电力系统稳态分析--潮流计算

电力系统稳态分析

摘要

电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种重要的分析计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各母线的电压，各元件中流过的功率，系统的功率损耗。所以，电力系统潮流计算是进行电力系统故障计算，继电保护整定，安全分析的必要工具。

本文介绍了基于MATLAB软件的牛顿-拉夫逊法和P-Q分解法潮流计算的程序，该程序用于计算中小型电力网络的潮流。在本文中，采用的是一个5节点的算例进行分析，并对仿真结果进行比较，算例的结果验证了程序的正确性和迭代法的有效性。

关键词：电力系统潮流计算；MATLAB；牛顿-拉夫逊法；P-Q分解法；

目次

1 绪论 (1)

1.1背景及意义 (1)

1.2相关理论 (1)

1.3本文的主要工作 (2)

2 潮流计算的基本理论 (3)

2.1节点的分类 (3)

2.2基本功率方程式（极坐标下） (3)

2.3本章小结 (4)

3 潮流计算的两种算法 (5)

3.1牛顿—拉夫逊算法 (5)

3.2PQ分解算法 (10)

3.3本章小结 (15)

4 算例 (16)

4.1系统模型 (16)

4.2结果分析 (16)

4.3本章小结 (19)

结论 (20)

参考文献 (21)

附录 (22)

1 绪论

1.1背景及意义

电力系统稳态分析是研究电力系统运行和规划方案最重要和最基本的手段。电力系统稳态分析根据给定的发电运行方式和系统接线方式来确定系统的稳态运行状态，其中潮流计算针对电力系统的各种正常的运行方式进行稳态分析。

潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、负荷等元件的运行条件，确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算。通常给定的运行条件有系统中各电源和负荷点的功率、枢纽点电压、平衡点的电压和相位角。待求的运行状态参量包括电网各母线节点的电压幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等。

电力系统潮流计算问题在数学上是一组多元非线性方程式求解问题，其解法都离不开迭代。潮流计算方法的改进过程中，经历了高斯-赛德尔迭代法、阻抗法、分块阻抗法、牛顿-拉夫逊法、改进牛顿法、P-Q分解法等。现在比较常用的方法就是牛顿-拉夫逊法和P-Q分解法。对潮流计算的要求可以归纳为下面几点：

（1）计算方法的可靠性或收敛性；

（2）对计算机内存量的要求；

（3）计算速度；

（4）计算的方便性和灵活性。

1.2 相关理论

所谓潮流计算，就是已知电网的接线方式与参数及运行条件，计算电力系统稳态运行各母线电压、各支路电流与功率及网损。对于正在运行的电力系统，通过潮流计算可以判断电网母线电压、支路电流和功率是否越限，如果有越限，就应采取措施，调整运行方式。对于正在规划的电力系统，通过潮流计算，可以为选择电网供电方案和电气设备提供依据。潮流计算还可以为继电保护和自动装置定整计算、电力系统故障计算和稳定计算等提供原始数据。

在运行方式管理中，潮流是确定电网运行方式的基本出发点；在规划领域，需要进行潮流分析验证规划方案的合理性；在实时运行环境，调度员潮流提供了

多个在预想操作情况下电网的潮流分布以校验运行可靠性。在电力系统调度运行的多个领域都涉及到电网潮流计算。潮流是确定电力网络运行状态的基本因素，潮流问题是研究电力系统稳态问题的基础和前提。

1.3 本文的主要工作

本文介绍了电力系统潮流计算方法中的牛顿-拉夫逊法和PQ快速分解法的相关知识及其基本原理，并用MATLAB编写程序，最后通过一个5节点的算例来验证该程序的正确性，并对两种算法的结果进行了分析，对比了两种算法。

