3.3.1两条直线的交点坐标教案
张喜林制
3.3.1 两条直线的交点坐标
【教学目标】
1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，
2.当两条直线相交时，会求交点坐标.
3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.
【重点难点】
教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.
【教学过程】
导入新课
问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.
课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.
问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.
新知探究 提出问题 ①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：
(ⅰ)???=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)?????+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)??
??
?+==-2131,062x y y x . 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？ ④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.
关系.
设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,
如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要
看这两条直线方程所组成的方程组?????=++=++0
,
0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.
(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;
(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行; (ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即
直线l 1、l 2联立得方程组?????????
??.
,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解
转化、l l 、l l 、l l
(代数问题) (几何问题)
③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：
(ⅰ)
23≠1
4
;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠2
11.
一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有
方程组????
?
???
?
?
??≠=??==??≠??????=++=++.,,002121212121212121212
1
21222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C
B B A A l l
C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.
(b )如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.
④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.
(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.
(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合. 应用示例
例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.
解:解方程组?
??=++=-+,022,
023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2).
变式训练
求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.
解:解方程组x-2y+2=0,
2x-y-2=0, 得x=2,
y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).
设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.
点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0. (2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0. (3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0. 活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.
解:(1)解方程组???=-+=-,01033,0y x y x 得???
????==.
35,3
5y x
所以l 1与l 2相交,交点是(
35,3
5
). (2)解方程组??
?=--=+-)
2(,
0126)1(,
043y x y x ①×2-②得9=0,矛盾,
方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2. (3)解方程组??
?=-+=-+)
2(,
01086)1(,
0543y x y x ①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.
变式训练
判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.
(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.
(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.
(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.
答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).
例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.
解：(方法一)由方程组???=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得???
????-=-=.
57,
5
3y x
∵直线l 和直线3x+y-1=0平行，
∴直线l 的斜率k=-3. ∴根据点斜式有y-(5
7-
)=-3［x-(53-)］，
即所求直线方程为15x+5y+16=0.
(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点， ∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0， 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴
1321
3
3
2
--≠
-=
+λλλ.解得λ=2
11
. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0.
点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。 变式训练
求经过两条直线l 1:x+y-4=0和l 2:x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程
例4 求证：不论m 取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.
思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m ，给m 任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m 为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m 的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点.
另一个思路是：由于方程对任意的m 都成立，那么就以m 为未知数，整理为关于m 的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.
解：解法一：对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解方程组?
?
?=++=0,104y x 0,
11-3y -x 得两条直线的交点为(2，-3).将点(2，-3)代入已知直
线方程左边，
得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.
这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点(2，-3).
解法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0. 由于m 的取值的任意性，有??
?=++=+0.113y x -0,1-y 2x 解得?
??==-3.y 2,
x
所以所给直线不论m 取什么实数，均经过定点(2，-3)
点评 含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点
变式训练 当a 为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0经过的定点是（ ） A.(2,3) B.(-2,3) C.(1,2
1
-
) D.(-2,0)
解析：直线方程可化为a(x+2)-x-y+1=0,由?
?
?=-=???=+--=+.3,
201,02y x y x x 得定点（-2，3）. 答案：B
课堂小结
本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比
的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.
当堂检测 导学案课内探究部分
【板书设计】
一、两条直线的交点坐标 二、例题 例1 变式1 例2 变式2
【作业布置】
课本习题3.3 A 组1、2、3,选做4题.及导学案课后练习与提高
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2
课前预习学案
一、预习目标
根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点 二、 预习内容
1、阅读课本102-104，找出疑惑之处。同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，
请填在下面的表格中
2、知识概览
①两直线相交,则交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是两直线方程的解,若两直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则以这个解为坐标的点必是两直线的交点.
②两直线A 1x+B 1y+C 1=0与A 2x+B 2y+C 2=0的交点情况,取决于方程组
??
?=++=++0
,
0222111C y B x A C y B x A 的解的情况. 若方程组??
?=++=++0
,
0222111C y B x A C y B x A 有唯一解,则两直线相交.
若方程组??
