空间几何体的表面积与体积练习题及答案

空间几何体的表面积与体积专题

一、选择题

1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )．

B ．4

C ．4 3

D ．16

解析 每个面的面积为：12×2×2×3

2＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3.

2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )． A ．2倍 B ．22倍 倍 倍

解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝4

3πR 3，知体积扩大到原来的22倍．

3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )． 解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积

V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13

×? ??

??12×2×2×2＝

284

3

. 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A ．8－

2π3 B ．8－π

3

C ．8－2π

解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半

径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π

3

.

5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( A)A ．24－32π B ．24－π3 C ．24－π D ．24－π

2

据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分

别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12

×3＝24－3π2.

6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )

cm 2 cm 2 cm 2 cm 2

解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、

下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－

π

4

＝30－π4；中间部分的表面积为2π×1

2

×1＝π，下面部分的表面

积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π

2.

7．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠

ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-ABC 的体积为( C)． A ．3 3 B ．2 3 D ．1

解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝

3

3

x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在△BDC 中 ，BD ＝3(4－x )，所以

3

3

x ＝3(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝3，所以三角形ABD 为正三角形，所以V ＝1

3S △ABD ×4＝ 3.

二、填空题

8．三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体积等于__3______．解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V ＝13S △ABC ·|PA |＝13×3

4×22×3＝ 3.

9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3∶2_______．

解析 设圆柱的底面半径是r ，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2πr ·2r ＝4πr 2，设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR 2＝4πr 2，所以R ＝r .所以圆柱的体积是πr 2·2r ＝2πr 3

，球的体积是43πr 3

，所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr 34

3

πr 3＝3∶2.

10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___2

6

_____．

解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为

3

2

，连

接顶点和底面中心即为高，可求得高为

2

2

，所以体积V＝

1

3

×1×1×

2

2

＝

2

6

.

11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR2____．

解析由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为

2h，则h2＋r2＝R2.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4πr2＋h2

2

＝2πR2(当且仅

当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.

12．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A

1

的最短路线的长为___13_____cm. 解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．三、解答题

13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上

半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图

3分别是该标识墩的正视图和俯视图．

(1)请画出该安全标识墩的侧视图；

(2)求该安全标识墩的体积．

解析(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为

V＝V

PEFGH ＋V ABCDEFGH＝

1

3

×402×60＋402×20＝64 000(cm3)．

14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.

解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V＝1×1×3＝ 3.

(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC1B1， 所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形， S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.

15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .

解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如右图所示． (1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝1

3

×6×8×4＝64.

(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×? ??

??

12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2.

1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. .

解：设展开图的正方形边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2πr =a ，2a

r π

=，底面圆的面积是24a π，

于是全面积与侧面积的比是2

2

21222a a a π

ππ

++=

， 2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.

2．解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是111111()3222248????=

，于是8个三棱锥的体积是61，剩余部分的体积是6

5

， 3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm 和8cm ，高是5cm ，则这个直棱柱的全面积是 。 3．答案：148 cm 2

解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm ，所以底面边长是5cm ，

侧面面积是4×5×5=100cm 2，两个底面面积是48cm 2， 所以棱柱的全面积是148cm 2.

4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为 。 4．答案：22：5

解：设圆柱的母线长为l ，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：

2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是23π和43

π

，

由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式2r l πθ=

，得13l r =，223

l

r =， 所以它们的高的比是

22

22

()22325()3

l l l l -=-. 5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm ，2cm ，3cm ，则此棱锥的体积_________

5．答案：1cm 3

解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm ，2cm 的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3，

则它的体积是3

1

×1×3=1cm 3.

6．矩形两邻边的长为a 、b ，当它分别绕边a 、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为

6．答案：b

a

解：矩形绕a 边旋转，所得几何体的体积是V 1=πb 2a ，矩形绕b 边旋转，所得几何体的体积是V 2=πa 2b ，

所以两个几何体的体积的比是2122V b a b V a b a ππ==

16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a .

(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．

解析 (1)如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点为P ，

BC 的中点为E ，连接BP 、EP 、CP .得到AD ⊥平面BPC ，∴V A-BCD ＝V A-BPC ＋V D-BPC ＝13·S △BPC ·AP ＋13S △BPC ·PD ＝13·S △BPC ·AD ＝13·12

·a a 2

－x 24

－a 24

·x ＝

a 12

3a 2－x 2x 2

≤a

12·3a 22＝18a 3(当且仅当x ＝62a 时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为18

a 3. (2)由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为

62a ，∴S 表＝2×34a 2＋2×12×6

2

a × a 2－?

??

??64a 2

＝32a 2＋62a ×10a 4＝32a 2＋15a 2

4＝23＋154

a 2

.