2 潮流计算的基本理论

2.1 节点的分类

用一般的电路理论求解网络方程，目的是给出电压源（或电流源）研究网络内的电流（或电压）分布，作为基础的方程式，一般用线性代数方程式表示。然而在电力系统中，给出发电机或负荷连接母线上电压或电流（都是向量）的情况是很少的，一般是给出发电机母线上发电机的有功功率和母线电压的幅值，给出负荷母线上负荷消耗的有功功率和无功功率。主要目的是由这些已知量去求电力系统内的各种电气量。所以，根据电力系统中各节点性质的不同，很自然的把节点分成三种类型。

（1）PQ节点

对这一类节点，事先给定的是节点有功功率和无功功率（P、Q），待求的未知量是节点电压向量(V， )，所以叫“PQ节点”。通常变电所母线都是PQ 节点，当某些发电机的输出功率P、Q给定时，也作为PQ节点。在潮流计算中，系统大部分节点属于PQ节点。

(2)PV节点

这类节点给出的参数是该节点的有功功率P及电压幅值V，待求量为该节点的无功功率Q及电压向量的相角θ。这类节点在运行中往往要有一定可调节的无功电源，用于维持给定的电压值。通常选择有一定无功功率储备的发电机母线或者变电所有无功补偿设备的母线作PV节点处理。

(3)平衡节点

在潮流计算中，这类节点一般只设一个。对该节点，给定其电压值，并在计算中取该节点电压向量的方向作为参考轴，相当于给定该点电压向量的角度为零。也就是说，对平衡节点给定的运行参数是V和θ，因此又称为Vθ节点，而待求量是该节点的P，Q，整个系统的功率平衡由这一节点承担。

关于平衡节点的选择，一般选择系统中担任调频调压的某一发电厂（或发电机），有时也可能按其他原则选择，例如，为提高计算的收敛性，可以选择出线数多或者靠近电网中心的发电厂母线作平衡节点。

以上三类节点4个运行参数P、Q、V、θ中，已知量都是两个，待求量也是两个，只是类型不同而已。

2.2 基本功率方程式（极坐标下）

在潮流计算中任何复杂的电力系统都可以归结为以下元件（参数）组成：发

电机（注入电流或功率）；负荷（注入负的电流或功率）；输电线支路（电阻、电抗）；变压器支路（电阻、电抗、变比）；母线上对地支路（阻抗和导纳）；线路上的对地支路（一般为线路充电电容导纳）。必须指出，如果仅研究稳态情况下的潮流而不涉及暂态过程的计算，则不需要发电机和负荷的阻抗参数，只需要给出发电机和负荷的注入功率和电流，并且规定发电机和负荷的注入功率和电流取正，而负荷取负。

在潮流计算中，节点功率可表示为：

^

^

j i j ij i i i V Y V jQ P ∑∈?

=+ （i=1,2,...n) （2.1）

若把电压表示为极坐标的形式，即

i j i i e V V θ=?

（2.2）

将导纳矩阵中元素表示为

ij ij ij jB G Y += （2.3）

这样，我们可以得到：

∑∈+-=+i

j ij ij ij ij j i i i j jB G V V jQ P )sin )(cos (θθ (i=1,2,...n) （2.4）

按实部和虚部展开，得到

(cos sin )

(sin cos )i i j ij ij ij ij j i

i

i j ij ij ij ij j i P V V G B Q V V G B θθθθ∈∈?=+??

=-??

∑∑ （2.5） 上式就是功率的极坐标方程式。该方程组在牛顿法和P-Q 分解法中起到了重要作用。

2.3 本章小结

在本章里主要介绍了电力系统的潮流计算的基本的理论。首先对电力系

统中三种节点进行了详细的阐述；其次，介绍了在极坐标的情况下的电力系统的潮流计算的功率方程，为下文的潮流计算分析打下基础。

3 潮流计算的两种算法 3.1 牛顿—拉夫逊算法

牛顿-拉夫逊算法产生于50 年代末期，是一种实用且有竞争力的电力系统潮流计算方法，求解非线性方程式的典型方法。在稀疏矩阵技巧和高斯消去法被应用以后，其真正的价值才体现出来。该方法有较好的收敛性，迭代次数少，在电力系统潮流计算中也得到应用。目前，牛顿法潮流计算是最为广泛、效果最好的一种潮流计算方法。 3.1.1 基本原理