?=++=++0
,
0222111C y B x A C y B x A 无解,则两直线平行.
若方程组???=++=++0
,
0222111C y B x A C y B x A 有无数个解,则两直线重合.
3、思考 当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？ 三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
课内探究学案
一、学习目标
1. 掌握判断两条直线相交的方法，会通过解方程组求两条直线的交点坐标；
2. 了解过两条直线交点的直线系方程的问题.
教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.
二、学习过程 自主学习 【知识点一】、两条直线的交点
如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即（
); 把两条直线的方程组成方程组，若方程组有( )解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组( )，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有( )，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合. .
【知识点二】、直线系方程
具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.方程的特点是除含坐标变量x 、y 以外，还含有待定系数(也称参变量).
(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0，其中λ是待定系数.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x+B 2y+C 2=0，因此它不能表示直线l 2.
(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是( )，λ是参变量. (3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是( ) (4)特殊平行线与过定点(x 0，y 0)的直线系：当斜率k 一定而m 变动时，( )表示斜率为k 的平行线系，( )表示过定点(x 0，y 0)的直线系(不含直线x=x 0).
问题 设两条直线的方程为l 1:A 1x+B 1y+C 1=0和l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，如果这两条直线相交，你能分析它们的系数满足什么关系吗？
探究:我们可以先解由两直线方程联立的方程组???=++=++).
2( 0C y B x A ),
1( 0C y B x A 222111
①×B 2-②×B 1,得(A 1B 2-A 2B 1)x+B 2C 1-B 1C 2=0. 当A 1B 2-A 2B 1≠0时，得x=
1
2211
121B A B A B C C B --；再由①×A 2-②×A 1，当A 1B 2-A 2B 1≠0时，可
得y=
1
2212
112B A B A C A C A --.因此，当A 1B 2-A 2B 1≠0时，方程组有唯一一组解x 、y.
这时两条直线相交，交点的坐标就是(x ，y).因此这两条直线相交时，系数满足的关系为A 1B 2-A 2B 1≠0.
精讲点拨
例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.
变式训练
求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.
(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.
(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.
(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.
.变式训练
判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.
(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.
(2)l1:(3-2)x+y=7,l2:x+(3+2)y-6=0.
(3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.
问题当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？
例3求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
变式训练
求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程.
例4 求证：不论m取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标
.
变式训练 当a 为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0经过的定点是（ ） A.(2,3) B.(-2,3) C.(1,2
1
-) D.(-2,0)
反思总结 1. 两条直线的交点。直线相交的问题转化为求方程组的解的问题,且解的个数决定两条直线的位置关系.两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.
2. 直线系方程。如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.
当堂检测
1.两条直线l 1:2x+3y-m=0与l 2:x-my+12=0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A.-24 B.6 C.±6 D.以上答案均不对
2.无论k 为何值，直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点，则定点坐标为( ) A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1)
3.求经过两条直线l 1:x+y-4=0和l 2:x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0 平行直线方程.
参考答案
1.解析:l 1:2x+3y-m=0在y 轴上的截距为3m ，l 2:x-my+12=0在y 轴上的截距为m
12
，根据两直线的交点在y 轴上得
?=3
12m
m m=±6. 答案：C
2.思路解析:直线方程展开按是否含参数k 合并同类项,得(2x+y-5)+k(x-y-4)=0，由直线系
方程,知此直线过两直线的交点，即为???=+=0.5-y 2x 0,4-y -x 解得?
??==-1.y 3,x
交点为(3,-1).
3.解析:由??
?==??
?=+-=-+.
3,1,02,04y x y x y x 得 ∴l 1与l 2的交点为（1，3）.
(1)解法一：设与直线2x-y-1=0平行的直线为2x-y+c=0，则2-3+c=0，∴c=1. ∴所求直线方程为2x-y+1=0. 解法二：∵所求直线的斜率k=2，且经过点（1，3），∴所求直线方程为y-3=2(x-1)， 即2x-y+1=0.
