刚体定轴转动

1、语句进一步变为你讲的简单句，

2、要标好各标题，

3、公式整齐、字体大小一样，重要公式要标号。

4、摘要重写，内容：本文中你作了什么，得出什么

结论，

5、总结是摘要的扩充，详细论述你作了什么，得出

什么结论。

6、参考文献少，并标页（如4到8页），力学、理论

力学书上都有刚体内容

7、好多公式中角速度符号不对，

8、论述顺序：

1）刚体定轴转动的角位移、角速度、角加速度如何

表示，文字和公式都写

2）刚体定轴转动的角动量、动能如何表示，文字和公式都写

3）固定轴的动量矩定理如何表示，文字和公式都写 4）线量与角量的关系如何表示，文字和公式都写

9 刚体定轴转动与质点匀加速直线运动的对比：

这段中列表给出两种运动的相应量，并论述

刚体定轴转动的教学研究

陈爽（学号：20081116127）

（物理与电子信息学院物理学专业2008级汉班，内蒙古呼和浩特

010022）

指导老师：赵凤岐

1摘要刚体力学是理论力学中一节比较重点的章节。它是继学习了质点力

学与质点组力学之后又一重点、难点课程，它是质点后又一个重要的物理模型。刚体这种模型比质点更接近实际，这个章节理解的情况直接关系到以后其他物理模型的建立。

关键词：刚体定轴转动直线运动

1 刚体定轴转动的内容

2·1刚体

在任何力的作用下，体积和形状都不发生改变的物体叫做刚体。在物理学内，理想的刚体是一个固体的，尺寸值有限的，形变情况可以被忽略的物体。不论有否受力，在刚体内任意两点的距离都不会改变。在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行。

刚体是力学中的一个科学抽象概念，即理想模型。事实上任何物体受到外力，不可能不改变形状。实际物体都不是真正的刚体。若物体本身的变化不影响整个运动过程，为使被研究的问题简化，可将该物体当作刚体来处理而忽略物体的体积和形状，这样所得结果仍与实际情况相当符合。

2.2刚体定轴转动的定义及特点

刚体上每点绕同一轴线做圆周运动,且转轴空间位置及转动方向保持不变.

如果刚体在运动过程中，至少有两个质点保持不动，那么将这两个质点的连线取为一个坐标系的一个公共坐标轴(z)轴，则刚体上各点都饶此轴作圆周运动，这种运动称为定轴转动。

刚体作定轴转动时，整个刚体绕一固定的轴转动．其上各点的位移、速度和加速度是不相同的．但各点转过的角度却相同．所以在定轴转动中，应当用角度来描述刚体的运动．作定轴转动的刚体只有一个自由度

2·3定轴转动各个基本量的描述

P，都在垂刚体绕固定轴转动时，如取固定轴为z轴，则刚体中任何一点

i

直于z轴的平面内，亦即在平行于xy平面内作圆周运动，而以z轴与此平面的交点O'为圆点，如图1所示。

既然各点的轨道都是平行于xy 平面而以z 轴上某点为圆点的圆周，那么只要考虑任一与xy 平面相平行的平面内的运动情况就可以了。设在一平面内，某一

质点的位失是i r ，它和z 轴的垂直

距离为)(i i i R R P O '=，则因各点的线位移、线速度和线加速度都和)(i i r R 或有关，

不甚方便，所以常用角量来表征整个刚体的运动情况。因为在定轴转动中，各点的角位移θ,加速度w 和角加速度α都是一样。

而且只要知道了角位移θ，就能完全确定刚体的位置，所以刚体作定轴转动时，只有一个独立变量。 如果在某一时刻，质点i P 的线速度为i v ，则由式r w dt

r d v ?==知 i i

v r ω=?

式中w 是刚体绕z 轴转动的加速度。写成标量形式，则为

w R wr v i i i i ==θsin

在定轴转动中，w 的方向不变，恒沿固定的转动轴，其量值则可改变，每一

质点都在与xy 平行的平面内作半径为i R 的圆周运动，故其加速度可分为切向分

量it a 及法向分量in a ，即 ?????======i

i i i in i i i it wv w R R v a R w R v a 22α 式中α是角加速度。在定轴转动中，α的指向与w 相同或相反，并且也是沿

着同一转动轴线。

由定轴转动的特点可知，刚体做定轴转动时只有一个独立变量—角速度，用ω表示。 设刚体在主动力1F ,2F ,…,n F 的作用下，绕固定轴转动，则可将固定轴当做轴z （图2），而按固定轴的动量矩定理，得

z z M dt

J d = (1) 因为0==y x ωω,ωω=z ,故由式(1)知

ωωzz z zz z I I J == (2)

式中zz I 为刚体绕z 轴的转动惯量.

