第2章核心素养评估考试试卷-20春浙教版九年级数学下册同步测试

第2章核心素养评估试卷[学生用书活页41]

[时间：120分钟满分：120分]

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列命题：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过同一直径两端的两条切线平行；③经过半径外端点的直线是圆的切线；④经过切点且垂直于切线的线段是半径．其中正确的有(A)

A．①②B．③④

C．①③D．②④

2．如图1，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC.若∠C ＝25°，则∠A＝(A)

图1

A．40°B．25°C．50°D．80°3．[2018·湘西]如图2，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为(D)

图2

A．10 B．8 C．4 3 D．4 5 4．[2019·云南]如图3，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(A)

图3

A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 【解析】利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，∴四边形OF AE为正方形，设OE＝AE＝AF ＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5－r，CD＝CE＝12－r，∴5－r＋12－r＝13，∴r＝2，∴S四边形AEOF＝4，故选A.

5．如图4，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC ＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于(A)

图4

A.4

5 B.

1

2 C.

3

2D．1

【解析】设⊙O与AC的切点为M，圆的半径为r，如答图，过点O作OF⊥BC 于点F，连结OM，

第5题答图

∴∠OMC＝∠OFC＝90°，

∵∠C＝90°，OM＝OF，∴四边形OMCF是正方形，

∴CM＝r，

∵△AOM∽△ADC，∴OM∶DC＝AM∶AC，

即r∶1＝(4－r)∶4，

解得r＝4

5.故选A.

6．[2019·青岛]如图5，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则圆弧CD的长度为(B)

图5

A ．π

B ．2π

C ．22π

D ．4π

【解析】 如答图，连结CO ，DO ，∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于C ，D ，∴∠ACO ＝∠BDO ＝90°，∴∠AOC ＝∠A ＝45°，∴CO ＝AC ＝4，∵AC ＝BD ，CO ＝DO ，∴△ACO ≌△BDO ，∴∠DOB ＝∠AOC ＝45°，

第6题答图

∴∠DOC ＝180°－∠DOB －∠AOC ＝180°－45°－45°＝90°，∴CD ︵＝90π×4180＝2π，故选B.

7．[2019·荆门]如图6，△ABC 内心为I ，连结AI 并延长交△ABC 的外接圆于D ，则线段DI 与DB 的关系是( A ) A ．DI ＝DB B ．DI ＞DB C ．DI ＜DB

D ．不确定

图6 第7题答图

【解析】如答图，连结BI，∵△ABC的内心为I，

∴∠CAD＝∠BAD，∠CBI＝∠ABI，

又∠CBD＝∠CAD，∴∠BID＝∠BAD＋∠ABI＝∠CBD＋∠CBI＝∠DBI，

∴DI＝DB.

8．如图7，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(D)

图7

A．10 B．8 2

C．413 D．241

【解析】如答图，过点M作MD⊥y轴于点D，连结MA，MB，MO.

第8题答图

∵⊙M与x轴相切于点A(8，0)，

∴MA⊥OA，OA＝8，

∴∠OAM＝∠AOD＝∠ODM＝90°，

∴四边形OAMD是矩形，

∵B(0，4)，C(0，16)，∴BD＝CD＝6，

∴AM＝OD＝10，

在Rt△OMA中，OM＝102＋82＝241.故选D.

9．[2018·凉山州模拟]如图8，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6 cm，AB＝6 3 cm，则阴影部分的面积为(C)

图8

A．(93－π)cm2B．(93－2π)cm2

C．(93－3π)cm2D．(93－4π)cm2

【解析】如答图，连结OC，由AB与⊙O相切于点C，则可得OC垂直于AB，又∵OA＝OB，则AC＝BC(三线合一)，BC＝3 3 cm，⊙O的直径为6 cm，∴OC ＝3，∴∠COB＝60°，∴∠AOB＝120°，则阴影部分的面积为△AOB的面积与圆

面积的三分之一的差．即S阴＝1

2AB·OC－

1

3π·OC

2＝

1

2×63×3－

1

3×π×3

2＝(93

－3π)cm2.

第9题答图

10．如图9，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连结AD，下列结论：①CD＝BD；②DE为⊙O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2＝AE·AC，其中正确结论的个数为(D)

A．1个B．2个

C．3个D．4个

图9 第10题答图【解析】∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，

又∵AB＝AC，∴BD＝CD，①正确；

如答图，连结OD，

∵D为BC中点，O为AC中点，

∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AB，

又∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，

∴DE为⊙O的切线，②正确；

∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵∠DEA＝∠CDA＝90°，

∴△ADE∽△ACD，③正确；

∴AD

AC＝

AE

AD，即AD

2＝AE·AC，④正确．

综上所述，正确结论的个数为4个．故选D.

二、填空题(每题4分，共24 分)

11．[2018·益阳]如图10，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD 的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝__45__度．

图10

【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

∵BC是圆的切线，∴∠ABC＝90°，

∵AD＝DC，∴BD垂直平分AC，

∴AB＝BC，∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠C＝45°.

