专升本高等数学习题集及答案

第一章 函数

一、选择题

1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数

A. x x y +=tan

B. y x =

C. )1()1(-?+=x x y

D. x x

y 2sin 2

?=

2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】

A. 3

3)(,)(x x g x x f =

= B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1

1

)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==

3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】

A. +arctan y x x =

B. cos y x =

C. arcsin y x =

D. sin y x x =?

4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】

A. arcsin y x =

B. arccos y x =

C. arctan y x =

D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】

A. (0,)π

B. (,)22ππ

-

C. [,]22ππ

-

D. (,+)-∞∞

6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】

A. arcsin y x =

B. arccos y x =

C. arctan y x =

D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】

A. (,)-∞+∞

B. [1,1]-

C. (,)ππ-

D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】

A. (,)-∞+∞

B. [1,1]-

C. (,)ππ-

D. [2,0]-

9. 下列各组函数中，【 A 】是相同的函数

A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x =

B. ()f x x =和()g x =

C. ()f x x =和()2g x =

D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】

A. ()cos f x x =

B. ()arccos f x x =

C. ()tan f x x =

D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】

A. (,)22

ππ

-

B. (0,)π

C. (,)-∞+∞

D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】

A. arcsin y x x =

B. arccos y x x =

C. arccot y x x =

D. 2arctan y x x = 13. 函数53sin ln x y =的复合过程为【 A 】

A.x w w v v u u y sin ,,ln ,35====

B.x u u y sin ln ,53==

C.x u u y sin ,ln 53==

D.x v v u u y sin ,ln ,35===

二、填空题

1. 函数5

arctan 5arcsin

x

x y +=的定义域是___________.

2. ()arcsin 3

x

f x =的定义域为 ___________.

3. 函数1

()arcsin

3

x f x +=

的定义域为 ___________。 4. 设()3x

f x =,()sin

g x x x =,则(())g f x =___________.

5. 设2

()f x x =,()ln g x x x =,则(())f g x =___________.

6.

()2x f x =,()ln g x x x =,则(())f g x =___________.

7. 设()arctan f x x =,则()f x 的值域为___________.

8. 设2()arcsin f x x x =+,则定义域为 . 9. 函数ln(2)arcsin y x x =++的定义域为 .

10. 函数2sin (31)y x =+是由_________________________复合而成。

第二章 极限与连续

一、选择题

1. 数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的【 】

A. 充分必要条件

B. 充分条件

C. 必要条件

D. 既非充分条件又非必要条件

2. 函数)(x f 在点0x 处有定义是它在点0x 处有极限的【 】

A. 充分而非必要条件

B. 必要而非充分条件

C. 充分必要条件

D. 无关条件

3. 极限2

lim(1)k x

x x e →+=，则=k 【 】

A. 2

B. 2-

C. 2-e

D. 2

e

4. 极限sin 2lim

x x

x

→∞=【 】

A. 2

B. ∞

C. 不存在

D.

5. 极限=+→x

x x 10

)sin 1(lim 【 】

A. 1

B. ∞

C. 不存在

D. e

6. 函数2

31

)(22+--=x x x x f ，下列说法正确的是【 】.

A. 1=x 为其第二类间断点

B. 1=x 为其可去间断点

C. 2=x 为其跳跃间断点

D. 2=x 为其振荡间断点 7. 函数()sin x

f x x

π=

的可去间断点的个数为【 】.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

8. 1=x 为函数2

31

)(22+--=x x x x f 的【 】.

A. 跳跃间断点

B. 无穷间断点

C. 连续点

D. 可去间断点 9. 当0→x 时，2x 是2x x -的【 】

A. 低阶无穷小

B. 高阶无穷小

C. 等价无穷小

D. 同阶但非等价的的无穷小 10. 下列函数中，定义域是[1,1]-,且是单调递减的是【 】

A. arcsin y x =

B. arccos y x =

C. arctan y x =

D. arccot y x =

11. 下列命题正确的是【 】

A. 有界数列一定收敛

B. 无界数列一定收敛

C. 若数列收敛，则极限唯一

D. 若函数()f x 在0x x =处的左右极限都存在，则()f x 在此点处的极限存在 12. 当变量0x →时，与2

x 等价的无穷小量是【 】

A . s i n

x B. 1cos2x - C. ()

2ln 1x + D. 21x e - 13. 1x =是函数22()1

x f x x -=-的【 】.