课后巩固练习与提高
知能训练
课本本节练习1、2. 拓展提升
1.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为(1,p)，则m-n+p 为（ ） A.24 B.20 C.0 D.-4
2.已知点P(-1,0),Q(1,0)，直线y=-2x+b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是（ ） A.［-2,2］ B.［-1,1］ C.［-
21,2
1
］ D.［0,2］ 3.三条直线x+y=2、x-y=0、x+ay=3构成三角形，求a 的取值范围.
4. 已知两直线l 1:x+my+6=0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m=0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：①相交；②平行；③重合；④垂直.
5.三条直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+ay+1=0,l 3:x+y+a=0构成三角形的条件是什么？
(2)由?
?
?==+0,y -x 2,
y x 可得直线x+y=2和直线x-y=0的交点坐标为(1，1).若三线共点，则点(1，
1)在直线x+ay=3上， 所以有1+a=3.解得a=2.
综上,可知a 满足的条件为a ?{-1,1,2}.
4.解:联立方程组??
?=++-=++.
023)2(,
06m y x m my x
(1)当m=0时，则l 1：x ＋6=0，l 2：－2x ＋3y=0,∴l 1、l 2相交. 当m=2时，则l 1：x ＋2y ＋6=0，l 2：3y ＋4=0,∴l 1、l 2相交. (2)当m≠0且m≠2时,
21A A 21-=m ,2
1B B 3m =,21C C m m 3
26==
. 若
21A A =21B B ?m=-1或m=3;若21A A =2
1C C
?m=3. ∴当m≠-1且m≠3时(
21A A ≠2
1
B B ),方程组有唯一解,l 1、l 2相交. 当m=-1时(
21A A =21B B ≠2
1
C C ),方程组无解,l 1与l 2平行. 当m=3时(
21A A =21B B =2
1
C C ),方程组有无数解,l 1与l 2重合. (3)当m-3+3m=0即m=
4
3
时,l 1与l 2垂直(∵l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0). 点评：要注意培养学生分类讨论的思想.
5.解析：三直线构成三角形，则需任意两条直线都相交，且不能相交于一点.注意不要忽略三线交于同一点的情况.所以可以从正反两个方向来思考. 解法一:任两条直线都相交，则
a a 11≠,1
1
1≠a ,故a≠±1.又有三条直线不交于同一点， 故其中两条直线??
?=++=++0
a y x 0,
1ay x 的交点(-1-a,1)不在直线ax+y+1=0上，即
a(-1-a )+1+1≠0,a 2+a-2≠0，(a+2)(a-1)≠0,∴a≠-2,a≠1.
综合上述结果，三条直线构成三角形的条件是a≠±1,a≠-2.
解法二:因为三条直线能构成三角形,所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形的情况排除掉. 若三条直线交于同一点，则其中两条直线???=++=++0
a y x 0,
1ay x 的交点(-1-a,1)在直线
ax+y+1=0上，∴a(-a-1)+1+1=0,∴a=1或a=-2. 若l 1∥l 2，则有11-=-
a ,a=1；若l 1∥l 3，则有11
-=-a
,a=1；若l 2∥l 3，则有a a
-=-
1
,a=±1. 所以若三条直线构成三角形，则需a ≠±1,a ≠-2.
《两条直线的交点》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《两条直线的交点》教学设计 教材分析: 当两直线相交时，我们主要研究的是两直线的交点问题，这一内容相对来说较简单，理解起来也比较容易. 教学目标： 【知识与能力目标】 掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标，理解通过解方程组求交点的意义. 【过程与方法】 通过探究两直线交点的解法，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力． 【情感态度与价值观】 通过对两直线交点的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣． 教学重难点： 【教学重点】 两条直线交点的求法，要求学生能熟练掌握，并灵活运用． 【教学难点】 启发学生, 把研究两直线交点的解法. 课前准备： 课件、学案 教学过程： 一、课题引入： 问题1：两直线相交时，你觉得有哪些需要研究的问题？ 问题2：那从几何特点上交点有什么样的特征？那相关的代数解法应该是什么呢？ 二、新课探究： 1. 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的 交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组111222 00A x B y C A x B y C ++=??++=?的解即可. 注：⑴ 若有111222 A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合，为同一方程；
⑵ 若有111222 A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行； ⑶ 若有 1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点坐标. 三、知识应用： 题型一 求两直线方程 例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标： （1）5420220x y x y +-=??++=?；（2）26301132x y y x -+=???=+??；（3）2601132x y y x -=???=+?? ． 【答案】（1）1014,33??- ??? ；（2）重合；（3）平行． 解：（1）解方程组5420220x y x y +-=??++=?得该方程组有唯一解103143x y ?=-????=?? ，所以两直线相交，且交点坐标为1014,33??- ?? ?． （2）解方程组2630 11 32x y y x -+=???=+?? ①② ②×6得2x －6y+3=0， 因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合． （3）解方程组260 11 32x y y x -=???=+?? ①② ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行． 【设计意图】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 教学反思： 直线交点问题容易理解，孩子自己思考一会儿就可以得到结论，主要在于解决计算问题.