12．如图11，⊙O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为__22__．

图11

【解析】 ∵PQ 切⊙O 于点Q ， ∴∠OQP ＝90°，∴PQ 2＝OP 2－OQ 2， ∵OQ ＝1，∴PQ 2＝OP 2－1，即PQ ＝OP 2－1，

当OP 最小时，PQ 最小，

∵点O 到直线l 的距离为3，∴OP 的最小值为3， ∴PQ 的最小值为

9－1＝2 2.

13．[2019·海南]如图12，⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB ，DE 分别相切于点B ，D ，则劣弧BD ︵

所对的圆心角∠BOD 的大小为__144__度．

图12

【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝（5－2）×180°

5＝

108°.∵AB，DE与⊙O相切，

∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝(5－2)×180°－90°－108°－108°－90°＝144°.

14．如图13，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以

AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为__6

7__．

图13 第14题答图

【解析】如答图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连结OB. ∵AB，BC是⊙O的切线，∴E，F是切点，

∴OE，OF是⊙O的半径，∴OE＝OF.

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，

由勾股定理，得BC＝4.

又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，

又∵S△ABD＝S△ABO＋S△BOD，

∴1

2BD·AC＝

1

2AB·OE＋

1

2BD·OF，

即5OE＋2OE＝2×3，

解得OE＝6

7，∴⊙O的半径为

6

7.

15．如图14，P A，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，DE交P A，PB于点D，E，已知P A长8 cm.则△PDE的周长为__16__cm__；若∠P＝40°，则∠DOE＝__70°__．

图14 第15题答图

【解析】∵P A，PB，DE是⊙O的切线，

∴DA＝DC，EC＝EB，P A＝PB，

∴△PDE的周长为PD＋DC＋EC＋PE＝P A＋PB＝2P A＝16(cm)．如答图，连结OA，OB，OD，OE，OC，

则∠AOB＝180°－∠P＝140°，

∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝1

2(∠AOC＋∠BOC)＝

1

2×140°＝70°.

16．[2019·菏泽]如图15，直线y ＝－3

4x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是__? ????－73，0或? ??

??

－173，0__．

图15 第16题答图

【解析】 ∵直线y ＝－3

4x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝－4，∴A (－4，0)，B (0，－3)，∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，如答图，当⊙P 在直线AB 右侧时，连结PD ，则PD ⊥AB ，

PD ＝1，∵∠ADP ＝∠AOB ＝90°，∠P AD ＝∠BAO ，∴△APD ∽△ABO ，∴PD

OB ＝AP AB ，∴13＝AP 5，∴AP ＝53，∴OP ＝73，同理：当⊙P 在直线AB 左侧时，OP ＝173，∴P ? ????－73，0或P ? ????－173，0.

三、解答题(共66分)

17．(6分)如图16，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠A .

图16

(1)求∠D 的度数；

(2)若CD ＝2，求BD 的长． 解：(1)∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠OCA .

∴∠COD ＝∠A ＋∠OCA ＝2∠A . 又∵∠D ＝2∠A ，∴∠COD ＝∠D . ∵PD 与⊙O 相切于点C ，

∴OC ⊥PD ，即∠OCD ＝90°，∴∠D ＝45°；

(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，

∴OC＝CD＝2.

由勾股定理，得OD＝22＋22＝2 2.

∴BD＝OD－OB＝22－2.

18．(6分)[2018·青海节选]如图17，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC.

图17

(1)求证：P A是⊙O的切线；

(2)若PD＝5，求⊙O的直径．

第18题答图

解：(1)证明：如答图，连结OA，

∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，

又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，

又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，

∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A，

∴P A是⊙O的切线；

(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，

∴PO＝OD＋PD＝2AO，

又∵OA＝OD，∴PD＝OA，

∵PD＝5，∴2OA＝25，

即⊙O的直径为2 5.

19．(8分)[2019·菏泽]如图18，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O 的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.

(1)求证：∠ABG＝2∠C；

(2)若GF＝33，GB＝6，求⊙O的半径．

图18 第19题答图解：(1)证明：如答图，连结OE，

∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG，

∵BF⊥GE，∴OE∥AB，∴∠A＝∠OEC，

∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠C，

∵∠ABG＝∠A＋∠C，∴∠ABG＝2∠C；

(2)∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，

∵GF＝33，GB＝6，

∴BF＝BG2－GF2＝3，

∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，∴BF

OE＝

BG

OG，

∴

3

OE＝

6

6＋OE

，∴OE＝6，

∴⊙O的半径为6.

20．(8分)[2019·娄底]如图19，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.

(1)求证：直线CD是⊙O的切线；

(2)求证：CD·BE＝AD·DE.

图19 第20题答图证明：(1)如答图，连结OD，

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，

又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，

∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，

又∵DC⊥AC，∴DC⊥OD，

∴直线CD是⊙O的切线；

(2)如答图，连结BD，∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠BDE＝90°.

又∵DC⊥AC，∴∠ACD＝∠BDE.

∵BE为⊙O的切线，DC⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠E＝∠ADC，∴△ACD∽△BDE，

∴CD

AD＝

DE

BE，∴CD·BE＝AD·DE.

21．(8分)如图20，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF.

(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；

(2)若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径．