2021年上海市春季高考数学试卷及解析

2021年上海市春季高考数学试卷 （学生版）

时间：120分钟；满分：150分

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.等差数列{}n a 中，13,2a d ==，则10a = .

2.已知复数z 满足13z i =-(i 是虚数单位)，则z i -＝ .

3.不等式

25

12

x x +<-的解集为 . 4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 . 5.求直线2x =-

10y -+=的夹角为________.

6.方程组111

222

a x

b y

c a x b y c +=??+=?无解，求1122a b a b = .

7.()1n

x +的二项展开式中有且仅有3x 为最大值，则3x 的系数为 .

8.已知函数()()3031

x x a

f x a =+

>+的最小值为5，则a = . 9. 在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞

-=，则2a 的取值范围是

10. 某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，

问有几种运动方式组合

11. 已知椭圆2

2

21y x b

+=（01b <<）的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点

作

抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=?，则抛物线的准线方程是 12. 已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数?，使得cos()n θ?+<θ的最小值是 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是 ( ) A. 2x B.sin x C. 2x D. 1x =

14.已知集合{}

220,{1}A x x x N x x =∈--=∈>-R R ∣∣，则（ ） A. A B ? B. R R C A C B ? C. A B ?=? D. A B ?=R

15. 已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是（ ） A. ()f x 为偶函数且关于直线1x =对称 B. ()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 C. ()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 D. ()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称 16. 在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：① 存在△ABC ，使得

0AB CE ?=；② 存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +；成立的是（ ）

A. ①成立，②成立

B. ①成立，②不成立

C. ①不成立，②成立

D. ①不成立，②不成立

三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD . （1）若△PAB 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°， 求PD 与AC 所成角的大小.

18. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4

C =-.

（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）4

cos()45

A π-=，求c .

19.（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足

-=千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴PA PB

||||20

正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标.

（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30

-=

QA QB

千米，||||10

-=千米，求||

OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）QC QD

20. 已知函数()

f x x

=.

（1）若1

a=，求函数的定义域；

（2）若0

a≠，若()

=有2个不同实数根，求a的取值范围；

f ax a

（3）是否存在实数a，使得函数()

f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围.

21. 已知数列{}n a 满足0n a ≥，对任意2n ≥，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的 等差中项

（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；

（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；

（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，

求111r s t a a a +++++的最大值.

2021年上海市春季高考数学试卷（参考答案版）1

时间：120分钟；满分：150分

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.等差数列{}n a中，13,2

a d

==，则

10

a= .

【答案】21

【解析】

101+921

a a d

==

2.已知复数z满足13

z i

=-(i是虚数单位)，则z i-= .

【解析】12

z i i

-=+=

3.不等式

25

12

x x +<-的解集为 . 【答案】(7,2)- 【解析】

25

1(7)(2)722

x x x x x +

【解析】24S rl ππ==

5.求直线2x =-

10y -+=的夹角为________. 【答案】

6

π 【解析】121212

3(1,0),(3,1),cos 6

n n n n n n πθθ?==-=

=

?= 6.方程组111

222

a x

b y

c a x b y c +=??+=?无解，求1122a b a b = .

【答案】0 【解析】1

1

22

0a b D a b =

= 7.()1n

x +的二项展开式中有且仅有3x 为最大值，则3x 的系数为 . 【答案】20

【解析】3

16336,202

r n r

r n n T C x n r n n C -+=?-=?

=-?== 8.已知函数()()3

031

x x

a

f x a =+>+的最小值为5，则a = . 【答案】9 【解析】()()303111593131

x x

x x a a f x a a =+

>=++-≥=?=++ 9. 在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞

-=，则2a 的取值范围是 【答案】(4,0)(0,4)-

【解析】由题意，(1,0)(0,1)q ∈-，∴lim 0n n a →∞

=，

∴11lim()4n n a a a →∞

-==，∴214a a q q ==∈(4,0)(0,4)-

11. 某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，

问有几种运动方式组合

【答案】23【解析】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组

合是不符题意的，∴5432

5555323

C C C C

+++-=

11. 已知椭圆

2

2

2

1

y

x

b

+=

（0

1

b

<<）的左、右焦点为

1

F、

2

F，以O为顶点，

2

F为焦点作

抛物线交椭圆于P，且

12

45

PF F

∠=?，则抛物线的准线方程是

【答案】12

x=-

【解析】设

1

(,0)

F c-，

2

(,0)

F c，则抛物线24

y cx

=，直线

1

:

PF y x c

=+，

联立

24

y cx

y x c

?=

?

=+

?

，∴(,2)

P c c，∴

212

PF F F

⊥，

212

2

PF F F c

==，

1

22

PF c

=，

∴

12

(222)2221

PF PF c a c

+=+==?=-，即准线方程为12

x c

=-=-

12. 已知0

θ>，对任意*

n∈N，总存在实数?，使得

3

cos()

nθ?

+<θ的最小值是【答案】

2

5

π

【解析】在单位圆中分析，由题意，nθ?

