减数分裂二知识讲解
减数分裂和受精作用（二）减数分裂过程及受精作用
【学习目标】
1、阐明细胞的分裂，说明精子和卵细胞的形成过程。
2、比较精子和卵细胞形成过程的异同。
3、比较减数分裂和有丝分裂的异同。
4、掌握减数分裂过程中染色体数目和行为的变化及染色单体和DNA 数目的规律性变化。
5、了解受精作用及其意义。 【要点梳理】
要点一：精子和卵细胞的形成过程 1、哺乳动物精子形成过程
2、哺乳动物卵细胞的形成过程：
1个卵原细胞 （染色体数:2n ）
间期：细胞体积增大、染色体复制
1个初级卵母细胞 （染色体数:2n ）
前期：联会、四分体（非姐妹染色单体交叉互换） 中期：同源染色体排列在赤道板两侧
后期：同源染色体分离（非同源染色体自由组合） 末期：形成1个次级卵母细胞和1个第一极体
1个次级卵母细胞（大）+1个第一极体（小） （染色体数:n ）
着丝点分裂，染色单体分离
1个卵细胞（大）+3个第二极体 （染色体数:n ）
3、减数分裂图解：
减Ⅰ
减Ⅱ
4、精子和卵细胞形成过程的比较
比较项目不同点相同点
精子的形成卵细胞的形成
染色体复制复制一次
第一次分裂一个初级精母细胞（2n）产
生两个大小相同的次级精
母细胞（n）
一个初级卵母细胞（2n）（细胞
质不均等分裂）产生一个次级卵
母细胞（n）和一个第一极体（n）
同源染色体联会，形成四分体，同源染色体分
离，非同源染色体自由组合，细胞质分裂，子
细胞染色体数目减半
第二次分裂两个次级精母细胞形成四
个同样大小的精细胞（n）
一个次级卵母细胞（细胞质不均
等分裂）形成一个大的卵细胞(n)
和一个小的第二极体。第一极体
分裂（均等）成两个第二极体
着丝点分裂，姐妹染色单体分开，分别移向两
极，细胞质分裂，子细胞染色体数目不变
有无变形精细胞变形形成精子无变形
分裂结果产生四个有功能的精子(n) 只产生一个有功能的卵细胞(n)
精子和卵细胞中染色体数目均减半
5、减数分裂和有丝分裂的比较
项目
有丝分裂减数分裂母细胞体细胞性原细胞
分裂次数一次两次
过程前期：染色体散乱分布在细胞中
央，有同源染色体
中期：染色体的着丝点有规律地
排列在细胞中央，有同源染色体
后期：染色体的着丝点分裂，姐
妹染色单体分开，有同源染色体
前期：减Ⅰ：同源染色体联会，出现四分体，有交叉互换现
象；
减Ⅱ：染色体散乱分布，无同源染色体
中期：减Ⅰ：四分体排列在赤道板的两侧
减Ⅱ：与有丝分裂相同，但无同源染色体
后期：第一次分裂：四分体分开，移向两极
染色体交叉互换
时期：减数第一次分裂（四分体时期）
对象：四分体中的非姐妹染色单体之间
不同点
第二次分裂：与有丝分裂相同，但无同源染色体
同源染色体行为有同源染色体，但无联会，无四
分体有同源染色体，前期出现联会行为，形成四分体，部分还有非姐妹染色单体的交叉互换
非同源染色体行为无自由组合有自由组合
子细胞数目2个雄性：4精子，雌性：1个卵细胞+3个极体（退化）子细胞染色体数和亲代细胞相同比亲代细胞减少一半
子细胞类型体细胞精子或卵细胞
子细胞间遗传物质几乎相同不一定相同
相同点都有纺锤体的出现；染色体都只复制一次
要点二：减数分裂过程中染色体、DNA和染色单体数目变化及图像
1、减数分裂过程中染色体、DNA和染色单体数目变化
减数第一次分裂减数第二次分裂时期间期前期中期后期末期（前期）中期后期末期染色体2N 2N 2N 2N N N 2N N DNA 2N-4N 4N 4N 4N 2N 2N 2N N 染色单体0-4N 4N 4N 4N 2N 2N 0 0 2、减数分裂过程中染色体、DNA和染色单体变化的图像
要点三：细胞分裂方式的鉴别——三看识别法
一看：细胞中的染色体数目：如果细胞中染色体数目为奇数，一定是减数第二次分裂，而且细胞中一定没
有同源染色体；如果是偶数，则进行二看。
二看：细胞中有无同源染色体：如果没有同源染色体，一定是减数第二次分裂，如果有同源染色体，则进
行三看。
三看：同源染色体的行为：若出现联会、四分体、着丝点位于赤道板附近、同源染色体分离等现象，一定
是减数第一次分裂；若无上述行为，则为有丝分裂。
根据以上特点，归纳如下：
出现联会、四分体
要点四：受精作用
1、概念：
指卵细胞和精子相互识别、融合成为受精卵的过程，受精卵核内的染色体由精子和卵细胞各提供一半，但细胞质几乎全部是由卵细胞提供，因此后代某些性状更像母方。
2、意义：
通过减数分裂和受精作用，保证了进行有性生殖的生物前后代体细胞中染色体数目的恒定，从而保证了遗传的稳定和物种的稳定；在减数分裂中，发生了非同源染色体的自由组合和非姐妹染色单体的交叉互换，增加了配子的多样性，加上受精时卵细胞和精子结合的随机性，使后代呈现多样性，有利于生物的进化，体现了有性生殖的优越性。
3、实质：
精子细胞核与卵细胞核融合，精子细胞核内的n条染色体与卵细胞内的n条染色体合在一起形成具有2n条染色体的受精卵细胞核。
下图讲解受精作用的过程，强调受精作用是精子的细胞核和卵细胞的细胞核结合，受精卵中的染色体数目又恢复到体细胞的数目。
【典型例题】
类型一：减数分裂过程
例1、一动物精原细胞在进行减数分裂过程中形成了4个四分体，则次级精母细胞中期染色体、染色单体和DNA分子数依次是（）