A. 无穷间断点

B. 可去间断点

C.跳跃间断点

D. 连续点 14. 下列命题正确的是【 】

A. 若0()f x A =，则0

lim ()x x f x A →=

B. 若0

lim ()x x f x A →=，则0()f x A =

C. 若0

lim ()x x f x →存在，则极限唯一

D. 以上说法都不正确

15. 当变量0x →时，与2

x 等价的无穷小量是【 】

A. tan x

B.1cos2x

-

C. ()

2

ln 1x + D.

21x e -

16. 0x =是函数2+1

()1cos2x f x x

=-的【 】.

A. 无穷间断点

B. 可去间断点

C. 跳跃间断点

D. 连续点

17. 0(+0)f x 与0(0)f x -都存在是()f x 在0x 连续的【 】

A. 必要条件

B. 充分条件

C. 充要条件

D. 无关条件

18. 当变量0x →时，与2

x 等价的无穷小量是【 】

A. arcsin x B . 1cos2x - C. ()

2ln 1x + D. 21x

e -

19. 2x =是函数221()32

x f x x x -=-+的【 】.

A. 无穷间断点

B. 可去间断点

C. 跳跃间断点

D. 连续点 20. {}n u 收敛是{}n u 有界的【 】

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充要条件

D. 无关条件

21. 下面命题正确的是【 】

A. 若{}n u 有界，则{}n u 发散

B. 若{}n u 有界，则{}n u 收敛

C. 若{}n u 单调，则{}n u 收敛

D. 若{}n u 收敛，则{}n u 有界 22. 下面命题错误的是【 】

A. 若{}n u 收敛，则{}n u 有界

B. 若{}n u 无界，则{}n u 发散

C. 若{}n u 有界，则{}n u 收敛

D. 若{}n u 单调有界，则{}n u 收敛

23. 极限10

lim(13)x x →+=【 】

A.∞

B. 0

C. 3e -

D. 3

e

24. 极限1

lim(13)x x x →-=【 】

A.∞

B. 0

C. 3e -

D. 3

e

25. 极限2

lim(12)x x x →-=【 】

A.4

e B. 1

C. 2e -

D. 4

e -

26. 1x =是函数3

2()2

x x f x x x -=+-的【 】

A. 连续点

B. 可去间断点

C.无穷间断点

D. 跳跃间断点

27. 2x =-是函数3

2()2

x x f x x x -=+-的【 】

A. 连续点

B. 可去间断点

C.无穷间断点

D. 跳跃间断点

28. 2x =-是函数224

()2

x f x x x -=+-的【 】

A. 连续点

B. 可去间断点

C.无穷间断点

D. 跳跃间断点 29. 下列命题不正确的是【 】

A. 收敛数列一定有界

B. 无界数列一定发散

C. 收敛数列的极限必唯一

D. 有界数列一定收敛

30. 极限211

lim 1

x x x →--的结果是【 】

A. 2

B. 2-

C. 0

D.不存在

31. 当x →0时, 1

sin

x x

是【 】 A. 无穷小量 B.无穷大量

C. 无界变量

D. 以上选项都不正确

32. 0x =是函数sin ()x

f x x

=

的【 】. A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D.无穷间断点

33. 设数列的通项(1)1n

n x n

-=+,则下列命题正确的是【 】

A. {}n x 发散

B. {}n x 无界

C. {}n x 收敛

D. {}n x 单调增加

34. 极限21lim x x x x

→-的值为【 】

A. 1

B. 1-

C. 0

D. 不存在 35. 当0x →时,sin x x -是x 的【 】

A. 高阶无穷小

B. 同阶无穷小,但不是等价无穷小

C. 低阶无穷小

D. 等价无穷小 36. 0x =是函数1

()1x

f x e =

-的【 】. A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点 37. 观察下列数列的变化趋势，其中极限是1的数列是【 】

