2018最新五年级奥数.数论.整除性(A级).学生版

数论之整除性

九进制

乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。

他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。拿破仑1816年战败，希

特勒1945年战败，相隔129年。拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938

年攻人维也纳，也是相隔129年。拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔

129年后进攻苏联。美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届

总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。两人同在星期五并在女人的参

与下被刺遇害。接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。更巧的是，

杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔

又是100年。

兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。

他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。

兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。他发现将l、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。

他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；29的余数，这个计算过程被称作是“弃9法”。懂得了弃9法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该10个10个地数数，也不应该12个12个数数，而应该9个9个地数数，实行9进制。

科学家认为，使用九进制，能使加减乘除运算变得更快更准确。但目前对9的研究还很不够，9对人

类来说极具神秘性。包括兰伯特在内的数学家们正努力探索9的奥秘，希望在不久的将来对9的研究有更大的突破。

考试要求

（1）熟悉常见数的整除性质

（2）对于整除含义的理解，求解一些特定问题

知识框架

整除性质余老师薇芯：69039270

（1）2：个位是偶数的自然数

（2）5：个位是0或5的自然数

注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0

（3）4、25：末两位能被4、25整除

（4）8、125：末三位能被8、125整除

（5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除

（6）7、11、13通用性质：①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，

则其必能被7、11、13整除

②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13

的倍数，则其为7、11、13的倍数

③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的

倍数，则其为7、11、13的倍数

（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除

（8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除

（9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除

注意：当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为2和5确定个位，再4、25、8、125来确定十位、百位，接着考虑3和9，最后7、11、13，

重难点

（1）熟记整除性质，若遇未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘，如：72=8×9

（2）已知一个多位数的前半部分求后半部分时，可用估算，把原数看大些，利用除法求出余数，再把余数减去，如例9

（3）看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5，如例8

例题精讲

【例1】在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除.

154能被72整除，求x+y的值.

【巩固】已知五位数xy

【例2】六位数3ABABAB是6的倍数，其中A、B表示不同的数字，这样的六位数共有多少个？

【巩固】七位数17562□的末位数字是的时候，不管千位上是0到9中得哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数

【例3】由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？

【巩固】求出一个最大的十位数，它由0,1,2,3，…,9这十个不同的数字组成，并且能被11整除？

【例4】从0,3,5,7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数共有几个？

【巩固】一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是.余老师薇芯：69039270

【例5】求被11整除且数字和等于43的五位数

【巩固】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？

【例6】（2008解题能力展示六年级初赛）已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数，那么，这个九位数是

【巩固】42□28□能被99整除,方框里应该填什么数?

【例7】把三位数3ab 接连重复的写下去，共写1993个，所得的数3ab3ab3ab……3ab 1993个3ab

恰是91的倍数，求

ab 【巩固】如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是

【例8】2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?

注意：看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5

【巩固】从1到101这101个自然数连乘的末尾共有多少个连续的数码0？

【例9】某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数是

【巩固】（2009年101中学小升初试题）在2009后面补上三个数字，组成一个七位数2009□□□，使得这个七位数能被2、3、4、5、6整除，那么当补上的三个数字的和最大时，所补的三个数字是

【例10】某商场向顾客发出9999张购物券，每张上面印有一个四位数的号码，从0001到9999.如果号码的前面两位之和等于后面两位数字之和，则称为“幸运券”.例如号码0826，因0+8=2+6，所以

叫做“幸运券”，试说明：商场发出的所有“幸运券”中，所有的“幸运券”的号码之和能被101

整除.欢迎关注：“奥数轻松学”

【巩固】求1～9999的所有数码和？

课堂检测

【随练1】(2003年一零一中学入学摸底考试第11题)既能被3整除，又能被7整除的最小三位数是.

【随练2】(2003年一零一中学入学摸底考试第20题)一个五位数中各个数位上的数字和是42，则其中能被4整除的五位数是哪几个？

【随练3】(北京市一零一中学计算机培训班六年级04～05学年一学期第一次随堂测试第12题)在1～1000之间的自然数，能同时被2、3、5整除的数共有个.

【随练4】（2006年“我爱数学杯”数学竞赛）2006年6月11日是小明的生日.在2006的前边和后边各添上一个数，组成一个六位数，这个六位数正好能被他的出生月份数和日期数整除.这个六位

数是.

