近世代数初步_习题解答(抽象代数)

《近世代数初步》

习题答案与解答

引 论 章

一、知识摘要

1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算).

2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈?

(1),ba ab = (2)),()(bc a c ab =

(3)存在单位元e 满足,a ae ea ==

(4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素.

则称G 为一个交换群.

(i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群.

3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足：

I. F 对加法构成交换群.

II. F*=F\{0}对乘法构成交换群.

III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈?

就称F 为一个域.

4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足：

I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1).

III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环.

5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且

6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子.

7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合.

8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义：

321个

n n a aa a ...=,43421个

n n a a a a e a 1

110...,----==.

则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有

.)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+===

(在加法群中可写出相应的形式.)

9.关于数域上的行列式理论、多项式理论(包括除法算式、整除性、最大公因式、因式分解唯一性定理等)、线性方程组理论、矩阵运算及理论、线性空间及线性变换理论在一般域F 上都成立.

二、习题解答 1、（1）否，（2）否，（3）是，（4）是。

注：因为集合Ａ上的一个代数运算对应了集合Ａ×Ａ到Ａ的一个映射。此类题由此直接判断。

2、证明 由于在F 2上的任一和式中，只要有一项是1，其结果永远是1。而a+b 与b+a ；a+(b+c)与(a+b)+c 中1，0出现的次数分别相同，它们的和就分别相等，故F 2中加法交换律和结合律成立。

由于ab 和ba ；a （bc ）和（ab ）c 中如有0出现，其积为零，否则其积为1，故这两对积分别相等，于是F 2中乘法交换律和结合律成立。

对a （b+c ）和ab+ac ，若a=0，这两式子都为零；若a=1，这两式子都为b+c ，对这两种情形两式子都相等，故F 2中乘法对加法的分配律成立。

注：此类题根据所定义的运算法则直接验证。 3、（1）对a+b=a=a+0用加法消去律，得b=0。

（2）由于[（-a ）-b]+a+b=（-a ）+[-b+（a+b ）]=（-a ）+a=0,由负元的定义知（-a ）-b=-（a+b ）. （3）在（2）中将 b 换为-b ，就得-（a-b ）=（-a ）+b 。

（4）对a-b=c 两边加上b ，左边=（a-b ）+b=a ，右边=c+b ，故a=c+b 。 （5）a ·0+a=a ·0+a ·1=a （0+1）=a,用加法消去律得a ·0=0。

（6）00)()(=?=+-=+-b b a a ab b a ，故b a ab )(-=-，将上式b a ,互换就得)(b a ab -=。 （7）.)())(()(ac ab c a ab c b a c b a -=-+=-+=- 注：此题直接根据环上的两个运算的性质和关系进行验证。 4

∑=m i i a 1

∑=n

j j

b

1

=∑=++n

j j

m b

a a 1

1)

(Λ∑∑==++=n

j j m n j j b a b a 1

1

1Λ

∑∑

∑∑=====++=n

j j

i m

i n

j j m n

j j b

a b a b a 1

1

1

1

1Λ。

注：此题直接根据环上“乘法对加法的分配律”来证明。

5.分几种情形

（i ）0=+n m ，但m ，n 不为零，不妨设m 为正整数。m

m

a a -为m 个a 及m 个1

-a 的乘积，由广义

结合律知)(01m m m

m

a a a

a -+-===。

（ii ）若m ，n 中有零，不妨设m=0，则左边右边====+n n n

a a a a

00。

（iii ）m ，n 皆为正整数，则a m+n 与a m a n 皆为m+n 个a 的积，由广义结合律知它们相等。若m ，n 皆为负整数，则a m+n 与a m a n 皆为-（m+n ）个a -1的乘积，由广义结合律知它们相等。

（iv ）m ，n 中有正有负，且0≠+n m ，不妨设m 与m+n 为异号。则由（iii ）n m n m m n

m a a a a ==-+-+)(，

两边再乘上()

m m

a a =--1

(参看(i)),则n m n m a a a =+.

以上已证明了m m n m n

m a a a a a

--+==1)(及

再由);0(,)(时当个

个?===+++n a a a a a

n m n m m n m m m mn

48476Λ48476Λ

4484476Λ48

476Λ876Λ个个

个)(11)()()()())((n m n m m n m m mn

a a a a a n m a a m ---------===--=

);0(,)(时当?=n a n m

又.)(100

m m a a

==?