A．4、8、8 B．2、4、8 C．8、16、16 D．8、0、8
【答案】A
【解析】①一个四分体含一对同源染色体4条染单体、4个DNA分子。那么4个四分体的动物的体细胞和精原细胞的染色体为4对共8条染色体。由精原细胞形成初级精母细胞含染色体4对8条、含染色单体是16条、含DNA分子16个。②因初级精母细胞形成2个次级精母细胞的过程中，同源染色体分离，着丝点不分裂，染色体和DNA分子数目都减半，所以形成次级精母细胞（前、中期）的染色体为4条，染色单体为8条，DNA分子数为8个。③处于减数分裂第二次分裂后期和末期的次级精母细胞，因着丝点分裂，所以染色体数目加倍为8，染色单体消失为0，DNA分子数不变，仍为8。结果形成的每个精细胞中有4条染色体和4个DNA分子。【总结升华】本题考查减数分裂过程中染色体和DNA的数量变化。
【举一反三】：
【变式一】
下列关于减数分裂的叙述，正确的是（）
①减数分裂包括两次连续的细胞分裂②在次级卵母细胞中存在同源染色体③着丝点在减数第一次分裂后期一分为二④减数分裂的结果，染色体数减半，DNA分子数不变⑤同源染色体的分离，导致染色体数目减半⑥联会后染色体复制，形成四分体⑦染色体数目减半发生在减数第二次分裂末期
A．①②③ B．④⑤⑥ C．①⑤ D．⑥⑦
【答案】C
【解析】只有①和⑤正确，其余的叙述都是错误的。次级卵母细胞中不存在同源染色体，因为减数第一次分裂后期同源染色体分开；着丝点是在减数第二次分裂后期一分为二的，不是在减数第一次分裂后期；减数分裂过程中，生殖细胞中的染色体数和DNA分子数都减少了一半；染色体的复制是在联会之前完成的；染色体数目的减半发生在减数第一次分裂末期。
类型二：减数分裂与有丝分裂的比较
例2、下列关于有丝分裂和减数分裂过程中DNA分子和染色体数目的叙述，正确的是（）
A．有丝分裂间期细胞中染色体数目因DNA复制而加倍
B．有丝分裂后期细胞中DNA分子数目因染色体着丝点分裂而加倍
C．减数第一次分裂后的细胞中染色体数目因同源染色体分离而减半
D．减数第二次分裂过程中细胞中染色体与DNA分子数目始终不变
【答案】C
【解析】有丝分裂间期DNA分子数因复制而加倍，但染色体数不变；有丝分裂后期细胞中染色体因着丝点分裂而加倍，DNA分子数不变；减数第二次分裂过程中DNA分子数始终不变，后期染色体暂时加倍；经过减数第一次分裂同源染色体分离，形成的子细胞中染色体和DNA分子数均减半。
【总结升华】本题主要考察的是有丝分裂及减数分裂的区别。
【举一反三】：
【变式一】
下图次级卵母细胞继续分裂过程中染色体平均分配的示意图是（）
【答案】B
【解析】题中图A是卵原细胞在减数分裂第一次分裂过程中处于后期的初级卵母细胞图，判断依据是每个四分体中的同源染色体已彼此分开，开始分别移向细胞两极，但细胞质的分配是不平均的；图B是减数分裂第二次分裂后期的次级卵母细胞图，判断依据是着丝点已分裂，染色单体彼此分裂，这种特点只有两种可能，一是有丝分裂后期，二是减数分裂第二次分裂后期，但该图中已不存在同源染色体，所以只有第二种可能性；图C是精原细胞在减数分裂第一次分裂后期的初级精母细胞图，判断依据是同源染色体已
彼此分裂，正在移向细胞两极，但细胞质的分配是平均的；图D有两种可能，一种可能是精原细胞进行减数分裂第二次分裂后期图，第二种可能是卵原细胞减数分裂过程中第一极体的分裂后期图。
【点评】本题主要考查学生对卵原细胞和精原细胞在减数分裂过程中染色体行为和数量变化过程的掌握和理解程度。
【变式二】
下图的四个细胞是某种生物不同细胞分裂的示意图（假设该生物体的细胞有4条染色体），请回答下列各问题：
（1）在A、B、C、D中，属于减数分裂的是________。
（2）A细胞有________条染色体，有________个DNA分子。
（3）具有同源染色体的细胞有________。
（4）不具有姐妹染色单体的细胞有________。
【答案】（1）B和D （2）8 8 （3）A、B、C （4）A和D
类型三：减数分裂异常产生配子情况
例3、某动物的基因型为AaBb，两对基因独立遗传，当动物进行减数分裂时，形成了abb的精子，产生这种现象的原因最可能是（） A．间期发生基因突变 B．联会时发生交叉互换
C．同源染色体未分离 D．姐妹染色单体未分开
【答案】D
【解析】正常情况下杂合子个体减数分裂产生的4个子细胞的基因型为两两相同，两两互补。由基因型异常的精子abb知，姐妹染色单体上的基因出现在同一子细胞中，说明减Ⅱ过程中，一对姐妹染色单体未分离，而进入同一个子细胞，故选D。
【总结升华】本题考查减数过程中染色体异常分裂的情况。
【举一反三】：
【变式一】
从某动物个体的睾丸中取出的两个精细胞的染色体组成如图所示。如果不考虑染色体交叉
互换，关于这两个精细胞的来源，不可能的是（）。
A．可能来自一个精原细胞 B．可能来自一个初级精母细胞
C．可能来自两个初级精母细胞 D．可能来自一个次级精母细胞
【答案】D
减数分裂知识点总结
