初中数学 绝对值的化简和几何意义
模块一 绝对值的基本概念 （1）非负性：||0a ≥（补充：20a ≥）． 对应题型：绝对值的化简．
方法：判断“||”里面整体的正负性．
易错点：求一个多项式的相反数． 对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数．
①a b -的相反数是a b -+； ②a b c ++的相反数是a b c ---；
③132a b -+的相反数132a b -+-． （2）双解性：||(0)a b b =≥，则a b =±．
（3）绝对值的代数意义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >??
==??-?=?
-≤? 变式结论：①若||a a =，则0a ≥； ②若||a a =-，则0a ≤．
模块二 零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型） 零点：使绝对值为0的未知数值即为零点．
方法：
①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段；
③分别根据每段未知数的范围去绝对值． 易错点：分类不明确，不会去绝对值．
化简：|1||2|x x -+-．
①零点为1，2，故将数轴分为3个部分，
即1x <，12x ≤<，2x ≥． ②当1x <时，原式23x =-+；
当12x ≤<时，原式(1)(2)1x x =---=； 当2x ≥时，原式23x =-．
模块三 几何意义
||x 的几何意义：数轴上表示数x 的点与原点
的距离；
||x a -的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 的点之间的距离；
||||x a x b -+-的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 、b 两点的距离之和． 举例：
①|1|=|(1)|x x +--表示x 到1-的距离．
②|1||2|x x +++表示x 到1-和x 到2-的距离之和．
③|1||2|x x +-+表示x 到1-和x 到2-的距离之差．
基本结论：令123n a a a a ≤≤≤≤…，
123||||||+||n x a x a x a x a -+-+-+-… ． 方法：直接套用几何意义画数轴．
①当n 为奇数时，当1
2
n x a +=时取最小值；
②当n 为偶数时，当1
2
2
n n a x a +≤≤时取最小
值．
常见变形：
①|1|2|3|3|4|x x x -+-+-在34x ≤≤时取得最小值． ②()111
113|2|2|3|236x x x x -+-=-+-在2x =时取得最小值．
③|1||2|x x ---既有最小值也有最大值．
（1）已知2
(3)|2|=0
x y
-++，则y x=___________．
（2）若|3|
x y
-+与|1999|
x y
+-互为相反数，求
x y
x y
+
-
的值是．
（3）已知2
()|5|5
a b b b
+++=+，且|21|0
a b
--=，那么ab=___________．
（1）∵2
(3)|2|0
x y
-++=，∴3
x=，2
y=-．∴原式
1
9
=．
（2）原式
1999
3
=-．
（3）∵2
()|5|5
a b b b
+++=+，∴50
b+≥，0
a b
+=
又∵|21|0
a b
--=，∴210
a b
--=，解得
1
3
a=，
1
3
b=-，∴
1
9
ab=-．
【教师备课提示】这道题主要讲解回顾绝对值的非负性和平方的非负性．
（1）若||3
x=，||2
y=，且x y
>，求x y
+的值是．
（2）已知||5
a=，||3
b=，且||
a b b a
-=-，求a b
-的值是___________．
（3）若a，b，c为整数，且20162016
||||1
a b c a
-+-=，则||||||
c a a b b c
-+-+-的值是___________．
（1）5或1；
（2）8
-或2
-；
（3）∵a、b、c均为整数，∴||
a b
-，||
a c
-均为非负整数，
∴只能有||0
a b
-=，||1
a c
-=或者||1
a b
-=，||0
a c
-=．
当||0
a b
-=，||1
a c
-=时，a b
=，||||1
b c a c
-=-=，
此时，||||||0112
a b b c c a
-+-+-=++=．
当||1
a b
-=，||0
a c
-=时，a c
=，||||1
b c b a
-=-=，
此时，||||||1102
a b b c c a
-+-+-=++=．故总有||||||2
a b b c c a
-+-+-=．【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的双解性．
模块一绝对值的基本概念
（1
）化简：
111111
200420032003200210031002
-+-++-=
___________．（2
）若
2015
2
2016
x=，则|||1||2||3||4||5|
x x x x x x
+-+-+-+-+-=．
（3）a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：
||||||||||||
a b c b a c a b c
-+--+---．
（4）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：
①()0
b a c
++->；②()0
a b c
--+>；
③
||
1
||||
a b c
a b c
++=；④0
bc a
->；
⑤||||||2
a b c b a c b
--++-=-．其中正确的有．
（1）原式=
111111
200320042002200310021003
-+-++-
111
100220042004
=-=．（2）由于23
x
<<，故原式123459
x x x x x x
=+-+-+-+-+-=．
（3）原式33
a b c
=-++．（4）②③⑤．
【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的化简，去绝对值．
化简：（1）|1||2|
x x
-+-（2）|5||23|
x x
+--（3）|1||2||3|
x x x
-+-+-（4）||1|2||1|
x x
--++
（1）零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即1
x<，12
x
≤<，2
x≥．当1
x<时，原式(1)(2)23
x x x
=----=-+；
当12
x
≤<时，原式(1)(2)1
x x
=---=；
当2
x≥时，原式(1)(2)23
x x x
=-+-=-．
即原式
231
=112
232
x x
x
x x
-+<
?
