二次函数中动点图形的面积最值(初三数学)
深圳高级中学（集团）GLOBE学科课程教学设计
《二次函数中动点图形的面积最值问题》
初三年级数学备课组
一、聚焦问题
因为点动产生图形发生变化,从而面积发生变化.利用二次函数求以动态几何为背景的最值问题，是中考中的一类重要题型。这类试题能有效整合代数和几何的部分重要知识，适于考查考生分析、解决问题的能力及实践和创新的能力，较好地渗透了分类讨论、数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想。
中考考纲要求教师在教学过程中渗透和落实数学学科核心素养的培养（数感、符号意识、几何直观、应用意识），GLOBE教学法要求教师以问题为导向，通过合作探究，引导学生用跨学科知识、思维和方法来解决问题。根据以上的要求，本课聚焦问题如下：
1.学科知识层面：
复习强化二次函数的基本知识，学会用代数式表示函数各个点的坐标，能够利用坐标计算、利用代数式表示二次函数中特定图形、动态图形的面积及其最大值。
2.学科素养层面：
通过利用代数式表示面积的方式，培养学生几何问题代数化的能力，对复杂问题进行分解和转化的能力，培养学生的几何思维能力，空间思维能力。
3.价值观引领方面：
从数到式、从点到线再到面，从静到动，体会数学学习的过程，体验获得成功的喜悦，锻炼克服困难的意志，建立自信心，养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯,形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。
因此，本课聚焦的重点问题是：“以静制动”把动态问题变成静态问题来解、“复杂问题简单化”归纳总结提炼出这类面积问题解题模型，让学生真正掌握科学、简便的解题路径，正确、快速地解题。
二、核心问题：利用割补法求多边形面积
方法要点是：把所求面积的图形进行适当割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
三、分解问题
分解问题一：如何求底边平行于坐标轴的三角形面积？
问题引领1：通过坐标求三角形的底和高表示面积.
问题引领2：如何求底边平行于坐标轴的三角形面积？
分解问题二：如何利用割补法求两边均不平行坐标轴三角形的面积？
问题引领：如何利用割补法求两边均不平行坐标轴三角形的面积及其最值？
分解问题三：如何求二次函数中动点四边形的面积及最值？
问题引领：如何求二次函数中动点四边形的面积及最值？
（一）提出问题（预计用时2分钟）
问题：若点P 是抛物线2=-+2+3y x x 在x 轴上方的动点，如果四边形ABPC 有最大面积，请求出最大面积和此时点P 的坐标；如果没有，请说明理由. （几何画板动态显示）
备注：不规四边形均可以分割为两个三角形的方法求和，学生在此时已经基本掌握，可以以提问式快速带过，但分割后形成的三角形不一定是底和高平行于坐标轴的三角形，因此，要对求此类三角形面积的方法进行研究。
（二）解决问题
分解问题一：
如何求底边平行于坐标轴的三角形面积？
问题引领1：通过坐标求三角形的底和高并表示面积.（预计用时4分钟）
学生活动：阅读并计算（学生在得到点的坐标的基础上得出图中三角形底和高的长度。）
学习目标：通过计算找到图中各个线段的长度，学会用代数式表示动态线段的长度。(“横平竖直”,线段长度问题转化为点的坐标来解决.)
备注：以上两组三角形均有一边是平行于坐标轴的三角形，通过表示动点P的坐标表示相关线段的长度，表示出三角形的面积。此处可以直接让学生上台讲解，无需讨论。
问题引领2：如何求底边平行于坐标轴的三角形面积？（预计用时4分钟）
学生活动：讨论与总结（由三角形底和高的长度，得出三角形面积。）
学习目标：（学生总结）：当三角形有一边在坐标轴上或者平行坐标轴时，以在坐标轴上或平行
坐标轴的边为底边，过另一顶点作高，用三角形面积公式求解。
11
22
ABC
S AB CD D
=创=
底高
分解问题二：如何利用割补法求两边均不平行坐标轴三角形的面积？
问题引领：如何利用割补法求两边均不平行坐标轴三角形的面积及其最值？（预计用时7分钟）
学生活动：合作探究与分享（结合上述定点三角形面积表达式，总结归纳出不规则三角形求面积的通法，并通过二次函数的最值求法(配方法)得到动点三角形面积的最值。）
学习目标：通过学生合作探究，让学生发现通过分割三角形可以产生铅锤高、水平宽线段，进而利用铅锤高、水平宽求解两边均不平行坐标轴三角形面积的通用方法。通过对两边均不平行坐标轴动点三角形进行分割，将不规则三角形规则化的方法，解决二次函数中求不规则动态三角形面积及其最值问题。
备注：对于两边均不平行坐标轴的三角形求解面积，学生普遍是用法一进行求解，让学生充分讨论，引导学生一题多解，最终总结利用铅锤高、水平宽求三角形面积的方法。在总结后返回初始问题。
分解问题三：如何求二次函数中动点四边形的面积及最值？
问题引领：如何求二次函数中动点四边形的面积及最值？（预计用时3分钟）
问题：若点P 是抛物线2=-+2+3y x x 在x 轴上方的动点，如果四边形ABPC 有最大面积，请求出最大面积和此时点P 的坐标；如果没有，请说明理由.
学生活动：（通过结合上述总结的三角形面积的求法，探究定点四边形的面积的表达及最值的计算。）
学习目标：通过对不规则三角形、不规则四边形进行分割，将不规则图形规则化的方法，解决二次函数中求不规则动点四边形面积问题。
备注：此处带领学生返回初始问题，直接让学生上台讲解解题思路和方法。
（三）综合应用（预计用时6分钟）
如何求二次函数中动点四边形的面积的最值？
若点P 是抛物线2=-+2+3y x x 在x 轴上方的动点，M （4，-5），连接BOMP ，求四边形BOMP 面积的最大值和此时点P
的坐标.（几何画板动态显示）
学生活动2：合作探究与分享（结合上述动态三角形四边形的面积表达式，通过二次函数的最值求法(配方法)得到面积的最值。）
学习目标：通过对不规则三角形、不规则四边形进行多次分割，将不规则图形规则化的方法，解决二次函数中求不规则动态图形面积及其最值问题。 备注：让学生利用所学内容解决问题，限时训练。
（四）综合应用（预计用时14分钟）
如图为抛物线223y x x =-++ 的函数图像，交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，C 与D 关于抛物线对称轴对称，连接CD ，P 点是CD 上方抛物线上一点，P 与G 关于原点对称，连接APDBG ，如果五边形APDBG 的面积有最大值，请求出最大值及此时点P 的坐标；如果没有，请说明理由。
学生活动：变式演练（通过结合上述动态三角形面积的表达式，探究动态三角形面积的最值问
题及其与分割线段（铅锤高）的关系）
学习目标：通过对不规则多边形进行多次分割，将不规则图形规则化的方法，解决二次函数中求不规则动点多边形面积问题。
备注：引导学生思考四边形经过一次分割可化为两个三角形，五边形则需要两次分割化为三个三角形，充分讨论，鼓励一题多解。
（五）总结升华（预计用时4分钟）
学生活动：讨论与分享（学生通过小组讨论总结本节课所学内容、方法）
课后思考：是否还有其他求面积最大值的方法？（切线法、三角函数法等）