《直线的交点坐标与距离公式》一课一练
3.3 直线的交点坐标与距离公式 一、选择题 1、点(a , b )到直线0x y b a +=的距离是 （A （B （C ）22a b + （D 2、已知M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，若M , N 到l 的距离分别为m , n ，则 （A ）m ≥n （B ）m ≤n （C ）m ≠n （D ）以上都不对 3、已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直线x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为 （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不能确定 4、过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有 （A ）0条 （B ）1条 （C ）2条 （D ）3条 5、与直线2x +3y –6=0关于点(1, –1)对称的直线是 （A ）3x –2y +2=0 （B ）2x +3y +7=0 （C ）3x –2y –12=0 （D ）2x +3y +8=0 6、若直线y =ax +2与直线y =3x –b 关于直线y =x 对称，则 （A ）a =31, b =6 （B ）a =3 1, b =–2 （C ）a =3, b =–2 （D ）a =3, b =6 7、不论m 取何值，直线(2m –1)x –(m +3)y –(m –11)=0恒过的定点的坐标是 （A ）(3, 2) （B ）(2, –3) （C ）(2, 3) （D ）(–2, 3) 8、已知函数f (x )=x +1，则与曲线y =f (x +1)关于直线l : x +1=0成轴对称图形的曲线方程是 （A ）y =–x （B ）y =–x –4 （C ）y =–x +2 （D ）y =x 9、方程2x 2+9xy +10y 2–7x –15y +k =0表示两条直线，则过这两直线的交点且与x –y +2=0垂直的直线方程是 （A ）x +y –1=0 （B ）x +y –2=0 （C ）x +y +1=0 （D ）x +y +2=0 二、填空题 10、若点P 在直线x +3y =0上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，则点P 的坐标是 . 11、若两平行直线3x –2y –1=0和6x +ay +c =0之间的距离是 13，则2c a +的值为 . 12、直线y =2x +1关于直线y +2=0对称的直线方程是 . 13、直线l 过点A (0, 1)，且点B (2, –1)到l 的距离是点C (1, 2)到l 的距离的2倍，则直线l 的方程是 . 14、11．给出下列五个命题：① 过点(–1, 2)的直线方程一定可以表示为y –2=k (x +1)；②
知识讲解_直线的交点坐标与距离公式_基础
直线的交点坐标与距离公式 【学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】 【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一：直线的交点 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两 直线方程联立所得方程组11122200 A x B y C A x B y C ++=??++=?的解即可.若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解， 此时两直线重合；若有 111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122 A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ． 要点三：两点间的距离公式 两点11 1222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为 12PP = 要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点四：点到直线的距离公式 点00()P x y ，到直线0Ax By C ++= 的距离为d =要点诠释： （1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.
3.3.1两条直线的交点坐标教案
张喜林制 3.3.1 两条直线的交点坐标 【教学目标】 1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况， 2.当两条直线相交时，会求交点坐标. 3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力. 【重点难点】 教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. 【教学过程】 导入新课 问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法. 问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. 新知探究 提出问题 ①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)： (ⅰ)???=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)?????+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)?? ?? ?+==-2131,062x y y x . 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？ ④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.
