定积分的应用习题答案

定积分的应用习题答案
定积分的应用习题答案

1.填空题

⑴函数的单调减少区间__

[解答] ,令,可得

当时,,单调递减.

所以的单调递减区间是或.

⑵曲线与其在处的切线所围成的部分被轴分成两部分,这两部分面积之比是__

[解答] 直线方程为,即,

两直线的交点可求得,即求解

方法一:已知其一根为,设方程为

通过比较可得,可解得另外一根为

方法二:分解方程有

所以

⑶设在上连续,当_时,取最小值.

[解答]

令,则

所以

⑷绕旋转所成旋转体体积__

[解答] 令,则

当时,

当时,

所以

⑸求心脏线和直线及围成的图形绕极轴旋转所成旋转体体积__

[解答] 将极坐标化为直角坐标形式为,

所以

2.计算题

⑴在直线与抛物线的交点上引抛物线的法线,求由两法线

及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.

[解答] 由题意可计算两法线的方程为

,即

,即

两直线的交点为,则

⑵过抛物线上的一点作切线,问为何值时所作的切线与抛物线

所围成的面积最小.

[解答] 直线的斜率,则直线方程为,与抛物线相交,即,设方程的两根为且,则

,从而

又,所以

⑶求通过点的直线中使得为最小的直线方程.

[解答] 设,则

由可得即可得

又则当时为最小,此时方程为

⑷求函数的最大值与最小值.

[解答] 令,可得

当时,,即在取最小值,此时

当时,,即在取最大值

此时.

⑸求曲线与所围阴影部分面积,并将此面积绕轴旋转所构成的旋转体体积,如图所示.

[解答]

⑹已知圆,其中,求此圆绕轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.

[解答] 令,如图所示,则

⑺设有一薄板其边缘为一抛物线,如图所示,铅直沉入水中,

①若顶点恰好在水平面上,试求薄板所受的静压力,将薄板下沉多深,压力加倍?[解答] 抛物线方程为,则在水下到这一小块所受的静压力为

所以整块薄板所受的静压力为

若下沉,此时受到的静压力为

要使,解得.

②若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上,试求薄板所受的静压力,将薄板下沉多深,压力加倍?

[解答] 建立如图坐标系,则抛物线方程为,则在水下到这一小块所

受的静压力为

所以整块薄板所受的静压力为

若下沉,此时受到的静压力为

要使,解得.????

定积分测试题及答案

定积分测试题及答案 班级: 姓名: 分数: 一、选择题:(每小题5分) 1.0=?( ) A.0 B.1 C.π D 4π 2(2010·山东日照模考)a =??02x d x ,b =??02e x d x ,c =??02sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a

8.函数F (x )=??0 x t (t -4)d t 在[-1,5]上( ) A .有最大值0,无最小值 B .有最大值0和最小值-323 C .有最小值-323,无最大值 D .既无最大值也无最小值 9.已知等差数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ,函数f (x )=??1 x 1t d t ,若f (x )

定积分及其应用练习 带详细答案

定积分及其应用 题一 题面: 求由曲线2 (2)y x =+与x 轴,直线4y x =-所围成的平面图形的面积. 答案:323 . 变式训练一 题面: 函数f (x )=???? ? x +2-2≤x <0, 2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) B .2 | C .3 D .4 答案:D. 详解: 画出分段函数的图象,如图所示,则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2+∫π 202cos x d x =2+2sin x |π20=4. 变式训练二 题面: 由直线y =2x 及曲线y =3-x 2围成的封闭图形的面积为( ) ¥ A .2 3 B .9-23 答案: 详解:

注意到直线y =2x 与曲线y =3-x 2的交点A ,B 的坐标分别是(-3,-6),(1,2),因此结合图形可知,由直线y =2x 与曲线y =3-x 2围成的封闭图形的 面积为??-3 1(3-x 2-2x )d x =? ???? 3x -13x 3-x 2??? 1 -3=3×1-13×13-12- ? ?? 3×-3-1 3×-3 3 ]- -3 2 =32 3,选D. 题二 ^ 题面: 如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ). A .1 B .1 C .1 D .17 变式训练一 题面: 函数f (x )=sin(ωx +φ)的导函数y =f ′(x )的部分图象如图所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,A ,C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.

