大学高等数学第二册复习资料
高等数学第二册
第七章空间解析几何与向量代数
在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。也为学习多元微积分做准备。
重点：曲面方程，曲线方程
难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。
（一）
1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点O，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。当1e，2e，3e 的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。
2．空间向量可以从两个途径来认识：
①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可
由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母
上面加一个箭头表示，例：AB ，a
等。
②可由向量的坐标来把握向量。必须分清向量坐标与点坐标
这两个概念，一般情况下，设{}z y x a ,,= 的始点的坐标分别为()321,,x x x ，()321,,y y y ，则{}121212,,z z y y x x a ---=
，即向量的坐标与向量
的起点及终点的坐标间有下列关系：
12x x x -=，12y y y -=，12z z z -=。因此，若确定了向量的坐标，则这
个向量就确定了。
当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。
3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。
4．一个平面具有各种形式的方程，如点法式，三点式，截距式，一般式。在学习平面的各种形式的方程时，对方程中常数的几何意义应引起充分的注意。如：平面方程0=+++D Cz By Ax ，
则{}C
,为平面的一个法向量，建立平面的方程时应根据条件灵A,
B
活处理。点法式方程是应用较方便，常用的方程类型，这是因为在讨论平面问题时，平面的法向量常常起着关键性的作用。
5．确定空间一条直线的方法很多，在《高等数学》中把它归结为由直线上的一个定点和与直线平行的一个非零向量来确定，或将它看成两个平面的交线。空间直线的标准式方程与参数式方程，二维空间中的直线均有对应的形式，但要注意，只有空间直线可看成两个平面的交线。
6．在《高等数学》中，常用的曲面方程为：
（二）
1．向量在轴上的投影是个常用的概念，要注意向量在轴上的投影是一个数量而不是一个向量，也不是一个线段。 设向量，其中投影轴为l ，点A ，B 在轴上的投影分别为A '，
B '，若取与轴同方向的单位向量为e ，则有
,e x B A =''称x 为AB 在轴l 上的投影。因此向量在轴上的投影不是有向线段B A ''，而是一个数值，记为j l
Pr ，易知j l Pr ?cos ||=，其中?为与轴l 的
夹角。
2．向量在坐标轴上的投影称为向量的坐标。 3．向量的数量积，向量积一览表：
4．要熟练掌握平面，直线的各种形式的方程互化，关键在于明确在各种形式的方程中，各个量（常量、变量）的几何意义以及它们之间的关系，在此基础上，互化是容易做到的。如建立平面的三点式方程时，若硬记公式则不容易记牢的，但从三个向量共面的角度去思考就能牢牢地记住。
5．要深刻理解空间直角坐标系下平面的方程是一个关于x，y，z的一次方程。反之，任何一个关于x，y，z的一次方程都表示一个平面。
6．平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系均
是通过平面的法向量间，直线的方向向量间，或平面法向量与直线的方向向量间的位置关系来讨论，因此可归结为向量问题来解决。如：两个平面间的夹角问题通过它们的法向量的夹角来解决。
7．常用的曲面方程见（A）中6，要真正掌握这些曲面的形状、特征，可以用“平行平面截割法”，也就是用一族平行平面（一般平行于坐标面）来截割曲面，研究所截得的一族曲线是怎样变化的，从这一族截线的变化情况即可推想出所表示的曲面的整体形状，这是认识曲面的重要方法，它的基本思想是把复杂的空间图形归结为比较容易认识的平面曲线。
8．空间曲线一般由两个曲面相交而得，这样的曲面有无穷多个，若曲线的形状不易把握时，可先将两个曲面方程通过消去未知数的方法得两个过曲线的射影柱面的方程，而射影柱面的形状是较容易把握的。