高二生物减数分裂知识点 一、减数分裂的概念 1、围：凡是进行有性生殖的生物； 2、时期：在从原始的生殖细胞发展到成熟的生殖细胞的过程中； 3、特点：细胞连续分裂两次，而染色体只复制一次； 4、结果：新产生的生殖细胞中的染色体数目比原始生殖细胞中的数目减少了一半。（注：原始生殖细胞既可进行有丝分裂，又可进行减数分裂） 二、减数分裂的一般过程（动物） 分裂间期：染色体复制 前期Ⅰ：联会、四分体（非姐妹染色单体交叉、互换）减数第一次分裂（Ⅰ）中期Ⅰ：四分体排在赤道板上 减后期Ⅰ：同源染色体分离（非同源染色体自由组合）数末期Ⅰ：染色体、DNA数目减半 分间期Ⅱ：短暂，遗传物质不复制 裂前期Ⅱ：（对二倍体生物而言，已无同源染色体）减数第二次分裂（Ⅱ）中期Ⅱ：着丝点排在赤道板上 后期Ⅱ：着丝点断裂，姐妹染色单体分开 末期Ⅱ：DNA数目再减半 三、精子的形成过程 四、卵细胞的形成过程
五、精子、卵细胞产生过程的异同： 1、相同点：①都是性细胞（配子）②都经减数分裂产生 2、不同点：①卵原细胞两次分裂为不均质分裂（极体均质），精原细胞的分裂为均质分裂； ②1个卵原细胞产生1个卵细胞，1个精原细胞产生4个精子； ③精子的形成需变形，卵细胞的形成不变形。 六、配子种类（只考虑非同源染色体的自由组合，不考虑交换） （1）可能产生精子的种类：2n种 1个精原细胞（2）实际产生精子的种类：2种 （含n对同源染色体）（同一个次级精母细胞产生的两个精子是相同的）1个雄性个体（含n对同源染色体）产生精子的种类：2n种 （1）可能产生卵细胞的种类：2n种 1个卵原细胞（2）实际产生精子的种类：1种 （含n对同源染色体）（1个卵原细胞只能产生一个卵细胞） 1个雌性个体（含n对同源染色体）产生卵细胞的种类：2n种 七、减数分裂中染色体、DNA数目变化曲线图 八、通过图像、曲线判断分裂方式、所处时期——三看识别法（二倍体生物） 九、同源染色体的特点、判断程序 1、特点：①来源：一条来自父方，一条来自母方 ②形态、大小一般相同 ③行为：减数分裂过程中一定两两配对（即联会） 2、判断程序
角(基础)知识讲解
角（基础）知识讲解 撰稿：孙景艳审稿：赵炜 【学习目标】 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：角397364 角的概念】 要点一、角的概念 1．角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2 ）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 图1 图2
要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 要点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1° 的1 60 为1分，记作“1′”，1′的 1 60 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角 的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>
二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例：1.已知：0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。 3、运用数形结合，进行二次根式化简 例：.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+- 减数分裂和有性生殖知识点归纳 一、减数分裂的概念 1、范围：凡是进行有性生殖的生物； 2、时期：在从原始的生殖细胞发展到成熟的生殖细胞的过程中； 3、特点：细胞连续分裂两次，而染色体只复制一次； 4、结果：新产生的生殖细胞中的染色体数目比原始生殖细胞中的数目减少了一半。 （注：原始生殖细胞既可进行有丝分裂，又可进行减数分裂） 二、减数分裂的一般过程（动物） 分裂间期：染色体复制 前期Ⅰ：联会、四分体（非姐妹染色单体交叉、互换）减数第一次分裂（Ⅰ）中期Ⅰ：四分体排在赤道板上 减后期Ⅰ：同源染色体分离（非同源染色体自由组合） 数末期Ⅰ：染色体、DNA数目减半 分间期Ⅱ：短暂，遗传物质不复制 裂前期Ⅱ：（对二倍体生物而言，已无同源染色体）减数第二次分裂（Ⅱ）中期Ⅱ：非同源染色体排在赤道板上 后期Ⅱ：着丝点断裂，姐妹染色单体分开 末期Ⅱ：DNA数目再减半 三、精子的形成过程 四、卵细胞的形成过程 五、精子、卵细胞产生过程的异同： 1、相同点：①都是性细胞（配子）②都经减数分裂产生 2、不同点：①卵原细胞两次分裂为不均质分裂（极体均质），精原细胞的分裂为均质分裂； ②1个卵原细胞产生1个卵细胞，1个精原细胞产生4个精子； ③精子的形成需变形，卵细胞的形成不变形。 六、配子种类（只考虑非同源染色体的自由组合，不考虑交换） （1）可能产生精子的种类：2n种 1个精原细胞（2）实际产生精子的种类：2种 （含n对同源染色体）（同一个次级精母细胞产生的两个精子是相同的） 1个雄性个体（含n对同源染色体）产生精子的种类：2n种 （1）可能产生卵细胞的种类：2n种 1个卵原细胞（2）实际产生卵细胞的种类：1种 （含n对同源染色体）（1个卵原细胞只能产生一个卵细胞） 1个雌性个体（含n对同源染色体）产生卵细胞的种类：2n种 七、减数分裂中染色体、DNA数目变化曲线图 有丝分裂与减数分裂曲线的区别： 有丝分裂：起点与终点（染色体或DNA）数目相同； 减数分裂：起点（染色体或DNA数目）是终点的两倍。 