初中数学频率与概率利用概率玩转盘游戏同步练习及答案
利用概率玩转盘游戏——典型题专项训练知识点概率在游戏中的应用
1．甲、乙两人用如图3－1－4所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏．游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是( )
图3－1－4
A.13
B.49
C.59
D.23
2．小明所在的学校准备在国庆节当天举办一个大型的联欢会，为此小明设计了如图3－1－5所示的A，B两个转盘和同学们做“配紫色”(红、蓝可配成紫色)的游戏，使用这两个转盘可以配成紫色的概率是( )
图3－1－5
A.12
B.13
C.14
D.23
3．将一个转盘分成6等份，分别涂上红色、黄色、蓝色、绿色、白色、黑色，转动转盘两次，两次能配成紫色(红、蓝可配成紫色)的概率是________．
4．小雨用如图3－1－6所示的转盘进行“配绿色”游戏，她利用列表法来计算配成绿色(黄色和蓝色配成绿色)的概率，列出了下表：
并据此计算配成绿色的概率是12，她的做法对吗？若不对，请写出正确的做法．
图3－1－6
5．如图3－1－7，有A，B两个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上－1，2，3和－4，－6，8这6个数字．同时转动两个转盘各一次(指针落在等分线上时重转)，转盘自由停止后，A转盘中指针指向的数字记为x，B转盘中指针指向的数字记为y，点Q的坐标记为(x，y)．
(1)用列表法或画树状图法表示Q(x，y)所有可能出现的结果；
(2)求出点Q(x，y)落在第四象限的概率．
图3－1－7
详解
1．C 2.C 3.118
4．解：她的做法不对，因为左边转盘中黄色和蓝色出现的机会不均等．正确的做法是：将左边转盘中的蓝色区域平均分成三份，分别记为蓝1、蓝2、蓝3.
∴配成绿色的概率是48＝12.
5．解：(1)列表如下：
或画树状图如下：
(2)由(1)中的表格或树状图可知：
点Q出现的所有可能结果有9种，位于第四象限的结果有4种，
∴点Q(x，y)落在第四象限的概率为49.
概率论在游戏中的应用
概率论在游戏中的应用 摘要：游戏作为生活乐趣的一部分，在设计时必须同时考虑娱乐性与平衡性。许多游戏依靠巧妙的概率设计来解决这一问题。本文通过对射击游戏，抽卡游戏，和策略类桌游三种游戏中简易概率模型的分析，体现了概率论在游戏中的应用。 关键词：概率模型卡坦岛射击游戏抽卡模型 随着人们对生活乐趣的追求，游戏行业也得到了迅速的发展。手游，桌游和网络游戏具有优秀的作品出现。好的游戏作品必须同时兼顾娱乐性与平衡性，既要有挑战，也要有鼓励机制。一个好的概率模型可以解决这个问题。 一，射击模型 射击模型广泛存在在各个射击游戏中。射击的精度通常由其炮弹及子弹的分布决定。网络游戏《坦克世界》中，炮弹的分布为期望为0的二维正态分布，如图（1），正态分布的方差直接受火炮精度影响。 图（1），炮弹分布在两轴上的投影 炮弹在落弹圈中的分布情况是遵循高斯分布（正态分布）的，也就是说，炮弹飞向落弹圈中心处的可能性远大于飞向边缘处。落弹圈大小的取值意义是标准高斯分布三个标准差σ处的累计概率。换言之，99.73%的炮弹都会落在这个圈内，而由于三个标准差σ之外的部分被截平，因此，剩下0.27%的炮弹会落在落弹圈的边界上。 游戏中炮弹精度，单位是20密位（mil），也就是我们常说的百米精度。一门炮的精度是0.32，表示它在100米处的落弹圈半径为0.32米，或者说直径0.64米。也就是说，它的精度是6.4mil。精度对炮弹的分布有着显著的影响。图(2)即两门精度分别为0.32与0.50的火炮模拟射击1000次的结果。可以看出，精度0.32的火炮炮弹分布明显优于精度0.50的火炮。
图（2）两门精度分别为0.32与0.50的火炮模拟射击1000次的炮弹分布 橙色：精度为0.50 蓝色：精度为0.32 二，抽卡模型 抽卡是目前手机游戏中非常常见的模型，也是游戏开发者鼓励充值的手段。但各个手游中抽卡模型并不相同。大部分游戏策划使用权值来配置随机概率，因为权值有个好处就是可以在增加随机物品时，可以不对之前的配置进行更改。 建立一个只含有两种卡牌的卡池，两种卡权值分别为5与95，显然，权值为五的卡更为稀有。自己写python程序模拟： pool = [0]*5 + [1]*95 result = [random.choice(a) for i in xrange(N)] 在样本pool中，保证了5%的出卡率。模拟结果如表（1）。表中显示的是分布概率图，X轴是目标卡牌出现的间隔数，Y轴是概数。按策划的想法，5%概率应该等同于20次出现一次，那上图很明显并不满足20次出现一次出现规则，实际间隔从近到远呈下坡形状分布，就是说相邻的概率最大，间隔最大超过160，这与玩家所吐槽的抽卡体验是一致的。从统计的意义上来说又是符合5%概率的。所以这个问题，究其原因就是所谓的概率是统计意义上的还是分布意义上的问题。
《与面积相关的概率(2)——转盘游戏》同步练习题
1．如图的四个转盘中，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（） A. B. C. D. 2．用蓝色和红色可以混合在一起调配出紫色，小明制作了如图所示的两个转盘，其中一个转盘两部分的圆心角分别是120°和240°，另一个转盘两部分被平分成两等份，分别转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的两个区域颜色恰能配成紫色的概率是（） A. B. C. D. 3．如图，转动转盘，指向阴影部分的可能性为a，指向空白部分的可能性为b，则（） A. a＞b B. a＜b C. a=b D. 无法确定 4．如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，上面分别标上1，3，4，5，6，7，8，9，转盘可以自由转动，转动转盘一次，指针指向的数字为偶数所在区域的概率是（） A. 1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 5．如图所示，圆盘被等分成八个全等的小扇形，并在上面依次标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字小于4的概率是______.