【随练5】（06年十一学校选拔考试真题）一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有个．

【随练6】（“祖冲之”杯数学邀请赛试题）求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和.

复习总结

1、重点掌握

2、

3、5、9、11、99的整除性质

2、重点掌握求数码和的方法，如例10，此内容是杯赛常考类型，也可与余数问题结合起来

家庭作业

【作业1】在25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填.

【作业2】一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是或.

【作业3】有一个首位数字是8的六位数，它能被9整除，并且各个数位上的数字都不相等.这样的六位数最小是几？

【作业4】（2008走美五年级初赛）

a是2008的倍数，那么a=

【作业5】已知九位数2005□□□□是2010的倍数，这样的九位数共有多少个？

【作业6】把30个自然数1、2、3……30乘到一起，那么这个乘积的末尾会有个0

【作业7】三位数中能被11整除，且数字之和是11的有个欢迎关注：“奥数轻松学”

【作业8】（三帆培训班）一个四位数能被45整除，千位数字与个位数字之积是20，百位数字与十位数字组成的两位数是9的4倍，求这个四位数

【作业9】（2005人大附中小升初真题）有个四位数满足以下条件：它的各位数都是互不相同的奇数；它的每个数字都能整除它本身.

【作业10】李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平分成4个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有学生人.

教学反馈

学生对本次课的评价

○特别满意○满意○一般

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小学五年级奥数整除问题

五年级思维第二讲基础知识： 1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ，b=c a ÷则称a 能被b 整除或者b 能整除a ，记做b a |，否则称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ，记做a b |. 性质1：如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除. 性质2：如果b 与c 的乘积能够整除a ，那么b 、c 都能整除a . 性质3：如果b 、c 都能整除a ，并且b 、c 互质，那么b 、c 的乘积也能够整除a. 性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a . 性质5：如果b 和c 的乘积能够被a 整除，并且a ，b 互质，那么c 能够被a 整除. 2. 被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾. 3. 被3，9整除特征：数字和被3,9整除. 4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除. 例题：例1、如果六位数2012□□能够被105整除，那么后两位数是多少？解：设六位数为，105=3，依次考虑被3,5,7整除得到3∣a+b -1，b=0或5, 7∣(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b =5.故后两位为85. 例2、求所有的x ，y 满足使得72∣. 解：72=8×9，根据整除9性质易得x +y =8或17，根据整除4 的性质y =2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意. 例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费□67.9□元，其中□处字迹已经模糊不清，请你补上□中的数字并且算出每只羽毛球的单价. 解：设两个□处的数字分别是a 、b ，则有143∣，根据11∣，有a+b =8，再根据13∣，所以13∣(100a +67-90-b )，再根据a+b =8得到13∣（10a -5）解得a =7 b =1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元. 例4、把若干个自然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要

五年级奥数题因数与倍数

13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 米，黄鼠狼每次跳 2 米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔 12 米设有一个陷井,当它们因数与倍数相关习题（1）一、填空题 1．28 的所有因数之和是_____. 2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法. 3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是 28 的因数,十位数字与个位数字的积是 2 4.这个两位数是_____. 4. 李老师带领一班学生去种树 ,学生恰好被平均分成四个小组 ,总共种树 667 棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人. 5. 两个自然数的和是 50,它们的最大公因数是 5,则这两个数的差是_____. 6. 现有梨 36 个,桔 108 个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个. 7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块. 8. 长 180 厘米,宽 45 厘米,高 18 厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块 (不余料)_____块. 9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个,又以 2 元钱 5 个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得 10 元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个. 10. 含有 6 个因数的两位数有_____个. 11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是 1，但两两均不互质，请问有多少组这种解 12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少 1 3 2 4 3 8 之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米 14. 已知 a 与 b 的最大公因数是 12,a 与 c 的最小公倍数是 300,b 与 c 的最小公倍数也是 300,那么满足上述条件的自然数 a ,b ,c 共有多少组 (例如:a =12、b =300、c =300，与 a =300、b =12、c =300 是不同的两个自然数组) ———————————————答案—————————————————————— 答案: 1． 56 28 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为 1+2+4+7+14+28=56. 2. 4

五年级奥数专题-数的整除

五年级奥数专题-数的整除如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a 。如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数。数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除。（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除。（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除。（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除。（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除。（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除。（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除。一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____. 思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620 238568÷88=2711 所以,本题的答案是2620或2711. 例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____. 思路导航：