两条直线的交点坐标 优秀教案
两条直线的交点坐标教学设计 一、内容分析 1．知识简介 本节内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第三章直线与方程（直线的交点坐标与距离公式的第一课时）．通过方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，对直线进行定量研究，强调解决在同一平面内两条直线位置关系（三类情况相交、平行、重合）代数方法．本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性. 2．通过对同一平面内两条直线有三种位置关系的学习，在能力上对学生明确要求如下： ⑴牢固地掌握在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合． ⑵以两条直线有三种位置关系为工具，会解决平面上的数学问题，为解决空间问题奠定必要的基础． ⑶能够用相应的直线方程组成的二元一次方程组解的情况解决数学形上的基本问题．让学生做到把数的问题转化成形的问题，研究数学形与数之间的联系．3．关键、难点、重点的确定及依据 根据这一节课内容的特点以及学生的实际情况，为此，在教学过程中紧扣两直线相交是否有交点，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解这一核心，利用图形形象直观地表示两直线相交的交．让学生自己去感受：两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．为此：关键：是在平面直角坐标系中直线与二元一次方程组的关系． 难点：是根据二元一次方程组的系数判定直线的位置关系． 重点：是判断两直线的相交及两直线交点的求解． 4．本节教材的地位与作用 求交点问题（直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线）是数学的重要概念之一，是解决数学问题的重要基础，在解析几何里表现得尤为突出．解析的思想在空间的应用更为广泛，是进一步学习高中数学、大学数学的基础．因此从高中数学的整体知识来看，本节课的内容很重要，它起到了承上启下的作用． 二、教学方法 5．学生现状的分析及对策． 学情分析：就本节知识内容而言比较简单，学生不太重视，学生的基础又参差不齐．为此，在教学中要全面考虑、认真讲解、耐心辅导． 教学对策：为了更好地完成教学任务，让学生尽快掌握知识，形成一定的能力．针对学生的认知规律，通过图形（平面直角坐标系）表示，增强学生的直观感受，在此基础上激发学生不断地探索知识，形成正确的知识，进而高效率地学习数学知识． 6．教学目标的确定及依据
高一数学教案：两条直线的交点教案
（1）知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相对应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解． （2）当两条直线相交时，会求交点坐标． （3）学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化水平． 教学重点 根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线相交求交点． 教学难点 对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解． 教学过程 一、引入新课 问题：任意一条直线都能够用一个二元一次方程来表示，那么两条直线是否有交点与它们的方程所组成的方程组是否有解有何联系？ 二、建构数学： 研究两条直线的位置关系（相交、重合、平行）能够转化为两条直线方程所得的方程组的解的个数问题． 三、数学使用 1．例题： 例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： 解：（1）因为方程组的解为 所以直线，交点坐标为． （2）方程组有无数组解，这表明直线重合． （3）方程组无解，这表明直线没有公共点，故∥． 例2．直线经过原点，且经过另外两条直线，的交点，求直线的方程．
分析：法一、由两直线方程组成方程组，求出交点，再过原点，由两点求直线方程．法二、设经过两条直线，交点的直线方程为，又过原点，由代入可求的值． 结论：已知直线：，：相交，那么过两直线的交点的直线方程可设为 例3．某商品的市场需求（万件）、市场供求量（万件）、市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：．当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求市场平衡价格和平衡需求量； （2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？ 分析：市场平衡价格和平衡需求量实际上就是两直线交点的横坐标和纵坐标，即方程组的解．解（1）解方程组得， 故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40元/件． （2）设政府给予元/件补贴，此时的市场平衡价格（即消费者支付价格）元/件，则供货者实际每件得到元．依题意得方程组，解得．所以，政府对每件商品应给予6元补贴． 练习： 1．已知直线求分别满足下列条件的的值： （1）使这三条直线交于一点； （2）使这三条直线不能构成三角形． 2．求证：无论为何实数，：恒过一定点，求出此定点坐标． 四、回顾小结： 通过对两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程组的解的个数与直线位置关系的联系．培养同学们的数形结合、分类讨论和转化的数学思想方法． 五、课外作业： 课本第87页练习3，习题2.1(2) 第4、7、8题． 补充：求经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程．
第二节直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式 【考纲下载】 1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的交点
|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12 1．两条直线位置关系与其对应方程组的解之间有何关系？ 提示：两条直线相交?方程组有唯一解；两条直线平行?方程组无解；两条直线重合?方程组有无穷多解． 2．使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式；使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．
1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 2．两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为( ) A.? ????25，95 B.? ?? ??－25，95 C.? ????25，－95 D.? ????－2 5 ，－95 3．(2014·烟台模拟)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( ) A.85 B.3 2 C ．4 D ．8 4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为____________． 5．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________.