6．如图，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字．1、2、3、5，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P（3），指针指向标有“5”所在区域的概率为P（5），则P（3）______P（5）．（填“＞”“=”或“＜”） 7．如图，有甲，乙两个可以自由转动的转盘，若同时转动，则停止后指针都落在阴影区域内的概率是_____． 8．如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是______． 9．某商人制成了一个如图所示的转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖励3元；若指针指向字母“C”，则奖励1元．一天，前来寻开心的人转动转盘80次，你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大？为什么？
初中数学九年级下册《频率与概率》教案教学内容
6.1频率与概率第三课时 课 型：新授课 教学目标： 1.通过“配紫色”游戏，让学生感受利用概率公式n m P = 求概率时，前提必须是各种结果出现的可能性相同.（重点） 2.让学生初步体会可以用摸球游戏进行模拟试验.（难点） 3.通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值. 教法与学学指导： 这节课主要采用我校“一案三环节”课堂教学模式，体现合作学习，自主探究，教师在教学中设计一些知识的“陷阱”，让学生通过在经验中反思并总结而获得知识.教学中鼓励学生思维的多样性，发展学生的创新意识．进一步提高学习数学的信心． 教学程序： 一、创设情境，引入新授： （一）创设情境 师：魏红艳同学为滕南中学今年的元旦联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A 转出了红色,转盘B 转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色. (1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果. (2)游戏者获胜的概率是多少? 生：积极思考，并在练习本上尝试解答. 生1：（利用实物展台展示解法一） 借助树状图 解：所有可能出现的结果如下： 总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，而能够配成紫色的结果有2种， ∴P （游戏者获胜）= 2 142=. 生2：(利用实物展台展示解法二) (红,蓝) 开始红 蓝 红 蓝 红 蓝 (红,红) (蓝,红) (蓝,蓝)
借助表格 解：所有可能出现的结果如下： 红色蓝色 红色（红，红）（红，蓝） 蓝色（蓝，红）（蓝，蓝） 总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，而能够配成紫色的结果有2种， ∴P（游戏者获胜）= 2 1 4 2 =. 【设计意图】本环节利用“配紫色”游戏，既复习回顾了上节课所学知识：利用列表或树状图的方法求事件发生的概率，同时为下一步改变第一个转盘颜色分配做铺垫. 【教学智慧】学生能够顺利地利用列表或树状图的方法求事件发生的概率，部分学生提出按照课本上的要求写文字没有必要而且麻烦，是否可以省略不写.教师在教学中没有直接回答这个问题，只是让学生在后面的解题过程中思考编者加上这几句话的意图. （二）引入新授 师：我们这节课继续巩固如何借助于树状图或表格来求简单事件发生的概率（板书课题）（展示学习目标：略） 二、自主学习，合作探究： 探究活动一： 1.师：展示游戏：用图所示的转盘进行“配紫色”游戏. 小颖的做法是这样的，这种做法对吗？请判断. 解：所有可能出现的结果如下： 总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，而能够配成紫色的结果有2种， ∴P（游戏者获胜）= 2 1 4 2 =. 生：独立思考后，绝大多数学生都表示不赞同. (红,蓝) 开始 红 蓝 红 蓝 红 蓝 (红,红) (蓝,红) (蓝,蓝)
七年级数学下册 与面积相关的概率—转盘游戏
1. 如图,转盘中6个小扇形的面积都相等,任意转动转盘1次,当转盘停止转动时,指针指向红色区域的概率为___. 2. 如图为一水平放置的转盘(转盘固定不动),使劲转动其指针,并让它自由停下,下面叙述正确的是( ) A. 指针停在B区比停在A区的机会大 B. 指针停在三个区的机会一样大 C. 指针停在哪个区与转盘半径大小有关 D. 指针停在哪个区可以随心所欲 3. 用力转动如图所示的转盘甲和转盘乙的指针,如果想让指针停在阴影区域,选取哪个转盘成功的机会比较大?( ) A. 转盘甲 B. 转盘乙 C. 两个一样大 D. 无法确定 4. 如图,转盘被等分成六个扇形,并在上面依次写上数字1,2,3,4,5,6. (1)若自由转动转盘,当它停止转动时,指针指向奇数区的概率是多少? (2)请你用这个转盘设计一个游戏,当自由转动的转盘停止时,指针指向的区域的概率为.
5. 某商场进行有奖促销活动.活动规则:购买500元商品就可以获得一次转转盘的机会(转盘被分为5个扇形区域,分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、纪念奖),转动转盘停止后,指针指在哪个获奖区域就可以获得该区域相应等级奖品一件(奖品设置如图所示).商场工作人员在制作转盘时,将获奖区域扇形圆心角分配如下表: 奖次特等奖一等奖二等奖三等奖纪念奖 圆心角1°10°30°90°229° (1)转动一次转盘,获得圆珠笔的概率是多少? (2)如果不用转盘,请设计一种等效活动方案 (要求写清替代工具和活动规则). 6. 下面是两个可以自由转动的转盘，转动转盘，分别计算转盘停止后，指针落在红色区域的概率.