9．空间曲面和曲线除了利用图形上的点的坐标所满足的关系建立方程外，还常用参数方程来表示。参数方程的特征是方程中既有表示坐标的变量，也有坐标以外的其他变量（称参数），且坐标变量x，y，z分别可以表示成参数的函数。
10．曲线（直线）的参数方程均含一个参数，曲面（平面）的参数方程含两个参数。简单的参数方程消去参数后可化得普
通方程，但并不是所有的参数方程都能化成普通方程的。
（三）
1．三个向量相乘有混合积(
)c b a ??和双重向量积()
c b a
??，其中
双重向量积的讨论可见《空间解析几何》这类专业教材，对于混合积在高等数学中应用较多，它具有一个十分重要的几何意
义，即当a ，b ，c
不共面时，(
)c
b a ,,的绝对值等于a ，b ，
c 为棱的
平行六面体的体积。因此利用混合积可以解决求一类体积的问题。
2．三个以上的向量相乘的问题总可转化为三个向量相乘，因此可归结为三个向量相乘来讨论。 3．混合积的坐标表示与特征性质 设
{}
z y x a a a a ,,=
，
{}z y x b b b b ,,=
，
{}
z y x c c c c ,,=
，则
[
]()
z
y
x
z y x
z y x
c c c b b b a a a c b a c b a =??=
,,，(
)
?=0,,c b a a ，b ，c 共面。
4．在学习曲面与空间曲线时，应注意两点：
① 空间曲面方程的定义与平面曲线方程的定义相类似，通常将曲面看成具有某种特征性质的空间点的轨迹，用方程
()0,,=z y x F 来表示，从集合的观点来看，曲面就是所有满足方程
()0,,=z y x F 的点()z y x ,,的集合。
② 要充分理解空间曲线一般方程的定义。 这里强调用通过
空间曲线l 的任意两个曲面的方程来表示，即用通过空间曲线l 的两个曲面方程联立起来表示空间曲线。若由方程()0,,1
=z y x F 和
()0,,2=z y x F 表示的两个曲面，除去曲线l ：()()??
?==0,,0,,21z y x F z y x F 上的点是它们的公共点外，再也没有别的公共点，则用()()??
?==0,,0
,,21z y x F z y x F 表示它们交
线的方程。但要注意，联立任意的两个曲面方程，它们可能不
表示任何空间曲线，例如
?????=++=++21222222z y x z y x ，从代数上看这是一个矛盾方程组，不存在解；从几何上看，这是两个同心的球面，它们没有任何的公共点。
第八章 多元函数微分法及其应用学习指导
一、知识脉络
数函元二 ?
???
???
????????????????
?
??
???????????
?条件极值无条件极值极值泰勒展开式
方向导数几何应用偏导数的应用全微分
偏导数连续二次极限二重极限
极限概念
.4.3.2.1.6.5.4.3.2.
1
二、重点和难点
1．重点：求极限、求偏导数、求全微分、求极值。 2．难点：极限存在、连续、偏导数存在、可微之间的关系，复合函数求偏导数。 三、问题与分析 1．
()
y x f y y x x ,lim 0
0→→与
()
y x f P P ,lim
沿某直线超于仅当前者存在时，才相等。
2．二重极限、连续、偏导数存在、可微间的关系
3．多元函数中极限、连续、偏导数的运算法则、一阶微分形式的不变性、初等函数的连续性、最值定理、介值定理均与一元函数中相应内容和结论对应。
4．二重极限与二次极限是本质不同的两个概念。 (1) 当动点()y x P ,沿任意路径趋于()00
,y x
时，若()y x f ,都以同一数
值为其极限，则这样得到的极限为二重极限；当x ，y 先后相继地趋于0
x ，0
y 时的极限为二次极限。
(2) 两个二次极限存在且相等，不能得出二重极限存在。 例如：
()2
2,y x xy y x f +=
，容易验证两个二次极限
()()0
,lim lim ,lim lim 0
00
0==→→→→y x f y x f x y y x ，但是()
y x f y x ,lim 0
0→→不存在。
(3) 二重极限存在，不能得出二次极限存在。 例如：
()()y
x y x y x f 1
sin
1sin ,+=，因为()y x f ,在不含有两个坐标轴的
平面点集上有定义，当()()0,0,→y x P 时，有0→+y x 。由于有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量，可得
()()01sin 1sin lim ,lim 0000=???
