高等数学单元测试6——定积分及应用
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高等数学单元测试6——定积分及应用
第一卷 基础练习
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、 函数在上可积的必要条件是在上
A 有界
B 无界
C 单调
D 连续
2、 设()x f 在[]b a ,上可积,下列各式中不正确的是
A
()()dt t f dx x f b a b
a ??
= B
()()dx x f dx x f a
a
b
a ??
=
C
()()dx x f dx x f a
a
b b
??= D ()()dt t f dx x f a
b
b a
??-=
3、下列积分中可以用牛顿—莱布尼兹公式计算的是
A dx x x ?+5
023
1
B
dx x
x ?
--1
1
2
1 C
dx x x ?
-4
2
2
3)
5( D dx x x e
e
?1ln 1
4、设
()x
x
a
dt t f 20
=?,则()x f 等于A x
a
22 B a a
x
ln 2 C 122-x xa D a a x ln 22
5、积分上限函数
()dt t f x
a
?是
A 常数
B 函数()x f
C ()x f 的一个原函数
D ()x f 的全体原函数 6、设()x f 为连续函数,则积分dt t t f t n
n
??
?
??+??? ?
?-
?11112等于 A 0 B 1 C n D n
1
7、=?
1
arccos x dx
A ?0
2
πx
dx
B ?2
sin π
dx x x
C dx x x
?0
2
sin π
D ?2
cos π
dx x x
8、设()x f '在[]2,1上可积,且()11=f ,()12=f ,
()12
1
-=?dx x f ,则()='?dx x f x 2
1
A 2
B 1
C 0
D -1
9、设函数()x f '在[]b a ,上连续,则曲线()x f y =与直线0,,===y b x a x 所围成的平面图形的面积等于
A
()dx x f b a
? B ()?b a
dx x f C ()dx x f b
a
? D {}()()b a a b f <<-'ξξ
10、广义积分
?∞
-0
dx e kx 收敛,则k
A 0>k
B 0≥k
C 0 D 0≤k 二、填空题(每小题4分,共28分) 1、 () dx x ?-+0 2 199 12= 。 2、2 3 2= ?k x dx e ,则=k 。 3、()? -=x t dt te x f 0 2 在区间 单调减少。 4、已知 () 3 1 2 x dt t f x =?,则()=?dx x f 1 2 。 5、dx x x ?+-2 244= 。 6、定积分=?-11 2sin xdx x 。 7、 =? 1 3 x dx 。 三、解答题 1、 (16分)计算下列定积分 ①dx x ? -2 1 ② dx e x ? -2 ln 0 1 ③ dx x x ? -2 1 21 ④?π 20 2cos xdx x 2、 (8分)判别下列各广义积分的敛散性,如果收敛,则计算广义积分的值。 ①?∞ +∞-++222x x dx ②dx x x ?-2 1 1 精品文档 3、(6分)求函数()()dt t t x f x ? -=0 23在[]4,1-上的最大值和最小值。 4、(6分)曲线x e y =与x 轴,y 轴以及直线4=x 围成平面区域,试在区间()4,0内找到 一点0x ,使直线0x x =平分以上区域。 5、(6分)求由曲线2 2x y -=,)0(≥=x x y 与直线0=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体体积。 第二卷 提高练习 1、(6分)设()()dt t f a x x x F x a ?-= 2 ,其中()x f 为连续函数,则()x F a x →lim =( ) A 2 a B ()a f a 2 C 0 D 不存在 2、(7分)计算定积分? e xdx 1 ln sin 。 3、(10分)已知()?? ???<≥=?0 0cos 20 x x x tdt t x f x ,讨论()x f 的连续性,并写出连续区间;考察 在处是否可导?若可导,求()0f '。 4、(10分)设?∞ -∞→=??? ??-+a t x x dt te a x a x 2lim ,求a 的值。 5、(10分)求曲线)40(≤≤=x x y 的一条切线,使此切线与直线4,0==x x 及x 轴所 围成的梯形面积最小。 6、(7分)设连续函数()()dx x f x x f e ? - =1 ln ,证明()e dx x f e 1 1 =? 不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分 1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos ( 不定积分单元测试题https://www.360docs.net/doc/2f7720486.html,work Information Technology Company.2020YEAR 不定积分单元测试题 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题2分,总计 20 分 ) 1、设12(),()F x F x 是区间I 内连续函数()f x 的两个不同的原函数,且()0f x ≠,则在区间I 内必有( ) (A )12()()F x F x C -=; (B )12()()F x F x C ?=; (C )12()()F x CF x =; (D )12()()F x F x C += 2、若()(),F x f x '=则()dF x ?=( ) (A )()f x ; (B )()F x ; (C )()f x C +; (D )()F x C + 3、()f x 在某区间内具备了条件( )就可保证它的原函数一定存在 (A )有极限存在; (B )连续; (C )有界; (D )有有限个间断点 4、函数2()(||)f x x x =+的一个原函数()F x = ( ) (A )343 x ; (B )243x x ; (C)222()3x x x +; (D )22()3 x x x + 5、已知一个函数的导数为2y x '=,12x y ==且时,这个函数是( ) (A )2;y x C =+ (B )2 1;y x =+ (C )2 2x y C =+; (D )1y x =+. 6、下列积分能用初等函数表出的是( ) (A ) 2x e dx -?; (B ) (C )1ln dx x ?; (D )ln x dx x ?. 7、2ln x dx x =?( ) (A )11ln x C x x ++; (B )11ln x C x x --+; 《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少? 选修2-2第一章单元测试 (一) 时间:120分钟 总分:150分 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.函数f (x )=x ·sin x 的导数为( ) A .f ′(x )=2x ·sin x +x ·cos x B .f ′(x )=2x ·sin x -x ·cos x C .f ′(x )=sin x 2x +x ·cos x D .f ′(x )=sin x 2x -x ·cos x 2.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b =1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =-1 D .a =-1,b =-1 3.设f (x )=x ln x ,若f ′(x 0)=2,则x 0=( ) A .e 2 B .e C.ln22 D .ln2 4.已知f (x )=x 2+2xf ′(1),则f ′(0)等于( ) A .0 B .-4 C .-2 D .2 5.图中由函数y =f (x )的图象与x 轴围成的 阴影部分的面积,用定积分可表示为( ) A. ???-3 3f (x )d x B.??13f (x )d x +??1-3f (x )d x C. ???-31f (x )d x D. ???-3 1f (x )d x -??13f (x )d x 6.如图是函数y =f (x )的导函数的图象,给出下面四个判断: ①f(x)在区间[-2,-1]上是增函数; ②x=-1是f(x)的极小值点; ③f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数; ④x=2是f(x)的极小值点. 其中,所有正确判断的序号是() A.①②B.②③C.③④D.①②③④ 7.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是() A.0≤a≤21 B.a=0或a=7 C.a<0或a>21 D.a=0或a=21 8.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)() A.30元B.60元C.28 000元D.23 000元 9.函数f(x)=-x e x(a高数不定积分例题
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