A. 1n n

x n =

+ B. 2(1)n n x =-- C. 13n x n =+ D. 21

1n x n =-

38. 极限0lim x x

x

→的值为【 】

A. 1

B. 1-

C. 0

D. 不存在

39. 下列极限计算错误的是【 】

A. sin lim

1x x x →∞= B. 0sin lim 1x x

x

→=

C. 1lim(1)x x e x

→∞+= D. 1

0lim(1)x x x e →+=

40. 1x =是函数2

2()2

x x f x x x -=+-的【 】.

A. 连续点

B. 可去间断点

C. 无穷间断点

D. 跳跃间断点 41. 当∞→x 时，arctanx 的极限【 】

A.2

π

=

B.2

π

-

= C.∞= D.不存在

42. 下列各式中极限不存在的是【 】

A. ()

32

7

lim 1→∞

-+-x x x x B. 22

11lim 21

→---x x x x

C. sin 3lim

→∞x x x D. ()2

01lim cos →+x x x x

43. 无穷小量是【 】

A.比0稍大一点的一个数

B.一个很小很小的数

C.以0为极限的一个变量

D. 数0 44. 极限1

lim(1)→-=x x x 【 】

A.∞

B. 1

C. 1

-e D. e

45. 1=x 是函数21

()1

-=-x f x x 的【 】.

A. 可去间断点

B. 跳跃间断点

C.无穷间断点

D. 连续点

46. 0=x 是函数1sin 0()10

?

=??+≥?x x x f x x

e

x 的【 】

A. 连续点

B. 可去间断点

C.跳跃间断点

D. 无穷间断点

47. 01

lim sin

x x x

→的值为【 】

A. 1

B. ∞

C. 不存在

D. 0

48. 当→∞x 时下列函数是无穷小量的是【 】

A. cos -x x x

B. sin x x

C. 2sin -x x

x D. 1(1)x x +

49. 设210

()210

x x f x x x ?+<=?+≥?，则下列结论正确的是【 】

A.()f x 在0x =处连续

B.()f x 在0x =处不连续，但有极限

C.()f x 在0x =处无极限

D.()f x 在0x =处连续，但无极限

二、填空题

1. 当0→x 时，x cos 1-是2

x 的_______________无穷小量.

2. 0x =是函数x

x

x f sin )(=

的___________间断点. 3.

=-→x x x

20)1

1(lim ___________。

4. 函数1

1

arctan

)(-=x x f 的间断点是x =___________。 5. =--→x

x e x x x sin )

1(lim

20___________. 6. 已知分段函数sin ,0(),0

x

x f x x x a x ?>?

=??+≤?连续，则a =___________.

7. 由重要极限可知，()1

lim 1+2x

x x →=___________.

8. 已知分段函数sin ,0()2,0

x

x f x x x a x ?>?

=??+≤?连续，则a =___________.

9. 由重要极限可知，1lim (1)2x

x x →+∞+

=___________. 10. 知分段函数()

sin 1,1()1,1x x f x x x b x -?>?

=-??-≤?

连续，则b =___________.

11. 由重要极限可知，10

lim(12)x

x x →+=___________.

12. 当x →1时，233

+-x x 与2

ln x x 相比，_______________是高阶无穷小量.

13. 25

1lim 12n n n -→∞?

?- ??

?=___________.

14. 函数22(1)()23

x f x x x +=--的无穷间断点是x =___________.

15. 0tan2lim

3x x

x

→=___________.

16. 35

1lim 12n n n +→∞??- ??

?=___________.

17. 函数22(1)()23

x f x x x +=--的可去间断点是x =___________.

18. 2

01cos lim

x x

x →-=___________.

19. 253lim 12n n n +→∞?

?+ ???=___________. 20. 函数221()34

x f x x x -=+-的可去间断点是x =___________.

21. 当0x →时，sin x 与3

x 相比，_______________是高阶无穷小量.

22. 计算极限22

1lim 1n n n +→∞?

?+ ?

?

?=___________.

