2021届高考数学一轮复习训练第2讲古典概型
第2讲 古典概型
1．(2018年新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A.112 B.114 C.115 D.118 2．(2019年广东中山模拟)袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则该人抽到的球颜色互异的概率是( )
A.14
B.13
C.27
D.311
3．(2014年陕西)如图X9-2-1，从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
图X9-2-1
A.15
B.25
C.35
D.45
4．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( )
A.45
B.1925
C.2350
D.41100
5．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,2)，E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是( )
A.25
B.35
C.45
D ．1 6．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )
A.13
B.14
C.15
D.16
7．(多选)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是( )
A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B ．甲的不同的选法种数为15
C ．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16
D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949
8．(多选)设集合M ＝{2,3,4}，N ＝{1,2,3,4}，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝k 上”为事件A k (3≤k ≤8，k ∈N *)，若事件A k 的概率最大，
则k的取值可能是()
A．4 B．5 C．6 D．7
9．某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是________．
10．(2019年北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A
支付金额不大于2000元大于2000元
仅使用A的人数/人27 3
仅使用B的人数/人24 1
(1)
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
(3)已知上个月样本学生支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
11．(2016年山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图X9-2-2所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
图X9-2-2
12．(2017年山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
第2讲 古典概型
1．C 解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法，其中两素数相加等于30的有7和23,11和19,13和17，共有3
种情况，∴所求概率P ＝3C 210＝115
.故选C. 2．D 解析：基本事件总数为C 312＝220(种)，该人抽到的球颜色互异的情况有3×4×5＝
60(种)，故所求概率为60220＝311
.故选D. 3．C
4．C 解析：按照这样的规则摸奖，第一次中奖的概率为4C 25＝25
.第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，中奖的概率为35×110
＝350.∴按照这样的规则摸奖，中奖的概率为25＋350＝2350
. 5．C 解析：从5个点中取3个点，列举得ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE 共有10个基本事件，而其中ACE ，BCD 两种情况三点共线，其余8个均符
合题意，故能构成三角形的概率为810＝45
.故选C. 6．A 解析：设齐王的上等马、中等马和下等马分别是A ，B ，C ，田忌的上等马、中等马和下等马分别是a ，b ，c ，则总的基本事件有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(C ，a )，(C ，b )，(C ，c )，共9种，田忌马获胜的基本事件有(B ，a )，(C ，a )，(C ，d )，共
3种，故概率为13
.故选A. 7．BD 8.BC
9.25
解析：由题意得共有(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)这15种可能，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的可能有(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,1,3)，(3,3,1)，(3,2,2)这6种，∴所求概
率为615＝25
. 10．解：(1)由图表可知仅使用A 的人数有30人，仅使用B 的人数有25人，
由题意知A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，
∴样本中两种支付方式都使用的有100－30－25－5＝40(人)，
∴全校学生中两种支付方式都使用的有40100
×1000＝400(人)． (2)∵样本中仅使用B 的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，
∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率为125
. (3)由(2)知支付金额大于2000元的概率为125
， ∵从仅使用B 的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，
依据小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，
∴可以认为仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多．
11．解：用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应．
∵S 中元素个数是4×4＝16，
∴基本事件总数为n ＝16.
(1)记“xy ≤3”为事件A .