该方法把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，通常称为逐次线性化过程，经过一步步的迭代，得到最终的结果。

设有非线性方程式：0)(=x f （3.1） 设(0)x 为该方程式的初值。

(0)(0)x x x =-? （3.2）

(0)x ?为初值(0)x 的修正量。

将式（3.2）代入式（3.1），可以得到

(0)(0)()0f x x -?= （3.3）

按泰勒级数展开。因为(0)x ?很小，(0)x ?二次以及二次以上的各项均可以略去，可以得到简化的方程式：

(0)'(0)(0)()()0f x f x x -?= （3.4）

上式是对于变量修正量(0)x ?的线性方程式，即修正方程式，解得：

(0)(0)

'(0)()

()

f x x

f x ?= （3.5） 上式求得的)0(x ?不是方程真正的解，我们需要进行反复的迭代，一步步的趋近方程式的解，得到最逼近的值。这样反复下去，就构成了不断求解非线性方程式的逐次线性化过程。第t 次迭代时的参数方程为

0)(')()()()(=?-t t t x x f x f （3.6）

当0)()(→t x f 时，就满足了原方程式（3.1），因而)(t x 就成为该方程的解。式中)(')(t x f 是函数0)(=x f 在)(t x 点的一次导数，也就是曲线在)(t x 点的斜率，如图3.1所示，

()'()()t t tg f x α= （3.7）

修正量)(t x ?则是由)(t x 点的切线与横轴的交点来确定，由图3.1可以直观的看出牛顿法的求解过程。

y

x

x

(1)t x +?(1)

t x +()

t x

?()

t α(1)()t f x +()

y f x =()()

t f x o

图3.1 牛顿法的几何解释

现在把牛顿法推广到多变量非线性方程组的情况。设有变量12,,,n x x x 的非线性联立方程组：

11221212(,,,)0(,,,)0(,,,)0n n n n f x x x f x x x f x x x =?

?=?

??

?=?

(3.8)

给定各变量初值)

0()0(2)0(1,,,n

x x x ，假设)

0()0(2)0(1,,,n

x x x ??? 为其修正量，

并使其满足

??

?

?

???

=?-?-?-=?-?-?-=?-?-?-0),,,(0),,,(0),,,()

0()0()0(2)

0(2

)0(1)0(1)

0()0()0(2)0(2

)0(1)0(12)

0()

0()

0(2)0(2)0(1)0(11n n n n n n n

x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f

（3.9）

对以上n 个方程式分别按泰勒级数展开，当忽略)

0()

0(2)

0(1,,,n

x x x ??? 所组成

的二次项和高次项时，可以得到

??

??

?

?

?

??

??

??=???????????+???+???-=???

????????+???+???-=???

????????+???+???-0),,,(0),,,(0),,,()

0(0)0(202)0(101)0()0(2)0(1)

0(02)0(2022)0(1012)0()0(2)0(12)0(01)0(2021)0(1011)0()0(2

)

0(1

1n n n n n n n n n n n n n

x x f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f x x x f （3.10） 式中：

i

i x f ??为函数),,,(21n i x x x f 对自变量j x 的偏导数在点

（)

0()

0(2)

0(1,,,n

x x x ??? ）处的值。

把上式写成矩阵形式：

?????

???

???????????

??????

???

?

???

???????????????????????????=??????????????)0()0(2

)

0(100201

02022012

01021011)

0()0(2)0(1)

0()0(2)0(12)

0()0(2)0(11),,,(),,,(),,,(n n n n n n n n n n n x x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f

（3.11） 一般第t 次迭代式的修正方程为

?????

??

?

???????????

?????????

?

???