定积分练习题1.doc

定积分练习题 一.选择题、填空题 1.将和式的极限 lim 1p 2 p 3p ....... n p 0) 表示成定积分 n P 1 ( p ( ) n 1 1 1 p dx 1 1 p dx 1 x p dx A .dx B . x C .() D . () 0 x 0 x n 2.将和式 lim ( 1 1 ......... 1 ) 表示为定积分 . n n 1 n 2 2n 3.下列等于 1 的积分是 ( ) A . 1 xdx B . 1 C . 1 1 1 ( x 1)dx 1dx D . dx 2 1 2 4 | dx = 4. | x ( ) A . 21 B . 22 23 25 3 3 C . 3 D . 3 5.曲线 y cos x, x [0, 3 ] 与坐标周围成的面积 ( ) 2 5 A .4 B .2 D . 3 C . 2 1 e x )dx = 6. (e x ( ) A . e 1 B .2e 2 D . e 1 e C . e e 7.若 m 1 e x dx , n e 1 dx ,则 m 与 n 的大小关系是( ) 1 x A . m n B . m n C . m n D .无法确定 8. 9 y x 2 1 和 x 轴围成图形的面积等于 S .给出下列结果: .由曲线 1 1)dx ; ② 1 1 ①( x 2 (1 x 2 )dx ; ③ 2 ( x 2 1)dx ; ④ 2 (1 x 2 )dx . 1 1 1 则 S 等于( ) A . ①③ B . ③④ C . ②③ D . ②④ 10. y x cost sin t)dt ,则 y 的最大值是( (sin t ) A . 1 B . 2 C . 7 D . 0 2 17 f ( x) 11. 若 f (x) 是一次函数,且 1 1 2 dx 的值是 f ( x) dx 5 , xf ( x)dx 6 ,那么 x 1 . 15.设 f (x ) sin x 3 x ,则 f (x) cos2 xdx ( ) 其余

定积分典型例题20例答案(供参考)

定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?. 例2 0 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=, 故321(1)3f x x -= ,令3126x -=得3x =,所以1(26)27 f =.

一元一次不等式(积分问题)应用题专题 (答案已补)

一元一次不等式(积分问题)应用题专题(附答案) 1、某次数学测验共20道题(满分100分)。评分办法是:答对1道给5分,答错1道扣2分,不答不给分。某学生有1道未答。那么他至少答对几道题才能及格? 解:设答对x题,则答错20-1-x=(19-x)题。5x-(19-x)*1>=80解得x>=16.5,因为题数是整数,所以x=17所以至少要答对17题。 2、在一次竞赛中有25道题,每道题目答对得4分,不答或答错倒扣2分,如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分,至少要答对多少道题目? 解:设至少需要做对x道题(x为自然数)。 4x -2×(25-x)≥60 4x-50+2x≥60 6x≥110 X≥19答:至少需要做对19道题 3、一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是:答对1题记8分,答错1题扣4分,不答记0分。结果神箭队有2道题没答,飞艇队答了所有的题,两队的成绩都超过了90分,两队分别至少答对了几道题? 解:设神箭队答对x题。则答错15-2-x,即(13-x)题8x-4(13-x)>90解得x>71/6所以至少答对12道题设飞艇队答对x题。则答错(15-x)题8x-4(15-x)>90解得x>25/2所以至少答对13道题 4、在比赛中,每名射手打10枪,每命中一次得5分,每脱靶一次扣1分,得到的分数不少于35分的射手为优胜者,要成为优胜者,至少要中靶多少次?