答案： 1. 2. A 3. C 4.解：（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向数字的结果总共有6种，指针指向奇数区的结果有3种，所以指针指向奇数区的概率是． （2）当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域不大于4．（答案不唯一，符合要求即可）试题解析：（1）指针指向奇数区的概率是． （2）当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域不大于4．（答案不唯一，符合要求即可）考点：概率公式． 5. 解：（1）获得圆珠笔的概率为：=； （2）可采用“抓阄”或“抽签”等方法替代． 在一个不透明的箱子里放进360个除标号不同外，其他均一样的乒乓球，其中一个标“特”、10个标“1”、30个标“2”、90个标“3”、其余不标数字，摸出标有哪个奖次的乒乓球，则获相应等级的奖品． 点睛：本题是一道生活中常见的问题．考查了学生概率的计算、设计替代实验的技能．替代实验的设计方案很多，但要抓住问题的实质，即各奖项发生的概率要保持不变．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 6. 解:由图可以看出，在第一个转盘内，红色区域的圆心角是90°，因此可以算得指针落在红色区域的概率是；在第二个转盘内，红色区域的圆心角是135°，因此可以算得指针落在红色区域的概率是.
初三数学频率与概率(一)
第17次课：频率与概率（一） 一、考点、热点回顾 知识概括： 本章的主要内容是通过实验体会概率的意义，在具体情境中，了解频率与概率的关系，会用实验的方法估计一个事件发生的概率。知道在大量重复实验时，实验发生的频率可以作为事件发生概率的估计值；同时在具体情境中学习运用列举法（包括列表、画树状图等）来计算简单事件发生的概率。 经历“猜测结果–––进行实验––––分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉，进一步丰富对概率知识的认识。 1. 当实验的次数很大时，我们会发现事件发生的频率稳定在相应的概率附近。因此，我们可以通过大量实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率；同时能运用列举法（列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。 2. 一般地我们用实验的方法来估计一个事件发生的概率，但有时通过实验的方法估计一个事件发生的概率有一定的难度时，我们可以通过模拟实验的方法来估计该事件发生的概率的大小。 3. 求概率的方法： （1）列表；（2）画树状图；（3）实验或模拟实验的方法 要点分析： 1. 通过实验体会概率的意义，了解频率与概率的关系。随机现象表面看无规律可循，出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量地重复实验时，实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。如：通过实验获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率，在具体的实验活动中，对频率与概率之间的这种关系进行体会，通过实验感受到大量重复实验时频率可以作为事件发生概率的估计值，并可以利用这种方法来估计一些事件发生的概率。 2. 经历“猜测结果→进行实验→分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉。生活经验是学习概率的基础，但其中往往有一些是错误的，因此建立正确的概率直觉是非常重要的，必须亲自经历对随机现象的探索过程，亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较。如下面掷硬币游戏的公平性问题：小明和小亮在做掷硬币的游戏。任意掷一枚硬币两次，如果两次朝上的面相同，那么小明获胜；如果两次朝上的面不同，那么小亮获胜。这个游戏公平吗？ 小刚认为不公平，他认为小明获 胜的概率为，而小亮获胜的概率是。其实小刚存在的误解是把硬币出现的 231 3结果认为 两正和两反的次数比一正一反的次数多，实际上澄清小刚误解的一个重要方法是亲身经历实验，通过 实验结果修正自己的想法。同时在实验的过程中可以发现，每一次实验的结果事先是无法预料的，收集到的实验数据都带有不确定性，但大量实验后，四种情况（两正、两反、一正一反、一反一正）出现的频率都是稳定在同一数值上，所以小刚的猜测是不正确的。 3. 学习利用列举法计算简单事件发生的概率。了解概率的意义，理解现实世界中随机现象的特点是本章的重点和难点，通过现实生活中熟悉和感兴趣的问题，丰富对概率背景的认识，积累大量的活动经验，探索计算概率的方法，体会随机观念的特点。如：即使告诉 你中奖的概率为 ，那么你买张奖券也不一定能中奖；又如：明天的降1 10001000水概率为 10％，后天的降水概率是90％，但却有可能明天下雨了，而后天没有下雨。从这些例子可以说明我 们不能在实验之前预知实验的确切结果，只能知道每个结果发生的概率，这就是随机观念。 4. 学会用实验的方法估计一个事件发生的概率，并会设计一个方案来估计一个事件发生的概率。
概率习题(附答案)
随机事件的概率 一、选择题(每题4分) 1、黑暗中小明从他的一大串钥匙中，随便选择一把，用它开门，下列叙述正确的是( ) A.能开门的可能性大于不能开门的可能性; B.不能开门的可能性大于能开门的可能性 C.能开门的可能性与不能开门的可能性相等 D.无法确定 2、有5个人站成一排，则甲站在正中间的概率与甲站在两端的概率的比值为( ) A. 2 1 B. 2 C. 2 1 或2 D.无法确定 3、如图,一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是 ( ) A 、 21 B 、 83 C 、 41 D 、 3 1 4、某商店举办有奖储蓄活动，购货满100元者发对奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个。