23. 设函数()21,0

,0

x x f x x a x +>?=?

-≤?，在0x =处连续, 则a =__________

24. 若当1x →时, ()f x 是1x -的等价无穷小, 则1()

lim

(1)(1)

x f x x x →=-+_______ .

25. 计算极限1lim 1x

x x →∞

??

- ???

=__________.

26. 设e ,

0,(),

0.

x x f x x a x ?≤=?

+>? 要使()f x 在0x =处连续, 则a = .

27. . 当x →0时，sin x x -与x 相比， 是高阶无穷小量. 28. 计算极限45

1lim 11x x x +→∞?

?+ ?+?

?= .

29. 为使函数22,0(),

x x f x x a x ?+>=?

+≤?在定义域内连续，则a = .

30. 当x →0时，x cos 1-与sin x 相比，_________________是高阶无穷小量. 31. 当x →0时，2

4x 与3

sin x 相比，_______________是高阶无穷小量.

32. 当x →1时，()2

1x -与()sin 1-x 相比，__________________是高阶无穷小量. 33. 若3lim 1x

x k e x →∞?

?+= ??

?，则k =___________.

34. 函数21

()34

+=

--x f x x x 的无穷间断点是x =___________.

35.

极限0x →.

36. 设()2

sin ,f x x x

=求()lim →∞x f x =___________.

37.

设函数cos ,0

()0

38. 0x =是函数x

x

x f sin )(=

的 （填无穷、可去或跳跃）间断点.

39. 函数21

()23

x f x x x +=

--的可去间断点是x =___________.

40. 2lim 1x

x x →∞

??

-= ???

___________

三、计算题

1. 求极限32224

lim 4

x x x x →--- 2. 求极限20cos3cos2lim

ln(1)

x x x

x →-+

3. 求极限2

0(1)

lim ln(16)x x e x x →--

4. 求极限0(1)sin lim ln(16)x x e x

x x →--

5. 求极限20(1cos )sin lim ln(16)

x x x

x x →--

6. 求极限201cos lim (1)

x x x

x e →--

7. 求极限201cos lim ln(1)

x x

x →-+

8. 求极限??

? ??---→1112

lim 21x x x

第三章 导数与微分

一、选择题

1. 设函数f (x )可导，则=--→h

x f h x f h )

()3(lim

【 】

A. 3()f x '

B.

1

()3

f x ' C. 3()f x '-

D. 1

()3f x '-

2. 设函数f (x )可导，则0

(1)(1)

lim

2x f f x x

→--=【 】

A. 2(1)f '

B.

1

(1)2

f ' C. 2(1)f '- D. 1(1)2f '-

3. 函数x y =在0=x 处的导数【 】

A. 不存在

B. 1

C. 0

D. 1-

4. 设x e x f 2)(=，则(0)f '''=【 】

A. 8

B. 2

C. 0

D. 1

5. 设x x x f cos )(=，则()f x ''=【 】

A. x x sin cos +

B. x x x sin cos -

C. x x x sin 2cos --

D. x x x sin 2cos + 6. 设函数f (x )可导，则0

(2)()

lim

h f x h f x h

→+-=【 】

A. 2()f x '

B.

1

()2

f x ' C. 2()f x '- D. 1

()2

f x '-

7. 设sin ()y f x =，其中()f x 是可导函数，则y '=【 】 A. cos ()f x B. sin ()f x ' C. cos ()f x ' D. cos ()()f x f x '?

8. 设函数f (x )可导，则0(2)()

lim

h f x h f x h →+-=【 】

A. 2()f x '

B. 1()2f x '

C. 2()f x '-

D. 1

()2

f x '-

9. 设(arctan )y f x =，其中()f x 是可导函数，则y '=【 】

A. (arctan )f x '

B. 2

(arctan )(1)f x x '?+

C. 2(arctan )1f x x '++

D.