??
?+=→→→→y x y x y x f y x y x ，对任意给定的0
≠y ，由于01s i n 1s i n l i m 0=→y x x x ，而y x y x 1sin 1sin lim 0
→不存在，所以
()y
x y x x 1
sin 1sin lim 0+→不存在。
因此先对x 后对y 的二次极限()
y x f x y ,lim lim 00→→不存在。同理
()
y x f y x ,lim lim 0
0→→也
不存在。
5．学习二次极限应注意以下三个问题：
(1) 两个二次极限分别存在时不能保证它们一定相等，因此不能任意地交换求极限的先后顺序。 例：
()2
2
2
2,y x y x y x f +-=，则
()1
,lim lim 0
0-=→→y x f x y ，
()1
,lim lim 0
0=→→y x f y x 。
(2) 二次极限中一个存在，另一个可以不存在。
例：
()y
x y x x y x f ++=
1sin
,，容易验证
()1
,lim lim 0
0=→→y x f x y ，而
()
y x f y x ,lim lim 0
0→→不存在。
(3) 两个二次极限都可以不存在。 例：
()()y x y x y x f 1
sin
1sin ,+=。容易验证
()
y x f x y ,lim lim 0
0→→与
()
y x f y x ,lim lim 0
0→→都不存在。
6．学习多元复合函数的求导应注意的问题：
求多元复合函数的导数，关键是搞清各个变量之间的复合关系，常用一种“树形图”的图形直观地给出因变量、中间变量及自变量的关系，帮助我们记忆公式，以便进行正确运算。 例如：()y x f z ,=，()y x u u ,=，()y x v v ,= 画出“树形图”
则
x v
v z x u u z x z ????+????=??
y v v z y u u z y z ????+????=?? 7．学习方向导数应注意的问题
(1) l
f
??是单侧极限。因为()()22y x ?+?=
ρ，所以0→ρ实际上是
+→0ρ。
(2) x
f
??是双侧极限。0→?x 时，x ?可正、可负，因此0=α时，
z
u
v
y
x
l
f ??与x
f ??不一定相等，
2π
α=
时，l f
??与x
f ??也不一定相等。
(3) 梯度
()??
?
???????=y f x f y x gradf ,,是一个向量，当l 的方向与梯度方向相同时，方向导数l
f
??达到最大值()|,|y x gradf 。
8．最小二乘法在数学建模中有广泛的应用，要注意领会其精神实质。 四、解题示范 例1：求
xy xy y x 42lim
00+-→→
解：原式
()()
4
14
21lim
4
244lim
00
-
=++-=+++-=→→→→xy xy xy xy y x y x
一般地，用定义证明
()
y x f y y x x ,lim 0
0→→二重极限不存在有二种途径：
(1) 找到两条特殊的途径，得出()y x ,沿这两条途径趋于()
00
,y x 时，()y x f ,的极限值不等；
(2) 找到一条特殊的途径证明()y x ,沿此途径趋于()00
,y x
时，
()y x f ,的极限不存在。
例2：求
()
2
222
20
0lim
y x y x y x y x -+→→
解：当动点()y x P ,沿x y =趋于()0,0时，则
()
1lim lim
44
02
222
20
0==-+→→→x
x y x y x y x x y x
当动点()y x P ,沿x y 2=趋于()0,0时，则
()
044lim lim
2
44
02
222
20
0=+=-+→→→x x x y x y x y x x y x
故原极限不存在。 例
3：求
(
)2
21ln y x z ++=当1=x ，2=y 时的全微分。
解：因2212y x x x z ++=??，
2212y x y
y z ++=??
3
12
1=??==y x x
z
，
3
22
1=
??==y x y
z
故dy
dx dz y x 32
3121+===。
例4：求()xyz xy x f u ,,=的一阶偏导数，其中f 具有一阶连续偏导数。
解：将三个中间变量按顺序编为1，2，3号，画出“树形图” 故yz
f y f f x u
?'+?'+?'=??3211
3
2
1
f yz f y f '+'+'=
xz
f x f y u
?'+?'=??32
3
2
f xz f x '+'=
33f xy xy f z u
'
=?'=??