DNA与染色体曲线的区别： DNA曲线有斜线（间期复制），染色体曲线没有斜线。 如图，BC段和JK段为斜线，则该图为DNA变化曲线； 曲线起点为A和I，终点为G和P， 则A→G为减数分裂，I→P为有丝分裂，G→I为受精作用。 如图，图中没有斜线，因此为染色体变化曲线； 起点为A和E，终点为E和K， 则A→E为有丝分裂，E→K为减数分裂， 八、通过图像、曲线判断分裂方式、所处时期——三看识别法（二倍体生物） 一看同源→有同源染色体：有丝分裂和减数第一次分裂，无同源染色体：减数第二次分裂 二看特殊行为→有联会或同源染色体分离等特殊行为的是减数第一次分裂， 没有特殊行为的是有丝分裂 三看是否均等分裂→均等：初（次）级精母细胞或第一极体 不均等：初（次）级卵母细胞 九、同源染色体的特点 ①来源：一条来自父方，一条来自母方 ②形态、大小一般相同 ③行为：减数分裂过程中一定两两配对（即联会） 21·1 二次根式 1. 二次根式的定义 一般地，式子（a ≥0）叫做二次根式，a 叫被开方数，a 可以是数可以是单项式或 多项式，如，，判断一个式子是否为二次根式；要看它是否具备两个特征： 一是根指数是2，二是被开方数为非负数，二者缺一不可. 2．二次根式的性质1 （Ⅰ）文字语言是：非负数的算术平方根是一个非负数. （Ⅱ）数学语言为：≥0（a ≥0），它的用途非常大，例如：若2＋＝0， 则a ＝0，b ＝0，若＋|b|＝0，则a ＝0，b ＝0，若＋b 2＝0，则a ＝0，b ＝0 思考：当a<0时，有意义吗?当a ≥0时，可能为负数吗? 3．二次根式的性质2 （Ⅰ）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数. （Ⅱ）数学语言为：()2≥0（a ≥0） （Ⅲ）证明：∵( a ≥0)是a 的算术平方根 ∴()2＝a （Ⅳ）作用()2＝3，()2＝，（)2＝x （x ≥0） 反过来：若a ≥0则a ＝ ，如：2＝，＝（)2 4．二次根式的性质3 （Ⅰ）文字语言：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. （Ⅱ）数学符号： ＝|a| （Ⅲ）说明： ①a 的取值范围是任意实数. ②＝a 的前提是a ≥0，＝－a 的前提是a ≤0 5．()2与的异同点 a 3xy 12+x a a 3 1 b a a a a a a a 33131 x ()2 a () 2 221 212a 2 a 2 a a 2 a （Ⅰ）区别：中a 必须取非负数即a ≥0，而 中的a 可以取任何实数. （Ⅱ）相同点： 当被开方数都是非负数，即a ≥0时，＝（）2 a<0时，（）2无意义而＝－a 典型例题 例1. 当a 为实数时下列各式中哪些是二次根式. ， ，，，， 解：，，，是二次根式. 例2. x 为何实数时，式子在实数范围内有意义？ 解：由x －2≥0得x ≥2，当x ≥２时在实数范围内有意义. 例3. 计算： （1）（）2；（2）（3）2； （3）（－2）2；（4）（）2 解：（1）（）2＝ （2）（3）2＝32×（）2＝9×2＝18 （3）（－2）2 ＝（－2）2×（）2＝4×＝ （4）（）2＝x 2＋y 2 例4. 计算： （1）； （2） ； （3）（a<３）； （4）（x<） ()2 a 2a 2 a a a 2a 10+a a 2a 12-a 12+a 2)1(-a a 2a 12+a 2)1(-a 2-x 2-x 52 231 22y x +52252 22313131342 2y x +252 )5.1(-2 ) 3(-a 2 )32(-x 23 细胞的增殖（有丝分裂）知识点 一、细胞有丝分裂过程 1.细胞周期概念：连续分裂的细胞，从一次分裂完成时开始，到下一次分裂完成时为止，为一个细胞周期。一个细胞周期包括两个阶段，即分裂间期和分裂期。 分裂间期指：从细胞在一次分裂结束之后到下一次分裂之前，是分裂间期，大约占细胞周期的90%-95%，此时期主要变化是：完成DNA分子的复制和有关蛋白质得到合成，同时细胞有适度的生长；其意义是分裂间期为分裂期进行活跃的物质准备。 分裂期是一个连续的过程，人们为研究方便，将其分为四个时期，即分裂前期、分裂中期、分裂后期、分裂末期 [概念注意点]：①连续分裂的细胞 ②起点是一次分裂完成时开始，终点是到下一次分裂完成时为止 ③特点：不同细胞的细胞周期不同，分裂间期和分裂期所占比例也不同， 观察细胞分裂时应选择细胞周期短，分裂期占整个细胞周期比例较小的细胞更好。 【及时训练】：只要能分裂的细胞就一定具有细胞周期。() 只有连续分裂的细胞才具有细胞周期,如人体皮肤生发层细胞、造血干细胞等干细胞、癌细胞、植物根尖分生区(茎尖生长点)细胞等。只分裂一次便不再分裂的细胞、减数分裂形成的细胞都不具有细胞周期。高度分化的细胞也不具有细胞周期。 2.