2

(arctan )

1f x x '+

10. 设(sin )y f x =，其中()f x 是可导函数，则y '=【 】 A. (sin )f x ' B. (cos )f x ' C. (sin )cos f x x ' D. (cos )cos f x x '

11. 设函数f (x )可导，则0(3)()

lim 2h f x h f x h →+-=【 】

A. 3()f x '

B. 2()3f x '

C. ()f x '

D. 3

()2

f x '

12. 设y =sinx ，则y (10)|x=0=【 】 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2n

13. 设函数f (x )可导，则0

(4)()

lim

2h f x h f x h

→+-=【 】

A. 2()f x '

B. 4()f x '

C. 3()f x '

D.

1

()2

f x ' 14. 设y =sinx ，则y (7)|x=0=【 】 A. 1 B. 0 C. -1 D. 2n

15. 设函数f (x )可导，则0(4)()

lim

2h f x h f x h

→--=【 】

A. -4()f x '

B. 2()f x '

C. -2()f x '

D. 4()f x '

16. 设y =sinx ，则(7)

x y

π

==【 】

A. 1

B. 0

C. -1

D. 2n

17. 已知函数()f x 在0x x =的某邻域内有定义，则下列说法正确的是【 】 A. 若()f x 在0x x =连续, 则()f x 在0x x =可导

B. 若()f x 在0x x =处有极限, 则()f x 在0x x =连续

C. 若()f x 在0x x =连续, 则()f x 在0x x =可微

D. 若()f x 在0x x =可导, 则()f x 在0x x =连续 18. 下列关于微分的等式中，正确的是【 】

A. 2

1d()arctan d 1x x x =+ B. d(2ln 2)2d x x

x = C. 211

d()d x x x

=- D. d(tan )cot d x x x =

19. 设[]2

0()(0)sin lim 4x f x f x x →-=　，则(0)f '=【 】 A. 3 B. 4 C. 4

3

D. 不存在

20. 设函数()f x 在0x x =可导，则000(2)()

lim h f x h f x h

→+-=【 】

A. 02()f x '

B. 0()f x '

C. 02()f x '-

D. 0()f x '-

21. 下列关于微分的等式中，错误的是【 】

A. 21d(arctan )d 1x x x =

+ B. 2

11

d()d x x x

=- C. dcosx sin d x x = D. d(sin )cos d x x x =

22. 设函数()cos f x x =，则(6)

(0)f

=【 】

A. 0

B. 1

C. -1

D. 不存在 23. 设()x f x e =，则0

(1)(1)

lim

x f x f x

?→+?-=?【 】

A. 1

B. e

C. 2e

D. 2

e

24. 设函数()f x 在0x x =可导，则000(2)()

lim

h f x h f x h

→+-=【 】

A. 02()f x '

B. 0()f x '

C. 02()f x '-

D. 0()f x '-

25. 下列关于微分的等式中，错误的是【 】

A. 21d(arctan )d 1x x x =

+ B. 2

11

d()d x x x =- C. dcosx sin d x x = D. d(sin )cos d x x x =

26. 设函数()f x 在0=x x 处可导，且0()'=f x k ，则000(2)()

lim

→+-=h f x h f x h

【 】 A. 2k B. 12k C. 2-k D. 1

2

-k

27. 设函数()f x 在0x 可导，则000

(4)()

lim

h f x h f x h

→+-=【 】

A. 04()f x '

B.

01

()4f x ' C. 04()f x '- D. 01

()4

f x '-

28. 设函数()f x 在0x 可导且0()2'=f x ，则000

()(2)

lim

→+--=h f x h f x h h

【 】

A. -2

B. 1

C. 6

D. 3 29. 下列求导正确的是【 】

A. ()2

sin 2cos '=x x x B. sin cos 44ππ'??=???

?

C. ()cos cos '=x x e e

D. ()1ln 5'=x x

30. 设()x x x f ln =，且()20='x f ，则()0x f =（ ）。

A. e 2

B. e

C. 2

e

D. 1

31. 设sin =y x ，则y (8)=【 】

A. sin -x

B. cos x

C. sin x

D. cos -x

32. 设)(x f y =是可微函数，则d (cos )f x =（ ）．

A.

(cos )d f x x ' B.(cos )sin d f x x x '

C.(sin )cos d f x x x '

D. (cos )sin d f x x x '-

33. 已知ln ,=y x x 则()

6y

=【 】

A. 5

1x - B.