?
≤<
?
?-≥
?
，
，
，
．
模块二零点分段法
b0c
a
b0c
a
（2）零点为5
-
，
3
2
，故将数轴分为3个部分，即5
x<
-，
3
5
2
x
-≤<，
3
2
x≥．当5
x<-时，原式(5)(23)8
x x x
=-++-=-；
当
3
5
2
x
-≤<时，原式(5)(23)32
x x x
=++-=+；
当
3
2
x≥时，原式(5)(23)8
x x x
=+--=-+．
（3）零点为1，2，3．
当1
x<时，原式(1)(2)(3)36
x x x x
=------=-+；
当12
x
≤<时，原式(1)(2)(3)4
x x x x
=-----=-+；
当23
x
≤<时，原式(1)(2)(3)
x x x x
=-+---=；
当3
x≥时，原式(1)(2)(3)36
x x x x
=-+-+-=-．
（4）先找零点．由10
x-=得1
x=；
由|1|20
x--=得1
x=-或3
x=；
由10
x+=得1
x=-．
所以零点共有1
-，1，3三个，故将数轴分为4个部分．
当1
x<-时，原式|(1)2|(1)1122
x x x x x
=----+=----=--；
当11
x
-≤<时，原式|(1)2|(1)1122
x x x x x
=---++=+++=+；
当13
x
≤<时，原式|(1)2|(1)314
x x x x
=--++=-++=；
当3
x≥时，原式|(1)2|(1)3122
x x x x x
=--++=-++=-．
【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值．
求|1||5|
y x x
=--+的最大值和最小值．
零点为5
-，1．
当5
x≤-时，(1)(5)6
y x x
=--++=；
当51
x
-<<时，(1)(5)24
y x x x
=---+=--，有66
y
-<<；
当1
x≥时，(1)(5)6
y x x
=--+=-．
故最大值为6，最小值为6
-．
【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值的作用，求最值．
规律探究和应用：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示3
-和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；如果表示数a和2
-的之间的距离是3，那么a=．
模块三绝对值的几何意义
（2）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，求|4||2|a a ++-的值．
（3）当a 取何值时，|5||1||4|a a a ++-+-的值最小，最小值是多少？
（4）求|1||2|100|a a a -+-+-……+|的最小值，并求出此时a 的取值范围．
（1）3；5；||m n -；5-或1． （2）|4||2|6a a ++-=．
（3）|5||1||4|a a a ++-+-最小值为9，在1a =时取得最小值． （4）当5051a ≤≤时，原式有最小值，代数式的值为2500． 已知
7
59
x -≤≤，求x 取何值时|1||
3|x x -
-+取最大值与最小值．
|1||3|x x --+表示x 到点1和3-的距离差，
画出数轴，可得当79x =时两者的距离差最小为329-，即min 32
(|1||3|)9
x x --+=-；
当53x --≤≤时，两者的距离差最大为4，即max (|1||3|)4x x --+=．
（1）求2|1||2|x x -+-的最小值及此时x 的取值．
（2）求3|1|2|4||2|x x x ++-+-的最小值及此时x 的取值．
（3）求|1||23||34|x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．
（4）求111
|1||2||3|234
x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．
（1）中位项为|1|x -，故1x =，最小值为1．
（2）中位项为|1|x +和|2|x -，故12x -≤≤，最小值为13．
（3）原式34|1|2||3||23x x x =-+-+-，中位项为43x -，故43x =，最小值为2
3
．
（4）原式
111
|2||6||12| 234
x x x
=-
+-+-
1
(6|2|4|6|3|12|)
12
x x x
=-+-+-，
括号里的中位项为|6|
x-，故6
x=
，最小值为
7
2
．
【教师备课提示】例6—例8主要考查绝对值的几何意义，数形结合的思想．
（1）已知|(2)||3|||0
x y z
+-+++=，则x y z
++=.