则事件A 包含的基本事件共有5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
∴P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516
. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3 则事件B 包含的基本事件共有6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． ∴P (B )＝616＝38 . 则事件C 包含的基本事件共有5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． ∴P (C )＝516 . ∵38>516 ， ∴小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 12．解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共15个． 所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3个． 则所求事件的概率为：P ＝315＝15 . (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，共9个． 包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，共2个， 则所求事件的概率为：P ＝29 . 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 2014高考数学（理科）小题限时训练12 15小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1.设全集U ＝R ，集合{|1}A x x =>-，{|2}B x x =>，则U A B = e （ ） A ．{|12}x x -≤< B ．{|12}x x -<≤ C ．{|1}x x <- D ．{|2}x x > 2.已知命题p ：(,0),23x x x ?∈-∞<；命题q ：(0, ),tan sin 2 x x x π ?∈>，则下列命题为 真命题的是 （ ） A. p ∧q B. p ∨(﹁q) C. (﹁p)∧q D. p ∧(﹁q) 3．函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为（ ） A ．??????81,0 B ．??????41,81 Ｃ．?? ? ???21,41 Ｄ．??????1,21 4．下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是( ) A ．()f x = 1x B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1) f x x =+ 5．若函数y =()f x 的图象过点()0,1，则函数y=()4f x -的图象必过点（ ） A ． ()3,0 B ．()1,4 C ． ()4,1 D ．()0,3 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 有()(2)f x f x =-成立，则 (2010)f 的值为 （ ） A.0 B. 1 C.－1 D. 2 7．函数 在同一直角坐标系下的图象大致是 （ ） 8.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有 |()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b ]上是“密切函数” ，区间[a ，b ]称为“密切区间”.若2 ()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切 区间”可以是 （ ） A. [1，4] B. [2，4] C. [3，4] D. [2，3] 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。 9.不等式lg(1)0x +≤的解集是 10．已知某算法的程序框图如下图所示，则当输入的x 为2时，输出的结果是 。 普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座21）—几何概型及随机模拟 一．课标要求： 1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义； 2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。 二．命题走向 本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。 预测07年高考： （1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，； （2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。 三．要点精讲 1．随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 2．随机数的产生方法 （1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数； （2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。 3．几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）=积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。 5．几种常见的几何概型 （1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度 （2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为： P=g 的面积/G 的面积 （3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为： P=v 的体积/V 的体积 2020新课改高考数学小题专项训练1 1．设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是 （ ） A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假 2．已知复数 （ ） A ． B ．2 C ．2 D ．8 3．已知a 、b 、c 是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题： ① ②a 、 ③ ④.其中正确命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知等差数列 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．定义在R 上的偶函数的x 的 集合为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且 包括周界），若使目标函数z =ax +y (a >0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于（ ） A ． B ．1 C ．6 D ．3 7．已知函数的值等于 （ ） A ． B ． C ．4 D ．－4 =-=||,13 z i z 则22; //,//,//ααa b b a 则; //,//,//,βαββα则b a b ?;,//,βαβα⊥⊥则a a b a b a ⊥⊥则,//,αα==16 884,31 ,}{S S S S S n a n n 那么且 项和为的前8 1 319 110 30)(log ,0)2 1(,),0[)(4 1<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在),2()21 ,(+∞?-∞)2,1()1,2 1(?),2()1,2 1(+∞?),2()2 1,0(+∞?3 1 )41(,2),3(log ,2,43 )(116 2 -?????≥+-<-=-f x x x x x f 则21 16 2 5- 2020新课改高考数学小题专项训练12 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2020新课改高考数学小题专项训练12 1．设集合P ={3，4，5}，Q ={4，5，6，7}，定义P ★Q ={（则 P ★Q 中 元素的个数为 （ ） A ．3 B ．7 C ．10 D ．12 2．函数的部分图象大致是 （ ） A B C D 3．在的展开式中，含项的系数是首项为－2，公差为3的等 差数列的 （ ） A ．第13项 B ．第18项 C ．第11项 D ．第20项 4．有一块直角三角板ABC ，∠A =30°，∠B =90°，BC 边在桌面上，当三角板所在平面与 桌面成45°角时，AB 边与桌面所成的角等于 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．若将函数的图象按向量平移，使图象上点P 的坐标由（1，0）变为（2，2）， 则平移后图象的解析式为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．直线的倾斜角为 （ ） },|),Q b P a b a ∈∈3 2 21x e y -?=π 765)1()1()1(x x x +++++4x 4 6 arcsin 6 π4 π4 10arccos )(x f y =a 2)1(-+=x f y 2)1(--=x f y 2)1(+-=x f y 2)1(++=x f y 0140sin 140cos =+?+?y x A ．40° B ．