若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是 （ ） A 、 1001 B 、10001 C 、100001 D 、10000111 5、连掷两次骰子，它们的点数都是4的概率是（ ） A 、 61 B 、41 C 、161 D 、36 1 6、啤酒厂做促销活动,在一箱啤酒(每箱24瓶)中有4瓶的盖内印有“奖”字. 小明的爸爸买了一箱这种品牌的啤酒,但是连续打开4瓶均未中奖. 小明这时在剩下的啤酒中任意拿出一瓶,那么他拿出的这瓶中奖的概率( ). (A) 424 (B)16 (C)520 (D)1 5 二、填空题（每题3分） 7、可能事件的概率p 的取值范围是__________。必然事件发生的概率是_____，不可能事件发生的概率是_____。 8、投掷一个均匀的正六面体骰子，每个面上依次标有1、2、3、4、5、6，则掷得“5”的概率P=________,这个数表示的意思是__________________. 9、王刚的身高将来会长到4米，这个事件得概率为_____。 10、任意掷一枚均匀硬币两次，两次都是同一面朝上的概率是 ___
期货交易是一种概率游戏
期货交易是一种概率游戏 2009年03月11日10:58 还是想从两段关于交易的对话谈起： 1.甲：我最近做得很不好，老是满仓爆了好几次了。 乙：市场永远不缺机会，但要是子弹打完了，就再也没有机会了。 甲：是呀，我吃了n多次这样的亏，现在终于醒悟，可惜子弹不多了。 2.丙：我的方向总不对，我昨天是3560卖。 丁：哦，能回忆一下当时所有的想法吗？为什么进空单？有没有考虑过万一做错了在什么价位止损？ 丙：没有，都是因为自己过分看重于基本面的判断，觉得不会到3500的价位。 以上两段对话我想各位可能都不陌生，这是市场每天都在上演的悲喜剧。若要分析以上交易的错误之处，满仓、不止损等特点也表现得很明显。不过我们今天要说的是，交易者之所以会出现类似的错误，是因为没有理解交易的本质。从某种意义上来讲，交易是一种概率游戏。 交易是一种概率游戏，这句话到底意味着什么呢？ 既然是概率游戏，就意味着就单次的交易来讲，胜，或者负，都是有可能的，不存在百分之百的事情。而我们所能够追求的，只能是基于总体意义上的成功，而不是要求任何一次交易都成功。从这一点出发，我们至少可以有以下几点发现： 1.既然单次的交易并不存在百分之百盈利的可能，那么，就不应该过于重视单次交易的成败，而是应该培养一种总体性的眼光。记住，只要盈利的总数大于亏损，那么交易的总和就是盈利。我们也可以用这样一个公式来表达这层含义： 交易的总和=总的盈利—总的亏损 总的盈利=盈利的次数×盈利时的平均单量×盈利时的平均幅度 总的亏损=亏损的次数×亏损时的平均单量×亏损时的平均幅度 在上文提到的第一个对话中，交易者甲之所以会多次暴仓，直接的原因是满仓，而之所以会满仓入场，则是因为将“单次的机会”当成了“唯一的、全部的机会”，这是没有从概率的层面来理解交易的表现。 事实上市场永远不缺机会，但是机会与风险同在。我们的重点只是如何在这无数次的机会中，把握我们可以把握的那一部分。这如同在滔滔不绝而又暗礁遍布的江中取水，重点是在安全。我们可以一次，两次，无限次地取，一点一点地积累起来，就是很好的结果。我们的目的并不是要把所有的江水都纳入怀中。 记住，风险是第一位的，机会是永远都有的，但资金是有限的。 2.既然任何的分析都难以达到百分之百的准确，那么，相对于行情判断而言，交易策略其实更重要。 在我们所提及的第二个对话中，交易者丙的问题就是没有衡量清楚，行情判断与交易策略的分量。丙事实上是完全依赖于自己对于行情的预测来交易的。这里，我们不是要否定分析的意义，从基本面或者技术面来对未来走势做一个分析与判断，有助于提高交易的胜算概率。但是，请注意，我们只能提高胜算概率，而不是可以消除亏损的可能。行情预测的正确与否是个概数，可能对，也可能不对。就算有80％的正确率，也一样避免不了20％亏损的机会，而如果处理不好这20％的不利情况，交易的总和也可能是亏损。 如果我们提升了盈利的次数，但是盈利时的单量较小，幅度较小，而亏损时的单量较大，幅度较大，那么，交易的总和也会是亏损。 而在行情判断上下功夫，最多仅能达到提升盈利次数的效果。只有在交易策略上下功夫，才能够解决单量与幅度的问题。单量与幅度，事实上也就是老生常谈的资金管理与止损。
转盘游戏中的概率问题
转盘游戏中的概率问题 邢台 白军强 转盘游戏是同学们很熟悉的游戏，其中蕴涵的概率知识非常丰富，越来越多成为中考题的背景材料，频频出现中考的题目中，现举例进行说明： 一、一个转盘中的概率问题 例1（海南）右图是一个被等分成6个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色区域的概率是 ． 分析：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘 又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有6 种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向写有红色的 扇形有三种可能结果，所以 指针指到红色的概率是 36，也就是12 解：12 点评：由概率的定义求概率是常用方法，即找到某一事件的所有等可能出现的结果，然后找到这一事件发生的等可能结果，利用两者作商，就可以求出这个事件的概率。 二、两个转盘的概率问题 例2（06陕西）有两个可以自由转动的均匀转盘A B ，，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下： ①分别转动转盘A B ，； ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． （1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率； （2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏， 他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分； 数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对 双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改 得分规定，使游戏对双方公平． 分析：对于多步发生的事件，我们通常可以用列表法 或树状图来求概率，用列表示来求概率时，用横行来表示一步的 所有等可能结果；用竖列来表示另一步的所有等可能结果，用树状图主要求三步或三步以上的事件求概率。游戏是否公平关键就看小亮和小芸的每次得分，若两人的每次得分相等，则游戏公平，否则游戏不公平。 解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下： 表格中共有9种等可能的结果，则数字之积为3的倍数的有五种，其概率为9 ；数字之A B 图2