（2）|1||2|0
a b
-++=，求201620152
()()()
a b a b a b a b
+++++++=．
（3）已知222
123420152016
|1|(2)|3|(4)...|2015|(2016)=0
x x x x x x
-+-+-+-+-+-，求12233420152016
1111
...
x x x x x x x x
++++的值．
（1）1
-．
（2）∵|1||2|0
a b
-++=，∴1
a=，2
b=-，1
a b
+=-，则原式0
=．
（3）由||0
a≥，20
a≥可知，
1
1
x=，
22016
22016
x x
==，
则
1223
11
x x x x
++
20152016
1111
122320152016
x x
+=+++
???
12015
1
20162016
=-=. （1）已知||4
x=，||6
y=，则||
x y
+的值为．
（2）已知||1
a=，||2
b=，||3
c=，a b c
>>，则2
()
a b c
+-=．
（1）2或10．
（2）由a b c
>>知只能有1
a=±，2
b=-，3
c=-，故原式0
=或4．
模块一绝对值的基本概念
（1）（树德半期）a ，b ，c 在数轴上的位置如图3-1所示， 化简：|||||||1||2|||a b c b a c a b c -+---+-+--．
（2）已知a 、b 、c 在数轴上的对应点如图3-2所示，化简：||||||||a a b c a b c -++-++．
c b a 0
图3-1
图3-2
（1）331a b c -+++；（2）32a c -．
化简：（1）|5||23|x x ++- （2）||1|3|x +-
（1）先找零点. 50x +=，5x =-；230x -=，3
2
x =
，零点可以将数轴分成三段． 当3
2
x ≥，50x +>，230x -≥，|5||23|32x x x ++-=+；
当3
52
x -<≤，50x +≥，230x -<，|5||23|8x x x ++-=-；
当5x <-，50x +<，230x -<，|5||23|32x x x ++-=--．
（2）先找零点．由10x +=得1x =-；由|1|30x +-=得4x =-或2x =．
所以零点共有4-，1-，2三个，故将数轴分为4个部分． 当4x <-时，原式|(1)3||4|4x x x =-+-=--=--； 当41x -≤<-时，原式|(1)3||4|4x x x =-+-=--=+； 当12x -≤<时，原式|(1)3||2|2x x x =+-=-=-； 当2x ≥时，原式|(1)3||2|2x x x =+-=-=-．
模块二 零点分段法
试求|1||
2||1996|
x x x
-+-++-的最小值．
|1||2||1996|
x x x
-+-++-表示x到1，2，…，1996的距离和.中间的两点代表的数是998、999，所以当998999
x
≤≤时，原式有最小值；
我们可以取998
x=，原式9979961012998996004
=++++++++=．
求|1|2|2|3|3|
x x x
-+-+-的最小值及此时x的取值．
中位项为|2|
x-和|3|
x-，故当23
x
≤≤时，最小值为4．
已知2
x≤，求|3||2|
x x
--+的最大值与最小值．
解法一：
根据几何意义可以得到，当2
x-
≤时，取最大值为5；当2
x=时，取最小值为3
-．解法二：
找到零点3，2
-，结合2
x≤可以分为以下两段进行分析：
当22
x
-≤≤时，|3||2|3212
x x x x x
--+=---=-，有最值3
-和5；
当2
x<-时，|3||2|325
x x x x
--+=-++=；综上可得最小值为3
-，最大值为5．
模块三绝对值的几何意义