51

x C. 54!

x

D. 54!x

-

二、填空题

1. 曲线12

12

+=

x y 在点)3,2(处的切线方程是_____________. 2. 函数ln(1)x y e =+的微分d y =_____________.

3. 设函数)(x f 有任意阶导数且)()('2

x f x f =，则()f x '''= 。 4. 曲线x y cos =在点)2

1

,3(π处的切线方程是 。 5. 函数sin 2x

y e

=的微分d y = x d 。

6. 曲线x x x y -=ln 在点e x =处的切线方程是_____________.

7. 函数12+=

x y 的微分d y =_____________.

8. 某商品的成本函数21

11001200

C Q =+

，则900Q =时的边际成本是___________. 9. 设函数()y f x =由参数方程cos sin x y θθ=??=?

所确定，则d d y

x =_____________.

10. 函数9(25)y x =+的微分d y =_____________.

11. 曲线()ln f x x =在点(1,0)处的法线方程是___________. 12. 设函数()y f x =由参数方程cos sin x a t y b t

=??

=?所确定，则d d y

x =_____________.

13. 函数2lnsin y x =的微分d y =_____________. 14. 某商品的成本函数2

1201600100

C Q Q =

++，则500Q =时的边际成本是___________.

15. 设函数()y f x =由参数方程sin 1cos x t t y t =-??=-?

所确定，则d d y

x =_____________.

16. 函数y =d y =_____________.

17. 曲线ln 1y x =+在点(),2e 处的切线与y 轴的交点是_____________. 18. 函数2cos3ln 2x y e x =+的微分d y =_____________.

19. 曲线2ln 1y x =+在点(),3e 处的切线与y 轴的交点是_____________. 20. 函数2sin3ln 2x y e x =+的微分d y =_____________.

21. 曲线22ln 1y x =+在点()1,1处的切线与y 轴的交点是___________. 22. 函数2

sin36x y e x =+的微分d y =___________. 23. 已知0()1f x '=，则000

(2)()

lim

3h f x h f x h

→+-＝_____________.

24. 已知函数2x

y e =，则y '''=_____________. 25. 函数2ln(1)y x =+的微分d y =_____________. 26. 已知函数sin y x =，则(6)

y

= .

27. 函数2

x y xe =的微分d y = .

28. 已知曲线222y x x =+-的某条切线平行于x 轴，则该切线的切点坐标为 . 29. 函数ln(cos 2)y x =的微分d y = .

30. 已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56

π，则()2f '= . 31. 若(1)(2)y

x x x =--，则(0)y '=

．

32. 函数arctan 2y x =的微分d y =______________. 33. 已知函数()=y f x 是由参数方程cos sin x a t

y b t

=??

=?确定，则d d y x =______________.

34. 函数y =d y =_____________. 35. 函数lnsin y x =的微分d y = 36. 由参数方程sin 1cos x t t y t

=-??=-?所确定的函数的导数d d y

x = ．

三、计算题

1. 设函数2ln(1)y x x =+，求1d x y =

2. 求由方程xy e y x =+2所确定的隐函数()x y y =的导数y '。

3. 求曲线

???+=+=t t y t x 21

在0=t 相应点处的切线与法线方程.

4. 设函数y =d y .

5. 设y 是由方程

20y

x y e ++-=所确定的隐函数，求0

d d ,d d =x x

y x y 。

6. 求椭圆???==t

y t x sin 2cos 4在4π

=t 相应点处的切线与法线方程.

7. 设函数y x =d y .

8. 设y 是由方程0=-+y

x

e e xy 所确定的隐函数，求

d d ,d d =x x

y

x y 。

9. 求摆线???-=-=t

y t t x cos 1sin 在2π

=t 相应点处的切线与法线方程.

10. 设函数ln(y x =，求(0)y '及22d d y

x

.

11. 求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数y 的导数

d .d y x

12. 设函数sin ln sin 2x

y x e x =+?，求22d d y

x

13. 求由方程y

e xy e +=所确定的隐函数y 的导数(0).y '

14.