解:设命中X次,脱靶(10-X)次5x-(10-x)>=356x>=45因为X为整数,所以X=8 5.有红、白颜色的球若干个,已知白球的个数比红球少,但白球的两倍比红球多,若把每一个白球都记作数2,每一个红球都记作数3,则总数为60,求白球和红球各几个? 设红球x个,白球y个,则y

定积分及其应用测试题10页

第五章 定积分及其应用 一、填空题 1.由[],a b 上连续曲线()y f x =,直线(),x a x b a b ==<和x 轴围成的图形的面积为 4.利用定积分的几何意义求10 d x x =? 5.积分1 213ln d x x x ?值的符号是 6.定积分()4 52 sin sin d x x x π -? 值的符号是 8.积分413 I ln d x x =?与4 223 I ln d x x =?的大小关系为 9.区间[][],,c d a b ?,且()0f x >,则()1I d b a f x x =?与()2I d d c f x x =?的大小关 系为 10.()f x 在[],a b 上连续,则()d b a f x x =? ()d a b f x x ? 11.若在区间[],a b 上,()0f x ≥,则()d b a f x x ? 0 12.定积分中值定理中设()f x 在[],a b 上连续,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得()f ξ= 13.设()2 0,0x F x t x =>?,则()F x '= 15.设()() ()3 3sin d ,x F x t t x ??=? 可导,则()F x '=

16 .0 lim x t x →=? 18.设()()0 1d x f x t t t =-?,则()f x 的单调减少的区间是 19.函数()2 3d 1 x t f x t t t =-+?在区间[]0,1上的最大值是 ,最小值是 20.设()3 131 sin d x f x t t +=? ,则()f x '= 21.设()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的任意一个原函数,则 ()d b a f x x =? 22.1 23d x x x ?=? 23.sin 22 cos d x xe x π π-=? 24.设()f x '在[]1,3上连续,则() () 3 2 1d 1f x x f x '=+? 25.2 x π π=? 26.20cos d x x π =? 27.21 01 d 1 x x e x e -=-? 28 .20sin d x x π =? 29.2 1 e =? 30.235 4 5 sin d 1x x x x -=+? 31.设()f x 在[],a a -上连续,则()()sin d a a x f x f x x -+-=????? 32.设()21,0 ,0 x x f x x x +

定积分典型例题11254

定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?. 例2 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?,2 1 2 x e dx ?,1 2 (1)x dx +?. 分析 对于定积分的大小比较,可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小. 解法1 在[1,2]上,有2 x x e e ≤.而令()(1)x f x e x =-+,则()1x f x e '=-.当0x >时,()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)f x f >,可知在[1,2]上,有1x e x >+.又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?,从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???. 解法2 在[1,2]上,有2 x x e e ≤.由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+.注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?.因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??. 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值. 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值.

定积分的应用练习题

定积分的应用练习题 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

题型 1.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求面积 2.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求体积 内容 一.微元法及其应用 二.平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三.立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四.平面曲线的弦长 五.旋转体的侧面积 六.定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积

题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一.填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=,直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1,3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤-上的一段弧所围成的图形面积 为 . 6.椭圆)0,0(1sin 1 cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二.选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为( ) A . 31 B . 32 C . 21 D . 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为( ) A . 223a π B . 243a π C . 2 8 3a π D . 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 ( )

定积分测试题

题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ) )(2122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --?  6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?  B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2

微积分作业(应用题6题)