[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是____________． (2)(2014·锦州模拟)当0 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两条直线的交点坐标 教材分析 本节内容是数学必修2第三章直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式的第一课时．本节课是在学习了二元一次方程组的解、直线的位置关系和直线的方程后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是后继学习距离公式、圆锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础．本节课通过利用代数的方法来解决两条直线相交的交点坐标问题，渗透数形结合、坐标法的思想，通过探究过定点的直线系的方程问题进一步培养学生转化化归的思想． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解两条直线的位置关系、两条相交直线的交点坐标以及二元一次方程组的解与两条直线位置的对应关系． 教学目标 重点:能判断两条直线的位置关系，会求两直线的交点坐标． 难点：二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程． 知识点：两条直线的交点的求法，二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程． 能力点：通过学习两条直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法，培养学生的数形结合能力，通过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系，进一步渗透坐标法及转化化归的思想． 教育点：通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系，认识事物之间的内在联系，能用辩证的观点看问题；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神， 自主探究点：二元一次方程组的解与两条直线的位置对应关系的探究与发现，过两条直线的交点的直线系方程问题． 考试点：求两直线的交点坐标，判断两条直线的位置关系，． 易错易混点：利用直线系方程求解直线方程、求未知参． 拓展点：探究直线恒过定点问题，探究对称与最值问题． 教具准备课件、几何画板、三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 §3.3 直线的交点坐标与距离公式 §3.3.1 两条直线的交点坐标 一、教材分析 本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）直线和直线的交点. （2）二元一次方程组的解. 2．过程和方法 （1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法. （2）掌握数形结合的学习法. （3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程. 3．情态和价值 （1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系. （2）能够用辩证的观点看问题. 三、教学重点与难点 教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. 四、课时安排 1课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法. 思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)： (ⅰ)???=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)?????+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)?? ???+==-2131,062x y y x . 第二节直线的交点坐标与距离公式 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能用解方程组的方法求两 条相交直线的交点坐标． 2.掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式、会求两 条平行直线间的距离. 1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出 现在相关的位置关系中． 2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的 距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与 圆或圆锥曲线的问题中来考查. [归纳·知识整合] 1．两条直线的交点 设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组 ?? ? ??A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？ 提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个 交点时，两条直线重合． 2．距离 点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距 离 d ＝ |Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离 d ＝ |C 1－C 2| A 2＋ B 2 [探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析：选D d ＝ |－5|12＋22 ＝ 5. 2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8 D ．6 解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－0 2＋ 0－82＝36＋64＝10. 3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－1 2 直线的交点坐标与距离公式 习题（含答案） 、单选题 过定点（ ） 3．数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这 条直线称为欧拉线已知 的顶点 ，若其欧拉线的方程为 则顶点 的坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 4． 若点 （2， k ）到直 线 5x-12y+6=0 的距离是 4，则 k 的值是 （ ） A ． 1 B ． -3 C ． 1 或 D ． -3 或 5． 已知直线 和 互相平行， 则实数 m 的取值为 （ ） A ． —1或 3 B ． — 1 C ． —3 D ． 1 或—3 6 ． 在空间直角坐标系 中 ， 若点 ， ，点 是点 关于 平面 的对称点，则 A ． B ． C ． D ． 7． 已知直线 与直线 互相平行，则 （） A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9 8 ． 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，以线段 1． 已知 满 足 时 , 的最大值为 , 则直线 A ． B ． C ． D ． 2．椭圆 上的点到直线 A ． B ． C ． 的最大距离为 （ ） D ． 直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 满足 离心率 满足（ ） A ． B ． C ． ，则 的 D ． 9．已知点 在直线 上运动，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5 、填空题 10 ．已知直线 的倾斜角为 ，直线 ： ，若 ，则实数 的值为 _______________________________ 11．经过点 M 2,1 且与直线 3x y 8 0 垂直的直线方程为 ________________________ ． 12 ．