(完整版)一次函数动点问题

一次函数动点问题

1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题

如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．

请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．

（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，

∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上

∴CB=，C′B=

∴AC+CB=AC+CB′=．

在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小

归纳小结：

本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．

（2）模型应用

如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．

求EF+FB的最小值

分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关

于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是．

如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．

2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，

①求此一次函数的解析式；

②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．

③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点

C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．

3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上

（1）求此一次函数的表达式和m的值？

（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．

4．已知：一次函数图象如图：

（1）求一次函数的解析式；

（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，=2，求点P的坐标．

若S

△OAP

5．阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．

解答下面的问题：

（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；

（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）

6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．

（1）求直线l的函数表达式；

（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；

（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；

（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．

一次函数动点问题

参考答案与试题解析

一．解答题（共6小题）

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题

如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．

请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．

（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，

∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上

∴CB=CB'，C′B=C'B'

∴AC+CB=AC+CB′=AB'．

在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小

归纳小结：

（2）模型应用

如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．

求EF+FB的最小值

分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．

如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2；

【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上

∴CB=CB'，C′B=C'B'

∴AC+CB=AC+CB′=AB'．

在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小

故答案为：CB'，C'B'，AB'；

（2）模型应用

①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直

线AC对称，连结ED交AC于F

则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．

在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°

∵点E是AB中点，

∴AE=1，

根据勾股定理得，DE=，

即：EF+FB的最小值，

故答案为：DE，；

②如图⑤，

由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB的最小值就是线A'BE的长度，

∴∠AOD=∠A'OD=60°

∵点B是的中点，

∴∠AOB=∠BOD=∠AOD=30°，

∴∠A'OB=90°

∵⊙O的直径为4，

∴OA=OA'=OB=2，

在Rt△A'OB中，A'B=2，

∴BP+AP的最小值是2．

故答案为2，

③如图⑥，

由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D的长度，

∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，

∴A（2，0），B（0，4），

∴C（1，0），D（1，2），

∵C与C'关于直径y轴对称，

∴C'（﹣1，0），

∴C'D==2，

∴PC+PD的最小值为2，

∵C'（﹣1，0），D（1，2），

∴直线C'D的解析式为y=x+1，

∴P（0，1）．

2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，

①求此一次函数的解析式；

②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．

③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点

C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．

【解答】解：①设一次函数解析式为y=kx+b，

依题意，得，

解得，

∴一次函数解析式为y=2x﹣1；

②将点（a，2）代入y=2x﹣1中，得2a﹣1=2，

③由y=2x﹣1，令y=0得x=，

∴C（，0），

又∵点P（m，n）在直线y=2x﹣1上，

∴n=2m﹣1，

∴S=××|n|=|（2m﹣1）|=|m﹣|．

3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上

（1）求此一次函数的表达式和m的值？

（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．

【解答】解：（1）∵函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，

∴，解得：，

∴一次函数的表达式为y=x﹣1．

当x=2时，m=x﹣1=2﹣1=1，

∴m的值为1．

（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图所示．

∵点B的坐标为（2，1），

∴点B′的坐标为（2，﹣1）．

设直线AB′的表达式为y=ax+c，

将（2，﹣1）、（4，3）代入y=ax+c，

，解得：，

∴直线AB′的表达式为y=2x﹣5．

当y=0时，2x﹣5=0，

∴当点P的横坐标为时，PA+PB的值最小．

4．已知：一次函数图象如图：

（1）求一次函数的解析式；

（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S

=2，求点P的坐标．

△OAP

【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，

把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得，解得，

所以一次函数解析式为y=﹣x+1；

（2）当y=0时，﹣x+1=0，解得x=1，则A（1，0），

设P（t，﹣t+1），

=2，

因为S

△OAP

所以×1×|﹣t+1|=2，解得t=﹣3或t=5，

所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．

5．阅读下面的材料：

解答下面的问题：

（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；

（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）

【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b，

把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，

则过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，

对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，

∴A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AB==4，且ON为斜边上的中线，

∴ON=AB=2，

则l1和l2两平行线之间的距离为2；

（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB最小，

设直线B′P的解析式为y=mx+n，

把B′和P坐标代入得：，

解得：m=，n=，

∴直线B′P的解析式为y=x+，

令x=0，得到y=，即Q（0，）；

故答案为：Q（0，）；

（4）如图2所示，分三种情况考虑：

当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；

当PM2=BM2时，M2为线段PB垂直平分线与x轴的交点，

∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（2.5，1.5），

∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，

令y=0，得到x=1，即M2（1，0）；

当PB=M3B==3时，OM3=OB+BM3=4+3，此时M3（4﹣3，0），M3（4+3，0）．

综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣3，0）或（4+3，0）．6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．

（1）求直线l的函数表达式；

（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；

（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；

（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．

【解答】解：

（1）设直线l的解析式为y=kx+b，

∵直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，

∴﹣k=﹣1，解得k=2，

∵直线l的图象过点P（﹣1，4），

∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，

∴直线l的解析式为y=2x+6；

（2）如图1，过O作OC⊥AB于点C，

此时线段OC的长度最小，

在y=2x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可求得x=﹣3，∴A（0，6），B（﹣3，0），

∴OA=6，OB=3

∴AB==3，

∵AB?OC=OA?OB，

∴3OC=3×6，

∴OC=，

即线段OC长度的最小值为；

（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G ⊥x轴于点G，

则PQ=P″Q，

∴PQ+BQ=BQ+QP″，

∵点B、Q、P″三点在一条线上，

∴BQ+PQ最小，

∵P（﹣1，4），

∴P″（1，4），

∴P″G=4，OG=1，

∴BG=BO+OG=4=P″G，

∴∠OBQ=45°，BP″=4，

∴OQ=BO=3，

∴Q点坐标为（0，3），

又BP==2，

此时△BPQ的周长=BP+BP″=4+2；

（4）由（3）可知∠OBQ=∠OQB=45°，

∴∠PQA=∠P″QA=45°，

∴PQ ⊥BQ ，

如图3，延长PQ 到点P′，使PQ=P′Q ，则P′即为点P 关于BQ 的对称点，过P′作

P′H ⊥y 轴于点H ，

由（3）可知PQ=QP′=

，

∴QH=HP′=1， ∴OH=OQ ﹣QH=3﹣1=2，

∴S 四边形ABOP′=S △AOB +S △AOP′=×6×3+×6×1=12，

即四边形ABOP′的面积为12．