七下数学《二元一次方程组》培优训练题

七上数学《二元一次方程组》培优训练题一、用换元法解下列方程组：

（1）

5

34

11

34

x y x y

x y x y

+-

?

-=

??

?

+-

?+=

??

（2）

?

?

?

=

-

+

-

-

=

-

5

)1

(

)2

(2

)1

(2

2

y

x

y

x

（3）

?

?

?

??

?

?

=

-

+

+

=

-

+

+

1

2

1

3

2

2

2

1

3

2

y

x

y

x

（4）

2332

2

25

3(23)2(32)25

236

x y x y

x y x y

++

?

=+

??

?

++

?=+

??

（5）

43

10

3225

52

1

3225

x y x y

x y x y

?

+=

?--

?

?

?-=

?--

?

（6）

4

239

x y x

x y x

?++=

?

?

++=

??

二、用倒数法解下列问题： 例：解方程组：13281

237

xy x y xy x y ?=?+???=?+?

练习：已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，求abc ab bc ca

++的值.

三、二元一次方程组解的讨论

二元一次方程组???=+=+222

111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ①当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解（两个方程等效）；②当2

12121c c b b a a ≠=时，方程组无解（两个方程是矛盾的）；③当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解：???

????--=--=12212

11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得）

例.选择一组a 、c 值，使方程组?

??=+=+c y ax y x 275：①有无数多解；②无解；③有唯一的解.

练习：1.不解方程组，判定下列方程组解的情况：

①???=-=-96332y x y x ； ②???=-=-32432y x y x ； ③?

??=-=+153153y x y x

2.k 、b 为何值时，方程组(31)2

y kx b y k x =+??=-+?：①有无数多解；②无解；③有唯一的解.

四、一次不定方程的解法

例.小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？

练习：求不定方程x -y=2的正整数解．

总结：定理 如果a ，b 是互质的正整数，c 是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x 0，y 0则此方程的一

切整数解可以表示为00x x bt y y at =-??=+?

（其中t=0，±1，±2，±3，…） 证明： 因为x 0，y 0是方程①的整数解，当然满足ax 0+by 0=c ， ②

因此a(x 0-bt)+b(y 0+at)=ax 0+by 0=c ．

这表明x=x 0-bt ，y=y 0+at 也是方程①的解．

设x ＇，y ＇是方程①的任一整数解，则有：ax ＇+bx ＇=c. ③

③-②得：a(x ＇-x 0)=b ＇(y ＇-y 0)． ④

由于(a ，b)=1，所以a ｜y ＇-y 0，即y ＇=y 0+at ，其中t 是整数．将y ＇=y 0+at 代入④，即得x ＇=x 0-bt ．因此x ＇， y ＇可以表示成x=x 0-bt ，y=y 0+at 的形式，所以x=x 0-bt ，y=y 0+at 表示方程①的一切整数解，命题得证．

练习：1.求11x+15y=7的整数解．

2.求方程6x+22y=90的非负整数解．

3.某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？