这就证明了.)(n m mn

a a

=

若a,b 交换,当m=0时,显示有.)(m

m

m ab b a =当m 为正整数时,m

m

m ab b a )(与都是m 个a,m 个b 的乘积,由广义结合律知它们相等,当m 为负整数时,m m

m ab b

a ---=)(,即111))(()()(---=m m m a

b b a .左边又是

1)(-m m b a ,故m m m ab b a )(=.

注：此题根据广义结合律和群中元素的方幂的性质进行验证．

6. 参照中学数学中对二项定理的证明,根据环上的运算性质及b a ,的交换性直接证明．

7.由1))((111

11111121112121==----------a a a a a a a a a a a a a a m m m m m m m ΛΛΛΛ,故11121121)(----=a a a a a a m

m ΛΛ. 对第2个问题,上面一段正是证明了它的充分性,再证必要性.设121=?u a a a m Λ,则任意

i ,1)(111=--u a a a a a m i i i ΛΛ,故每个i a 有逆元素.

注：直接根据逆元的定义和广义结合律证明.

8.11)1(11)1)(1()1(=+-=-+-=-+-=+-=-ba ba ca ab b ba babca bca ba bca ba d ba

bcaba bca ba ba bca ba d -+-=-+=-1)1)(1()1(.11)1(1=+-=-+-=ba ba a ab bc ba

即1-ba 在R 内也可逆

又由c abc cab c ab ab c =+=+=-=-11,1)1()1(得.故

cab)ab(11abcab ab 1bca)b a(11adb 1++=++=++=+

c abc =+=1.

注：直接根据结合律和环中乘法对加法的分配律验证.

9.当n ≥2时,取

?????????=001A 001 000 ΛΛΛ 0

00

n

n ?????

?

??

B=???????-0011 0000Λ ΛΛΛΛΛ 0

000 n

n ?????

??? 则0≠A ,0≠B ,但AB=0.A,B 皆为零因子.

注：根据环中零因子的定义直接构造.

第一章 群 第一节 群的例子

一、知识摘要

1.数1的n 次单位根?

??

???-===1,...,2,1,0:2n k e U i n k k n πε关于复数乘法构成群.

2.域F 上的全体n 阶可逆矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n 阶一般线性群,记为).(F GL n

3.)(F GL n 中全体行列式为1的矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n 阶特殊线性群,记为).(F SL n

4.实数域R 上的全体n 阶正交矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n 阶正交群,记为).(R O n

5.非空集合M 上的可逆变换全体关于变换乘法构成群,称为集合M 上的全变换群,记为M S .

特别,当M 是有限集{1,2,…,n}时,M 上的可逆变换称为1,2,…,n 的一个置换(或一个n 元置换).此时,全体n 元置换在置换乘法下所成的群称为n 元对称群,记为n S .

6. 域F 上n 维线性空间V 上的全体可逆线性变换在变换乘法下构成群,记为).(V GL

7.实数域上n 维欧氏空间V 上的全体正交变换在变换乘法下构成群,记为).(V O n

8.平面上全体正交变换(保持点之间的距离和直线夹角的变换)在变换变换乘法下构成群,称为平面的正

交变换群.

二、习题解答

1.写仿射点变换T

T

y x y x ),(),(:''α?(这儿T 是矩阵的转置)为矩阵形式

???

?

??+???? ??=???? ??+???? ?????? ??=???? ??''212122122111b b y x A b b y x a a a a y x ,

其中022

12

2111≠=

a a a a A .

设另一仿射点变换ρ:???

?

??+???? ?????? ??21c c y x B y x α,其中0≠B , 则()T

y x ,经ρ?变成

???

?

??+???? ?????? ??+???? ??=???? ?????? ??+???? ??=???? ?????? ??=????

??212121c c b b y x A B b b y x A y x y x ρ?ρρ? ???

?

?????? ??+???? ??+???? ??=2121c c b b B y x BA

由于ρ?,0≠=A B BA 仍是仿射点变换.

易证:仿射点变换???

? ??+????

?? ?????????

?

??001001:y x y x I α

是恒等变换，它是乘法单位元. 仿射点变换:'????

?

??+???? ?????? ??-???? ??????

??-00211b b y x A y x α正是?的逆变换. 又变换的乘法自然有结合律，故平面上全体仿射点变换对变换的乘法成为一个群.

注：此类题按照群的定义验证,对逆元和单位元的存在性证明是关键.

