高二数学二项式定理1 (2)
二项式定理
●课时安排
3课时
●从容说课
(1)本小节的内容是二项式定理及其有关概念、二项式系数的性质.
(2)本小节的教学要求：理解并掌握二项式定理及二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.
(3)本小节在教材中的地位：本小节内容在本章中起着承上启下的作用.由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在联系，本小节是为学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计知识作准备；又由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识.
(4)本小节重难点：本小节的重点是二项式定理；本小节的难点是二项式定理及二项式系数的性质的灵活应用.
(5)本小节重难点的处理：对于二项式定理的学习要求学生抓住二项展开式的通项公式的特点，并与数列的通项公式相联系；通过对二项展开式进行赋值获得二项式系数的性质；注重函数思想在研究二项式系数性质时的应用.
(6)教学中应注意的问题：在二项式定理的推导过程中，从学生熟悉的完全平方和公式入手，并注重归纳思想的应用；注意区分二项式系数与相应的某一项的系数的不同；根据“杨辉三角”这一古代数学
成就，对学生进行爱国主义教育.
●课题
10.4.1 二项式定理(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.二项式定理：
n
b
a)
( =0C n a n+1C n a n-1b1+…+r n C a n-r b r+…+n n C b n(n∈N*).
2.通项公式：
T r+1=r
n
C a n-r b n(r=0,1,…,n).
(二)能力训练要求
1.理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式.
2.能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项.
(三)德育渗透目标
1.提高学生的归纳推理能力.
2.树立由特殊到一般的归纳意识.
●教学重点
1.二项式定理及结构特征
二项式定理(a+b)n=0C
n a a n+1C
n
a a n-1b+…+r
n
C a a n-r b r+…+n n C a b n有以下特
征：
(1)展开式共有n+1项；
(2)字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，
次数由0递增到n；
(3)各项的系数0C
n ,1C
n
,2C
n
…, n
n
C称为二项式系数.
2.展开式的通项公式T r+1=r
n
C a n-r b r,其中r=0,1,2,…,n表示展开式中第r+1项.
3.当a=1,b=x时，(1+x)n=1+1C
n x+2C
n
x2+…+r
n
C x r+…+x n.
●教学难点
1.展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别.
2.通项公式的灵活应用.
●教学方法
启发引导法
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］在初中，我们学过两个重要公式，即
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
那么，将(a+b)4,以至于(a+b)5,(a+b)6……展开后，它的各项是什么呢？
Ⅱ.讲授新课
［师］不妨，我们来研究一下这两式的特点，看它们的展开式是否有什么规律可循？
不难发现，(a+b)2=a2+2ab+b2=0
2
C a2+12C ab+22C b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=0
3
C a3+13C a2b+23C ab2+b3.
即等号右边的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项的次数相同.
这样看来，(a+b)4的展开式应有下面形式的各项：
a4,a3b,a2b2,ab3,b4.
这些项在展开式中出现的次数，也就是展开式中各项的系数是什么呢？
［生］(讨论)
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).
在上面4个括号中：
每个都不取b的情况有1种，即0
4
C种，所以a4的系数是04C；
恰有1个取b的情况有1
4
C种，所以a3b的系数是14C；
恰有2个取b的情况有2
4
C种，所以a2b2的系数是24C;
恰有3个取b的情况有3
4
C种，所以ab3的系数是34C；
4个都取b的情况有4
4
C种，所以b4的系数是44C.
［师］也就是说，
(a+b)4=0
4
C a4+14C a3b+24C a2b2+34C ab3+44C b4.
依此类推，对于任意正整数n，上面的关系也是成立的.
即(a+b)n=0C
n a n+1C
n
a n-1b1+…+r
n
C a n-r b r+…+n n C b n(n∈N*).
此公式所表示的定理，我们称为二项式定理.右边的多项式叫做
(a+b)n的二项展开式，它一共有n+1项，其中各项的系数r
n
C
(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.式中的r
n
C a n-r b r叫做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：
T r +1=r
n C a n-r b r .
另外，在二项式定理中，如果设a =1,b =x ,则得到
(1+x )n =1+1C n x +2C n x 2+…+r n C x r +…+x n .
［师］下面我们结合几例来熟练此定理. ［例1］展开(1+x
1)4.
分析：只需设a =1,b =x 1，用二项式定理展开即可. 解：(1+x
1)4=1+14C (x
1)+24C (x
1)2+34C (x
1)3+44C (x
1)4=1+4
321
464x x x x
+
++. ［例2］展开(2x
x 1-
)6
. 分析：可先将括号内的式子化简，整理，然后再利用二项式定理. 解：(2x x 1-)6=(x
x 12-)6 =
31x (2x -1)6
=31x ［(2x )6-16C (2x )5+26C (2x )4-36C (2x )3+46C (2x )2-56C (2x )+66C ］ =31
x
(64x 6-6·32x 5+15·16x 4-20·8x 3+15·4x 2-6·2x +1) =64x 3-192x 2+240x -160+321
1260x
x x +-.
评述：应注意灵活应用二项式定理. ［例3］求(x +a )12的展开式中的倒数第4项. 分析：应先确定其项数，然后再利用通项公式求得.
解：(x +a )12的展开式共有13项，所以倒数第4项是它的第10项，由通项公式得
T 10=T 9+1=912C x 12-9a 9=3
12C x 3a 9=220x 3a 9.
［例4］(1)求(1+2x )7的展开式的第4项的系数；
(2)求(x -x
1
)9的展开式中x 3的系数. 解：(1)(1+2x )7的展开式的第4项是
T 3+1=37C ·17-3·(2x )3=37C ·23·x 3=35×8x 3=280x 3
.
所以展开式第4项的系数是280.
注：(1+2x )7的展开式的第4项的二项式系数是37C =35.
(2)(x -x 1
)9的展开式的通项是r 9C x 9-r (-x
1)r =(-1)r r 9C x 9-2r .
由题意得9-2r =3, 即r =3.
∴x 3的系数是(-1)339C =-84.
评述：此类问题一般由通项公式入手分析，要注意系数和二项式系数的概念区别.
Ⅲ.课堂练习
［生］(自练)课本P 106练习1～6.
1.(p +q )7=p 7+7p 6q +21p 5q 2+35p 4q 3+35p 3q 4+21p 2q 5+7pq 6+q 7.
2.T 3=26C (2a )4·(3b )2=2160a 4b 2.
3.T 3=26C (3b )4·(2a )2=4860b 4a 2.
4.T r +1=r n C (3x )n-r ·(-
3
21x
)r =
r
r 2)1(-r n
C 3
2r n x
-.
5. 37C =35;37C ·23
=280.
6.D Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握二项式定理及其通项公式. Ⅴ.课后作业
(一)1.课本P109习题10.4 2、3.
(二)1.预习课本P106～P108.
2.预习提纲
二项式系数有哪些性质？
●板书设计
10.4.1二项式定理(一)
二项式定理及其推导过程例
题解析