线2

8y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0) B ．(2,0)

C ．(0,2)

D ．(0,0)

6．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =I

A ．{0}

B ．{1}

C ．{1,2}

D ．{0,1,2}

7．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩

D ．丁可以知道四人的成绩 8．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()2

2

112

a b -+-<

D ．228a b +>

9．设F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径

的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A

B

C ．2

D

10．已知,a b ∈R ，函数32

,0()11(1),03

2x x f x x a x ax x

=?-++≥??，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）

A ．1,0a b <-<

B ．1,0a b <->

C ．1,0a b >-<

D ．1,0a b >->

11．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）

A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥

B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥

C ．若a b a b αβ??P ，，，则αβ∥

D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r

12．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?=（ ） A ．4

B ．16

C ．8

D ．32

二、填空题

13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北

的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北

的方向上，仰角为

，则此山的高度

________ m.

14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 15．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42a A =，且C 为锐角，则ABC ?面积的最大值为________. 16．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则

b

a

的取值范围是__________． 17．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

18．已知实数,x y 满足不等式组201030

y x y x y -≤??--≤??+-≥?

，则y

x 的取值范围为__________．

19．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ 20．(

)sin 5013=o

o

________________.

三、解答题

21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2n

n n

a b =

，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()

()

2

1

1422n

n

n n n n

n c a a +-++=

，求数列{}n c 的前n 项和n T .

22．已知平面直角坐标系xoy .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的

极坐标为23,6π?? ??

?，曲线C 的极坐标方程为2

23sin 1ρρθ+=

（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程； （2）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线32:2x t

l y t =+??

=-+?

（t 为参数）距离的最小值.

23．如图，在四棱锥P?ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .

（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；

（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A ?PB ?C 的余弦值. 24．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α

α

=+??=-?（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，

x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1

sin 2cos θθρ

-=

，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.

25．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ?

?

=-= ??

?

. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）

112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为

()33{,,.1

2

x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值

26．设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛

物线2

2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1

2

. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直

线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △AP 的方程.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】

利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】

因为2

2

222a i ai i ai b i i i

+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以22

11b b a a ==?????-==-??，则+1a b =，故选B. 【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

2．A

解析：A 【解析】 【分析】

首先根据向量OA u u u v

对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线

y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB uuu v

对应的复数，得到结果.

【详解】

复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -，

所以向量OB uuu r

对应的复数为2i -+．

故选A ． 【点睛】

该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】 由题意得，复数()()()3

1i 2i 13i i 13i 3i i i

i i

--+-+?-+===----?．故应选B

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住

2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实

数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.

4．D

解析：D 【解析】 【分析】

2

a b

+≤转化为指数运算即可求解。 【详解】

由基本不等式可得22a b +≥3a b +=，所以22a b +≥=（当且仅当3

2

a b ==等号成立） 故答案为：D 【点睛】

本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础。

5．B

解析：B 【解析】 【分析】

设圆和x 轴相交于M 点，根据圆的定义得到CA ＝CM ＝R ，因为x=-2,是抛物线的准线，结

合抛物线的定义得到M 点为焦点. 【详解】

圆心C 在抛物线上，设与直线20x +=相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，CA ＝CM ＝R ，直线20x +=为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点()2,0．

故选B 【点睛】

这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】

解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2?= 故答案选C. 【点睛】

本题主要考查交集的运算，属于基础题．

7．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果. 【详解】

因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，

又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，

又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，

又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】

本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132?=，

33log log 222+>，即可判断出结果．

【详解】 ∵236a b ==；

∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；

∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；

()()

()()23222

2

3211log log 2log 323log 22a b =>?-+-+=，故C 错误；

∵()()()2

2

232223log log 2log 2323log 2a b =+++++

232l 23og log 82>+=?，故D 正确

故C ． 【点睛】

本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】

设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，

又||PQ OF c ==Q ，||,2

c

PA PA ∴

=∴为以OF 为直径的圆的半径，

A ∴为圆心||2

c OA =

． ,22c c P ??

∴ ???