50° C ．130° D ．140° 7．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：（10，20，2；（20，30，3； （30，40，4；（40，50，5；（50，60，4；（60，70，2. 则样本在 区间（10，50上的频率为 （ ） A ．0.5 B ．0.7 C ．0.25 D ．0.05 8．在抛物线上有点M ，它到直线的距离为4，如果点M 的坐标为（）， 且的值为 （ ） A ． B ．1 C ． D ．2 9．已知双曲线，在两条渐近线所构成 的角中， 设以实轴为角平分线的角为，则的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 10．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学， 当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女的血型一定不是O 型， 若某人的血 型的O 型，则父母血型的所有可能情况有 （ ） A ．12种 B ．6种 C ．10种 D ．9种 11．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为 （ ） A ．16（12－6 B ．18 C ．36 D ．64（6－4 ]]]]]]]x y 42=x y =2n m ,n m R n m 则,,+∈2 12]2,2[),(122 22∈∈=-+e R b a b y a x 的离心率θθ]2 ,6[π π]2 ,3[π π]32,2[ππ),3 2[ ππ π)3πππ)2 专题分层训练(二十五) 小题综合限时练(2) (时间：45分钟) 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( ) A．所有奇数的立方都不是奇数 B．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C．存在一个奇数，它的立方是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是奇数 解析全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数”． 答案 C 2．已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( ) A．－2i B．2i C．－4i D．4i 解析由M∩N＝{4}，知4∈M，故z i＝4，故z＝4 i ＝ 4i i2 ＝－4i. 答案 C 3．若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 由(a ＋1)×1＋2×(－a )＝0，得a ＝1. 答案 C 4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 mx 2 ＋ny 2 ＝1可以变形为x 21m ＋y 21n ＝1，m >n >0?0<1m <1n . 答案 C 5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x －sin 2x B ．y ＝lg|x | C ．y ＝e x －e －x 2 D ．y ＝x 3 解析 由偶函数排除C 、D ，再由在区间(1,2)内是增函数排除A. 答案 B 6．阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，那么输入的实数x 的取值范围是( ) 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题44 几何概型（学生版） 一．选择题（共13小题） 1．（2019?全国）在Rt ABC ?中，AB BC =，在BC 边上随机取点P ，则30BAP ∠ 则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为() A．4n m B． 2n m C． 4m n D． 2m n 5．（2016?新课标Ⅰ）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是() A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 6．（2016?新课标Ⅱ）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为() A． 7 10 B． 5 8 C． 3 8 D． 3 10 7．（2015?福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数 1,0 ()1 1,0 2 x x f x x x + ? ? =? -+< ?? … 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于() A． 1 6 B． 1 4 C． 3 8 D． 1 2 8．（2015?陕西）设复数(1)( z x yi x =-+，) y R ∈，若||1 z?，则y x …的概率为() A． 31 42π +B． 11 2π +C． 11 2π -D． 11 42π - 9．（2015?山东）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“ 1 2 1 1log()1 2 x -+ 剟”发生的概率为() A． 3 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 1 4 10．（2014?陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为() A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 高考数学复习小题训练15 高考数学复习小题训练（15） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。 1．设集合{}2,1=A ,则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是 A ．1 B ．3 C ．4 D ．8 2．“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)1,+∞上为增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设π20<≤x ,且x 2sin 1-=,cos sin x x -则 A ．0≤x ≤ B ．4π≤x ≤45π C ．4π≤x ≤47π D ．2 π≤x ≤23π 4．函数)11 2lg(-+=x y 的图象关于（ ）对称； ....A y x B x C y D =直线轴轴原点 5．在正方体ABCD －A 1BC 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动， 则异面直线CP 与BA 1所成的角的取值范围是 A.02πθ<< B.02πθ<≤ C. 30πθ≤≤ D.03πθ<≤ 6．已知数列{}n a 的通项公式)(,2 1 log 2 *∈++=N n n n a n ，设{}n a 的前n 项 的和为n S ，则使5 - 赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行 淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次 A.53 B.52 C.51 D.50 8．若将))((b x a x --逐项展开得ab bx ax x +--2 ，则2 x 出现的频率 为14，x 出现的频率为1 2 ，如此将))()()()((e x d x c x b x a x -----逐项展开后，3 x 出现的频率是（ ） 32 5 .51.61.165.D C B A 9．若m 是一个给定的正整数，如果两个整数b a ,用m 除所 得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作[mod()]a b m ≡，例如：513[mod(4)]≡.若:2008 2[mod(7)]r ≡,则r 可以为（ ） .1.2.3.4A B C D 10．如图，过抛物线)(022 >=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若 BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 ( ) A ．x y 232= B ．x y 92= C ．x y 2 9 2 = D ．x y 32 = 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卷相应位置。 11、设函数 2 (1)(1)()41 (1) x x f x x x ?+ 限时练(一) (限时：45分钟) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x ∈N |y ＝3－x }，则A ∩B ＝( ) A.{3} B.{1，3} C.{1，2} D.{1，2，3} 解析 由x 2－6x ＋8<0得2 A.132 B.116 C.14 D.12 解析 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝1 2. 令m ＝1，得1 2a n ＝a n ＋1， 所以数列{a n }是公比为12，首项为1 2的等比数列. 因此a 5＝a 1q 4＝? ????125 ＝132. 答案 A 4.已知角α的终边经过点P (2，m )(m ≠0)，若sin α＝55m ，则sin ? ? ? ??2α－3π2＝( ) A.－35 B.35 C.45 D.－45 解析 ∵角α的终边过点P (2，m )(m ≠0)， ∴sin α＝ m 4＋m 2＝5 5m ，则m 2＝1. 