2.平面上正交点变换?可写成矩阵形成

?:???

?

??+???? ?????? ??21b b y x A y x α,

其中A 为2×2正交矩阵，即满足I A A AA T ==T （单位矩阵）.

正交矩阵的乘积是正交矩阵，正交矩阵的逆也是正交阵。利用这两个性质。完全类似于习题1中的论

证，能证明本习题的结论.

注：此题证明方法与上题一致,关键是掌握正交矩阵的基本性质. 3.由题设有

???? ??--=???? ??--01

010202y y x x l y y x x

在仿射点变换?：???

? ??+???? ??=???? ?????? ??21''b b y x A y x y x α 的变换下

.2,1,021=???

? ??+???? ??=???? ??''，i b b y x A y x i i i i 故

???? ??--=???? ??-???? ??=???? ??''-???? ??''=???? ??'-''-'02

02002200220202y y x x A y x A y x A y x y x y y x x

???? ??'-''-'=???? ??--=???? ?????? ??--=0101

010101

01y y x x l y y x x lA y y x x l A

由于0≠A ，A 可逆.于是?将不同的三点()T

i i y x ,变成不同的三点T

i i y x ),(''，2,1,0=i .上面一串等式

的最前端与最后端相等即表示这三点也共线。

注：关键是在?下，验证???? ??'-''-'=???? ??'-''-'01

010202

y y x x l y y x x ．

4.与第三题类似有

???

? ??--=???? ??'-''-'12121212y y x x A y y x x 其中A 满足I A A AA T

T

==

于是

()()()????

??

'-''-''-''-'='-'+'-'12

12

1212212212

,y y x x y y x x y y x x ()???? ??----=?????????? ??--?????????? ??--=1212

121212

121212,y y x x A A y y x x y y x x A y y x x A T T

()()()2

1221212

121212,y y x x y y x x y y x x -+-=???? ??----=. 注：直接验证()()()()2

122

122

122

12

y y x x y y x x -+-='-'+'-'． 5.设???? ??=a b a A 0，????

??=c d c B 0,其中a,b,c,d 都是复数,a ≠0且c ≠0,则

????

??+=ac bc ad ac AB 0也和A,B 具有相同的形式. 显然, ???? ??=1001I 是单位元且??

??

?

?

?

?-=a a b ab a C 101

2是A 的逆矩阵.又矩阵乘法满足结合律,故结论得证. 注：根据群的定义直接验证,需要说明AB 也和A,B 具有相同的形式. 6.只需要证明逆元存在性且满足结合律即可.显然,),

1(a

b

a -是(a,b)的逆元.又 [(a,b)(c,d)](e,f)=(ac,ad+b)(e,f)=(ace,acf+ad+b)=(a(ce),a(cf+d)+b)=(a,b)(ce,cf+d)=(a,b)[(c,d)(e,f)], 即结合律成立,故G 是一个群. 注：根据群的定义直接验证.

7.对,G a ∈a 有右逆b.b 又有右逆a '，这时a 为b 的左逆.由ab e a b =='，得到

()()a a ab a b a a '='='=，

可知a a '=.这样e ab ba ==，即b 是a 的逆.

8.由题设，().,,222

b a abab ab G b a ==∈?对后一等号两边左乘1-a ，右乘1

-b ，就得到.ba ab =

注：只需要由验证.ba ab =即可. 9.G b a ∈?,，有e b a ==2

2

，故b b a a ==--11

,，又()e abab ab ==2

，a 对后一个等号两边左乘a ，

右乘b ，就得ab ba =.

注：关键在于由e a =2

得到a a

=-1

对G a ∈?都成立.

10.易验证,G 对复数的乘法是封闭的且结合律成立. 显然,1是G 的单位元.又

G bi a z ∈+=?,有1||22==+z b a ,从而G bi a z ∈-=?1且1))((22=+=-+b a bi a bi a .

即z 1是z 的逆元.

注：根据群的定义直接验证.

11. K B ,A ∈???

?

??-=???? ??-=?γδ

δγ

αββα,由βα,不同时为0且γδ,不同时为0易知,δβαγ-和γβαδ+不同时为0,故.)()(AB K ∈???

?

??-+-+-=???? ??+-+-+-=δβαγγβαδγβαδδβαγγαδβδαγβγβαδδβαγ

显然,???? ??=1001I 是K 的单位元且容易验证?????