???????????????????????????=??????????????)()(2

)

(121

22212

12111

)

()(2)(1)

()(2)(12)

()(2)(11),,,(),,,(),,,(t n t t t n n t n t n t n t t t n t t t n t t n t n t t t n t t x x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f

(3.12) 上式可以简写为

)()()()(t t t X J X F ?= (3.13)

同样，也可以写出：

)()()1(t t t X X X ?-=+ (3.14)

上式中，)(t J 为第t 次迭代时的雅克比矩阵，

)(t x ?为第t 次迭代时的修正量向量。这样交替反复求解就可以使)(t X 趋近方程组的真正解。

为了判断收敛情况，可采用一下两个不等式中的一个：

{}

1)

()(2)(1,,(max ε

{}

2m ax ε

式中，21,εε为预先给定的很小正数。

3.1.2 算法求解分析

将式（2.5）的功率方程式代入到上面的分析之中，将这两个方程改写成残差的形式，即：

()(cos sin )1,2(cos sin )i is i j ij ij ij ij j i

i

is i j ij ij ij ij j i P P V V G B i n Q Q V V G B θθθθ∈∈??=-+?=??=--??

∑∑ （3.17）

其中：ij θ为节点i 和j 之间的电压相角差；ij G 和ij B 分别为支路电导和电纳；

i V 和j V 分别为节点i 和j 的电压向量。对式（3.16）进行泰勒级数展开，取一次

项近似，即可得到牛顿法潮流计算的修正方程式，即：

P ///////P P U H

N J Q Q Q U V V M L V V V V θ

θθθθ??????????????????????

==-=?????????????????????????

????

?????

（3.18） 式中，电压幅值的修正量采用112211/,/,/n r n r V V V V V V ----??? 的形式没有特殊意义，只是为了使雅克比矩阵中各元素具有比较相似的表达式。其中：

i

P ?和

i

Q ?为潮流方程的有功功率和无功功率残差向量；U ? 和θ? 为母线电压修正

量；系数J 为雅可比矩阵

对方程式（2.9）进行变换即可得到变量U ?和θ?的求解公式，即：

1/P J U U Q θ-???????=?????????

（3.19）

雅可比矩阵各元素可表达为：

()()()2sin cos i j ij ij ij ij i ij i ii i VV G B i j P H V B Q i j θθθ?--≠???==???+=??

（3.20）()()()2cos sin i j ij ij ij ij i ij i ii i VV G B i j P N V V G P i j θθ?-+≠???==???--=?? （3.21）()()()2cos sin i j ij ij ij ij i ij j j ii i VV G B i j Q M V V G P i j θθθ?+≠???==???-=??

（3.22） ()()()2sin cos i j ij ij ij ij i ij j i ii i VV G B i j P L V V B Q i j θθθ?--≠???==???-=??

（3.23） 牛顿法潮流计算的具体步骤大致分为： ① 输入原始数据计算节点导纳矩阵； ② 给出各节点电压初值()0V ；

③ 将电压初值代入,求出P ? Q ?。判断是否满足收敛条件，如果满足，则停止计算。否则，继续进行下面的步骤；

④ 将电压初值代入求出雅可比矩阵J ；

⑤ 解潮流残差方程，求出节点电压的修正量V ?； ⑥ 修正节点电压向量(

)

()()1t t

t

V V V +=+?；

⑦ 判断是否满足收敛条件，如果满足，则停止计算，否则，再以V ? 为初值，返回第③步进行下一次迭代。

⑧ 计算支路功率分布，PV 节点无功功率和平衡节点注入功率。 ⑨ 输出结果，并结束。 流程图如下所示：

开始

输入原始数据

形成节点导纳矩阵

设定精度误差Pr 及迭代次数K =0

计算()()

,k k P Q ??收敛否

求雅克比矩阵元素

解方程式求()()