细胞周期的两种表示方法 方法名称表示方法用字母表示细胞周期 扇形图 A→B→C→A为一个细胞周期 直线图 a+b或c+d为一个细胞周期 分裂间期???? ??? G 1期(DNA 合成前期)：合成 RNA 和有关蛋白质，为DNA 合成作准备S 期(DNA 合成期)：合成DNA G 2 期(DNA 合成后期)：合成 RNA 和蛋白质，为分裂期作 准备 3.分裂期 ( 以高等植物细胞为例) 三角形及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法． 2. 理解三角形内角和定理的证明方法； 3. 掌握并会把三角形按边和角分类 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系． 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面. 角（基础）知识讲解 【学习目标】 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：角 397364 角的概念】 要点一、角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O ，边是射线OA 、OB ． （2 ）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 图1 图2 要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 要点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得 ∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 3.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作： ∠1＝∠AOB-∠2． 二次根式（基础） 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0）， （a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值。 2).a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1（2015春?潍坊期中）下列各式中 ，一定是二次根式的有（ ）个． .3 C 【答案】 B 【解析】2231x +-，B ． 【总结升华】0． 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3 -；（6）1x -（1x >） A ．2 .3 C 【答案】B. 2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义 （1）1y x = -； （2）y=2+x －x 23-； 【答案与解析】 （1）1x -Q ≥0，所以x ≥1. （2）2x +Q ≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32 ； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零. 举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x 【答案】B. 类型二、二次根式的性质 3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42 ?原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式. 【总结升华】 二次根式性质的运用. 举一反三： 【变式】（1）2)2 52(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________. 【答案】(1) 10;(2) 0. 一、有丝分裂知识点归纳.1.有丝分裂各时期的特点： a．分裂间期：完成组成染色体的DNA分子的复制和有关蛋白质的合成。复制的结果，每个染色体都形成两个完全一样的姐妹染色单体。 b．前期：①出现染色体；②核膜解体，核仁消失；③细胞两极发生许多纺锤丝，进而形成纺锤体；④染色体着丝点散乱分布在纺锤体上。 C．中期：染色体的着丝点排列在赤道板上，染色体形态稳定，数目清晰。（计数好时机） d．后期：①每个着丝点分裂为二，每个染色体的两个姐妹染色单体分开，成为两个染色体；②纺锤丝收缩牵引染色体向两极移动，形成两套数目和形态完全相同的染色体 e．末期：①两组染色体分别到达两极后，又变成细长盘曲的染色质丝；②核膜、核仁重新出现； 2.有丝分裂过程染色体、染色单体、DNA分子的数目变化曲线： 3、简单归纳有丝分裂规律： 分裂间期：DNA复制和有关蛋白质合成 前期：染色体、纺锤体出现，核膜、核仁逐渐消失（二现二消）。 中期：染色体着丝点排列在赤道板上，是计数的最佳时期（一板易辩）。 后期：着丝点分裂，姐妹染色单体分开成染色体（姐妹分离）。 末期：染色体、纺锤体逐渐消失，核膜、核仁重新出现（二消二现）。 