则sin ? ? ???2α－32π＝cos 2α＝1－2sin 2α＝35. 答案 B 5.在ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( ) A.48 B.36 C.24 D.12 解析 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝? ????AB →＋23AD →·? ????12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝24. 答案 C 6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下面是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( ) 几何概型 【考点梳理】 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝ 构成事件A 的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 【考点突破】 考点一、与长度(角度)有关的几何概型 【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ， CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．23 D ．45 (2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． [答案] (1) C (2) 1 3 [解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2 P ′在C ''B 上发生”． 又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π 6 . 故所求事件的概率P ＝ C D l l ''B 'B ＝π6·1π2 ·1＝13 . 【类题通法】 1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置． 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】 1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．1 3 B ．12 C ．23 D ．34 [答案] B [解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1 2 .故选 B. 2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与 AB 交于点M ，则AM 课题:古典概型 导学目标： 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 自主梳理 1．基本事件有如下特点： (1)任何两个基本事件是________的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成______________． 2．一般地，一次试验有下面两个特征 (1)有限性．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性．每个基本事件出现的可能性相同，称这样的概率模型为古典概型． 判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． 3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是________；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)＝________. 自我检测 1．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为( ) A .16 B .14 C .112 D .19 2．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是( ) A .112 B .110 C .325 D .12125 3．三张卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________． 4．有100张卡片(编号从1号到100号)，从中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率为________． 5．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(用分数表示). 探究点一 基本事件的概率 例1 投掷六个面分别记有1,2,2,3,3,3的两颗骰子． (1)求所出现的点数均为2的概率； (2)求所出现的点数之和为4的概率． 变式迁移1 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．问： (1)共有多少个基本事件？ (2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？ 探究点二 古典概型的概率计算 例2 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张 高三理科数学选择、填空训练题(1) 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 （1）若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（ ） （A ）)1,2(-- （B ）)1,2(- （C ）)1,2( （D ）)1,2(- （2）已知全集U R =，集合{ } 021x A x =<<，{} 3log 0B x x =>， 则()U A C B =（ ） （A ）{} 0x x < （B ）{}0x x > （C ）{}01x x << （D ）{} 1x x > （3）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点， 那么EF ＝（ ） （A ） AD AB 31 21- （B ）1142AB AD + （C ） 1132AB AD + （D ）12 23 AB AD - （4）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a ?=-，则110a a +=（ ） （A ）7 （B ）7- （C ）5- （D ）5 （5）已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，若(3)0.977P ξ<=， 则(13)P ξ-<<=（ ） （A ）0.683 （B ）0.853 （C ）0.954 （D ）0.977 （6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离为2 c （c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ） （A ） 37 （B ）273 （C ）73 （D ）7 7 3 （7）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若65911a a =，则119 S S ＝（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ） 1 2 2014高考数学（理科）小题限时训练10 15小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知集合A={1，2}，B={2，4}，则集合M={z|z=x ·y ，x ∈A ，y ∈B}中元素的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．复数)(22R a i a a z ∈+--=为纯虚数的充分不必要条件是 （ ） A ．0 B ．a=－1 C ．a=-1或a=2 D ．a=l 或a=-2 3． 如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的 两个测点C 与D ，测得∠BCD =15o ，∠BDC=30o ，CD=30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60o ，则塔高AB= （ ） A ．65 B ．315 C ．25 D ．615 4．已知等差数列{a n }中，前四项的和为60，最后四项的和为260，且S n =520，则a 7为 （ ） A ． 20 B ． 40 C ． 60 D ． 80 5．抛物线y 2=4x 与直线y=x-8所围成图形的面积为 （ ） A ． 84 B ． 168 C ． 36 D ． 72 6．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图，SA=SB=SC ， 且∠ASB=∠BSC=∠CSA=2 π，M ，N 分别是AB 和SC 的中 点，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为（ ） A ．5 10 B ． 515 C ．1010 D ．10 103 7．已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的一个焦点为F ，若椭圆上存在一个P 点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为 （ ） A ．3 5 B ．32 C ．22 D ．95 8．