,k k V θ??求修正节点电压

K =K +1

结束

求PV 节点无功功率和平衡节点功率

求支路功率分布和损耗

是

是

否

否

图3.2 牛顿法流程图

使用牛顿-拉夫逊法有以下优点：

（1） 收敛速度快，具有平方收敛特性，迭代次数与系统规模基本无关，若初值选择得较好，一般迭代几次就能收敛；

（2） 对于有些病态条件的问题，也能利用该方法求解； （3）应用了稀疏矩阵技巧，所需计算机内存适中。

牛顿-拉夫逊法虽是一种广泛使用的方法，但也存在以下缺点。

（1）编程比较复杂，且收敛速度的快慢和迭代次数与初始值的好坏有很大的关系，如果初始值选择不合适有可能永远不收敛；

（2）因非对称的雅可比矩阵不是固定的，每次迭代都需要重新计算，大量的求导运算，计算量很大，降低了计算速度。

3.2 PQ 分解算法

针对牛顿-拉夫逊法计算速度方面存在的不足和电力系统实现在线控制的要

求，在改进牛顿-拉夫逊法的基础上，提出了快速解耦算法。快速解耦算法派生于牛顿-拉夫逊法的极坐标形式，又称为PQ 分解法。其基本思想是：把节点功率表示为电压向量的极坐标方程式，抓住主要矛盾，把有功功率误差作为修正电压向量角度的依据，把无功功率误差作为修正电压幅值的依据，把有功功率和无功功率迭代分开进行。它密切地结合了电力系统的固有特点，无论是内存占用量还是计算速度方面都比牛顿-拉夫逊法有了较大的改进。

当节点功率方程式采取极坐标表达式时，修正方程式为：

??

?

??????????

?=????????V V L J N H

Q P /θ （3.24） 这相当于把2(n-1)阶的线性方程组变成了两个n-1阶的线性方程组，将P 和Q 分开来进行迭代计算，因而大大地减少了计算工作量。但是H ，L 在迭代过程中仍然在不断的变化，而且又都是不对称的矩阵。对牛顿法的进一步简化，即把式（3.23）中的系数矩阵简化为在迭代过程中不变的对称矩阵。

在一般情况下，线路两端电压的相角ij θ是不大的，因此，我们可认为

cos 1

sin ij ij

ij ij G B θθ≈???

<

2

i LDj ii i

Q B B U =

<< 或 2

i i ii Q U B << （3.26） 考虑到以上关系，式（3.23）的系数矩阵中的各元素可表示为

ij i j ij H VV B = (,1,2,...,i j n =- （3.27） ij i j ij L VV B = (,1,2,...,i j m

= （3.28） 由于高压电力系统中有功功率潮流主要与各节点电压向量的角度有关，无功功率潮流则主要受各节点电压幅值的影响。因此，将有功功率和无功功率分解开来迭代，可简化为：

?

??

?=??=?V V L Q H P /θ （3.29）

将上式中的系数矩阵简化为在迭代过程中不变的对称矩阵。

进一步可以把其表示为以下矩阵的乘积：

1111

112211,112211222222,1111,1111,2211,11.........n n n n n n n n n n n n U B U U B U U B U U B U U B U U B U H U B U U B U U B U ------------??????=?????? 1112

1,

1112122

2,12

21,1

1,2

1,111...

......n n n n n n n n B B B

U U B B B U U B B B U U --------???????????????

???=???????????

??

??

?

??

11'D D U B U = (3.30）

11111122112211222222122.........m m m m m m m m m m mm m U B U U B U U B U U B U U B U U B U L U B U U B U U B U ??

????=??????

1111211

22122221

2

1...

......m m m m m mm n U B B B U U B B B U U B B B U -??????????????????=???????????

??

????

?

22''D D U B U = （3.31）

将式 (3.29）和（3.30）代入式 （3.23）中，得到

[][][][][][][][][]

112'''D D D P V B V Q V B V θ??=-???

?=-??? （3.32） 用[]1

1D V -和[]1

2D V -分别左乘以上两式，便得

[][][][][][][][][]

11112'''D D D V P B V V Q B V θ--??=-????=-??? （3.33） 由此可以将修正方程式变为：

11121,1111121222,122221,1

1,2

1,11111///n n n n n n n n n n B B B P V V B

B B P V V B B B P V V θθθ----------??????

??

?????????

?????=????????????

????????