把式中的(2)代入式(1)，并且因为zz I 为常量，即得刚体绕固定轴转动

的动力学方程为

αω

zz zz x I I M == (3) 式(3)与质点动力学中的F=ma 形式相似。

定轴转动的动能与角动量

通过上面的推导，联系刚体的转动动能公式)222(2

1222y x xy x z zx z y yz z zz y yy x xx w w w w w w w w w I -I -I -I +I +I =T 可得到刚体定轴转动的动能公式22

1w zz I =T 刚体定轴转动定理：

由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为 1J 、 2J 、…i J ，

则该系统对该轴的角动量为：

对于该系统还有

在外力矩作用下，从 ,

角动量

变为 , 则由 得 角动量定理的微分形式：

定义

为 时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。 2.3刚体定轴转动与直线运动的对比

i i i z J L ω∑

= ,2,1=i ??? ??==∑i i i Z Z J t t L M ωd d d d t t →0()00ωJ L z =ωJ L Z =()ωJ dt d M z =00d ωωJ J t M t t -=??t t t M 0d 0t t t -=?

通过上表的分析刚体定轴直线运动与质点的直线运动相似。在教学中可运用质点力学中F=ma对比讲解定轴转动。这种方法称为类比教学法。类比法（Method of analogy）也叫“比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。在数学教学过程中,经常会发现某些不同问题在一定范围内具有形式上的相似性,其中包括数学新概念的相似性、数学新定理的相似性、数学题型的相似性等等。类比法就在于发现和探索这一相似性,从而利用已知系统的数学规律去寻找未知系统的数学规律。

3.2基本概念的对比讲解

刚体转动与质点力学都是机械运动的内容。刚体的转动是机械运动的转动部分，质点力学是机械运动的平动部分。在理论力学教材中，质点力学在最前面，随后是刚体力学，而且初、高中对力学的讲解都是以质点为模型，学生对于质点的理解比较深刻，容易接受，所以讲解刚体定轴转动时可由对刚体的定义出发。刚体是由特殊的质点组成的特殊质点组，特殊在这一质点组，在外力的作用下，系统内的任意两个质点间的距离始终保持不变，从而让定轴转动与质点密不可分。对于激发学生的学习兴趣，降低理解难度有帮助，但是必须清楚两者表示的物理模型。多数情况下，质点主要用来处理机械运动的平动问题，刚体主要用来处理机械运动的转动问题。

3.3基本量的对比讲解

在刚体的定轴转动过程中主要涉及以下几个物理量及物理方程：

角速度ω

角加速度α

转动惯量 I

动量矩 J

转动力矩 M

αI M = 22

1ωzz I T =

在质点力学中涉及的物理量及方程： 速度 v

加速度 a

质量 m

动量 p

力 F

ma F = mv P = 22

1mv E k =

通过对比不难发现质点的运动学规律与刚体定轴转动的规律有相似之处。 质量与转动惯量分别是质点力学和刚体转动力学最基本的量，在各自的领域的地位相当。质量已经不是新概念了，但是应该强调它的物理意义，是平动惯量的量度。转动惯量是转动中惯量大小的量度，但是转动惯量又具有其特殊性，转动惯量在具体问题中是一个需要计算的量，它与刚体质量、刚体的质量分布即转轴的位置有关。在涉及运动过程时，力（F ）与力矩（M ）就分别是最基本的量，牛顿第二定律与刚体的定轴转动定律分别是质点的平动和刚体的转动的最基本定律。其中加速度（a ）与角加速度（α）它们的地位相当。速度（v ）与角速度（ω）地位也相当。

通过了解这些学生不难推出、理解刚体的角动量，转动动能。 3.4导出公式的对比

通过上述对一般量的对比，发现了许多相似之处。其导出公式也有许多相似之处。首先回顾牛顿第二定律的微分形式，继而是力对时间的积分和空间的积分问题，即分别是冲量（I ）和功（W ）,就是质点的动量定理和动能定理。力和

力矩是相当的物理量，可得到力矩对时间和空间的积分分别是?21t t dt M 和?21

θθθd M ，表示冲量矩与力矩功，而冲量矩和力矩的功分别可用角动量的增量和转动动能的增量表示的，分别是刚体定轴转动的角动量定理和刚体定轴转动的动能定理。 4总结

通过以上的分析，在进行刚体定轴转动的讲解时，可以利用质点力学的分析方法，类比进行讲解。首先要明确质点与刚体之间的区别与联系，强调两者的适用范围，对比质点力学，强调质点力学中各个物理基本量作用。分析刚体定轴转动的特点，与质点力学进行紧密联系，在教学中大量运用对比、分析出各个系统中的对应的相当物理量，从而进行类比式讲解。在掌握基本量的基础上，再对一般公式、定理进行类比式推导，这样使难懂的定轴转动转换为易学易懂的质点运动学的另一个刚体版本。这样才有助于教师的讲解即学生的理解。

图1 图2 【1】 周衍柏 理论力学教程 高等出版社 2009年7月第三版 139138P P .

【2】李化南

刚体定轴转动讲授心得 赤峰学院报 2008年7月第二十四转 第4期