?

?

??++--+-+=ββαααββααβββααββ

βααα)(C 是A 在K 中的逆元.由矩阵乘法满足结合律知,K 关于矩阵乘法构成群.

注：根据群的定义直接验证.

12.设{}s g g G ,,1Λ=.由性质（2），G ag ag G a s ?∈?},{,1Λ,且是s 个不同的元，故G ag ag s =}{1Λ.同样由性质（3）可得，G a g a g s =},{1Λ。设其中.,a a g a ag j i ==于是;)(,,)(11a g g a g a g g a g s i s i ==Λ s s j j ag ag g ag ag g ==)(,)(11Λ。即g i 是G 的右单位元，g j 是G 的左单位元,分别记为e 及e e e e e '='='则,，

即G 有单位元e.

类似于上面作法，由G ag ag s =},{1Λ，有b G ∈使ab=e ，由G a g a g s =},{1Λ，而有G b ∈'使

,)()(,b eb b a b ab b e b b e a b =='='='='='于是即G a ∈?有逆元。又题设G 有结合律，故是一个群。

注：证明的关键在于“由G 是非空有限集,得到,G a ∈?G a g a g ag ag s s ==},{}{11ΛΛ”.由此去证明单位元和逆元的存在性.

此题给出了非空有限集关于其上定义的乘法作成群的一个条件：“此乘法满足左、右消去律和结合律。”

13.只证（2）。用反证法.设1

2)1(.

,-≠≠≠∈?a a e a e a G a 知由有 取1

111

2221

111

111,.

},{}{\.},{\----≠≠≠∈a a a a ，a a a e G e a a e G a 由于于是外还有元素除了若则互为逆元素，若{}

(){}{}{}12

2

11

1

11

1

12

1

1

1

1

12

21

111

2,,,.,,,,---------∈∈=∈a a a a a a a ，a a a a a a a 故即这不可能则是四个不同的元素.设上面的步骤进行k-1步，得到2（k-1）个元素{}{}e G a

a a a k k \,,,1

1

1111

?----Λ.同样论证{}e G \除了上述2（k-1）个元素外要么没有元素了，要么同时有{}e G a a a a k k k k \.1

1

可知且及--≠要么

等于{

}1

1

11

11,,,,----k k a a a a Λ，要么有2k 个元素{}{}e G a a a a k

k

\,,,1

1

1

1

?--Λ.因{}e G \只有有限个元素，

必然在某个第k 步停止，即{}{}1

1

1

1

,,,\--=k

k

a a a a e G Λ.故G 有2k+1个，即奇数个元素，矛盾.因此G 中

必有元素e a e a =≠2

,.

注：主要根据“群中元和其逆元的阶相同，且不同元的逆元不同”,得到“群中阶大于二的元素个数必为偶数个”.又“群中有且只有单位元的阶是1”,从而由G 是偶数阶群可得,G 中必有2阶元.

14.设112121,.,g G G G G G ，G G G 取因但的子群为不等于≠=Y ∈G 1.由121,g G G G Y =2G ∈.同

样可取111

21121211222.,,..,G g G g g g G g G g g g g G g G g ∈∈?=∈∈?=∈∈

-于是矛盾则因若作但,同理 2G g ∈，就得到2121G G G G G g Y Y =∈与矛盾.故不能有不等于G 的两个子群.2121G G G ，G G Y =使得

注：此题的证明主要是基于“对于群G 中的两个互不包含的子群G 1和G 2,分别取自G 1\G 2和G 2\ G 1中的两元素的乘积必定不属于21G G Y ”这一事实.

15.由于数的加法都满足结合律且?

??

??

?=≠∈=1),(0m Z ,:Q p m n m m n p 且，,其中p 是素数. p p Q k

h

1,)p ,mk (1)p k,(1)p m,(.mk mh kn k h Q k h ,∈+===+=+∈?

m n m n m n 从而知，且由，有. 显然0p Q ∈是单位元且p Q ∈-m n 是m

n

的逆元.故结论成立.

注：根据群的定义直接验证.

16. 由于数的加法都满足结合律且?

??

??

?≥∈=0i Z :Q p ，n p n i

,其中p 是素数. p j i -j j p j Q p m np p m j,i Q p m ,∈+=+≤∈?i i p n p n 有，设.显然0p Q ∈是单位元且p

i Q p ∈-n 是i

p n 的逆元.故结论成立.