应用题: 1.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为C(x)=100+0.25x 2 +6x (万元) 求:(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本; (2)当生量x 为多少时,平均成本最小? 解:(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为: C (X )=100+0.25X 2+6X c (X)= X 100 +0.25X+6,,C ' (X)=0.5X+6 所以C(10)=100+0.25×102+6×10=185c (10)= 10100+0.25×10+6=18.5C '(10)=0.5×10+6=11 (2)令'C =-2 100X +0.25=0,得X=20(X=-20舍去) 因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小. 2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q 为需求量,p 为价格).试求: (1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大? 解:(1)成本函数C (q )=60q+2000 因为q=1000-10p,即p=100- 101q 所以收入函数R (q )=p ×q=(100-101q)q=100q -10 1 q 2 (2)因为利润函数L(q)=R(q) -C(q)=(100q -101 q 2-(60q+2000) =40q -10 1 q 2-2000 且'L (q)=(40q -10 1 q 2-2000)’=40-0.2q 令'L (q)=0, 即40-0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点. 所以,q=200是利润函数L (q )的最大值点,即当产量为200吨时利润最大。 3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数q=2000-4p,其中p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的 试求:(1)价格为多少时利润最大? (2)最大利润是多少? 1、 解:(1)C (p )=50000+100q=50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p)=pq=p(2000-4p)=2000p -4p 2 利润函数L (p )=R(p) -C(p)=2400P -4p 2-250000,且令 'L (p)=2400-8p=0 得p=300,即该问题确实存在最大值,所以,当价格为p=300元时,利润最大。 (2)最大利润L(300)=2400×300-400×3002-250000=110000(元)

定积分的应用练习题,DOC

欢迎阅读 题型 1.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求面积 2.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求体积 内容 一.微元法及其应用 二.平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三.立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四.平面曲线的弦长 五.旋转体的侧面积 六.定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积

题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一.填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=,直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1,3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤- 上的一段弧所围成的图形面积为 . 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二.选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为( ) A . 31 B . 32 C . 21 D . 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为( ) A . 223a π B . 243a π C . 2 8 3a π D . 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 ( ) A . 2 a a e e -+ B . 2a a e e -- C . 12++-a a e e D .12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为( )。

定积分单元测试题

定积分单元测试题 一、填空题 1、 dx x ? +4 1 1=___________。 2、广义积分43 x dx - +∞ =? 3、________1 1 02=+?dx x x 。 4、()________1202 =-?dx x 。 5、设 ()32 1 2-=? -x dt t f x ,则()=2f 。6、=+? 3 1 ln 1e x x dx 。 7、()=?? ????++++??-dx x x x x x π πcos 113sin 222 4 。8、x dt t x x ?→0 20cos lim =____________ 9、12 12|| 1x x dx x -+=+? 。 10、= -?dx x 201. 11、2 22sin 1cos x x dx xdx π π-+=+? 12、已知()2 cos ,x F x t dt =?则()F x '= 13、已知()2 x t x F x te dt -=?,则()F x '= 二、单项选择 1、若连续函数 ()x f 满足关系式()2ln 220+?? ? ??=?x dt t f x f ,则()x f 等于( )。 (A )2ln x e ; (B ) 2ln 2x e ; (C ) 2ln +x e ; (D ) 2ln 2+x e 。 2、设 )(x f 连续,则=-?x dt t x tf dx d 0 22)(( ) (A ))(2x xf ; (B ))(2x xf -; (C ))(22x xf ; (D ))(22x xf -。 3、设 )(x f 是连续函数,且?+=10 )(2)(dt t f x x f ,则)(x f =( ) (A )1-x ; (B )1+x ; (C)1+-x ; (D )1--x 。 4、设()()x a x F x f t dt x a = -?,其中()f x 为连续函数,则lim ()x a F x →=( ) (A )a (B ))(a af (C ))(a f (D )0 5、 =?dt e dx d b x t 2( ) (A)2x e (B)2x e - (C)22x b e e - (D)2 2x xe - 6、=-+?→x dt t x x cos 1)1ln(lim 2sin 0 ( ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 7、反常积分收敛的是( )

