高考数学复习点拨：解析充要条件的三种常用判断方式

解析充要条件的三种常用判断方式

1.利用集合间的相互关系进行判断．

若一个命题的条件和结论所描述的对象形成一个集合，则可用集合间的相互关系来判定充分条件，必要条件．设P ，Q 分别为命题p,q 所描述的对象形成的集合．

(1).若q p Q P 是则称,?的充分条件．

(2).若P Q ?，则称p 是q 的必要条件．

(3).若P Q ?，则称p 是q 的必要非充分条件．

(4) .若Q P ?,则称p 是q 的充分非必要条件．

(5).若Q P =，则称p 是q 的充要条件．

(6).若φ=?Q P ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件．

(7).若A B ,??且B A ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件．

例１． 条件A ：()()01

4B ,041≥-+≥+-x x x x ：结论，则判断条件是结论的什么条件． 解：由于A 的解集是：M ＝(][)+∞?-∞-,14,，而B 的解集是：N=(]()+∞?-∞-,14,，

显然N ?M ，于是A 是B 的必要非充分条件．

2.利用互为逆否命题的等价性进行判断．

由于互为逆否命题是相互等价的，当我们正面对命题进行判断较为困难时，可将其转化为逆否命题来判断．

例3．,:,:B A x q B x A x p ????或的是说明q p 什么条件．

解：原命题等价于判断B x A x p B A x q ∈∈??∈?且是::的什么条件．

易见：B A x B x A x B x A x B A x ?∈?∈∈∈∈??∈且及　且,，

故p q p q ?????是即的充要条件．所以p 是q 的充要条件．

例4．,5:,23:≠+≠≠y x q y x p 且的是说明q p 什么条件．

解：原命题等价于判断23:5:==?=+?y x p y x q 或是的什么条件．

显然.,q p p q ??????所以p 是q 的既不充分也不必要条件．

３．利用真值表进行判断．

我们首先给出关于命题p 和q 的真值表．

表进行判断充要条件时，关键是能够将一个复合命题写成用逻辑联结词“或” ，“且”，“非”连接的与之等价的复合命题的形式．

例5．判断命题0>x 是0≥x 的什么条件．

解： ,000=>≥x x x 或即由真值表知：p 真q p 或?真，但q p 或真p ?真． 0>x 0≥?x ，但00>?≥x x ．故0>x 是0≥x 的充分不必要条件． 例6．判断命题2

2b a ≠是b a b a -≠≠或的什么条件．

解：.22b a b a b a -≠≠≠且即由真值表知：真或真，但或真真且q p q p p q p ?? b a b a b a q p -≠≠≠∴?或是真．　且22的充分不必要条件．

以上二例紧扣真值表，在判断时要能够剖析命题中所蕴含的逻辑联结词，进而将复合命题分解．