实质：将亲代细胞的染色体经复制后，平均地分配到两个子细胞中去。 意义：由于染色体上有遗传物质DNA，因而在细胞的亲代和子代之间保持了遗传性状的稳定性。 4、细胞分裂过程中相关细胞器的作用： （1）中心体：在动物细胞和低等植物细胞分裂过程中发出星射线，形成纺锤体 （2）高尔基体：在植物细胞分裂末期，合成纤维素果胶形成细胞板，再形成新细胞壁。 （3）核糖体：合成分裂过程中所需蛋白质 （4）线粒体：满足分裂过程中所需能量 5、动、植物细胞有丝分裂的比较 二、减数分裂中的知识点简单总结 一、同源染色体： 依据：同源染色体的定义，即： ①大小（长度）…………………………相同 ②形状（着丝点的位置）………………相同 二、减数分裂各期的染色体、DNA、同源染色体、四分体等数量计算 (1)染色体的数目＝着丝点的数目 (2)DNA数目的计算分两种情况： 与三角形有关的线段（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并会应用三角形三边间的关系； 3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用； 4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类】 2．三角形的分类 (1)按角分类： ? ? ? ? ? ? ? ? 直角三角形 三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 要点诠释： ①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的的差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 要点三、三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝2 1BC. 减数分裂 一、减数分裂的概念与理解 减数分裂是进行有性生殖的生物，在产生成熟的生殖细胞时，进行的染色体数目减半的细胞分裂。减数分裂是一种特殊方式的有丝分裂 从以下四个方面理解减数分裂 1、范围及场所：进行有性生殖的生物的睾丸内 2、时期：产生成熟的生殖细胞时 3、特点：染色体只复制一次，而细胞连续分裂两次。 4、结果：成熟的生殖细胞中染色体比原始生殖细胞减少一半 二、关键概念： 1、同源染色体： ①减数分裂中配对的两条染色体； ②一条来自父方，一条来自母方； ③形态和大小一般都相同。 （注：X、Y这对性染色体一般也认为是同源染色体，但大小不同。） 如何用图表示： 2、非同源染色体：形态和大小不相同，且减数分裂过程中不配对的两条染色体。 经典例题：1、下面关于同源染色体的叙述正确的是( ) A、是一条染色体复制形成的两个染色单体 B、是分别来自父方或母方的染色体 C 、是形状和大小相同的两条染色体 D、是在减数分裂过程中彼此联会的两条染色体 解析：同源染色体有三个基本特征：①减数分裂中配对的两条染色体；②一条来自父方，一条来自母方；③形态和大小一般都相同。这三条要联系起来全面考虑，若只是分别来自父方或母方的染色体，不一定是同源染色体，也可能是非同源染色体；若只考虑形状和大小相同，也有例外， X、Y这对性染色体也是同源染色体，但大小不同；但若在减数分裂过程中能彼此联会的两条染色体，只能是同源染色体，这是识别同源染色体的关键，所以答案选D；一条染色体复制形成的两个染色单体，是姐妹染色单体，不是同源染色体。 三、减数分裂过程： 减数分裂第一次： 1、间期： 在减数第Ⅰ次分裂前的间期完成了染色体的复制，这与有丝分裂是相同的。染色体复制的结果：DNA加倍，染色体数目不变。每条染色体上有二个染色单体。 2、前期： （1）、核膜及核仁消失。染色质缩短加粗成为染色体，出现纺锤丝组成纺锤体。 （2）、同源染色体联会，n对同源染色体形成n个四分体。（注意此时同一着丝点的二条染 高中生物---细胞的分裂知识点 一、减数分裂 1、.减数分裂过程中遇到的一些概念 （1）染色体和染色单体：细胞分裂间期，染色体经过复制成由一个着丝点连着的两条姐妹染色单体。所以此时染色体数目要根据着丝点判断。 （2）同源染色体和四分体：同源染色体指形态、大小一般相同，一条来自母方，一条来自父方，且能在减数第一次分裂过程中可以两两配对的一对染色体。四分体指减数第一次分裂同源染色体联会后每对同源染色体中含有四条姐妹染色单体。 （3）联会：同源染色体两两配对的现象。 （4）交叉互换：指四分体时期，非姐妹染色单体发生缠绕，并交换部分片段的现象。 （5）一对同源染色体= 一个四分体=2条染色体=4条染色单体=4个DNA分子。 （6）非同源染色体和染色体组：指形态、大小不相同的染色体，细胞中所有的非同源染色体构成1个染色体组 减数分裂是进行有性生殖的生物形成生殖细胞过程中所特有的细胞分裂方式。在减数分裂过程中，染色体只复制一次，而细胞连续分裂两次，新产生的生殖细胞中的染色体数目比体细胞减少一 半。 （注：体细胞主要通过有丝分裂产生，有丝分裂过程中，染色体复制一次，细胞分裂一次，新产生的细胞中的染色体数目与体细胞相同。） 