设函数(

ln y x =，求22d d y x

.

15. 求由方程221x y -=所确定的隐函数y 在3x =处的导数(3).y '

16.

设函数cos 2y x =，求微分d y .

17. 设函数2

ln(1)sin2x y e x =++，求微分d y ..

18.

设函数ln x y e -=,求微分d y .

19. 求由方程sin 1x y y x e -+=所确定的隐函数y 的导数0

d d .d d x y y

x x =并求 20. 求由方程sin 1x y y x e ++=所确定的隐函数y 的导数0

d d .d d x y y

x x

=并求

21. 求由方程cos 1x y y x y e +-+=所确定的隐函数y 的导数0

d d .d d x y y

x x

=并求

22. 设函数221,

()1,x e f x x bx ?-?=?++??00

x x ≤>在0x =处可导，求b 的值.

23. 已知方程sin()ln(1)ln 1xy x y -++=所确定的隐函数()y y x =，求0

d .d x y

x

=

24.

已知函数y =0x =处的微分d y

25. 用对数求导法求函数cos (0)x

y x x =>的导数.

26. 求由方程0x

y xy e e -+-=所确定的隐函数y ，求函数在0x =处的微分d y .

27. 设[]2

(sin 2),y f x =其中f 是可微函数，求y '

28. 设2cos3,x

y e x -=求d y .

29. 求由方程-=x y

xy e

所确定的隐函数y 的导数

11

d d ,.d d x y y y x x

==

30. 求由方程()sin -=x y e e xy 所确定的隐函数y 的导数0

d d ,.d d x y y x x

=

31.

设函数()ln(f x x =，求()f x '和(0)f '

32. 求曲线2-?=??=??t

t

x e

y e

在0=t 相应点处的切线方程与法线方程. 33. 已知y 是由方程sin 0+=y y xe 所确定的隐函数，求y 的导数

d ,d y

x

以及该方程表示的曲线在点()0,0处切线的斜率。

34. 设函数x x y 3sin cos 3-=，求d y .

四、综合应用题

1. 求2

ln 22x t t y t =+??=+?

在1t =相应点处的切线与法线方程. 2．求2

ln 31x t t y t =+??=+?在1t =相应点处的切线与法线方程.

3．求1ln 3t x t t y e

t

-=+??

=+?在1t =相应点处的切线与法线方程.

第四章 微分中值定理与导数应用

一、选择题

1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的

=ξ【 】

A. π

B.

2π C. 3π D. 4

π 2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】

A. x ln

B. x ln ln

C.

x

ln 1

D. )2ln(x - 3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】

A. 一个实根

B. 二个实根

C. 三个实根

D. 无实根

4. 下列命题正确的是【 】

A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点

B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=

C. 若0()0f x ''=，则()()

00x f x ，是()f x 的拐点 D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点

5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【 】

A. 单调减少且为凹弧

B. 单调减少且为凸弧

C. 单调增加且为凹弧

D. 单调增加且为凸弧 6. 下列命题正确的是【 】

A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点

B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=

C. 若0()0f x ''=，则()()

00x f x ，是()f x 的拐点 D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点

7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】

A. 单调减少且为凹弧

B. 单调减少且为凸弧

C. 单调增加且为凹弧

D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【 】

A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点

B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=

C. 若0()0f x ''=，则()()

00x f x ，是()f x 的拐点 D. ()0,3是4

3

()23f x x x =++的拐点

9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】

A. 单调减少且为凹弧

B. 单调减少且为凸弧

C. 单调增加且为凹弧

D. 单调增加且为凸弧 10. 函数256, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【 】

A. 0

B.

12 C. 5

2 D. 2 11. 函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】

A. 0

B. 1

2

C. 1

D. 2

12. 函数y =

在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】

A. 0

B. 1

2

C. 1

D. 2

13. 方程4

10x x --=至少有一个根的区间是【 】

A.(0,1/2)

B.(1/2,1)

C. (2,3)

D.(1,2)

14. 函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的

=ξ 【 】

A. 0

B. 12-

C. 1

D. 12 15. 已知函数()3

2=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定

理成立的ξ是【 】

A.