注：根据群的定义直接验证.

17.???

?

??=???? ?????? ??=361524634251466554133221162534435261ρσ.

???

?

??=???? ??????

??=566514233241465534132261466554133221στ. ???? ??=???? ??????

??=662514335241162534435261465534132261τρ.?

??

?

??=-5645642312311σ. ???

?

??=???? ?????? ??=???? ?????? ??????

??=-3615246342515645642312312635145362415645642312311625344352614665541332211σρσ. 注：直接根据6元置换的乘法计算. 18.()()()()????

??=???

?

?

?=-n n i i t i i i i n n ΛΛΛ2

2111

)()(,)()()2()2()1()1(τττ

τσττσττστσ, ()()()()()()()()()()()()????

?????? ?????? ??=-n n n n n n τττσσσσττσττστστστΛΛΛΛΛΛ22112211)()2(2)1(11

()()()()()()???

?

??=)()2(2)1(1n n σττσττσττΛΛ. 注：此题关键在于熟悉n 元置换的表示形式.

第二节 对称性变换与对称性群，晶体对称性定律

一、知识摘要

1.平面上(或空间中)的一个图形M 在平面上(或空间中)的一个正交变换下变为M 本身,则称此变换是M 的对称性变换.图形M 的全体对称性变换在变换乘法下构成一个群,称为M 的对称性群.

2.f(x 1,x 2,…,x n )是域F 上的n 元多项式,若f(x 1,x 2,…,x n )的各文字的脚标经任意n 元置换n S ∈σ变换后,该多项式完全不变,即

),,...,,()),...,,((2121n n x x x f x x x f =σ

则称它是域F 上的一个n 元对称多项式.

3. f(x 1,x 2,…,x n )是域F 上的n 元多项式(未必对称多项式),若 n 元置换n S ∈σ满足

),,...,,()),...,,((2121n n x x x f x x x f =σ

则称σ是f(x 1,x 2,…,x n )的一个对称性变换. f(x 1,x 2,…,x n )的全体对称性变换在变换乘法下构成一个群,称为f(x 1,x 2,…,x n )的对称性群.

特别,当f(x 1,x 2,…,x n )是域F 上的n 元对称多项式时, f(x 1,x 2,…,x n )的对称性群即是n S .

二、习题解答

1、(1)令绕O 反时针旋转0°，72°，144°，216°，288°的5个旋转变换为T O ，T 1，T 2，T 3，T 4，令平面对直线,,,,,54321l l l l l 的反射变换为,,,,,54321S S S S S 它们都是对称性变换，对于此正五边形的任一个对称性变换T ，它若将顶点A 1，变成i A ，则T T i 1

1--就将A 1变成A 1.易知正五边形的保持A 1不动的对称性变换

只有.,,,11111

11S T T T T T T T T T S T i i o i o i o -----====或故即故全部对称性变换为{

}5,,2,1,,111Λ=--i T S T i i ， {}5,4,3,2,1,,101=-i S T 。i i 而前面已列出个元素最多有共10个对称性变换，故它们必须相等。

(2)令绕O 反时针旋转0°，180°的旋转变换为T 0，T 1，令平面对直线21,l l 的反射为S 1，S 2.它们都是该矩形的对称性变换.使A 1分别变到A 1,A 2,A 3,A 4的对称性变换都只有一个，即分别为T 0,S 1,T 1,S 2.故它们是

全部的对称性变换.

(3)令绕O 反时针旋转任意角θ的放置变换为T θ,令平面对过中心O 的任意直线l 的反射为l S .则圆的

对称性变换群{}

的直线是全部过中心O l S T l ,3600:,0

<≤=θθ

2. .,,324142314321x x x x x x x x x x x x +++

3.能变出6个单项式,即为: .,,,,,13

3221233223321223313322132231x x x x x x x x x x x x x x x x x x 它们的和 1332212332223313322132213x x x x x x x x x x x x x x x ++++是所要求的项数最少的多项式.

注：以32231x x x 作为一项的对称多项式,必定含有用S 3去变32

231x x x 所得到的所有可能的单项式.更一般地,以某个k 元单项式m(x)作为一项的对称多项式,必定含有用S k 去变m(x)所得到的所有可能的单项式.

4. .2133211323213213213?

??

????

??? ?????? ??????

??=，，A 其它证明略去（直接按照群的定义验证A 3在置换乘法下成为群）.