图像处理读书报告

傅里叶变换在图像处理中的应用

摘 要

为了有效的和快速的对图像进行处理和分析，常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换（正变换）到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便进行一定的加工，最后再转换（反变换或逆变换）回图像空间以得到所需的效果。这些在不同空间转换的技术就是图像变换技术。傅里叶叶变换是一种基本和常用的变换，它把图像从图像空间（空域）转换到频率空间（频域）。 傅立叶变换研究是应用数学的一个重要方向，一个多世纪以来，傅立叶变换作为数学工具被迅速的应用到图像和语音分析等众多领域。通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化计算工作量，被誉为描述图像信息的第二种语言。

理论

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆

傅里叶变换

傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。

定义：单变量连续函数)(x f 的傅里叶变换)(u F 定义为等式

?+∞

∞-=

dx e x f u F ux)xp(-j2)()(π

逆变换为： 1

,...,2,1,02ex p

)()(10-==∑-=M x M ux j u F x f M u π

二维离散傅里叶逆变换如下：

∑∑-=-=+=1010))//(2exp(),(),(M u N v N vy M ux j v u F y x f π

其中1,...,2,1,01,...,2,1,0u -=-=N v M 。

如果),(y x f 是实函数，则它的傅里叶变换必然为对称的，即

),(),(v u F v u F --=*

其中“*”表示对复数的标准共轭操作。它遵循

)

,(),(v u F v u F --=

其中，傅里叶变换的频率谱是对称的。

傅立叶变换在图像处理中的作用

1. 图像增强与图像去噪

绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声；边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘。

图像增强的原理：

图像增强从处理的作用域出发可分为空间域和频域两大类。其中，频域增强是将原空间的图像以某种形式转换到其他空间，然后利用该转换空间的特有性质进行图像处理，最后在转换回到原空间，得到处理后的图像，是一种间接增强的算法。

图像增强作为图像处理的重要组成部分，促进了图像增强方法研究的不断深入。目前主要有以下处理方法：

传统的图像增强的处理方法可以分为空域和频域图像增强两大类，其中频域图像增强的方法是对图像经傅里叶变换后的频谱成分进行操作，然后进行傅里叶逆变换得到所需结果，如低通滤波器、高通滤波器、带通和带阻滤波，同态滤波等。

有时候只采用一种方法往往得不到想要的结果，并且还没有出现一种方法能满足人们的任意需要，比如理想低通和高通滤波器并不是很实用，但是作为滤波概念发展的一部分，用来研究滤波器的特性非常有意义，一阶的巴特沃斯低通滤波器没有振铃现象，二阶的振铃通常微小，但是随着阶数的增高振铃便成为一个主要因素，高斯低通滤波器不会产生振铃现象，但是，在需要严格控制低频和高频之间截止频率的过渡的情况下，巴特沃斯滤波器更为合适，所以有时候就需要使用几种增强技术的组合方法。

图像增强示例

图像去噪示例

原图噪声图去噪图

2.图像分割之边缘检测

边缘检测是图像处理和计算机视觉中的基本问题，边缘检测的目的是标识数字图像中亮度变化明显的点，提取图像高频分量。图像属性中的显著变化通常反映了属性的重要事件和变化。

边缘检测的方法：

有许多用于边缘检测的方法, 他们大致可分为两类：基于搜索和基于零交叉。

基于搜索的边缘检测方法首先计算边缘强度，通常用一阶导数表示，例如梯度模，然后，用计算估计边缘的局部方向，通常采用梯度的方向，并利用此方向找到局部梯度模的最大值。

基于零交叉的方法找到由图像得到的二阶导数的零交叉点来定位边缘。通常用拉普拉斯算子或非线性微分方程的零交叉点。

滤波做为边缘检测的预处理通常是必要的，通常采用高斯滤波。

已发表的边缘检测方法应用计算边界强度的度量，这与平滑滤波有本质的不同。正如许多边缘检测方法依赖于图像梯度的计算，他们用不同种类的滤波器来估计x-方向和y-方向的梯度。

3.图像特征提取

图像特征提取指的是：使用计算机提取图像信息，决定每个图像的点是否属于一个图像特征。特征提取的结果是把图像上的点分为不同的子集，这些子集往往属于孤立的点、连续的曲线或者连续的区域。

形状特征：傅里叶描述子；

纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征；

其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性。

常用的特征提取与匹配方法：

（1）颜色直方图（2）颜色集（3）颜色矩（4）颜色聚合向量（5）颜色相关图

4. 图像压缩

减少表示数字图像时需要的数据量。图像压缩分为有损压缩和无损压缩。

可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换。

图像压缩的基本原理：图像数据之所以能被压缩，就是因为数据中存在着冗余。图像数据的冗余主要表现为：图像中相邻像素间的相关性引起的空间冗余；图像序列中不同帧之间存在相关性引起的时间冗余；不同彩色平面或频谱带的相关性引起的频谱冗余。数据压缩的目的就是通过去除这些数据冗余来减少表示数据所需的比特数。由于图像数据量的庞大,在

存储、传输、处理时非常困难,因此图像数据的压缩就显得非常重要。

图像压缩示例：