博弈论

博弈论

1 引言

博弈论包括局中人，策略和支付函数三个要素。有n个局中人参入的博弈称为n人博弈, n≥ 2。每个局中人有个支付函数，其收益或损失由所有局中人的策略按照该支付函数计算。每个局中人采用的策略可以是其多个策略中的某一个，或者是策略的某种概率分布。前者称为纯策略博弈，后者称为混合策略博弈。纯策略可以看作是混合策略的特殊情形。根据局中人之间的关系，博弈分为合作博弈和非合作博弈。每个局中人都希望使自己的利益最大化。但是在非合作博弈中，由于局中人的利益是互相冲突的，只能寻求一组策略使每个局中人较为满意。一组策略是指由每个局中人的一种策略构成的策略组合。如果存在一个策略组合，无论那个局中人单方面地改变其策略，不会使其收益增加，只可能使其收益减少，这个策略组合就叫做納什均衡（或納什均衡解、納什均衡点）。以下是关于納什均衡的正式定义及其存在性定理（见[1]）。

Formal definition

Let (S,f) be a game with n players, where S i is the strategy set for player i, S = S1?S2?…?S n is the set of strategy profiles and f = (f1(x), f2(x), … , f n(x)) is the payoff function for x∈S. Let x i be a strategy profile of player i and x-i be a strategy profile of all players except for player i. When each player i∈ {1, 2, … , n} chooses strategy x i resulting in strategy profile x = (x1, x2, … , x n) then player i obtains payoff f i(x). Note that the payoff depends on the strategy profile chosen, i.e., on the strategy chosen by play i as well as the strategies chosen by all the other players. A strategy profile x*∈S is a Nash Equilibrium (NE) if no unilateral deviation in strategy by any single player is profitable for the player, that is

?i, x i∈S i: f i(x i*, x-i*) ≥f i(x i, x-i*).

Nash’s Existence Theorem

If we allow mixed strategies, then every game with a finite many pure strategies has at least one Nash Equilibrium.（有限策略的非合作n人博弈至少有一个納什均衡）

2 二人博弈

2.1 纯策略博弈

局中人I有m个策略A1, A2, … , A m，局中人II有n个策略B1, B2, … ,B n，不同策略下双方的收益如表2.1所示([2]p72)。

表2.1 二人博弈的收益表

由每个单元格中前一个数字构成的矩阵A = (a ij)m?n是局中人I的收益矩阵，由后一个数

字构成的矩阵B = (b ij )m ?n 是局中人II 的收益矩阵。

当局中人II 采用某策略B j 时，如果局中人I 采用其m 个策略中的策略A i 可以获得最大收益，称A i 是对B j 的最优反应。同样，当局中人I 采用某策略A i 时，如果局中人II 采用其n 个策略中的策略B j 可以获得最大收益，称B j 是对A i 的最优反应。当A i 和B j 互为最优反应时，称(A i , B j )为该博弈的纯策略納什均衡点。纯策略博弈问题可能有一个，多个或没有納什均衡点。

下面介绍计算纯策略納什均衡点的一种方法。

在局中人I 收益矩阵A = (a ij )m ?n 每一列的最大数字上标上*号，在局中人II 收益矩阵B = (b ij )m ?n 每一行的最大数字上标上*号。如果同一位置有两个*号，那么其相应的两个策略是納什均衡点。

例2.1 某博弈问题的博弈表为表2.2。求其纯策略納什均衡点。

表2.2 某博弈问题的收益表

解 在甲方收益矩阵每一列的最大数字上标上*号，在乙方收益矩阵每一行的最大数字上标上*号。单元格(3, 3)有两个*号，所以策略(A 3, B 3)是此博弈问题的納什均衡点。

2.2混合策略博弈

如果没有纯策略納什均衡，可考虑求混合策略納什均衡解。设局中人I 策略的分布为(x 1, x 2, … ,x m ), 局中人II 策略的分布为(y 1, y 2, … ,y n )。那么

x 1 + x 2 +… + x m = 1, x 1, x 2, … ,x m ≥ 0,

y 1 + y 2 + … + y n = 1, y 1, y 2, … ,y n ≥ 0. 局中人I 的期望收益为

E 1(X , Y ) =

∑∑==m i n

j j i ij y x a 11

= X T AY .

局中人II 的期望收益为

E 2(X , Y ) =

∑∑==m i n

j j i ij y x b 11

= X T BY .

