中考数学压轴题定值问题

【中考数学压轴题】---定值问题

一、乘积、比值类型

1．（2009·株洲）如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A 、C 在x 轴上，点B

坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长

交AC 于点F ，试证明：FC (AC ＋EC )为定值． 解析：（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. 3分 （2）∵45ODA OAD ∠=∠=?

∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）.

又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：

2

(1)y a x =-，得：

2

2

(31)(01)3

a m a m ?-=??-=-?? 解得14a m =??=? ∴抛物线的解析式为2

21y x x =-+ ………7分

（3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2

(,21)x x x -+，则2

(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.

∵//QM CE ∴PQM ?∽PEC ? ∴QM PM EC PC = 即2

(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =-

∵//QN FC ∴BQN ?∽BFC ? ∴QN BN FC BC

=

即2

34(1)4x x FC ---=，得4

1

FC x =

+ 又∵4AC =∴444()[42(1)](22)2(1)8111

FC AC EC x x x x x x +=

+-=+=?+=+++ 即FC (AC ＋EC )为定值8. …12分

二、定长、定角、定点、定值类型

1．（2011?东营）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），点D

是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y =1

2

x ＋b 交折线OAB 于点E ．

（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；

（2）当点E 在线段OA 上时，且tan ∠DEO =1

2

．若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形

O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

考点：一次函数综合题。 分析：（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点

y

x

Q

P F

E D

C

B

A O

E 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD 、△OAE 、△BDE 的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化． 解答：解：（1）∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（－3，0），（0，1），∴B （－3，1），

若直线经过点A （－3，0）时，则b=3

2 ，

若直线经过点B （－3，1）时，则b=5

2

，

若直线经过点C （0，1）时，则b=1，

①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b≤3

2

，如图1，

此时E （2b ，0），∴S=1 2 O E?CO=1

2

×2b×1=b ；

②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即3 2 ＜b ＜5

2

，如图2

此时E （－3，b －3

2

），D （2b ﹣2，1），

∴S=S 矩－（S △OCD +S △OAE +S △DBE ）=3－[1 2 （2b －2）×1+1 2 ×（5－2b ）?（5 2 －b ）+1 2 ×3（b －3 2 ）]=

5

2

b －b 2，

∴S=???????

<<-≤<)2523(2

523221b b b b b ； （2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积． 由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ， ∴四边形DNEM 为平行四边形， 根据轴对称知，∠MED=∠NED ， 又∠MDE=∠NED ，

∴∠MED=∠MDE ，∴MD=ME ， ∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，

由题易知，

=1

2

，DH=1，∴HE=2， 设菱形DNEM 的边长为a ，

则在Rt △DHN 中，由勾股定理知：a 2=（2－a ）2+12，

∴a =5 4 ，∴S 四边形DNEM =NE?DH=5 4 ．

∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为5 4

．

2．（2011?遵义）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =20cm ，AD =10cm ，现有两个动点P 、Q 分别从

B 、D 两点同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿B

C 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动，线段PQ 与B

D 相交于点

E ，过E 作E

F ∥BC 交CD 于点F ，射线QF 交BC 的延长线于点H ，设动点P 、Q 移动的时间为t （单位：秒，0＜t ＜10）． （1）当t 为何值时，四边形PCDQ 为平行四边形？

（2）在P 、Q 移动的过程中，线段PH 的长是否发生改变？

如果不变，求出线段PH 的长；如果改变，请说明理由． 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。 分析：（1）如果四边形PCDQ 为平行四边形，则DQ =CP ，根

据P 、Q 两点的运动速度，结合运动时间t ，求出DQ 、CP 的长度表达式，解方程即可；

（2）PH 的长度不变，根据P 、Q 两点的速度比，即可推出QD ：B P=1：2，根据平行线的性质推出

三角形相似，得出相似比，即可推出PH =20． 解答：解：（1）∵AD ∥BC ，BC =20cm ，AD =10cm ，点P 、Q 分别从B 、D 两点同时出发，点P 以每

秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动， ∴DQ =t ，PC =20﹣2t ，

∵若四边形PCDQ 为平行四边形，则DQ =PC ， ∴20﹣2t =t ，解得：t =20

3

；

（2）线段PH 的长不变，

∵AD ∥BH ，P 、Q 两点的速度比为2：1，∴QD ：BP =1：2， ∴QE ：EP=ED ：BE =1：2，

∵EF ∥BH ，∴ED ：DB =EF ：BC =1：3， ∵BC =20，∴EF =20 3 ，∴EF PH ：QE QP =1

3

，

∴PH =20cm ．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求

得DQ 和PC 的长度表达式，推出DQ 和PC 的长度比为1：2． 3．（2011?广州）已知关于x 的二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点C （0，1），且与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0） （1）求c 的值；