2、减数分裂的过程：⑴、精子的形成过程：精巢（哺乳动物称睾丸） ⑵、卵细胞的形成过程：卵巢 ●减数第一次分裂 间期：染色体复制(包括DNA复制和蛋白质的合成)。 前期：同源染色体两两配对（称联会），形成四分体。四分体中的非姐妹染色单体之间常常交叉互换。中期：同源染色体成对排列在赤道板上（两侧）。 后期：同源染色体分离；非同源染色体自由组合。 末期：细胞质分裂，形成2个子细胞。 ●减数第二次分裂（无同源染色体 ．．．．．．） 前期：染色体排列散乱。 中期：每条染色体的着丝粒都排列在细胞中央的赤道板上。 后期：姐妹染色单体分开，成为两条子染色体。并分别移向细胞两极。 末期：细胞质分裂，每个细胞形成2个子细胞，最终共形成4个子细胞。 四、注意： （1）同源染色体：①形态、大小基本相同；②一条来自父方，一条来自母方。 （2）精原细胞和卵原细胞的染色体数目与体细胞相同。因此，它们属于体细胞，通过有丝分裂 的方式增殖，但它们又可以进行减数分裂形成生殖细胞。 （3）减数分裂过程中染色体数目减半发生在减数第一次分裂 ．．．．．．．，原因是同源染色体分离并进入不同的子细 ．．．．．．．．．．．．．．． 胞．。所以减数第二次分裂过程中无同源染色体 ．．．．．．。（4）减数分裂过程中染色体和DNA的变化规律 （5）减数分裂形成子细胞种类： 假设某生物的体细胞中含n对同源染色体，则： 它的精（卵）原细胞进行减数分裂可形成2n种精子（卵细胞）； 它的1个精原细胞进行减数分裂形成2种精子。它的1个卵原细胞进行减数分裂形成1种卵细胞。 二、减数分裂与有丝分裂图像辨析步骤： 1、细胞质是否均等分裂：不均等分裂——减数分裂中的卵细胞的形成 2 、细胞中染色体数目：若为奇数——减数第二次分裂（次级精母细胞、次级卵母细胞、 减数第二次分裂后期，看一极） 若为偶数——有丝分裂、减数第一次分裂、 3、细胞中染色体的行为：有同源染色体——有丝分裂、减数第一次分裂 联会、四分体现象、同源染色体的分离——减数第一次分裂 无同源染色体——减数第二次分裂 4、姐妹染色单体的分离一极无同源染色体——减数第二次分裂后期 一极有同源染色体——有丝分裂后期 注意：若细胞质为不均等分裂，则为卵原细胞的减Ⅰ或减Ⅱ的后期。 5.减数分裂和有丝分裂主要异同点（要求掌握） 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 2、21 x x --有意义，则 ；3、若x x x x --=--32 32成立，则x 满足_____________。 练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、 x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3） . （5）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （6）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a --=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 三角函数基础知识点 1、两角和公式 sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(?±=±μ cos(A ±B) = cosAcosB μsinAsinB 2、二倍角公式（含万能公式） tan2A = A tan 12tanA 2- sin2A=2sinA ?cosA=A tan 12tanA 2 + cos2A = cos 2 A-sin 2 A=2cos 2 A-1=1-2sin 2 A=A tan 1A tan -12 2+ 22cos 1tan 1tan sin 222 A A A A -=+= 2 2cos 1cos 2 A A += 3、特殊角的三角函数值 4、诱导公式 公式一： απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）． 公式二： ααπ-sin sin(=+）；ααπ-cos cos(=+）；ααπtan tan(=+）． 公式三： sin()-sin αα-=；cos()cos αα-= ；tan()tan αα-=-． 公式四： ααπsin sin(=-）；ααπ-cos cos(=-）；ααπtan tan(-=-） 公式五： sin(2sin παα-=-）；cos(2cos παα-=）；tan(2tan παα-=-） 公式六： sin(2π-α) = cos α； cos(2π -α) = sin α． 公式七： sin(2π+α) = cos α；cos(2π +α) =- sin α． 公式八： sin(32π-α)=- cos α； cos(32π -α) = -sin α． 公式九： sin(32π+α) = -cos α；cos(32 π +α) = sin α． 以上九组公式可以推广归结为：要求角2 k π α?±的三角函数值， 只需要直接求角α的三角函数值的问题．这个转化的过程及结果就是十字口诀“奇变偶不变，符号看象限”。