其中X = (x 1, x 2, … ,x m )T , Y = (y 1, y 2, … ,y n )T 。

例2.2 (现价折扣促销博弈[2]p73) 考虑销售商与消费者之间的博弈。销售商有“明天打折销售”和“今天打折销售”两个策略，消费者有“明天购买”和“今天购买”两个策略。双方的收益见表2.3，求混合納什均衡解。

表2.3 销售商与消费者博弈的收益

解 由表2.3可以看出此博弈问题没有纯策略納什均衡点。销售商和消费者的收益矩阵分别为

A = ???? ??4793,

B =

???

?

??9347. 现求其混合策略納什均衡解。为此，设销售商采用两个策略的概率分别为x 和1 - x ，

消费者采用两个策略的概率分别为y 和1 - y 。记X = (x , 1 - x )T , Y = (y , 1 - y )T , 那么

(消费者明天购买的期望收益, 消费者今天购买的期望收益)

= X T B = (x , 1 - x )???

?

??9347= (3 + 4x , 9 - 5x ).

一个合理的假设是：销售商确定的x 最好使得消费者无论哪一天购买商品都无所谓，即

使得3 + 4x = 9 - 5x 。由此得x = 2/3, 1 - x = 1/3。另外

???? ??收益销售商今天打折的期望收益销售商明天打折的期望

= AY = ???? ??4793???? ??-y y 1=???

?

??+-y y 3469. 基于同样的考虑，令9 - 6y = 4 + 3y ，得y = 5/9, 1 - y = 4/9。

所以销售商的混合策略X = (2/3, 1/3)T , 消费者的混合策略Y = (5/9, 4/9)T 。 下面求销售商和消费者的期望收益。由于AY 的两个分量(AY )1和(AY )2相等，X 的两个分量和为1，销售商的期望收益

E 1(X , Y ) = X T AY = (AY )1 = 9 - 6 ? 5/9 = 17/3.

由于X T B 的两个分量(X T B )1和(X T B )2相等，Y 的两个分量和为1，消费者的期望收益

E 2(X , Y ) = X T BY = (X T B )1 = 3 + 4 ? 2/3 = 17/3.

2.3二人有限零和博弈

在二人零和博弈中，一个局中人的收益等于另一个局中人的损失，即b ij = -a ij 。这时仅用一个局中人的收益矩阵，如A = (a ij )m ?n 即可。

寻找纯策略納什均衡点的方法是：在A = (a ij )m ?n 每一行的最大数字上标上*号，再每一列的最大数字上标上*号。如果有一个数字上有两个*号，那么其相应的两个策略是纯策略納什均衡点。

如果没有纯策略納什均衡点，再考虑求混合策略納什均衡解。设局中人I 策略的分布为(x 1, x 2, … ,x m ), 局中人II 策略的分布为(y 1, y 2, … ,y n )。

局中人II 采用策略B j 时，局中人I 的期望收益为∑=m

i i ij x a 1，j = 1, 2, … ,n 。为了使这些

期望收益最大化，可使用以下线性规划模型求局中人I 的最优策略([4]p400)。

Max w

s.t.

∑=m

i i ij x a 1

≥ w , j = 1, 2, … ,n ,

x 1 + x 2 + … + x m = 1,

x 1, x 2, … ,x m ≥ 0. (2.1)

从另一方讲，局中人I 采用策略A i 时，局中人II 的期望损失为∑=n

j i ij y a 1

，i = 1, 2, … ,m 。

为了使这些期望损失最小化，可使用以下线性规划模型求局中人II 的最优策略。

Min v

s.t.

∑=n

j j ij y a 1

≤ v , i = 1, 2, … ,m ,

y 1 + y 2 + … + y n = 1,

y 1, y 2, … ,y n ≥ 0. (2.2)

按照线性规划对偶的定义，模型(2.1)和(2.2)互为对偶。由于它们有可行解，所以都有最优解，并且最优目标函数值相等。

2.4 连续策略博弈

在以上几节介绍的博弈问题中，每个局中人仅有几个策略，称为有限策略的博弈问题。策略可以是连续变量，这时的博弈称为连续策略博弈。古诺模型是连续策略博弈的一个有名例子([2]p44)。

例2.3 假设寡头市场上只有两个厂商生产完全相同的产品，他们各自决定自己的产量。假设市场出清价格P 是商品总供给量Q 的线性函数：P = P (Q ) = 8 - Q ；产量为q 时的收益为u = qP (Q ) - 2q 。问两厂商各生产多少产品供给市场双方收益较为满意。