北师大版 九年级数学 上学期 第六章 频率与概率
北师大版 九年级数学 上学期 第六章 频率与概率（一） 一、知识概括： 本章的主要内容是通过实验体会概率的意义，在具体情境中，了解频率与概率的关系，会用实验的方法估计一个事件发生的概率。知道在大量重复实验时，实验发生的频率可以作为事件发生概率的估计值；同时在具体情境中学习运用列举法（包括列表、画树状图等）来计算简单事件发生的概率。 经历“猜测结果–––进行实验––––分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉，进一步丰富对概率知识的认识。 1. 当实验的次数很大时，我们会发现事件发生的频率稳定在相应的概率附近。因此，我们可以通过大量实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率；同时能运用列举法（列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。 2. 一般地我们用实验的方法来估计一个事件发生的概率，但有时通过实验的方法估计一个事件发生的概率有一定的难度时，我们可以通过模拟实验的方法来估计该事件发生的概率的大小。 3. 求概率的方法： （1）列表；（2）画树状图；（3）实验或模拟实验的方法 二、要点分析： 1. 通过实验体会概率的意义，了解频率与概率的关系。随机现象表面看无规律可循，出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量地重复实验时，实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。如：通过实验获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率，在具体的实验活动中，对频率与概率之间的这种关系进行体会，通过实验感受到大量重复实验时频率可以作为事件发生概率的估计值，并可以利用这种方法来估计一些事件发生的概率。 2. 经历“猜测结果→进行实验→分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉。生活经验是学习概率的基础，但其中往往有一些是错误的，因此建立正确的概率直觉是非常重要的，必须亲自经历对随机现象的探索过程，亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较。如下面掷硬币游戏的公平性问题：小明和小亮在做掷硬币的游戏。任意掷一枚硬币两次，如果两次朝上的面相同，那么小明获胜；如果两次朝上的面不同，那么小亮获胜。这个游戏公平吗？小刚认为不公平，他认为小明获 胜的概率为 ，而小亮获胜的概率是 。其实小刚存在的误解是把硬币出现的 23 13 结果认为两正和两反的次数比一正一反的次数多，实际上澄清小刚误解的一个重要方法是亲身经历实验，通过实验结果修正自己的想法。同时在实验的过程中可以发现，每一次实验的结果事先是无法预料的，收集到的实验数据都带有不确定性，但大量实验后，四种情况（两正、两反、一正一反、一反一正）出现的频率都是稳定在同一数值上，所以小刚的猜测是不正确的。 3. 学习利用列举法计算简单事件发生的概率。了解概率的意义，理解现实世界中随机现象的特点是本章的重点和难点，通过现实生活中熟悉和感兴趣的问题，丰富对概率背景的认识，积累大量的活动经验，探索计算概率的方法，体会随机观念的特点。如：即使告诉
概率、游戏规则的公平性-含答案
概率、游戏规则的公平性知识梳理 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例1. 掷骰子：下图中这个正方体木块的六个面上的数字分别是一个1、两个2、三个3。 （1）掷一次，得到1、2、3的可能性分别是多少？ （2）掷一次，得到单数的可能性是多少？ 例2、从A、B、C、D四位同学中任选2人参加学校演讲比赛，一共有几种不同的可能性？ 并列举各种可能的结果. 耐心细心责任心 1
例3、下表表示某中学七年级某班同学生日所在月份的统计表，根据下表回答问题. 月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月人数 3 1 5 6 2 4 3 5 1 5 2 3 （2）任意选出一位同学，给你4次机会，让你猜他生日所在月份，第一次你会猜几月份？接下来的三次你又会怎样猜？为什么？ 例4、小明对小红说：“我们来一个游戏，我向空中抛3枚硬币，如果它们落地后全是正面或反面朝上你就得10分；其他情况我得5分，得分多者获胜。”如果你是小红，你会答应参加这个游戏吗？为什么？ 例5. 邮局于2013年2月25日公布了有奖明信片的号码。这一年的贺年片以每100万张为一个开奖组，每一开奖组设五个奖级，一等奖每组产生1名，中奖号码尾数为045179；二等奖每组产生30名，中奖号码尾数是19492，42765，10524；三等奖每组产生500名，中奖号码尾数为2047，8638，3396，6147，8046；四等奖每组产生2000名，中奖号码尾数为298和378；五等奖每组产生10万名，中奖号码尾数为5。你能说出各种奖级中奖的可能性吗？ 演练方阵 A档（巩固专练） 一、细心选一选 1.数学老师抽一名同学回答问题，抽到女同学是………………………………( ) A.必然事件 B.不确定事件 C.不可能事件 D.无法判断 2.在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是………………( ) A.必然事件 B.不确定事件 C.不可能事件 D.无法判断 3.从一副扑克牌中任意抽出一张，可能性相同的的是……………………………( ) A.大王与黑桃 B.大王与10 C.10与红桃 D.红桃与梅花 4.一个袋中装有8只红球，每个球除颜色外都相同，人一摸一个球，则 ( ) A.很可能摸到红球 B. 可能摸到红球 C. 一定摸到红球 D.不大可能摸到红球 5.从一副扑克牌（除去大王）中任取一张，抽到的可能性较小的是( ) A.红桃5 B.5 C.黑桃 D.梅花5或8 二、细心辨一辨（用数字“1”或“0”表示可能性的情况） 6、玻璃杯从很高的地方落在水泥地面上，这玻璃杯破碎的可能性为（）。 7、太阳每天早晨升起的可能性为（）。