，又P 点在圆222x y a +=上，

22244c c a ∴+=，即2222

2,22c c a e a

=∴==． 2e ∴=，故选A ．

【点睛】

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …

时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=

-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】 当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b x a

=

-；()y f x ax b =--最多一个零点； 当0x …

时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，

当10a +…，即1a -…时，0y '…

，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，

()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；

当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，

1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点?函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：

∴01b

a <-且32

11(1)(1)(1)03

2b a a a b ->???+-++-，31

0(116

,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．

【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.

11．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.

12．B

解析：B 【解析】

等比数列的性质可知2

26416a a a ?==,故选B .

二、填空题

13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：

【解析】

试题分析:由题设可知在

中,

,由此可得

,由

正弦定理可得,解之得,又因为,所以

,应填

.

考点：正弦定理及运用．

14．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)

【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得

44

33

b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知4013

4343b b -?

≤

，解得57b <<

15．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主 解析：442+

【解析】 【分析】

由4c =，42sin a A =，利用正弦定理求得4

C π

=

.，再由余弦定理可得

2

2

162a b ab =+，利用基本不等式可得(82222

ab ≤

=+-，从而利用三角形

面积公式可得结果. 【详解】 因为4c =，又

42sin sin c a C A

==

所以sin 2

C =

，又C 为锐角，可得4C π=.

因为(2

2

2

2

162cos 2a b ab C a b ab =+-=+≥，

所以(82ab ≤

=+， 当且仅当

a b =时等号成立，

即1sin 424

ABC S ab C ab ?=

=≤+

即当a b ==时，

ABC ?面积的最大值为4+

. 故答案为4+. 【点睛】

本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要

熟记两种形式：（1）2

2

2

2cos a b c bc A =+-；（2）222

cos 2b c a A bc

+-=，同时还要熟

练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住

30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

16．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以

解析：

【解析】 【分析】 【详解】

因为ABC ?为锐角三角形，所以022

02B A A B πππ?

<=

3A A πππ?<

??，

所以(

,)64A ππ

∈，所以sin 2cos sin b B A a A

==

，所以b

a ∈. 17．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加

解析：1和3. 【解析】

根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；

（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；

（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；

所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；

所以甲的卡片上的数字是1和3.

18．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单

解析：1 ,

2

2

??

??

??

【解析】

【分析】

作出可行域，

y

x

表示()

,x y与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.

【详解】

如图，不等式组

20

10

30

y

x y

x y

-

?

?

--

?

?+-

?

…

…

…

表示的平面区域ABC

V（包括边界），所以

y

x

表示()

,x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()

1,22,1

A B

，，所以

1

2

2

OA OB

k k

==

，，故

1

,2

2

y

x

??

∈??

??

.【点睛】

本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.

19．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8

解析：1：8

【解析】

考查类比的方法，

11

111

222

22

1

111

3

1428

3

S h

V S h

V S h

S h

??

＝＝＝＝，所以体积比为1∶8.

20．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1

【解析】 【分析】

利用弦化切的运算技巧得出(

)

sin 50sin 501an10+=o

o

o

利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果. 【详解】

原式

()2sin 1030sin502sin 40cos 40sin50cos10cos10+===o o o o o o

o

o

()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====o o

o o o o o . 故答案为：1. 【点睛】

本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题

21．（1）n b n =（2）()1

122n n S n +=-+（3）()()

()1

1

4123312n n n n +++--

-+? 【解析】 【分析】 【详解】

（1）由1

122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；

（2）易得2n

n a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=?+?++?=?+?++?L L

错位相减得121

11222222212

n

n n n n S n n ++--=+++-?=?-?-L

所以其前n 项和()1

122n n S n +=-+； （3）()

()

()()

()()()()()()2

2

2

1

1

1

1422142

121·2?12?12?12n

n

n

n

n n n n n n

n n

n n

n n n

c n n n n n n +++-++-++-++++=

=

=+++

()()()()()()1

1

1111111

1112?21?222?21?2n

n n n n

n n n n n n n n n ++++????---?? ?=

+-+=-+- ? ? ? ?++??????

，

()()()()()()2231212231

111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++?

?????????------???????? ? ? ?=-+-++-+-+-++-?? ? ? ? ? ? ?+????????????????????

L L ()()1112113621?2n n

n n ++-??=-+-- ?+??或写成()()()1

1

412331?2n n n n +++---+.

