11、用待定系数法求二次函数的解析式(P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16)
(1)一般式:c bx ax y ++=2
。已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式。
(2)顶点式:()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。 (3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=。 题12:已知关于x 的一元二次方程x 2-2(m -1)x +(m 2-1)=0,有两个实数根x 1、x 2,且x 12+x 22
=4.求m 的值。
题13:先化简,再求值:225632111333x x x x x x -+????÷-+ ???+--?
??? ,其中x =3
题14:在平面直角坐标系中,B (3+1,0),点A 在第一象限内,且∠AOB =60°,∠ABO =45°。
(1)求点A 的坐标;
(2)求过A 、O 、B 三点的抛物线解析式;
(3)动点P 从O 点出发,以每秒2个单位的速度沿OA 运动到点A 止,①若△POB 的面积为S ,写出S 与时间t(秒)的函数关系;②是否存在t ,使△POB 的外心在x 轴上,若不存在,请你说明理由;若存在,请求出t 的值。
图4
12、直线与抛物线的交点(P47-5、P48-10,14)
(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c )。
(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2
有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2)。
(3)抛物线与x 轴的交点。 二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根。抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交;
②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切;
③没有交点?0?抛物线与x 轴相离。
(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点:
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2
的两个实数根。
(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组 c
bx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定: ①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点;
②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;
③方程组无解时?l 与G 没有交点。
(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:
若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,
x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故:
a
c x x a b x x =?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-??? ??-=--=-=-=44422
2122122121
第三章 圆
1、定义:圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径, 圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线,不是圆面;
②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。
2、点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为r ,点到圆心的距离为d ,则:
①点在圆上<===>d=r ;②点在圆内<===>dd>r 。(P56-5,6、P58-16) 证明若干个点共圆,就是证明这几个点与一个定点的距离相等。
3、圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形,对称中心为圆心。 直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。(P58-
4、P59-9、P61-3、P63-16、P65-15)
4、与圆相关的概念:
①弦和直径。弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径:经过圆心的弦叫做直径。
②圆弧、半圆、优弧、劣弧。圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”表示,半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。优弧:大于半圆的弧叫做优弧。劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。)
③弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
④同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。
⑦弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。
5、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
6、定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
7、1°的弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个
圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
8、圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角。
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等;
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;(P66-5,7、P68-16)
9、确定圆的条件:
①理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上。
②经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆。(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆。定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆。
10、(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形。(P69-4,5、P70-15)
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等。
11、直线和圆的位置关系:(P72-3,5)
(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线。
(2)相切:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点。
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
(4)直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d,则
①d直线L和⊙O相交。
②d=r<===>直线L和⊙O相切。
③d>r<===>直线L和⊙O相离。
12、切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个。
①垂直于切线;②过切点;③过圆心。(P73-13、P74-3、P75-14)
13、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等。(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角。由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角。(P77-2、P78-14)
AB 题15:如图,P A是⊙O的切线,割线PBC与⊙O相交于点B、C,P A=6、PB=4则BC=________.
AC 的值为________。
图5
14、两圆的位置关系:(P79-6、P81-13)
(1)外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离。
(2)外切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切。这个惟一的公共点叫做切点。
(3)相交:两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交。
(4)内切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切。这个惟一的公共点叫做切点。
(5)内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含。两圆同心是两圆内的一个特例。
(6)两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离<===>d>R+r;(2)两圆外切<===>d=R+r;(3)两圆相交<===>R-rd=R-r(R>r);(5)两圆内含<===>dr)。
(7)相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上。
(8)相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
题16:已知A是⊙O上的一点,⊙A与⊙O相交于点C、D,⊙O的弦AB交CD于点E,AE=2、EB=6.求:⊙A的半径长(证△EAD∽△DAB)
图6
15、圆周长公式:圆周长C=2πR(R表示圆的半径)。圆的面积公式:S=πR2(R表示圆的半径)。
弧长公式:2nπR/360(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)。(P82-6)
扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
(P82-9、P84-1、P85-8)
扇形的面积公式:扇形的面积=nπR2/360(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)。
弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高。16、圆锥:可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角
边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面。
圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面
的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点。如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l,底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:S=cl/2=2πrl/3=πrl。
总面积=侧面积+底面积。(P87-7,9,11)
题17:圆柱的高为10cm,底面半径为6cm,则该圆柱的侧面积为。
17、若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆。圆内接四边形的特征:①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角。
18、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
19、和圆有关的比例线段:
①相交弦定理:圆内的两条弦相交,被交点分成的两条线段长的积相等;
②推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
20、切割线定理:
①从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;
②推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
21、两圆连心线的性质:
①如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,或者说,连心线过切点。
②如果两圆相交,那么连心线垂直平分两圆的公共弦。(P91-7、P92-14)
第四章统计与概率(P94-10、P97-7、P100-7,8)
【初三下学期的数学知识点归纳】 初三上数学知识点归纳
【初三下学期的数学知识点归纳】初三上数学知识点归纳 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.“三点定圆”定理 4.垂径定理及其推论 5.“等对等”定理及其推论 5. 与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质: 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角: 内角的一半:(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 、等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周:4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 感谢您的阅读!
