初一上数学-有理数-培优讲义
有理数培优
能力提升1：有理数的运算
有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到：
1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。
2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法分配律也成立。
3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。如（-3）-7= （-3）+（-7）。在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比如（-5）÷7=（-5）7
1?。 能力提升2：有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．
（一）括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
1 计算：
（2）4
11)54()1()21(12)1()2(219983?-÷-??????--÷---?- 2. 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
3. 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n ．
4. 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
（二）用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．
这是一个对具体数的运算，若用字母a 代换100，用字母b 代换2，上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a 2-ab+ab-b 2=a 2-b 2．
于是我们得到了一个重要的计算公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ①
这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 5 计算 3001×2999的值．
6 计算 103×97×10 009的值．
7 计算：
8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
9 计算：2222
1111(1)(1)(1)(1)23910-
---… 10. 计算： 1111111111()(1)(1)()2319992199821999231998++++++-++++++………… （三）观察算式找规律
11. 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
12. 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
13.算 1+5+52+53+…+599+5100的值．
14.计算：1111++++12233419981999
????… 能力提升3：绝对值
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．
1.a ，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
(1)｜a+b ｜=｜a ｜+｜b ｜；
(2)｜ab ｜=｜a ｜｜b ｜；(3)｜a-b ｜=｜b-a ｜；
(4)若｜a ｜=b ，则a=b ；
(5)若｜a ｜＜｜b ｜，则a ＜b ；
(6)若a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜．
2. 设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜．
3. 已知x ＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x ｜｜｜．
4.若0abc ≠，则||||||
a b c a b c ++的所有可能值是什么？ 5. 若｜x ｜=3，｜y ｜=2，且｜x-y ｜=y-x ，求x+y 的值．
6.若a ，b ，c 为整数，且｜a-b ｜19+｜c-a ｜99=1，试计算｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜的值．
7.若|3|x y -+与|1999|x y +-互为相反数，求2x y x y
+-的值。 8.化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜
9.已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y 的最大值．
10.设a ＜b ＜c ＜d ，求｜x-a ｜+｜x-b ｜+｜x-c ｜+｜x-d ｜的最小值．
11.若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值．
能力提升4：数轴有理数比较大小