点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．（1

）P

，22(4x y ++=；（2

）110

-. 【解析】 【分析】

（1）把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入即可得出；

（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出. 【详解】

（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ

代入计算，36

P x π

===

，6P y π=

＝1

2

= ∴点P

的直角坐标(

，由2sin 1ρθ+=

，得221x y ++=，

即(2

2

4x y ++=，所以曲线C

的直角坐标方程为(2

2

4x y ++=

（2）曲线C

的参数方程为22x cos y sin θ

θ

=???=??（θ为参数），由32:2x t l y t =+??=-+?（t 为参

数），得直线l 的普通方程为270x y --=.

设()

2cos ,2sin Q θθ，则PQ 中点3cos ,sin 2M θθ??

+ ???

，那么点M 到直线l 的距离，

(

)11d θ?-+

=

=

=

11

110≥

=-，

所以点M 到直线l

1. 【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．

23．（1）见解析；（2）3

-. 【解析】 【详解】

（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ． 又AB ?平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，

由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .

以F 为坐标原点，FA u u u v

的方向为x 轴正方向，AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐

标系F xyz -.

由（1）及已知可得22A ?? ?

???，2P ? ??，2,1,02B ?? ? ???，22C ??- ? ???

. 所以22PC ?= ??u u u v ，)

2,0,0CB =u u u v ，22PA =??

u u u v ，()0,1,0AB =u u u

v .

设(),,n x y z =r

是平面PCB 的法向量，则

0,0,n PC n CB ??=??=?u u u

v r u u u v r 即220,

2220,x y z x ?-+-=???=? 可取(0,1,2n =--r

.

设(),,m x y z r

=是平面PAB 的法向量，则

0,0,m PA m AB ??=??=?u u

u v r u u u v r

即0,220.x z y -=??=?

可取()1,0,1m =r

.

则cos ,3

n m n m n m ?==-r r r r

r r ，

所以二面角A PB C --

的余弦值为 【名师点睛】

高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；

②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.

24．（1）2

6cos 2sin 60ρρθρθ--+=（2

2 【解析】 【分析】

（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθ

ρθ=??=?

，整理

即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】

（1）由3212x cos y sin αα=+??=-?，得3212x cos y sin α

α-=??-=-?

，

两式两边平方并相加，得()()2

2

314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.

将y sin x cos ρθρθ

=??=?代入得()()22

cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=

所以曲线C 的极坐标方程为2

6cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1

sin 2cos θθρ

-=

，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=

所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+= 因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离

d =

=

，

所以曲线C 上的点到直线l

的最大距离为25

d r +=+. 【点睛】

本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题. 25．（I

）(4,),(2)24

π

π

（II ）1,2a b =-= 【解析】 【分析】 【详解】

（I ）圆1C 的直角坐标方程为22

(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=

联立得22(2)4

{40x y x y +-=+-=得110{4x y ==222{2x y ==所以1C 与2C

交点的极坐标为(4,)24

ππ

（II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为

20x y -+=

由参数方程可得122

b ab y x =

-+，所以1,12,1,222b ab

a b =-+==-=解得

26．（Ⅰ）2

2

413

y x +=， 24y x =.

（Ⅱ）330x +-=

，或330x -=.

【解析】

试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12

，则1

2a c -=，又椭

圆的离心率为

1

2

，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △

的面积为

2

m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，

12c a =，2p a =，1

2

a c -=，解得1a =，12c =

，2p =，于是222

34

b a

c =-=. 所以，椭圆的方程为2

2

413

y x +=，抛物线的方程为24y x =.

（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点

21,P m ??-- ???，故21,Q m ??- ???.将1x my =+与22

413

y x +=联立，消去x ，整理得

()

2

23460m

y my ++=，解得0y =，或2634

m

y m -=

+.由点B 异于点A ，可得点

222

346,3434m m B m m ??-+- ?++??

.由21,Q m ?

?- ???，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ??--+????-+-+-= ? ? ?++??????，令0y =，解得2

2

2332m x m -=+，故2

223,032m D m ??- ?+??.所以2222

23613232m m AD m m -=-=++.又因为APD V ，故

2

21622322m m m ??=+，整理得2320m -+=，解得3

m =3m =±.

所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 【考点】直线与椭圆综合问题

【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.