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第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表: 说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数:正实数与零的统称。(表为:x≥0) 性质:若干个非负数的和为0,则每个非负数均为0。 3.倒数:①定义及表示法 ②性质:A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.01时,1/a<1;D.积为1。 4.相反数:①定义及表示法 ②性质:A.a≠0时,a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5.数轴:①定义(“三要素”) ②作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6.奇数、偶数、质数、合数(正整数—自然数) 定义及表示: 奇数:2n-1 偶数:2n(n为自然数) 7.绝对值:①定义(两种):
代数定义: 几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目,只要其中有“││”出现,其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序:A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附:典型例题 1.已知:a、b、x在数轴上的位置如下图,求证:│x-a│+│x-b =b-a. 2.已知:a-b=-2且ab<0,(a≠0,b≠0),判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质,代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类:
人教版九年级英语下册各知识点归纳总结
祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量)新人教版九年级英语全册知识点归纳及习题祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量) Unit1How can we becomegood learners?祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量) 短语总结: 祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量) 祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量)1. good learners优秀的学习者 2.work with friends和朋友一起学习 3.study for a test备考 4.have conversations with与……交谈 5.speaking skills口语技巧 6.a little有点儿 7.at first起初起先 8.the secret to......,.......的秘诀 9.becauseof因为 10.as well也 11.look up(在词典中等)查阅;抬头看 12.so that以便,为了 13.the meaning of……的意思 14.make mistakes犯错误 15.talk to交谈 16.depend on依靠依赖 17.in common共有的 18.pay attention to注意关注 19.connect……with……把……联系。 20.for example例如 21.think about考虑 22.even if即使尽管纵容23.look for寻找 24.worry about担心担忧 25.make word cards制作单词卡片 26.ask the teacher for help向老师求助 27.read aloud大声读 28.spoken english英语口语 29.give a report作报告 30.word by word一字一字地 31.so……that如此……以至于 32.fall in love with爱上 33.something interesting有趣的事情 34.take notes记笔记 35.how often多久一次 36.a lot of许多 37.the ability to do sth.做某事的能力 38.learning habits学习习惯 39.be interested in对……感兴趣 40.get bored感到无聊 41.be good at在……方面擅长 42.be afraid of害怕 43.each other彼此互相 44.instead of代替而不是 二.用法集萃祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量) 1.by doing sth通过做某事 2.it+be+adj+to do sth做某事是……的 3.finish doing sth完成某事 4.what about doing sth?做某事怎么样? 5.try to do sth尽力做某事 6.the+比较近,the+比较近越……,就越…… 7.find it+adj+to do sth发现做某事 8.be afraid of doing sth害怕做某事 9.help sb(to)do sth帮助某人做某事 10.practice doing sth练习做某事11.keep doing sth一直做某事 12.be afraid to do sth害怕做某事 13.begin to do sth开始做某事 14.want to do sth想要做某事 15.need to do sth需要做某事 16.remember to do sth记得做某事 17.shoot射(射着,射死等表结果) 18.shoot at(瞄准)射 祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量) Unit2I think that mooncakes are
最新九年级下册人教版数学知识点归纳
第二十二单元 二次函数 1 一、二次函数概念: 2 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的 3 函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系 4 数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 5 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征: 6 ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. 7 ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 8 二、二次函数的基本形式 9 二次函数的基本形式()2 y a x h k =-+的性质: 10 a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 11 12 三、二次函数图象的平移 13 1. 平移步骤: 14 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; 15 ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 16 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 17 2. 平移规律 18 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 19 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 20 方法二: 21
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 22 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) 23 ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成24 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 25 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 26 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过 27 配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 28 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 29 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,30 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画 31 图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴32 对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组33 关于对称轴对称的点). 34 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的 35 交点. 36 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 37 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 38 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当39 2b x a =-时,y 有最小值 244ac b a -. 40 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为41 2424b ac b a a ??-- ???,.当2 b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而42 减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 43 44 七、二次函数解析式的表示方法 45 1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 46 2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 47 3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 48 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的49 二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛50 物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 51 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 52 1. 二次项系数a 53
