数列解答题专练(含答案版)

数列高考真题汇编

1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4

成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n -1

4n

a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n .

解析 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×1

2

×2＝2a 1＋2，

S 4＝4a 1＋

4×3

2

×2＝4a 1＋12，(3分) 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(5分) (2)b n ＝(－1)

n －1

4n

a n a n ＋1

＝(－1)

n －1

4n 2n －1

2n ＋1

＝(－1)

n －1

? ??

??12n －1＋12n ＋1.(6分) 当n 为偶数时，

T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…＋?

????12n －3＋12n －1－? ??

??

12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n

2n ＋1

. 当n 为奇数时，

T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…－?

????12n －3＋12n －1＋? ??

??

12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋2

2n ＋1

.(10分)

2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n

2

，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝

n 2＋n

2

－

n －1

2

＋n －1

2

＝n .

故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .

(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则

T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．

记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝

21－22n 1－2

＝22n ＋1－2，

B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .

故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.

3．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.

(1)证明：数列????

??

a n n 是等差数列；

(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明：由已知可得

a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n

n

＝1.(4分) 所以数列????

??a n n 是以a 1

1＝1为首项，1为公差的等差数列．(5分)

(2)解：由(1)得a n

n

＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.

从而b n ＝n ·3n .(7分)

S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①

3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.② ①—②，得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝

3·

1－3n 1－3

－

n ·3n ＋1＝

1－2n

·3n ＋1－3

2

.(10分)

所以S n ＝

2n －1

·3n ＋1＋3

4

.(12分)

4．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2(n ∈N *)，设b n ＝a n ＋n .

(1)证明：数列{b n }是等比数列；

(2)若c n ＝n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n <4

5

.

解析 (1)证明：因为a 1＝2，S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2， 所以当n ＝1时，a 1＋a 2＝3a 1＋12＋2，解得a 2＝7.(2分)

由S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2及S n ＝3S n －1＋(n －1)2＋2(n ≥2)，两式相减，得

a n ＋1＝3a n ＋2n －1.故a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n )．

即b n ＋1＝3b n (n ≥2)．(4分)

又b 1＝3，b 2＝9，所以当n ＝1时上式也成立．

故数列{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列．(5分)

(2)由(1)知b n＝3n，所以c n＝n 3n .

所以T n＝1

3

＋

2

32

＋

3

33

＋…＋

n－1

3n－1

＋

n

3n

，①

3T n＝1＋2

3

＋

3

32

＋…＋

n－1

3n－2

＋

n

3n－1

. ②(7分)

②－①，得2T n＝1＋1

3

＋

1

32

＋…＋

1

3n－1

－

n

3n

＝

3

2

－

3＋2n

2·3n

.

所以T n＝3

4

－

3＋2n

4·3n

.(10分)

因为n∈N*，显然有3＋2n 4·3n

>0.

又3

4

<

4

5

，所以T n<

4

5

.(12分)

5．已知首项为1

2

的等比数列{a n}是递减数列，其前n项和为S n，

且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列．

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若b n＝a n·log2a n，数列{b n}的前n项和为T n.

解析(1)设等比数列{a n}的公比为q，由题知a1＝1

2，

又∵S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列，

∴2(S2＋a2)＝S1＋a1＋S3＋a3.

∴S2－S1＋2a2＝a1＋S3－S2＋a3，即3a2＝a1＋2a3.