五年级奥数整除问题

整除(一):拆除数关键词与关键策略: 一、整除的含义：如果一个整数a除以一个非零整数b的商是整数，且没有余数(或余数为零)，我们就叫做b能整除a, a能被b整除；a是b的倍数，b是a 的约数。记作: b∣a 1、0是任何非零整数的倍数，但不是任何整数的约数；1是任何数的约数。 2、0是最小的自然数，但不是最小的一位数；最小的一位数是1。二、整除的性质：如果一个数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个数的乘积整除；反过来，一个数能被两个互质数的乘积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。三、特殊数整除的特征: 1、尾数判断法： (1)能被2（或5）整除的数的特征:个位数字能被2、5整除。看个位 2 (2:个位为偶数； 5:个位为0或5) （2）能被4（或25）整除的数的特征: 末两位数字能被4、25整除。看末两位425= 100 25: 未两位为00、25、50、75) 例：1864=1800+64,1800是4与25的倍数，64能被4整除，但是不能被25整除。（3）能被8（或125）整除的数的特征: 末三位数字能被8、125整除。看末三位8125 = 1000 2、数字求和法：能被3或9整除的数的特征: 各个数位数之和是3或9的倍数(弃三法或弃九法)。例1：判断下面数的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407 （1）这些数中，有哪些数能被4整除，哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除，哪些数能被125整除？

（3）哪些数能被3整除？（4）哪些数能被9整除？练习：（1）判断33333333468675能不能被125整除？（2）1234567891011121314能不能被3和9整除？例2、有一个四位数是45ab, 同时能被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。练习：（1）四位数841口能被2和3整除，口中应填。 (2)同时能被3、4、5整除的最小四位数是。例3、小马虎在一张纸上写了无重复数字的五位数字3□6□5，其中十位数字和千位数字被小马虎喝水时打湿看不清了，但是小马虎知道这个五位数是75的倍数，那么满足上述条件的五位数有哪些? 练习：（1）六位数1803*6能被12整除，其中十位数字是。（2）四位数8A1B能同时被5、6整除，这个四位数是。 (3)一个六位数43口57口能被72整除，这个六位数是。 (4)四位数2口2口能同时被8, 9整除，那么这个四位数是。

(完整word版)五年级奥数题：数的整除性

数的整除性一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6. 所有能被3整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号. 二、解答题 11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？ 13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？ 14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.

小学五年级奥数复习：倍数整除

A 1．五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又有约数5？ 2．四位数4A6B能同时被5、6整除，则这个四位数是几？ 3．请证明：任意一个三位数，连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除。 4．已知一个自然数A，它能被15整除，且它的各个数位上的数字只能有2、5两种，则这种最小的六位数A是多少？ 5．六位数3ABABA是6的倍数，这样的六位数有多少个？ 6．把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。 7．把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等，分出的两组数分别是（）和（）。 8．从0、3、5、7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位有多少个？ 9．有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个不同数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第三个数是多少？ 10．求出所有能被3整除的二位数的和。 11．从1到100的自然数中，的有不能被9整除的数的和是多少？ 12．商店里有6只不同重量的货箱，分别装有货物15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中5箱货物，而且一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，商店里剩下的这箱货物是多少千克？ B 1．已知十位数a0a1a2a3a4能被11整除，求a是多少？ 2．已知□1998□同时能被8和11整除，□各填几？ 3．从1357四个数中，选出三个数字组成被75整除的三位数。 4．三位数2AB接连写1999次，使其成为91的倍数，求AB。 5．任意一个三位数连着写两回得到的一个六位数，这个六位数一定能被7，11，13整除。 6．求无重复数字、能被75整除的五位数3A6B5有多少个？ 7．已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的6倍，求这个两位数。 8．已知M个1991能被17整除，求M最小是几？ 9．在298后面填上一个三位数，使这个六位数能被476整除。 10．用1——6六个数字组成一个六位数abcdef，其中不同字母代表1——6中不同的数字，要求ab是2的倍数，abc是3的倍数，abcd是4的倍数，abcde是5的倍数，abcdef是6的倍数。求这样的六位数有几个？ 11．71427和19的积除以7，余数是几？ 12．李佳买了三支铅笔、五支钢笔、八本练习本和12块橡皮。已知铅笔4分一支，钢笔2角8分一支，其余单价李佳记不清了。售货员要李佳共付2元1角钱。请问售货员算错了没有？解答 A 1．解：因为被5整除个位上的数字是0或5；又因为被3整除，各位数字之和必定是3的倍数。所以得到：15180，15480，15780，15285，15585，15885。 2．解：因为6=2X3，所以个位上的数字是0。则4260，4560，4860。 3．解：如213213=213000+213=213X1000+210=213X（1000+1）=213X1001。而