九年级数学频率与概率导学案
第三章频率与概率 1.频率与概率 一、学习目标 1.知道什么是频数与频率？什么是概率？搞清楚频率与概率的区别与联系。 2.会求一个随机事件发生的理论概率，对于所给出的试验，会求随机事件的频数、频率。 3.会运用列表法、树状图求所给试验中随机事件的概率。 4.懂得一个游戏规则是否公平的本质；会修改不公平的游戏规则。 二、知识点梳理 1.频数、频率、概率在一次事件中都会出现，这次事件中随机事件出现的次数(A)叫随机事件出现的； 2.频率等于与的比值，这个比值总在某个固定值的周围摆动，这个固定值就是随机事件发生的；概率是反映随机事件发生的的大小。 3.概率是一种值；频率是的结果；频率概率(“=”或“≈”)。 4.求概率的方法：概率等于随机事件的次数与所有可能出现的次数的。 5.一个游戏是否公平，是指游戏双方获胜的相等。 6.按照要求求出随机事件发生的概率： ⑴用树状图求：随机投掷一枚硬币3次，⑵骰子的六个面分别有1,2,3,4,5,6，投掷一枚骰子2次， 2次正面朝上的概率。用列表法求2次朝上的数字之和为8的概率。 三、课堂练习 1.在投掷一枚硬币的试验中，反面朝上的概率为，如果投掷硬币200次，那么反面朝上次数的为100次，而实际试验中，反面朝上的次数是100次。 2.将同一花色的1～10这十张扑克牌的背面朝上，充分洗匀后，从中随机抽取1张： ⑴ P(抽到5)= ；⑵ P(抽到两位数)= ；⑶ P(抽到偶数)= ；⑷ P(抽到三位数)= ； ⑸ P(抽到奇数)= ；⑹ P(抽到3的倍数)= ；⑺ P(抽到5的倍数)= ；⑻ P(抽到质数)= ； 3.口袋中装有4个红球，1个白球，7个黄球，充分搅匀后从中随机摸一个球，球是红球的概率为。 如图所示的频数直方分布图. ⑴ E组的频率为；若E组的频数为12，则被调查人数为； ⑵在图中补全直方图； ⑶若某小区共1200人，估计50岁以上的观众有多少人？
初中数学概率真题汇编及解析
初中数学概率真题汇编及解析 一、选择题 1．有大小、形状、颜色完全相同的四个乒兵球，球上分别标有数字2，3，5，6，将这四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是( ) A．1 6 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意先画出树状图，得出所有等可能的情况数和两个球上的数字之积为奇数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】 根据题意画树状图如下： ∵一共有12种等可能的情况数，这两个球上的数字之积为奇数的有2种情况， ∴这两个球上的数字之积为奇数的概率是 21 = 126 ． 故选A． 【点睛】 此题考查的是树状图法求概率；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 2．袋中有8个红球和若干个黑球，小强从袋中任意摸出一球，记下颜色后又放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了50次，共有16次摸出红球，据此估计袋中有黑球（）个． A．15 B．17 C．16 D．18 【答案】B 【解析】 【分析】 根据共摸球50次，其中16次摸到红球，则摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,由此可估计口袋中红球和黑球个数之比为8: 17;即可计算出黑球数. 【详解】 ∵共摸了50次，其中16次摸到红球，∴有34次摸到黑球，∴摸到红球与摸到黑球的次 数之比为8: 17,∴口袋中红球和黑球个数之比为8: 17，∴黑球的个数8÷ 8 17 ＝ 17(个)，故答 案选B.
【点睛】 本题主要考查的是通过样本去估计总体,只需将样本"成比例地放大”为总体是解本题的关键. 3．下列事件中，是必然事件的是( ) A ．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B ．操场上小明抛出的篮球会下落 C ．车辆随机到达一个路口，刚好遇到红灯 D ．明天气温高达30C ?，一定能见到明媚的阳光 【答案】B 【解析】 【分析】 根据必然事件的概念作出判断即可解答． 【详解】 解：A 、抛任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，故A 错误； B 、操场上小明抛出的篮球会下落是必然事件，故B 正确； C 、车辆随机到达一个路口，刚好遇到红灯是随机事件，故C 错误； D 、明天气温高达30C ?，一定能见到明媚的阳光是随机事件，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】 本题考查了必然事件的定义，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，熟练掌握是解题的关键. 4．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则数 a 使关于x 的不等式组()124212 2123 x a x x ?--≤???-?<+??至少有四个整数解，且关于x 的分式方程 2 33 a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ． 29 B ． 13 C ． 49 D ． 59 【答案】C 【解析】 【分析】 先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率． 【详解】 解不等式组得：7 x a x ≤?? >-? ，
论掷骰子游戏中的概率计算问题