例5：求函数xyz u =在点()2,1,5处沿从点()2,1,5到点()14,4,9的方向的方向导数。
u=f
x(1)
xy(2)
xyz(3)
解：()()12,3,4214,14,59=---=l 131234222=++
134cos =
α，133cos =β，1312
cos =γ
因为γ
βαcos cos cos z u y u x
u l u ??+??+??=??
xy xz yz 1312133134++=
所以()
1398
513121013321342,1,5=?+?+?=
??l
u
例
6．设
22
2v u x -=
，uv y =，取u ，v 作为新自变量，试变换方程
02
22222=+??+??z a y z x z 。
解：y z
v
x z u u y y z u x x z u z ??+??=????+????=??，y z u
x z v v
y y z v x x z v z ??+??-=????+????=??
????
????+???+???? ?????+??+??=??v y z u x y z v v y x z u x z u x z u z 22222222
2
222222y z v y x z uv x z u x z ??+???+??+??=2
()()???
?
?
???+-???+?????????+-??-??-=??u y z v x y z u u y x z v x z v x z v z 22222222 2
2
222222y z u x y z uv x z v x z ??+???-??+??-=
故
()
????
????+??+=??+??22222
22
222y z x z v u v z u z
即()
02222222
2=+++??+??z v u a a v z
u z
7．设()y x z z ,=由
?=-+-x
y
t
dt d z z 0
ln 2
确定，求y x z
???2。
解：由
?=-+-x
y
t dt e z z 0
ln 2
两边对x 求导：
12=-??+??-x e x z
z x z
从而
12
+=??-z ze x z x
(1)
原式两边对y 求导
12=+??+??-y e y z z y z
从而
12
+-=??-z ze y z y
(2)
(1)式两边对y 求导
()()2
21122
+??-+??=???--z y
z ze z e y z y
x z x x
()y
z
z e x
??+=
-2
12
将(2)代入得：
()
()3
212
2
z ze y x z y x +-=???+-
第九章 重积分学习指导
一、知识脉络
分积
重 ??
?
???
??
?????
?
????
?
???????
?????????????????????????引力求非均匀物体对质点的量求非均匀物体的转动惯求非均匀物体的重心求非均匀物体质量求曲面积分
重积分的应用三重积分通过球面坐标变换计算三重积分通过柱面坐标变换计算重积分在直角坐标系中计算三三重积分的计算积分利用一般变换计算二重积分在极坐标系中计算二重重积分在直角坐标系中计算二二重积分的计算重积分的定义54321.4321.3321.2.1
二、、重点和难点
1．重点：求二重积分、求三重积分
2．难点：将二重积分化为二次积分，将三重积分化为三次积分
三、问题与分析
1．重积分中有4个关键步骤：①任意分割积分区域；②在分割后的小区域中任意取点；③求和；④求极限；
2．计算重积分的关键是化为累次积分，根据具体题目，要能正确选择坐标系以及要正确考虑积分的先后次序；
3．二重积分的几何意义：①当()0,≥y x f 时，()??
D
d y x f σ,表示以曲
面()y x f z ,=为顶，以D 为底的曲顶柱体体积；②当()1,≡y x f 时，
D
d D
=??σ的面积；
4．二重积分的物理意义：当()y x f ,表示平面薄片D 的面密度时，
()??D
d y x f σ
,表示D 的质量；
5．三重积分的物理意义：当()z y x f ,,表示空间立体Ω的体密度时，
()???Ω
dv
z y x f ,,表示Ω的质量。
四、计算二重积分时，应注意的问题
1．选系：当积分区域是圆域或圆域的一部分，被积分函数
含有22y x +或两个积分变量之比
x
y
，y
x 时，一般可选用极坐标系
来计算；
2．选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，先对哪个变量积分较好；
3．积分区域的对称性与被积函数的奇偶性的正确配合，例如当积分区域关于x 轴对称时，应配合被积函数关于y 的奇偶性；
4．特例：当被积分函数的变量可分离，并且积分区域为两邻边分别与两坐标轴平行的矩形时，则二重积分可化为两个定积分的乘积。 五、解题示范
例1： 改变二次积分()?