定积分典型例题56177

定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+. 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1 i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各 项.于是将所求极限转化为求定积分.即 3321lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=03 4 =?. 例2 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ?= 2 π. 例18 计算 2 1 ||x dx -? . 分析 被积函数含有绝对值符号,应先去掉绝对值符号然后再积分. 解 2 1 ||x dx -? =02 1 ()x dx xdx --+?? =220210[][]22x x --+=5 2 . 注 在使用牛顿-莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?,则是错误的.错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算 2 20 max{,}x x dx ? . 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? . 解 232 12 2 2 12010 1 1717 max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数,且1 ()3()f x x f t dt =+? ,则()________f x =. 分析 本题只需要注意到定积分 ()b a f x dx ? 是常数(,a b 为常数). 解 因()f x 连续,()f x 必可积,从而 1 ()f t dt ? 是常数,记1 ()f t dt a =?,则 ()3f x x a =+,且1 1 (3)()x a dx f t dt a +==??. 所以

最新定积分的简单应用测试题

一、选择题 1. 如图所示,阴影部分的面积为() 2. 如图所示,阴影部分的面积是() 面积(如图)是( A. 2(x2—1)dx '0 B . | 2(x2—1)dx| ■ 0 C. 2|x2 —1|dx D. '(x2—1)dx + 2(x2—1)dx J c J ▲ 0 1 4.设f(x)在[a, b]上连续,则曲线f(x)与直线x= a, x= b, y= 0 围成图形的面积为() A. b f(x)dx B. | b f(x)dx| 'a ' a 精品文档 A. b f(x)dx 'a C. b[f(x) —g(x)]dx 'a B. b g(x)dx 'a D. b[g(x)—f(x)]dx -a C.32 肿5 D.35 3.由曲线y= x2—1、直线x= 0、x= 2和x轴围成的封闭图形的

C. b |f(x)|dx 'a D .以上都不对 5. 16 曲线y =1—w 与x 轴所围图形的面积是() D.5 1 2 比较积分值0 e x dx 和 1 2 1 — U x dx 大于 0e x dx 2 1 C . U x dx 等于 0 7.由曲线y = x 2, y = x 3围成的封闭图形面积为( ) B.1 D. 12 6. 1 x >e dx fe"dx 的大小() 1 2 , 1 B . o e xdx 小于 ° 1 2 1 - D . o e x dx 和°e Xjx 不能比较 e dx A-12 Cl 8.求 1 /dx 的解( ) C . -1 9.求 12 x 2dx 的解( ) A.* C .- 3 10 .过原点的直线I 与抛物线y =x 2— 2ax (a>0)所围成的图形面 积 为9a 3,则直线I 的方程为( ) A . y = iax B . y = ax C . y = — ax D . y = — 5ax

定积分及应用题库A

定积分及其应用题库A 一.填空题 1. 由定积分的几何意义计算 ? -=+2 1 )32(dx x _______ ? =-2 24dx x _________ ? =π cos xdx ______ ?-=21 dx x _________ 2.若??=+b a a b dt t f dx x f b a x f )()(则,上连续],[在)( . 3.由曲线])1,0[(2∈=x x y 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为_______________。 4.由曲线)2 0(cos π ≤ ≤=x x y 与x 轴及直线x=0所围图形绕x 轴旋转所得旋 转体的体积为_______________。 5.?-=1 134sin xdx x . 6.广义积分, ? ∞ +- =1 3 4 dx x _____。 7.设? ??≥=0,10 ,)(x <x x x f ,则=?-dx x f )(21 . ★8. ._______sin 02 =?dt t dx d x ★9.设==-≠?k x x k k 则且,0)2(,00 2 . ★10.=+? +∞ 02 11 dx x . 二、选择题 1.下列等于1的积分是 ( ) A .dx ?1 01 B .dx x ?+10)1( C .dx x ?10 D .dx ?1021 2.? -+π π dx x x x 2 21sin 等于( ) A 、2 B 、-1 C 、0 D 、1 3.dx e e x x ?-+1 0)(= ( ) A .e e 1+ B .2e C .e 2 D .e e 1 - 4.已知?=x tdt x f 02sin )(,则)4 (π f '= ( )