（2）求a 的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y =1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ，记△PCD 的面积为S 1，△P AB 的面积为S 2，当0＜a ＜1时，求证：S 1－S 2为常数，并求出该常数．

考点：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x 轴的交点；相似三角形的判定与性质。 专题：计算题。 分析：（1）把C （0，1）代入抛物线即可求出c ；（2）把A （1，0）代入得到0=a ＋b ＋1，推出b =－1－a ，求出方程ax 2＋bx ＋1=0，的b 2－4ac 的值即可；

（3）设A （a ，0），B （b ，0），由根与系数的关系得：a ＋b =a a +1，ab =a 1，求出AB =a

a -1，把y =1代入抛物线得到方程ax 2＋（－1－a ）x ＋1=1，求出方程的解，进一步求出CD 过P 作MN ⊥CD 于M ，

交x 轴于N ，根据△CPD ∽△BP A ，得出

=

，求出PN 、PM 的长，根据三角形的面积公式即可

求出S 1－S 2的值即可． 解答：（1）解：把C （0，1）代入抛物线得：1=0＋0＋c ，解得：c =1， 答：c 的值是1．

（2）解：把A （1，0）代入得：0=a ＋b ＋1， ∴b =－1－a ，ax 2＋bx ＋1=0，

b 2－4a

c =（－1－a ）2－4a =a 2－2a ＋1＞0， ∴a ≠1且a ＞0，

答：a 的取值范围是a ≠1且a ＞0；

（3）证明：∵0＜a ＜1，∴B 在A 的右边， 设A （a ，0），B （b ，0），

∵ax 2＋（－1－a ）x ＋1=0，由根与系数的关系得：a ＋b =

a a

+1，ab =a

1， ∴AB =b －a =ab a b 4)(2-+=a

a

-1， 把y =1代入抛物线得：ax 2＋（－1－a ）x ＋1=1，

解得：x 1=0，x 2=a a +1，∴CD =a

a

+1，

过P 作MN ⊥CD 于M ，交X 轴于N ，则MN ⊥X 轴， ∵CD ∥AB ，∴△CPD ∽△BP A ，

∴

=

，

∴

=

，

∴PN=

21a -，PM=2

1a

+， ∴S 1－S 2=?

a a +1?2

1a

+－??=1，

即不论a 为何只，S 1－S 2的值都是常数．

答：这个常数是1．

点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x 轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中． 4．（2011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y =ax 2(a ＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA =OB =22（如图1），求a 的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF ⊥x 轴于点F ，测得OF =1，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 解：（1）设线段AB 与y 轴的交点为C ，由抛物线的对称性可得C 为AB 中点， OA =OB =22，90AOB ∠=?， ∴2AC OC BC ===，

∴ B (2，2-)

将B (2，2-)代入抛物线y =ax 2(a ＜0)得，12

a =-.

（2）解法一：过点A 作AE x ⊥轴于点E ， 点B 的横坐标为1，

F E

y

x

B

A

O

∴ B (1，1

2

-)， ∴12

BF =.

又

90AOB ∠=?，易知AOE OBF ∠=∠，又90AEO OFB ∠=∠=?，

∴△AEO ∽△OFB ，

∴121

2AE OF OE BF === ∴2AE OE = ……… 5分 设点A （m -，212m -

）（0m >），则OE m =，21

2

AE m =，∴ 2122m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分 解法二：过点A 作AE x ⊥轴于点E ， 点B 的横坐标为1，∴ B (1，1

2

-)， ……… 4分 ∴1

tan 21

2

OF OBF BF ∠=

== 90AOB ∠=?，易知AOE OBF ∠=∠， ∴

tan tan 2AE

AOE OBF OE

=∠=∠=，∴ 2AE OE = ……… 5分 设点A （-m ，212m -

）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴ 2

122

m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分 （3）解法一：设A （m -，21

2

m -）（0m >），B （n ，21

2

n -）（0n >）， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+， 则221 (1) 21 (2) 2

mk b m nk b n ?

-+=-???