解 设两厂商的产量分别为q 1和q 2，那么收益函数分别为

u 1(q 1, q 2) = q 1P (Q ) - 2q 1 = q 1[8 -( q 1 + q 2)] - 2q 1 = 6q 1 - q 1q 2 - q 12, u 2(q 1, q 2) = q 2P (Q ) - 2q 2 = q 2[8 -( q 1 + q 2)] - 2q 2 = 6q 2 - q 1q 2 - q 22. 此问题需要求解以下极大值：

?????--=--=2

2212221

21116max 6max 2

1

q q q q u q q q q u q q 令

1

1q u ??= 6 - q 2 - 2q 1 = 0, 22

q u ??= 6 - q 1 - 2q 2 = 0.

两式联立解得q 1 = q 2 = 2。所以商品总量Q = 2 + 2 = 4，价格P = 8 - Q = 8 - 4 = 4。双方收

益均为2 ? 4 - 2 ? 2 = 4，两厂商的收益之和为8。

如果厂商II 保持产量q 2 = 2不变，厂商I 单方面将其产量由q 1 = 2变为q 1 = 2 + δ，δ是个绝对值很小的数。那么，产品价格将为P = 8- (4 + δ) = 4 - δ, 厂商I 的收益变为

u 1’ = (2 + δ)(4 - δ) - 2(2 + δ) = 4 - δ2 < 4，

即厂商I 的收益会减少。反过来也一样。所以(q 1, q 2) = (2, 2)确实是此博弈问题的納什均衡。

以上是两厂商竞争的结果。如果两厂商合并为一个公司共同生产Q 数量的产品供给市

场，其收益函数为

U = QP (Q ) - 2Q = Q (8 - Q ) - 2Q = 6Q - Q 2.

令

Q

U

??= 6 - 2Q = 0, 得Q = 3，收益U = 6 ?3 - 32 = 9。可见两厂商合并后，生产的产品更少，但收益更多。

3 三人非合作博弈

仅考虑纯策略博弈。

例3.1 (三人选数博弈, ([2]p81)A, B, C 三人玩选数游戏，每人有3种选择，他们的收益见表3.1，每个单元格的三个数字分别是局中人A, B, C 的收益。求此博弈的纯策略納什均衡点。

表3.1 三人选数游戏的收益

解 表中三个3?3子矩阵分别是局中人C 分别采用策略1, 2, 3时, 局中人A 与B 的博弈收益。忽略每个单元格的第三个数字，对每个子矩阵用划线法求局中人A 与B 的博弈结果。然后考虑单元格的第三个数字，将局中人C 采用策略1的三列数字合成一个矩阵，在每行的最大数字下划线；将策略2的三列数字合成一个矩阵，在每行的最大数字下划线；将策略3的三列数字合成一个矩阵，在每行的最大数字下划线。三个数字都划了线的单元格对应的策略便是納什均衡点。它们是策略组合(1, 1, 1)，(2, 2, 2)和(3, 3, 3)。

4 合作博弈的收益分配

4.1 基本概念及Shapley 值

“存在具有约束力的合作协议的博弈就是合作博弈，否则就是非合作博弈”（[2]p92）。 用U 表示n 个参与人的集合, U 的任意一个子集S 称为一个联盟, U 称为大联盟。联盟S 的收益记为V (S ), 它满足以下公理：

(1) V (?) = 0, ?为空集；

(2) 对于任意S 1, S 2 ? U , 如果S 1 ? S 2 = ?, 那么V (S 1 ? S 2) ≥ V (S 1) + V (S 2) (称为超可加性)。

设S 1, S 2, … , S k 是U 的非空子集，如果它们的并集等于U ，任何两个的交集为空集，就称它们为一个联盟结构，记为[S 1, S 2, … , S k ]。按照超可加性，

V (S 1) + V (S 2) + … + V (S k ) ≤ V (U ),

即任何一个联盟结构的总收益不大于大联盟的收益。如果上式的等号成立，称该联盟为有效联盟（包括大联盟）。

用?i (V )表示参与人i 分得的数额，按以下公式计算的数值称为Shapley 值。

?i(V) = ∑

?

∈-

U S

i

i

S

V

S

V

S

W})]

{\

(

)

(

|)[

(|, i =1, 2, … ,n.

其中W(| S |) =

!