论掷骰子游戏中的概率计算问题 17世纪中叶，欧洲贵族盛行掷骰子游戏，当时法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族De Mere ，他在其过程中遇到了一个问题。 他认为掷一个骰子4次至少出现一次6点和掷一对骰子24次至少出现一次双6的概率是等可能的。 他这样推断：一颗骰子掷一次，出现6点的机会是61，所以掷4次，我有32614=?的机会至少得到一次6点；掷一对骰子一次，我有361的机会得到双6，所以掷24次，一定有3236124=?的机会得到至少一次双6。 但是经验表明，第一个事件比第二个事件出现的可能性大一些，这个矛盾成为众所周知的Chevalier De Mere 悖论。 De Mere 向数学家Baise Pascal 请教这个问题，Pascal 与另一位法国数学家Fermat 通信讨论了这个问题，正是对这个问题的讨论开始了概率论和组合论的研究，以下是Pascal 与Fermat 之间谈话的部分历史记录。 Pascal ：首先我们看一种赌博。 Fermat ：好，赢得机会很难计算，让我们先计算对立事件：输的机会，于是赢的机会=1-输的机会。 Pascal ：同意，当掷了4次没有出现一个6点时，赌徒输了。不过你将如何计算这些机会呢 Fermat ：看来很复杂。让我们从掷第一次开始，第一次没有出现6点的机会是多少呢 Pascal ：必须出现1点到5点中的某一个，所以机会是6 5。 Fermat ：这是事实。现在头两次都没有出现6点的机会是多少 Pascal ：毕竟每次掷骰子是相互独立的，所以是 65×65 Fermat ：掷3次呢 Pascal ：65×65×6 5 Fermat ：掷4次呢 Pascal ： 65×65×65×65 Fermat ：是的，大约是，或者%。 Pascal ：因此赢的机会是%。
(数学试卷九年级)第六章 频率与概率练习题及答案全套
一、你还记得什么是频数、什么叫频率、什么叫概率吗？试举例说明. 二、将一枚硬币抛起，使其自然下落，每抛两次作为一次实验，当硬币落定后，一面朝上，我们叫做“正”，另一面朝上，我们叫做“反”. （1）一次实验中， 硬币两次落地后 可能出现几种情 况 （2）做20次实验，根据实验结果，填写下表. 结果正正正反反反 频数 频率 （3）根据上表，制作相应的频数分布直方图. （4）经观察，哪种情况发生的频率较大. （5）实验结果为“正反”的频率是多大. （6）5个同学结成一组，分别汇总其中两人，三人，四人，五人的实验数据，得到40次，60次，80次，100次的实验结果，将相应数据填入下表。 次数40次60次80次100次“正 反”的 频数 “正 反”的 频率 （7）依上表，绘制相应的折线统计图. （8）计算“正 §6.1.1频率与概率
反”出现的概率. （9）经过以上多次重复实验，所得结果为“正反”的频率与你计算的“正反”的概率是否相近. 小知识： 在篮球比赛和足球比赛中，人们往往用抛硬币的方法决定由谁先来开球.那么抛硬币后，正面向上和反面向上的几率有多大呢？相等吗？下面我们来想办法解决这个问题. 首先想到的是实验方法.投掷硬币500次记录下正面向上的次数（如下表所示） 总抛出次数（次） 正面向上次数（次） 正面向上频率（…%） 500 225 ？ 我们得到的是硬币正面向上的频率的百分比.即硬币正面向上的频率. 其次我们又想到硬币的正、反面都没有什么特殊性，所以在落下时正面向上和反面向上的可能性相等.所以正面向上与反面向上都有 2 1 的可能性，也就是说正面向上的概率是___________. 生活中常见一些概率问题的应用，例如彩票. 20选5第2003178期 中奖号 码 05、12、15、16、17 一等奖 6注 18678元 二等奖 1214注 50元 三等奖 19202注 5元 本期销 售额 548538元 出球顺 序 05、15、12、16、17 一、掷一枚硬币，落地后，国徽朝上、朝下的概率各是多少？ 二、质地均匀的骰子被抛起后自由落在桌面上，点数为“1”或“3”的概率是多少？ §6.1.2 频率与概率
初中数学频率与概率利用概率玩转盘游戏同步练习及答案
利用概率玩转盘游戏——典型题专项训练知识点概率在游戏中的应用 1．甲、乙两人用如图3－1－4所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏．游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是( ) 图3－1－4 A.13 B.49 C.59 D.23 2．小明所在的学校准备在国庆节当天举办一个大型的联欢会，为此小明设计了如图3－1－5所示的A，B两个转盘和同学们做“配紫色”(红、蓝可配成紫色)的游戏，使用这两个转盘可以配成紫色的概率是( ) 图3－1－5 A.12 B.13 C.14 D.23 3．将一个转盘分成6等份，分别涂上红色、黄色、蓝色、绿色、白色、黑色，转动转盘两次，两次能配成紫色(红、蓝可配成紫色)的概率是________． 4．小雨用如图3－1－6所示的转盘进行“配绿色”游戏，她利用列表法来计算配成绿色(黄色和蓝色配成绿色)的概率，列出了下表：
并据此计算配成绿色的概率是12，她的做法对吗？若不对，请写出正确的做法． 图3－1－6 5．如图3－1－7，有A，B两个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上－1，2，3和－4，－6，8这6个数字．同时转动两个转盘各一次(指针落在等分线上时重转)，转盘自由停止后，A转盘中指针指向的数字记为x，B转盘中指针指向的数字记为y，点Q的坐标记为(x，y)． (1)用列表法或画树状图法表示Q(x，y)所有可能出现的结果； (2)求出点Q(x，y)落在第四象限的概率． 图3－1－7
概率、游戏规则的公平性
概率、游戏规则的公平性 知识梳理 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例1. 掷骰子：下图中这个正方体木块的六个面上的数字分别是一个1、两个2、三个3。 （1）掷一次，得到1、2、3的可能性分别是多少？ （2）掷一次，得到单数的可能性是多少？ 例2、从A、B、C、D四位同学中任选2人参加学校演讲比赛，一共有几种不同的可能性？ 并列举各种可能的结果. 例3、下表表示某中学七年级某班同学生日所在月份的统计表，根据下表回答问题. （1）全班共有多少人？