若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图象和直线y=x 无交点，给出下列结论： ①方程f[f （x ）]=x 一定没有实数根； ②若a ＜0，则必存在实数x O ，使f[f （x O ）] ＞x O ； ③若a+b+c=O ，则不等式f[f （x ）]＜x 对一切实数x 都成立； 专题二十 几何概型 1.长度类几何概型 例1：已知函数()2 2f x x x =--，[]5,5x ∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概 率是（ ） A ．1 10 B ．2 3 C ．3 10 D ．4 5 【答案】C 【解析】先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --≤?-≤≤， 从而在数轴上[]1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，∴ 3 10P = ，故选C ． 2．面积类几何概型 （1）图形类几何概型 例2-1：如图所示，在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，图中阴影部分是以AB 为直径的半圆，现在向矩形ABCD 内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ） A ．1000 B ．2000 C ．3000 D ．4000 【答案】C 【解析】在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，面积为22a ，半圆的面积为21 2a π， 故由几何概型可知，半圆所占比例为4π ，随机撒4000粒豆子， 落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C ． （2）线性规划类几何概型 例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ） A ．1 4 B ．1 3 C ．3 4 D ．7 16 【答案】D 【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ， 则所有基本事件构成的区域 满足024 024x y ≤≤≤≤??? ， 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A 满足 0240246x y x y ?≤≤? ≤≤??-≤? ，作出对应的平面区域如图所示： 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为()18187 1242416 S P A S Ω ?==- =?阴，故选D ． （3）利用积分求面积 例2-3：如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ） :()(0,1)x q f x a a a =>≠2012高考数学（理科）小题限时训练七 15小题共75分，时量：45分钟，考试时间：2012年9月12日第6节 姓名 一、选择题（每题5分共40分） 1．集合A={－1，0，1}，B={A x x y y ∈=,cos }，则A B=（ ） A. {0} B ． {1} C ．{0，1} D ．{－1，0，1} 2．已知:p 不等式2 1x a +≤的解集为φ，是减函数，则p 是 q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 3．直线 4022 2=+=++y x y x 截圆所得劣弧所对圆心角为 （ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π 4．已知角a 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角a 的终边在 （ ） A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y=x 上 D ．直线y=-x 上 5．若实数,x y 满足 2222111,2x y x y +=+则有 （ ） A ．最大值3+B ．最小值3+ C ．最大值6 D ．最小值6 6．复数i i +1在复平面中所对应的点到原点的距离为 ( ) A ． 2 1 B ．1 C ．22 D ．2 7． 设非常值函数() ()f x x R ∈是一个偶函数，它的函数图像()y f x = 关于直线2 x =对称，则该函数是 （ ） A. 非周期函数 B. 周期为 2 的周期函数 C. D. 周期为2的周期函数 8．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下： 当n 为偶数时，!!(2)(4)642n n n n =--?? 全国高考数学复习微专题：几何概型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 几何概型 一、基础知识： 1、几何概型： 每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 2、对于一项试验，如果符合以下原则： （1）基本事件的个数为无限多个 （2）基本事件发生的概率相同 则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率 3、几何概型常见的类型，可分为三个层次： （1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。 （2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题） （3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解 二、典型例题： 例1：已知函数()[]22,5,5f x x x x =--∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（ ） A. 110 B. 23 C. 310 D. 45 思路：先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x -- 2014高考数学（理科）小题限时训练19 15小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分 1 ．若()f x = ，则()f x 的定义域是（ ） A ．(,]1 - 02 B ．(,)1-+∞2 C ．(,)0+∞ D ．(,)1- 02 2．计算121 (lg lg 25)100=4 --÷（ ） A ．－10 B ．10 C ．20- D ．20 3．设函数???>-≤=-, 1,log 1, 1,2)(21x x x x f x 则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（ ） A ．1[-，2] B ．[0，2] C ．[1，+∞） D ．[0，+∞） 4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1<0，则下列结 论正确的是（ ） A ．f (1) 第6讲几何概型 一、选择题 1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为() A.4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 解析在区间[－2，3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的 概率为P＝3 5. 答案 B 2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆 中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1 3，则阴影部分的 面积是() A.π 3 B.π C.2π D.3π 解析设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率， 得S S′＝ 1 3，则S＝3π. 答案 D 3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log1 2? ? ? ? ?x＋ 1 2 ≤1”发生的概率为() A.3 4 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 4 解析由－1≤log1 2? ? ? ? ? x＋ 1 2≤1， 得1 2≤x＋ 1 2≤2， 解得0≤x≤3 2，所以事件“－1≤log1 2 ? ? ? ? ? x＋ 1 2≤1”发生的 概率为3 2 2＝ 3 4，故选A. 答案 A 4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π2 B.π4 C.π6 D.π8 解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积 ＝ 12π×121×2＝π 4. 答案 B 5.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B.1－π12 C.π6 D.1－π6 解析 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A . 则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部. ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝2 3π.∴P (A )＝23－23π2 3 ＝1－π12. 答案 B 6.已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4 时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
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