新人教版初中数学知识点总结(完整版)
人教新版初中数学知识点总结(全面最新) 目录 一、七年级数学(上)知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学(下)知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学(上)知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式
四、八年级数学(下)知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学(上)知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学(下)知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学(上)知识点
第一章有理数 一.知识框架 二.知识概念 1.有理数: (1)凡能写成)0 p q,p( p q ≠ 为整数且形式的数,都是有理数. (2)有理数的分类: ① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 ② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 注意:0即不是正数,也不是负数; -a不一定是负数,+a也不一定是正数; π不是有理数; 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: (1)只有符号不同的两个数,互为相反数,即a和- a互为相反数;
0的相反数还是0; (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值: (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ; 正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数; 绝对值的问题经常分类讨论,零既可以和正数一组也可以和负数一组; 5.有理数比大小: 两个负数比大小,绝对值大的反而小; 数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大; 大数-小数 > 0,小数-大数 < 0. 6.倒数:乘积为1的两个数互为倒数; 注意:0没有倒数; 若 a ≠0,那么a 的倒数是a 1; 若ab=1? a 、b 互为倒数; 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对
人教版九年级数学 知识点总结
第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。 二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。
说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法 两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。 说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根
最新版语文九年级下册知识点归纳总结
最新版语文九年级下册知识点归纳总结
第一篇 一、文学常识 1、本文出自《孟子?告子上》,作者孟子,名轲,字子舆,被后人称为“亚圣”,战国时期鲁国人,思想家、教育家,是儒家思想的代表人物。是儒家思想的代表人物,地位仅次于孔子,后世常以"孔孟"并称。他生活在兼并战争激烈的战国中期,政治上主张"法先王"。在孔子的"仁"的学说基础上,提出了系统的"仁政"学说,主张行"仁政"以统一天下。 二、语音 箪(dān)蹴(cù)羹(gēng)死亦我所恶(wù) 三、通假字 1、乡为身死而不受乡通“向”,从前 2、故患有所不辟也辟:通“避”,躲避 3、今为所识穷乏者得我而为之得:通“德”,恩惠,这里是“感激”的意思 4、万钟则不辩礼义而受之辩:通“辨”,辨别 5、所识穷乏者得我与?与:通“欤”,语气词。 四、一词多义 (1)之代词“他”如:呼尔而与之助词“的”如为宫室之美 (2)而表顺接“不译”如:蹴尔而与之 表转折“却”如由是则生而有不用也 (3)于表比较“比”如:所欲有甚于生者
表对象“对”如:万钟于我何加焉 五、重点词语解释 1、故不为苟得也.苟得:苟且取得,本文指:“苟且偷生。 2、鱼我所欲也。所欲——所字词组(所+动词)是名词性词组,译“……的东西”。 3、如使:假如,假使。 4、贤者能勿丧耳贤者:有道德的人。勿丧:不丢掉。丧:丢掉。 5、蹴尔而与之。蹴:用脚踢。 6、呼尔而与之呼尔:没礼貌的吆喝。与:给 7、不屑:因轻视而不肯接受。8、何加:有什么益处。 9、万钟则不辩礼义而受之。万钟:形容位高禄厚。辩通“辨”,辨别。 10、妻妾之奉。奉:侍奉。 11、所识穷乏者得我与?得,通“德”,恩惠,这里是感激的意思。 12、乡为身死而不受:乡,通“向”,从前。 13、是亦不可以已乎?已:停止、放弃。 14、此之谓失其本心。本心:天性,天良。 六、特殊句式 1、状语后置句 (1)所欲有甚[于生者],所恶有甚[于死者]。 想要的有比生命更重要的,厌恶的有比死亡更严重的。
人教版九年级下册数学知识点总结
结点总识学册九教人版年级下数知反比例函数 26 一、反比例函数的概念 1.()可以写成()的形式,注意自变量 x的指数为,在解决有关 自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式; 3.反比例函数的自变量,故函数图像与x轴、y轴无交点. 二、反比例函数的图像画法 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量, 函数值,所以它的图像0?y0?x与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无 限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确; ③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。 三、反比例函数及其图像的性质
1.函数解析式:() 2.自变量的取值范围: 3.图像: (1)图像的形状:双曲线,越大,图像的弯曲度越小,曲线越平直。越小,图像的弯曲度越大。(2)图像的位置和性质: 时,图像的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x当的增大而减小; 的增大而增大。x随y时,图像的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,当. )在双曲线的)在双曲线的一支上,则(,(,3)对称性:图像关于原点对称,即若(ba ,)对称,即若(另一支。图像关于直线a,b)在双曲线的一支上,则(,)和( 在双曲线的另一支上。. 4.k的几何意义 上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于)是双曲线(如图 1,设点Pa,bB点,则矩形PBOA的面积是|k|(三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|)。如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC ⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为2|k|。
初中数学知识点总结(最新版)
中考数学知识点 知识点1:一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2.一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4,常数项是-2. 3.一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3,常数项是-7. 4.把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2:直角坐标系与点的位置 1.直角坐标系中,点A (3,0)在y 轴上。 2.直角坐标系中,x 轴上的任意点的横坐标为0. 3.直角坐标系中,点A (1,1)在第一象限. 4.直角坐标系中,点A (-2,3)在第四象限. 5.直角坐标系中,点A (-2,1)在第二象限. 知识点3:已知自变量的值求函数值 1.当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2.当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3.当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4:基本函数的概念及性质 1.函数y=-8x 是一次函数. 2.函数y=4x+1是正比例函数. 3.函数x y 2 1-=是反比例函数. 4.抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5.抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.