（2）任意选出一位同学，给你4次机会，让你猜他生日所在月份，第一次你会猜几月份？接下来的三次你又会怎样猜？为什么？ 例4、小明对小红说：“我们来一个游戏，我向空中抛3枚硬币，如果它们落地后全是正面或反面朝上你就得10分；其他情况我得5分，得分多者获胜。”如果你是小红，你会答应参加这个游戏吗？为什么？ 例5. 邮局于2013年2月25日公布了有奖明信片的号码。这一年的贺年片以每100万张为一个开奖组，每一开奖组设五个奖级，一等奖每组产生1名，中奖号码尾数为045179；二等奖每组产生30名，中奖号码尾数是19492，42765，10524；三等奖每组产生500名，中奖号码尾数为2047，8638，3396，6147，8046；四等奖每组产生2000名，中奖号码尾数为298和378；五等奖每组产生10万名，中奖号码尾数为5。你能说出各种奖级中奖的可能性吗？ 演练方阵 A档（巩固专练） 一、细心选一选 1.数学老师抽一名同学回答问题，抽到女同学是………………………………( ) A.必然事件 B.不确定事件 C.不可能事件 D.无法判断 2.在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是………………( ) A.必然事件 B.不确定事件 C.不可能事件 D.无法判断 3.从一副扑克牌中任意抽出一张，可能性相同的的是……………………………( ) A.大王与黑桃 B.大王与10 C.10与红桃 D.红桃与梅花 4.一个袋中装有8只红球，每个球除颜色外都相同，人一摸一个球，则 ( ) A.很可能摸到红球 B. 可能摸到红球 C. 一定摸到红球 D.不大可能摸到红球 5.从一副扑克牌（除去大王）中任取一张，抽到的可能性较小的是( ) A.红桃5 B.5 C.黑桃 D.梅花5或8 二、细心辨一辨（用数字“1”或“0”表示可能性的情况） 6、玻璃杯从很高的地方落在水泥地面上，这玻璃杯破碎的可能性为（）。 7、太阳每天早晨升起的可能性为（）。 8、公鸡下蛋的可能性为（）。 9、一粒有1～6共六个数字的骰子，随便怎么投掷，出现数字“7”的可能性为（）。 10、在北京，冬天过去了就是春天，其可能性为（）。 11、地球绕着月亮公转的可能性为（）。 12、在深圳，一年四季都下雪的可能性为（）。
最新华东师大版九年级数学上册《频率与概率》教学设计-评奖教案
频率与概率 【知识与技能】 1.了解运用列表法和树状图法理论分析随机事件的概率. 2.理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率. 【过程与方法】 经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率. 【情感态度】 通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值. 【教学重点】 频率与概率的理解和应用. 【教学难点】 利用频率估计概率的理解.
一、情境导入,初步认识 问题:要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要数一数就可以了，但要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办？ 【教学说明】先前我们学习了用分析的方法求随机事件的概率，那么这里的问题情境中，很容易让学生想到这个事件的结果不能分析出来，而且每种结果出现的可能性也不一定是相同的，从而引发学生的求知：对这类事件的概率该怎样求解呢？引入课题. 二、思考探究，获取新知 问题1：怎样运用理论分析的方法求抛掷两枚硬币时出现两个正面的概率呢？ 【分析】 列表法 树状图法
思考：理论分析与重复试验得到的结果是否是一致的？ 问题2：见课本P142问题3 学生用自制的转盘做试验，并完成课本P143表25.2.4和图25.2.3. 拓展延伸：课本P143“思考” 【教学说明】让学生通过试验的方法来预测随机事件的概率. 问：你能用理论分析的方法来预测两个转盘指针停在蓝色区域的概率吗？ 归纳：P(小转盘指针停在蓝色区域)=1 4 P(大转盘指针停在蓝色区域)=1 4 思考1：从重复试验结果中你得出了哪些结论？ 对以上这些问题，既可以通过分析用计算的方法预测概率，也可以通过重复试验用频率来估计概率. 思考2：是不是所有的问题都可以这样呢？ 问题3：将一枚图钉随意向上抛起，求图钉落定后钉尖触地的概率.
3.2 第2课时 概率与游戏的综合运用1
第2课时 概率与游戏的综合运用 1.能判断某事件的每个结果出现的可能 性是否相等； 2.能将不等可能随机事件转化为等可能 随机事件，求其发生的概率.（重点、难点） 一、情景导入 为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A 、B 两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A 上的数字分别是1，6，8，转盘B 上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）.每次选择2名同学分别拨动A 、B 两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）.作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由 . 二、合作探究 探究点一：用表格或树状图求“配紫色”概率 用如图所示的两个转盘进行“配 紫色”游戏，配得紫色的概率是多少？ 解析：由图可知，转动A 转盘时会出现三种可能的结果，但转出红色的可能性大些；转动B 转盘时会出现两种可能的结果，但转出蓝色的可能性大些.由于这几种结果发生的可能性不等，所以不能直接用树状图或列表法表示试验出现的所有可能结果，而是要先将其转化.由图可知A 转盘中红色区域是白色或蓝色的2倍，因此可将红色区域2等分.同理，可将B 转盘中的蓝色区域2等分，从而将其转化为等可能性试验后，再用表格或树状图进行列举求解. 解：将A 转盘中“红”区域2等分，B 转盘“蓝”区域2等分后列表如下： 能结果，由于红色和蓝色在一起配成了紫色，所以能配成紫色的有5种结果，所以P （紫色）＝5 12 . 方法总结：（1）在一些试验中，包含的几种结果发生的可能性不等时，应先通过转化将其转化为有限等可能性试验，再利