五年级奥数-数的整除

专题一数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。一、基本概念和知识 1.整除例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数）解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数）练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个

五年级奥数带余数除法

带余数的除法月日，宋老师带走进美妙的数学花园! 知识集锦古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多种有趣的名称，如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等，人们还编了许多美妙动人的故事。实质上，这些算法正是带余除法的表现形式。两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面关系：被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。例题集合例1 两个数相除的商是15，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是309，那么除数是多少？练习1 两个数相除的商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，那么除数是多少？例2 自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？

练习2 已知自然数a除以13余6，自然数b除以13余12。求a加b的和除以13，余数是多少？例3 一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数是多少？练习3 一个四位数，它被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。例4 已知一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？练习4 用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？

例5 某班同学买了310个本子，如果分给每个同学的数量相同，结果还剩下37本，且不能继续平分，问这个班有多少同学？练习5 有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。问这一篮苹果一共有多少个？课堂练习 1、哪些数除以7能使商与余数相同？ 2、474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。

高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步

第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论. 什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科. 确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 . 我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧 . X :: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数 ;论是数学的皇冠” ? 整除的定义如果整数a 除以整数 b ( b 0 ),除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除, 也可以说b 能整除a,记作b | a . 「丁M 丄［EfiA I 邑九牛城帀，琴百捨吧円样的方式冉境OOOKH3C01B.以 G 、乩出卞城布可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏次脫锂A- B- C,懵快.軒iHflt 反应境闻瞭面丈旳埠茶逾稲伸只记聲车壇忙￥2. 鼻、4. $、隔一亍？貝侔的推列浚记件 yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡豪酊r.舌方境出了颯珂停! * w

如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除 a. 整除的一些基本性质: 1. 尾数判断法 3.奇偶位求差法 |能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI 我们把一个数从右往左数的第 1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字之和”简称为“ 偶位和”．F 面我们来看一下如何运用这些性质 . 例题1.判断下面11个数的整除性： 23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1)这些数中，有哪些数能被 4整除？哪些数能被 8整除？ (2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？ (4) 哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下. 练习 1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除, 哪些数能被3整除，哪些数能被 11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被 11整除.从中我们可以总结出如下规律: 和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数 a 整除，那它们的和与差也都能被 a |能被2, 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除. ||能被4, 25整除的数的特征：末两位能被4或25整除. 1［能被8, 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除. 1 数字求和法能被3, 9整除的数的特征：各位数字之和能被 3或9整除.| (1) (2) (3) 2.

第五节初等数论中的几个重要定理

第五节初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉(Euler)函数）一组数s x x x ,,,21 称为是模m 的既约剩余系，如果对任意的s j ≤≤1，1),(=m x j 且对于任意的Z a ∈，若),(m a ＝1，则有且仅有一个j x 是a 对模m 的剩余，即)(mod m x a j ≡。并定义},,2,1{)(m s m ==?中和m 互质的数的个数，)(m ?称为欧拉（Euler ）函数。这是数论中的非常重要的一个函数，显然1)1(=?，而对于1>m ，)(m ?就是1,2，…，1-m 中与m 互素的数的个数，比如说p 是素数，则有1)(-=p p ?。引理：∏? =为质数）－（P |P 11)(m P m m ?；可用容斥定理来证（证明略）。定理1：（欧拉（Euler ）定理）设),(m a ＝1，则)(mod 1)(m a m ≡?。证明：取模m 的一个既约剩余系))((,,,,21m s b b b s ?= ，考虑s ab ab ab ,,,21 ，由于a 与m 互质，故)1(s j ab j ≤≤仍与m 互质，且有i ab )1(s j i ab j ≤<≤?，于是对每个 s j ≤≤1都能找到唯一的一个s j ≤≤)(1σ，使得)(mod )(m b ab j j σ≡，这种对应关系σ是一一的，从而)(mod )(mod )(11)(1m b m b ab s j j s j j s j j ∏∏∏===≡≡σ，∴))(mod ()(11m b b a s j j s j j s ∏∏==≡。 1),(1=∏=s j j b m ，)(mod 1m a s ≡∴，故)(mod 1)(m a m ≡?。证毕。分析与解答：要证)(mod 1)(m a m ≡?，我们得设法找出)(m ?个n 相乘，由)(m ?个数我们想到m ,,2,1 中与m 互质的)(m ?的个数：)(21,,,m a a a ? ，由于),(m a ＝1，从而)(21,,,m aa aa aa ? 也是与m 互质的)(m ?个数，且两两余数不一样，故)(21m a a a ???? ≡)(21,,,m aa aa aa ? ≡)(m a ?)(21m a a a ???? （m mod ），而（)(21m a a a ???? m ）＝1，故)(mod 1)(m a m ≡?。这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。