设 是函数 图象上的动点，当点 到直线 的距离最小时， 与圆的另一个交点分别为 1)若 点坐标为 ，求直线 的方程； 2)求证：直线 过定点 . 点， 、 为其上下顶点，若 (1) 求椭圆 的方程； 13． 与直线 平行，并且距离等于 14 ． 已知直线 和直线 为 _ __________ ； 15 ． 直线 与直线 16． 已知直线 ，直线 当 _________ 时， 与 平行． 17 ．已知实数 满足 3 的直线方程是 ____________ ． 互相垂直，则实数 的值 的距离是 _________ ． ，则 过定点 _______________ ，则 18 ．点 关于直线 的对称点是 ________ 三、解答题 19 ．如图：已知 是圆 与 轴的交点， 为直线 上的动点， 20．已知椭圆 是其左右焦点， 为其左右顶 的最大值为 3.3.1 两条直线的交点坐标教学设计 教材分析： 普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社A版教学2（必修）第三章第三节第一课时：两条直线的交点坐标。 本节课是在“直线的方程、直线的位置关系”等内容的基础上，进一步研究“两条直线的交点”的，它是前面所学内容的巩固和深化，也是后继学习曲线关系的基础，本节课的教学任务就是通过几何直观，理解直线交点与方程组的解之间的关系，掌握用解方程组的方法求交点坐标。 学情分析： 1、两条直线交点坐标实际上就是对应二元一次方程组的解，所以，求交点坐标的关键就是求对应二元一次方程的解。因此对学生以往解方程组的方法要再次复习提高。 2.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。 3.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。 教学目标： 1、理解求两条直线交点的思想方法，即解方程组的转化思想，能正确地通过解方程确定坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系。 2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点的个数（位置关系）情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。 3、通过探究过定点直线系的方程，培养运动转化思想。 教学重点：对转化思想的理解，求两条直线交点即解方程组确定交点坐标。 教学难点：过定点直线系的定点求法，对含参数解讨论。 教学方法：启发引导式 教学设计思路： 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：如何用代数方法求方程组的解? 2. 讨论：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？ 二、讲授新课： 1. 教学直线上的点与直线方程的解的关系： （1）讨论：直线上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系？ 上述情况表明：两直线的交点（即公共点）坐标满足由两条直线方程所组成的方程组。那么，如果两条直线相交，怎样求交点坐标？ 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是 ( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.? ????43，13 D.? ?? ??13，43 答案 C 解析 由方程组?? ? x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0， 得????? x ＝43，y ＝1 3. 即直线x ＋2y －2＝0与直线 2x ＋y －3＝0的交点坐标是? ???? 43，13. 2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于 ( ) A ．5 B.37 C.13 D ．4 答案 A 解析 |MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5. 3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是 ( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0 答案 A 解析 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________． 答案 a ≠2 解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠3 6，∴a ≠2. 5．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________． 答案 2 5 解析 设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y 2＝－1， ∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)， ∴|AB |＝42＋22＝2 5. 1．方程组??? A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝0 A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直 线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝ 0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)． 2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法． 3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想. 《两条直线的交点》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件． (二)能力训练点 通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力． (三)学科渗透点 通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想． 二、教材分析 1．重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论． 3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明． 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程 (一)两直线交点与方程组解的关系 设两直线的方程是 l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0． 如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解 为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组 是否有唯一解． (二)对方程组的解的讨论 若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系． 下面设A1、A2、B1、B2全不为零． 解这个方程组： (1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0， (3) (2)×B1得 A2B1x+B1B2y+B1C2=0． (4) (3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0． 下面分两种情况讨论： 将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得 上面得到y可把方程组写成 即将x用y换，A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组．综上所述，方程组有唯一解： 2.1 两条直线的位置关系 教学分析 教学目标： 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。 3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。 