定积分典型例题

定积分典型例题 例 1 求 Iim J 2(^n τ +Q2n 2 +H ∣ +V ∏3). n _.: ∏ 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限?若对题目中被积函数难以想到, 可采取如下方法:先对区间[O, 1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 1 III 1 解 将区间[0, 1] n 等分,则每个小区间长为.汉=丄,然后把—=丄1的一个因子-乘入和式中 n n n n n 各项?于是将所求极限转化为求定积分?即 n i ?^贰+痢+山+疔)=曲(£ +£ +川+晋)=MdX=扌? 例 2 £ J 2x 一 X d X __________ . 解法1由定积分的几何意义知, °?2x -χ2dx 等于上半圆周(x_1) y =1 (y_0) 与X 轴所围成的图形的面积?故 2? 2^x 2dx = _ ? ■° 2 解法2本题也可直接用换元法求解?令 x_1 = sint (—巴

不定积分_定积分复习题与答案

上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则()f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s <<

第五章定积分综合练习题

第五章定积分综合练习题 一、填空: 1、函数)(x f 在],[b a 上有界是 )(x f 在],[b a 上可积的 条件,而) (x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的 条件; 2、由定积分的几何意义,则 ? -1 21dx x = ; 3、设 ,18)(31 1 =? -dx x f ,4)(3 1 =?-dx x f 则=?3 1 )(dx x f ; 4、正弦曲线 x y sin =在 ],0[π上与x 轴所围成的平面图形的面积 是 ; 5、某汽车开始刹车,其运动规律为,510)(t t v -=问从刹车开始到停车,汽车驶过的距离是 ; 6、?=x tdt y 02sin ,则4 π= 'x y = ; 7、估计定积分? +4 /54 /2)sin 1(ππdx x 的值的范围是: ; 8、比较下列两个积分值的大小:? 2 1 ln xdx ?2 1 2)(ln dx x ; 9、)(x f ''在],[b a 上连续,则=''? b a dx x f x )( ; 10、无穷积分? +∞ 1 dx x p 收敛,则p 的取值范围是 . 二、计算下列各导数. 1、 ?+2 211x x dt t dx d 2、?? ???==??t t udu y udu x 00sin cos ,求dx dy . 三、计算下列各定积分. 1、 dx x x )1(2 1 +? 2、dx x ?+3 31211 3、dx x ?--2121211

4、 dx x ? 40 2 tan π 5、dx x x x ?-+++0 122 41133 6、dx x ?π20sin 四、求极限 2 )sin(0 2lim x tdt x x ?→. 五、用换元积分法求下列定积分: 1、?-+1 12 ) 511(1 dx x 2、?2 /6 /2 cos ππ udu 3、?+2 1 ln 1e x x dx 4、 ? -π θθ0 3 )sin 1(d 5、? -2 2 2dx x 6、? +41 1x dx 六、用分部积分法求下列定积分: 1、 ? e xdx x 1 ln 2、? 2 /30 arcsin xdx 3、?-1 dt te t 七、求定积分 ?10 dx e x 八、求定积分 ?2 /0 cos πxdx e x 九、求定积分 ? π 3cos 2sin xdx x . 十、求定积分 ? 4 /0 4tan πxdx . 十一、设 ,0 ,0,1)(2???≥<+=-x e x x x f x 求?-2 )1(dx x f . 十二证明:若函数)(x f 在],[a a -上连续,则?-=--a a dx x f x f 0)]()([. 十三证明:??+=+1 1 12211x x t dt t dt . 十四、判定无穷积分 ? +∞ 1 41 dx x 的收敛性,如果收敛,计算其值.

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++. 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?. 例2 2 20 2x x dx -? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故220 2x x dx -? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=,

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