+的终边要落在图中阴影部分区域（其中6

AOx BOx

π

∠=∠=），∴

3

AOB

π

θ>∠=，∵对任意*

n∈N要成立，∴*

2π

θ

∈N，

即

2

k

π

θ=，*

k∈N，同时

3

π

θ>，∴θ的最小值为

2

5

π

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是 ( )

A运动B运动C运动D运动E运动

7点-8点8点-9点9点-10

点

10点-11

点

11点-12

点

30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟

A. 2x

B.sin x

C. 2x

D. 1x = 【答案】C

14.已知集合{}

220,{1}A x x x N x x =∈--=∈>-R R ∣∣，则（ ） A. A B ? B. R R C A C B ? C. A B ?=? D. A B ?=R 【答案】D

15. 已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是（ ） A. ()f x 为偶函数且关于直线1x =对称 B. ()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 C. ()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 D. ()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称 【答案】D

【解析】反例如图所示. 选项D ，易得()f n n =，n ∈Z

16. 在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：① 存在△ABC ，使得

0AB CE ?=；② 存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +；成立的是（ ）

A. ①成立，②成立

B. ①成立，②不成立

C. ①不成立，②成立

D. ①不成立，②不成立 【答案】B

【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，

① (12,2)AB x y =---，(1,)CE x y =-，若0AB CE ?=，∴2(21)(1)20x x y -+--=， ∴2(21)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 明显存在，∴①成立； ② F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 交点即重心G ， ∵G 为AD 三等分点，E 为AD 中点，∴CE 与CG 不共线， 即②不成立；故选B

三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD . （1）若△PAB 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；

（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PD 与AC 所成角的大小. 【答案】（1）3233P ABCD V -=

；（2)2

arccos 6

【解析】（1）∵正方形ABCD 边长为4，△PAB 为等边三角形，E 为AB 中点，

∴23PE =，21323

4233P ABCD V -=??=；

（2）如图建系，(0,0,4)P ，(2,4,0)D -，(2,0,0)A -，

(2,4,0)C ，∴(2,4,4)PD =--，(4,4,0)AC =，

∴2

cos 6642

||||

PD AC PD AC θ?=

=

=??， 即PD 与AC 所成角的大小为2

arccos

6

18. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1

cos 4

C =-.

（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）4

cos()45

A π-=，求c .

【答案】（1）1b =,6c =（2）5302

c =

【解析】（1）sin 2sin 2A B a b =?=，∴1b =，222211

cos 62214

c C c +-==-?=??；

（2）472cos()cos 45A A π-=?=，∴2sin A =，∵115

cos sin 4C C =-?=，

由正弦定理，2530

sin sin c c A C =?=

19.（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足

||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴

正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标.

（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1°）

【答案】（1）221100300x y -=,(22P ;(2)19OQ ≈,Q 点位置北偏东66?

【解析】（1）10a =，20c =，∴2

300b =，双曲线为22

1100300

x y -=；

直线:OP y =

，联立双曲线，得P ； （2）①||||30QA QB -=，15a =，20c =，∴2

175b =，双曲线为22

1225175

x y -=；

② ||||10QC QD -=，5a =，15c =，∴2

200b =，双曲线为22

125200

y x -=；

联立双曲线，得Q ，∴19OQ ≈米，Q 点位置北偏东66?

20. 已知函数()f x x =. （1）若1a =，求函数的定义域；

（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；

（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围.

【答案】（1）(,2][0,)x ∈-∞-+∞; (2)1(0,)4a ∈;(3)1

4

a ≤-

【解析】（1）()f x x =，∴|1|10x +-≥，解得(,2][0,)x ∈-∞-+∞；

（2）()f x x a ==+，设0x a t +=≥t =有2个不同实数根，

∴整理得2a t t =-，0t ≥，同时0a ≠，∴1

(0,)4

a ∈；

（3）当x a ≥-，211())24f x x x ===-+，在1

[,)4

+∞递减，

此时需满足14a -≥，即1

4

a ≤-时，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；

当x a <-，()f x x x =，在(,2]a -∞-上递减，

∵104a ≤-<，∴20a a ->->，即当1

4

a ≤-时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减；

综上，当1

4

a ≤-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减

21. 已知数列{}n a 满足0n a ≥，对任意2n ≥，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项

（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；

（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列， 并求出公比q ；

（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =， 求111r s t a a a +++++的最大值.

【答案】（1）31a =;（2）见解析；（3）

2164

【解析】（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+， ∴231321a a a a =+?=，321324a a a a =+?=，经检验，31a =

（2）∵1470a a a ===，∴322a a =，或232a a =

，经检验，232

a

a =； ∴32524a a a ==，或2532a a a =-=-（舍），∴254a

a =；

∴52628a a a ==，或2654a

a a =-=-（舍），∴268a a =；

∴628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍），∴2816

a

a =；

综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为1

4

；

（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或2111

2

n n n n a a a a +++-=--，

由第（2）问可知，2112102r r r r r r a a a a a a -----=?=?-=-，

∴3111221111111

0()()1()()222222i r i i r r r r r a a a a a a a --+---=?==--=-?-??-=-?-，*i ∈N ，

∴1max 1

()4

r a +=，

同理，21111111

()1()()22224

j s r j j s r r a a a ---++=-?-??-=-?-?，*j ∈N ，∴1max 1()16s a +=，

同理，1max 1()64t a +=，∴111r s t a a a +++++的最大值为21

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