即诱导公式的左边为k ·900＋α（k ∈Z ）的正弦（切）或余弦（切）函数，当k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角（可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角），然后分析k ·900＋α（k ∈Z ）为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号。 角(提高) 【学习目标】 1掌握角的概念及角的几种表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 4. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算; 5?了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题. 【要点梳理】 【要点梳理】 【高清课堂：角397364角的概念：】 知识点一、角的概念 1 ?角的定义： (1 )定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角 形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部. 如图2所示，射线OA绕它的端点0旋转到0B的位置时，形成的图形叫做角, 起始位置0A 是角的始边，终止位置0B是角的终边. 要点诠释： (1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关. (2)平角与周角：如图1所示射线0A绕点0旋转，当终止位置0B和起始位置0A成一条直线时, 所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，0B和0A重合时，所形成的角叫做周角. 2. 角的表示法：角的几何符号用"/”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母. 3. 角的画法 (1)用三角板可以画出30°、45 °、60°、90°等特殊角； (2)用量角器可以画出任意给定度数的角； (3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角. 知识点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 1 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1 60 1 分，记作“ 1'”，1 '的丄为1秒，记作“ 1 〃”.这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度 60 制. 1 周角=360 °, 1 平角=180 ° , 1°= 60', 1 '= 60 〃. 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位， 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； 2．二次根式的加减运算先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 3．当x ____________时，二次根式32-x 有意义． 4.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x （4）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （5）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 6.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 7.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 8. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 9．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 10. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<减数分裂知识点归纳
初中数学知识点精讲精析 二次根式知识讲解
高中生物 有丝分裂与减数分裂知识点
三角形及其性质(基础)知识讲解
二次根式的运算知识讲解
「精品」初中人教版七年级数学角(基础)知识讲解
二次根式知识讲解
有丝分裂和减数分裂知识点及图形及曲线绘制归纳
初二数学经典讲义 与三角形有关的线段(基础)知识讲解
减数分裂知识点
有丝分裂与减数分裂过程图及知识点归纳
二次根式知识点归纳及题型知识讲解
三角函数基础知识点(整理)
角提高知识讲解
二次根式知识点归纳及题型总结-精华版