(1,2). 6.抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7.反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5:数据的平均数中位数与众数 1.数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2.数据3,4,2,4,4的众数是4. 3.数据1,2,3,4,5的中位数是3. 知识点6:特殊三角函数值 1.cos30°= 2 3. 2.sin 260°+ cos 260°= 1. 3.2sin30°+ tan45°= 2. 4.tan45°= 1. 5.cos60°+ sin30°= 1. 知识点7:圆的基本性质 1.半圆或直径所对的圆周角是直角. 2.任意一个三角形一定有一个外接圆. 3.在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆. 4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6.同圆或等圆的半径相等. 7.过三个点一定可以作一个圆. 8.长度相等的两条弧是等弧.
初中数学九年级上下册知识点总结
[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的 直角三角形,其中一个锐角等于30o,这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有: ①勾股定理:2 2 2 c b a =+(注意区分斜边与直角边) ②在直角三角形中,如有一个内角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(此定理将在第三章出现) ※垂直平分线.....是垂直于一条线段..并且平分这条线段的直线..。(注意着重号的意义) <直线与射线有垂线,但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。(如图1所示, AO=BO=CO ) ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理:在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。 (如图2所示,OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02 =++c bx ax (a 、b 、c 为 常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程...... 。 ※把02 =++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法:①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= (注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式) ③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 (主要包括“提公因式”和“十字相乘”) A C B O 图1 图2 O A C B D E F
华师大版九年级[下册]数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结 第二十六章 二次函数 一、二次函数概念: 1、二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2。 ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质:
3. ()2 y a x h =-的性质: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”。 概括成八个字“左加右减,上加下减”。 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)
初三数学知识点考点归纳总结
初三数学知识点考点归纳总结 一、相似三角形7个考点 考点1:相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小 考核要求:1理解相似形的概念;2掌握相似图形的特点以及相似比的意义,能将已知图形按照要求放大和缩小. 考点2:平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理 考核要求:理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算. 注意:被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用. 考点3:相似三角形的概念 考核要求:以相似三角形的概念为基础,抓住相似三角形的特征,理解相似三角形的定义. 考点4:相似三角形的判定和性质及其应用 考核要求:熟练掌握相似三角形的判定定理包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理和性质,并能较好地应用. 考点5:三角形的重心 考核要求:知道重心的定义并初步应用. 考点6:向量的有关概念 考点7:向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算 考核要求:掌握实数与向量相乘、向量的线性运算 二、锐角三角比2个考点 考点8:锐角三角比锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念,30度、45度、60度角的三角比值. 考点9:解直角三角形及其应用 考核要求:1理解解直角三角形的意义;2会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题,尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形. 三、二次函数4个考点
考点10:函数以及函数的定义域、函数值等有关概念,函数的表示法,常值函数 考核要求:1通过实例认识变量、自变量、因变量,知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;2知道常值函数;3知道函数的表示方法,知道符号的意义. 考点11:用待定系数法求二次函数的解析式 考核要求:1掌握求函数解析式的方法;2在求函数解析式中熟练运用待定系数法. 注意求函数解析式的步骤:一设、二代、三列、四还原. 考点12:画二次函数的图像 考核要求:1知道函数图像的意义,会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;2理解二次函数的图像,体会数形结合思想;3会画二次函数的大致图像. 考点13:二次函数的图像及其基本性质 考核要求:1借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质,建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;2会用配方法求二次函数的顶点坐标,并说出二次函数的有关性质. 注意:1解题时要数形结合;2二次函数的平移要化成顶点式. 四、圆的相关概念6个考点 考点14:圆心角、弦、弦心距的概念 考核要求:清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念,并会用这些概念作出正确的判断. 考点15:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考核要求:认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上,运用定理进行初步的几何计算和几何证明. 考点16:垂径定理及其推论 垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一. 考点17:直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系 直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆 的位置关系中,常需要分类讨论求解. 考点18:正多边形的有关概念和基本性质
初中九年级数学知识点总结
初中九年级数学知识点总结 【篇一】 第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表: 说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数:正实数与零的统称。(表为:x≥0) 性质:若干个非负数的和为0,则每个非负数均为0。 3.倒数:①定义及表示法 ②性质:A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.01时,1/a<1;D.积为1。