初等数论第一章整除理论

第一章整除理论整除性理论是初等数论的基础。本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。第一节数的整除性定义1设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数c，使得 a = bc 成立，则称a被b整除，a是b的倍数，b是a 的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不被 b整除，记为b|/a。显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。定理1下面的结论成立： (ⅰ) a∣b?±a∣±b； (ⅱ) a∣b，b∣c?a∣c； (ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, , k?b∣a1x1+ a2x2+ +a k x k，此处x i（i = 1, 2, , k）是

任意的整数； (ⅳ) b∣a ?bc∣ac，此处c是任意的非零整数； (ⅴ) b∣a，a≠ 0 ? |b| ≤ |a|；b∣a 且|a| < |b| ?a = 0。证明留作习题。定义2若整数a≠0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。定理2任何大于1的整数a都至少有一个素约数。证明若a是素数，则定理是显然的。若a不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d1, d2, , d k 。不妨设d1是其中最小的。若d1不是素数，则存在e1 > 1，e2 > 1，使得d1 = e1e2，因此，e1和e2也是a的正的非平凡约数。这与d1的最小性矛盾。所以d1是素数。证毕。推论任何大于1的合数a必有一个不超过证明使用定理2中的记号，有a = d1d2，其中d1 > 1是最小的素约数，所以d12≤a。证毕。例1设r是正奇数，证明：对任意的正整数n，有 n+ 2|/1r+ 2r+ +n r。

五年级奥数.数论.整除性(A级).教师版

九进制乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。拿破仑1816年战败，希特勒1945年战败，相隔129年。拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938 年攻人维也纳，也是相隔129年。拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔 129年后进攻苏联。美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。两人同在星期五并在女人的参与下被刺遇害。接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。更巧的是，杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔又是100年。兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；29的余数，这个计算过程被称作是“弃9法”。懂得了弃9法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该10个10个地数数，也不应该12个12个数数，而应该9个9个地数数，实行9进制。课前预习数论之整除性

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。

初等数论作业(3)答案

第三次作业答案：一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x . 解因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x ,

)45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)

四年级奥数第一讲---数的整除问题

第一讲数的整除问题一、基本概念和知识： 1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a 的因数（或约数），a是b（c）的倍数. 提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。练习：写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________；

5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（３）0和１既不是质数，也不是合数。、

五年级奥数_数的整除

开元教育数的整除姓名_______________ 数的整除特征： ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 ⑧互质6=2*3 88=8*11 ······· 例1、36、60、87、95、104、123、235、396、432、505、606、712、918这些数中。能被2整除的数有________________________________________；是3的倍数的有_________________________________；5的倍数有____________________________。你还能找出哪些数是6的倍数吗？______________________________________。例2、126、248、368、472、582、1234、5678、2468、2340、97532这些数中能被4整除的数有_______________________________；8的倍数有____________________。你还能找出12的倍数吗？___________________________________。例3、在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除. 例4、在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除. 例5、在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除. 例6、在□内填上合适的数字，使六位数19□88□能被35整除. 例7、一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个？例8、一年级有72名学生，课间加餐共交了□67.9□元（□内的数字辨认不清），每人交了多少钱？（每人交钱一样多）例9、一个整数a与108的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。例10、问24共有多少个约数？全部约数之和是多少？例11、求240的约数的个数。全部约数之和是多少？例12、求1080的约数的个数。

五年级奥数-②数的整除(2)

数的整除（2）(4.9) 姓名_______________ 数的整除特征： ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821。再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725. 例1、36、60、87、95、104、123、235、396、432、505、606、712、918这些数

五年级奥数数的整除

五年级奥数数的整除 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】