（3.34）

11111211222122221

2

///m m m m m m mm m Q V B B B V Q V B B B V Q V B B B V ????????

??????????????=??????

??????

????????

（3.35）

在这两个修正方程式中系数矩阵元素就是系统导纳矩阵的虚部，因而系数矩阵是对称矩阵，且在迭代过程中保持不变，这就大大减少了计算工作量。

用极坐标表示的节点功率增量为:

11(cos sin )

(sin cos )

n

i is i j ij ij ij ij j n

i is i j ij ij ij ij

j P P V V G B Q Q V V G B θθθθ--?

?=-+??

???=--??

∑∑ （3.36） 式（3.33）、（3.34）、（3.35）构成了PQ 分解法迭代过程的基本方程式。

P-Q 分解法迭代步骤为： （1）给定各节点电压向量的电压初值)0(i θ、)0(i V 。 （2）计算各节点有功功率误差i P ?，并求出i i V P /?。

（3）解修正方程式，并进而计算各节点电压向量角度的修正量i θ?。 （4）修正各节点电压向量角度i θ

（5）计算各节点无功功率误差i Q ?，并求出i i V Q /? （6）解修正方程式，求出各节点电压幅值的修正量i V ?。 （7）修正各节点电压幅值i V 。

（8）返回②进行迭代，知道各节点功率误差i P ?及i Q ?都满足收敛条件。 流程图如下所示：

输入节点和支路数据建立节点导纳矩阵Y

形成矩阵'B 和''B ，设PQ 节点电压初值，各节点电压相角初值

置迭代次数0=k

1,1p Q k k ==

()

max ?k i

P P ε?≤计算相角修正量)

(k i

θ?，求得)()()

1(k i k i k i

θθθ+?=+

用公式计算不平衡功率()

,k i

P ?计算()()/k k i i P V ??

计算电压修正量)

(k i

V ?，求得)()()

1(k i k i k i

V V V +?=+

计算平衡节点功率

1

+=k k 置0P k =

0?

Q k =输出数据

是

否

是

是

否

否

置1Q k =

用公式计算不平衡功率()

k i

Q ?计算()

()/k k i

i Q U ?

置0Q k =

是

否

()max ?

k i Q Q ε?≤置1P k =

0?

Q k =

图3.3 PQ分解法流程图

PQ分解法修正方程式的一个显著的特点就是：用一个（n-1）阶和一个m阶的系数矩阵'B和''B替代原有的（n+m-2）阶系数矩阵J，提高了计算速度，降低了对存储容量的要求，使得求逆等运算量大幅度的减少。

3.3 本章小结

本章主要介绍了电力系统潮流计算时两种常用方法。首先，着重介绍了牛顿-拉夫逊法，推到了在极坐标情况下的迭代的方法和公式。该方法具有很好的收敛性，但要求有合适的初值。其次，介绍了P-Q分解法并推导了相关公式。P-Q 分解法是极坐标形式的牛顿-拉夫逊法的简化算法，由于简化只涉及修正方程的系数矩阵，并未改变节点功率平衡方程和收敛判据，不会降低计算结果的精度，但极大提高了计算速度。

4 算例 4.1系统模型

电力系统模型如图4.1所示，系统的参数见图。此系统中共有1个平衡节点、1个PV 节点及3个PQ 节点。

1:1.05

j0.015

0.08+j0.30

j0.25

j0.25

1.05:1

j0.03

V=1.05Θ=0

3.7+j1.3

1.6+j0.8

0.1+j0.35

0.04+j0.25

j0.25

j0.25

2+j1

P=5V=1.05

1

3

2

4

5

图4.1 电力系统模型

4.2 结果分析

按照上图中所示的系统数据，得到如下面所示。

（1） 系统的输入要求以及对于给定的5节点系统的原始数据的输入，如下

所示：

图4.2 输入说明以及原始数据输入

（2）通过程序计算得到的节点导纳矩阵如下：

图4.3 节点导纳矩阵（3）通过算法得到牛拉法的计算结果为：