)!1 |

(|

|)!

|

(

n S

S

n-

-

, | S |表示集合S中元素的个数。

例4.1 A, B, C三人或者单独经商或者联合经商，其收益由表4.1所示。求每个人分配的数额。（[2]p99）

表4.1 A, B, C三人经商的收益

解按Shapley值公式，参与人A分配数额?A(V)的计算见表4.2。

表4.2参与人A分配数额的计算表

同理可算出参与人B的分配额?B(V) = 35，C的分配额?C(V) = 25。

4.2 合作博弈的核

假设联盟中的每个人均匀地分配该联盟的收益。在一个联盟结构中，如果有人从某联盟中退出可以获得更大的收益，该联盟结构是不稳定的，否则是稳定的。

前面已经介绍，总收益等于大联盟收益的联盟结构称为有效联盟结构。稳定的有效联盟结构称为合作博弈的核。

例4.2 地产合并博弈（[3]p113）

A, B, C三人形成的各种联盟结构以及每个联盟结构中各联盟的收益见表4.2。问哪些联盟结构是有效的稳定的。

表4.2各种联盟结构的联盟收益

可以看出1号联盟结构（大联盟）和2号联盟结构[AB, C]都是有效联盟结构。在大联盟中C的收益为10/3，而在2号联盟结构中C的收益为4，所以C可能会从大联盟中退出而选择2号联盟结构。这说明大联盟是不稳定的。但2号联盟结构是稳定的，因为无论A 或B从联盟AB中退出，都只能得到联盟结构[A, B, C], 其收益为3，不超过在联盟AB中

的平均收益。所以2号联盟结构是合作博弈的核。

将表4.2的联盟收益改为表4.3。可见大联盟和2号联盟都是合作博弈的核。

表4.3各种联盟结构的另一种联盟收益

4.3 塔木德分配法（[2]p162）

塔木德分配法是根据若干债权人所声明的债权分配总财产的一种方法。设总财产为E , n 个债权人所声明的债权分别为c [1], c [2], … , c [n ], 他们分得的财产分别为x [1], x [2], … , x [n ]。不妨设c [1] ≤ c [2] ≤ … ≤ c [n ]。塔木德法依次分配财产，得到的分配结果(x [1], x [2], … , x [n ])叫做核仁（nucleolus ）。

(1) 二人争产问题的塔木德法（[2]p165）

只需考虑债权人1的分配额x [1]即可, 债权人2的分配额x [2] = E - x [1]。

??

?

??

>-+≤<≤=].2[,2/])2[]1[(],2[]1[,2/]1[],1[,2/]1[c E c c E c E c c c E E x

(2) 三人争产问题的塔木德算法

此问题将总财产按大小分为三种情况考虑，第一个分界点E * = c [1] ? 3/2, 第二个分界点E ** = c [1, 2, 3] - c [1] ? 3/2, 其中c [1, 2, 3] = c [1] + c [2] + c [3]。

① E ≤ E *时，(x [1], x [2], x [3]) = (E /3, E /3, E /3)。

② E > E **时，(x [1], x [2], x [3]) = (E /3 + d /3, E /3 + d /3, E /3 + d /3), 其中d = E - E **。 ③ E * < E ≤ E **时，分两步用二人争产问题的塔木德法分配财产。

第1步将三人分为{1}和{2, 3}两组，他们声明的债权分别为c [1]和c [2, 3] = c [2] + c [3]。用二人争产问题的塔木德法在这两组之间分配总财产E 。由于

c [1] ? 3/2 < E ≤ c [1, 2, 3] - c [1] ? 3/2 = c [2, 3] - c [1]/2

所以

c [1] /2 < E < c [2, 3].

于是第1人分得的财产x [1] = c [1]/2, {2, 3}组分得的财产x [2, 3] = E - c [1]/2。

第2步在第2, 3两人之间用二人争产问题的塔木德法分配剩余的财产E - c [1]/2。

练习题

(1) 说明例2.2的策略X = (2/3, 1/3)T , Y = (5/9, 4/9)T 是销售商与消费者博弈的納什均衡。 (2) 将表2.3的最后一个数字9改为12，求納什均衡。

参考文献

[1] Wikipedia. Nash equilibrium, 2014.4

[2] 焦宝聪，陈兰平. 博弈论，首都师范大学出版社，2013.10

[3] 黄涛. 博弈论教程?理论·应用，首都经济贸易大学出版社，2004.5 [4]《运筹学》教材编写组. 运筹学，清华大学出版社，1998.3