?+=-??，……… 7分 (1)(2)n m ?+?得，2211()()()22

m n b m n mn mn m n +=-+=-+，∴ 1

2b mn =-

又易知△AEO ∽△OFB ，

∴ AE OE

OF BF

=

，∴ 220.50.5m m n n =，∴ 4mn =……… 9分 ∴1

422

b =-?=-.由此可知不论k 为何值，直线AB 恒过点（0，2-）………10分

解法二：设A （m -，21

2m -）（0m >），B （n ，212

n -）（0n >），

直线AB 与y 轴的交点为C ，根据0AOB AOE B F AOC BOC ABFE S S S S S S ?????=--=+梯形，可得

2222111111111

()()222222222

n m m n m m n n OC m OC n ?++-??-??=??+??， 化简，得1

2

OC mn =

. ……… 8分 又易知△AEO ∽△OFB ，∴ AE OE OF

BF

=，

∴ 2

2

0.50.5m m n n =，∴ 4mn =……… 9分 ∴2OC =为固定值.故直线AB 恒过其与y 轴的交点C （0,－2）……… 10分 说明：mn 的值也可以通过以下方法求得.

由前可知，22414

OA m m =+，2241

4OB n n =+，2222211()()22AB m n m n =++-+，

由222

OA OB AB +=，得：242422221111()()()()4422

m m n n m n m n +++=++-+，

化简，得4mn =.

5．（2011?河北）如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以毎秒1个单位长的

速度运动t 秒（t ＞0），抛物线y =x 2+bx +c 经过点O 和点P ，已知矩形ABCD 的三个顶点为 A （1，0），B （1，－5），D （4，0）． （1）求c ，b （用含t 的代数式表示）：

（2）当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB ，CD 交于点M ，N ．

①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；

②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，要S =21

8

；

（3）在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为

“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围． 考点：二次函数综合题。 分析：（1）由抛物线y =x 2+bx +c 经过点O 和点P ，将点O 与P 的坐标代入方程即可求得c ，b ； （2）①当x =1时，y =1－t ，求得M 的坐标，则可求得∠AMP 的度数，

②由S =S 四边形AMN P －S △P AM =S △DPN +S 梯形NDAM －S △P AM ，即可求得关于t 的二次函数，列方程即可求得t 的值；（3）根据图形，即可直接求得答案． 解答：解：（1）把x=0，y =0代入y =x 2+bx +c ，得c =0， 再把x =t ，y =0代入y =x 2+bx ，得t 2+bt =0， ∵t ＞0，∴b =－t ； （2）①不变．

如图6，当x =1时，y =1－t ，故M （1，1－t ）， ∵tan ∠AMP =1，∴∠AMP =45°； ②S =S 四边形AMNP －S △P AM =S △DPN +S 梯形NDAM －S △P AM =1 2 （t －4）（4t －16）+1 2

[（4t －16）+（t －1）]×3

－1

2 （t－1）（t－1）=

3

2

t2

－

15

2 t+6．

解

3

2 t

2－15

2 t+6=

21

8 ，得：t1=

1

2 ，t2=

9

2 ，

∵4＜t＜5，∴t1=

1

2 舍去，∴t=

9

2

（3）

7

2 ＜t＜

11

3 ．

点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．

三、倒数和类型

1．（2011?莆田）已知菱形ABCD边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD 交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．

①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC 的延长线于点N，试判断

1

DM＋

1

DN是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

25．解：（1）证明：如图I，分别连接OE、OF

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC

∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．

∠ADO=

1

2 ∠ADC=

1

2 ×60°=30°

又∵E、F分别为DC、CB中点

∴OE=

1

2 CD，OF=

1

2 BC，AO=

1

2 AD

∴OE=OF=OA ∴点O即为△AEF的外心。

（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。

证明：如图2，分别连接PE、P A，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J

∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°

C

D

E

F

O

图1

∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°

∵点P是等边△A EF的外心，∴∠EP A=120°，PE=P A，∴∠IPJ=∠EP A，∴∠IPE=∠JP A

∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ

∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。

②

1

DM＋

1

DN为定值2.

当AE⊥DC时．△AEF面积最小，

此时点E、F分别为DC、CB中点．

连接BD、AC交于点P，由（1）

可得点P即为△AEF的外心

解法一：如图3．设MN交BC于点G

设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则CN=y－1

∵BC∥DA∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．∴CG=1－x ∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM

∴CN

DN=

CG

DM，∴

y－1

y=

1－x

x∴x＋y=2xy

∴1

x＋

1

y=2，即

1

DM＋

1

DN=2

B

图3 M