教学重难点 重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 教学准备实物图片、ppt课件。 我的思考 本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。 本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大. 教学设计 教学过程 一、创设情境，引入新课 教师活动： 向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。 【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】 二、建立模型，探索新知 互动探究一、平行线、相交线的概念： 师生活动： 1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 2、凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？（板书：去掉③重合，并总结出同一平面内的两条直线的位置关系） 两条直线的位置关系 教学目标： 1．知识与技能：进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想．会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线．通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用．初步尝试进行简单的推理． 2．过程与方法：在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念．探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质．经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力．善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识． 3．情感与态度：体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益．激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性． 教学重难点 重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用．理解垂直、垂足、垂线段等定义． 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角、垂线段的性质，并能用规范的语言描述性质． 教学准备 实物图片、ppt课件． 教学过程 一、创设情境，引入新课 教师活动： 向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系． 【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础．】 二、建立模型，探索新知 互动探究一、平行线、相交线的概念： 师生活动： 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 教材分析 本节内容是数学必修2 第三章直线与方程直线的交点坐标与距离公式的第一课时．本节课是在学习了二元一次方程组的解、直线的位置关系和直线的方程后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是后继学习距离公式、圆锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础．本节课通过利用代数的方法来解决两条直 线相交的交点坐标问题，渗透数形结合、坐标法的思想，通过探究过定点的直线系的方程问题进一步培养学生转化化归的思想． 课时分配 本节内容用1 课时的时间完成，主要讲解两条直线的位置关系、两条相交直线的交点坐标以及二元一次方程组的解与两条直线位置的对应关系． 教学目标 重点: 能判断两条直线的位置关系，会求两直线的交点坐标． 难点：二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程．知识点：两条直线的交点的求法，二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程． 能力点：通过学习两条直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法，培养学生的数形结合能力，通过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系，进一步渗透坐标法及转化化归的思想． 教育点：通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系，认识事物之间的内在联系，能用辩证的观点看问题；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神， 自主探究点：二元一次方程组的解与两条直线的位置对应关系的探究与发现，过两条直线的交点的直线系方程问题． 考试点：求两直线的交点坐标，判断两条直线的位置关系，．易错易混点：利用直线系方程求解直线方程、求未知参．拓展点：探究直线恒过定点问题，探究对称与最值问题． 教具准备课件、几何画板、三角板 课堂模式学案导学 、引入新课 两条直线的交点教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 两条直线的交点 学案 班级 学号 姓名 学习目标 1.会求两条相交直线的交点坐标； 2.会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 重点难点： 重点：会求两直线的交点 难点：利用方程组解的个数研究两条直线的位置关系 一、课前准备 1．经过点(1,2)A -，且与直线210x y +-+垂直的直线 . 2.(2010安徽高考)过点(1,0)与直线220x y --=平行的直线方程为 . 问题1： 已知两直线方程111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，如何判断这两条直线的位置关系？ 已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的 位置关系？ 已知两直线方程111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，当 时，两条直线相交； 已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，当 时，两条直线 相交. 二、典型例题 例1．分别判断下列直线21l l 与是否相交，若相交，求出它们的交点： （1）72:1=-y x l 0723:2=-+y x l （2）0462:1=+-y x l 08124:2=+-y x l （3）0424:1=++y x l 32:2+-=x y l 变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. ⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=； ⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=. 例2．直线l 经过原点，且经过另两条直线01,0832=--=++y x y x 的交点，求直线l 的方程. 归纳：当λ变化时，方程111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=1221(0)A B A B -≠表示 . 变式1： 求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程. 变式2：求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程. 变式3：设三条直线123:21,:23,:345l x y l x ky l kx y -=+=+=交于一点，求k 的值. 例3．某商品的市场需求量1y （万件），市场供求量2y （万件）与市场价格件）元(x 分别近似 的满足下列关系： 202,7021-=+-=x y x y 。21y y =当时的市场价格称为市场平衡价格， 此时的需求量称为平衡需求量.优秀教案两条直线的交点坐标
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