±

B. C. D. 13±

16. 设273+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【 】

A.单调增加，单调增加

B.单调增加，单调减小

C.单调减小，单调增加

D.单调减小，单调减小

二、填空题

1. 曲线53)(23+-=x x x f 的拐点为_____________.

2. 曲线x xe x f 2)(=的凹区间为_____________。

3. 曲线535)(23++-=x x x x f 的拐点为_____________.

4. 函数22ln y x x =-的单调增区间是___________.

5. 函数1x y e x =--的极小值点为_____________.

6. 函数3229123y x x x =-+-的单调减区间是___________.

7. 函数2

2ln y x x =-的极小值点为_____________. 8. 函数x y e x =-的单调增区间是___________. 9. 函数2x y x =?的极值点为_____________.

10. 曲线4326y x x =++在区间(,0)-∞的拐点为_____________. 11. 曲线3231y x x =++在区间(,0)-∞的拐点为_____________. 12. 曲线3236y x x =-+的拐点为___________.

13. 函数3

2

26128y x x x =-+-的拐点坐标为 . 14. 函数2

332x x y -=在=x _______有极大值．

15. 曲线x x y arctan +=在0=x 处的切线方程是___________. 16. 曲线4

3

341=-+y x x 在区间(0,)+∞的拐点为_____________. 17. 过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程是y = ．

三、计算题

1. 求极限)111(

lim 0

--→x x e x

2. 求极限0

11lim()sin x x

x →-

3. 求极限201

lim ln(1)

x x e x x →--+

4. 求极限1

1lim(

)1ln x x x x

→--

5. 求极限20

11lim(

)sin x x x x

→-

6. 求极限)1

11(lim 0

--

→x x e x

7. 求极限2

sin lim

(1)

x x x x x e →--

四、综合应用题

1. 设函数32()234f x x x =-+.求

(1) 函数的单调区间；(2)曲线()y f x =的凹凸区间及拐点.

2. 设函数32()33f x x x =-+.求

(1) 函数的单调区间；(2)曲线()y f x =的凹凸区间及拐点.

3. 设函数32()391f x x x x =---.求()f x 在[0,4]上的最值

4. 设函数32()4-123f x x x =+.求

(1) 函数的单调区间与极值；(2)曲线()y f x =的凹凸区间及拐点.

5. 某企业每天生产x 件产品的总成本函数为2

02.04502000)(x x x C ++=，已知此产品

的单价为500元，求： (1) 当50x =时的成本；

(2) 当50x =到60x =时利润变化多少?

(3) 当50=x 时的边际利润，并解释其经济意义。

6. 设生产某种产品x 个单位的总成本函数为22900)(x x x C ++=，问：x 为多少时能使

平均成本最低，最低的平均成本是多少？并求此时的边际成本，解释其经济意义。

7. 某商品的需求函数为p q 3300-=(q 为需求量, P 为价格)。问该产品售出多少时得到

的收入最大？最大收入是多少元？并求30=q 时的边际收入，解释其经济意义。

8. 某工厂要建造一个容积为3002

m 的带盖圆桶，问半径r 和高h 如何确定，使用的材料

最省？

9. 某商品的需求函数为1

102

Q P =-

(Q 为需求量, P 为价格). (1) 求2P =时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(2) 当3P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?

10. 求函数()cos x f x e x =在[],ππ-上的最大值及最小值。

11. 某商品的需求函数为2

180100

Q P P =-

(Q 为需求量, P 为价格). (1) 求5000P =时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(2) 当5000P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?

12. 某商品的需求函数为2658Q P P =+-(Q 为需求量, P 为价格).

(1) 求5P =时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求5P =时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将如何变化?

14. 某商品的需求函数为2

402Q P P =+-(Q 为需求量, P 为价格).

(1) 求5P =时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求5P =时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将如何变化?

15. 某商品的需求函数为2

354Q P P =+- (Q 为需求量, P 为价格).

(1) 求5P =时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求5P =时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将如何变化?