?
y y dx
y x f dy 220
2
,的积分次序。
解：积分区域D ：???≤≤≤≤y x y y 2202改写为D ：?????≤≤≤≤x y x
x 240
故
()()???
?
=x
x y y dy
y x f dx dx y x f dy 2
40
220
,,2
。
例2：计算
??
=D
dxdy y y
I sin ，其中D 是由直线x y =及抛物线2y x =所
围成的区域。
解：积分区域D 为：???≤≤≤≤y x y y 2
1
0，于是 ()
????
?-=-=-==1010102
1
01sin 1sin sin sin sin 2ydy y ydy dy y y y y dx y y dy I y
y 注意：如果先对y 后对x 积分，此时D 为
??
?≤≤≤≤x
y x x 1
0，于是
?
?=x x
dy y y
dx I sin 1
0。
由于y y
sin 的原函数不能用初等函数表示，积分难以进行，故
本积分不能按此次序。 例3：计算
??--=D
y x
dxdy
e I 2
2
，其中D 为122
≤+y x
。
解：用极坐标，此时D 为：??
?≤≤≤≤π
θ2010r
于是
?
??
??-===??
??--e rdr e
d rdrd e
I r D
r 111
20
2
2
πθθπ
注：如用直角坐标，则由于?-dx
e x 2
不能用初等函数表示，积
分就难以进一步计算。 例4：计算
()
???Ω
+++3
1z y x dxdydz
，其中Ω为平面0=x ，
0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体。
解：积分区域Ω为???
??--≤≤-≤≤≤≤y
x z x y x 10101
0，于是
原式()?
?
?---+++=y x x z y x dz
dy dx 10
310
10
1
()dy y x dx dx x ??????++?+-=?
?-210
10
11
2181
()???????++---=1011214118
1dx x x
??? ??-=
852ln 21。
例5：求???Ω
zdv
，其中Ω是由曲面2
22y x z --=及2
2y x z +=所围成
的区域。
解：积分区域Ω为??
?
??-≤≤≤≤≤≤2221020r z r r π
θ，于是
原式?
??
-=22
21
020
r r zdz
rdr d πθ
()
?--=1
042221
2dr r r r π
12
7π
=
例6：求???Ω
zdv
，其中Ω由不等式()22
22
a a z y x
≤-++，222z y x ≤+所确
定。
解：直角坐标变换为球面坐标，于是Ω为?
?
??
???≤≤≤
≤≤≤?π?πθcos 204020a r 故原式???Ω?=θ
???d drd r r sin cos 2
?
??=?π
π???θcos 20
340
20
cos sin dr
r d d
()????ππ
d a 440
cos 241
cos sin 2?
=?
4
67
a π=。
第十章 曲线积分与曲面积分学习指导
一、内容提要
(一) 对弧长的曲线积分
1．定义：()()∑?=→?=n
i i
i
i
L
s f dx y x f 10
,lim ,ηξλ
，其中()n i s i
,,2,1 =?表示第i 个
小弧段的弧长
{}
i n
i s ?=≤≤1max λ。
2．性质：具有与定积分类似的性质。如线性性质，对积分路径的可加性等。
大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用
高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
华东理工大学继续教育学院《高等数学》(下)练习试卷(答案)
华东理工大学继续教育学院成人教育 《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案） 一、单项选择题 1、设xy e y z 2 =，则=)1,1(dz 答（ A ） （A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e - （C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解 （知识点：全微分的概念、全微分的计算方法） 因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==， 所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+ 2、设方程0yz z 3y 2x 22 2 2 =-++确定了函数z=z （x ，y ），则 =??x z 答（ B ） （A ） y z x -64 （B ） z y x 64- （C ） y z y +64 （D ）y z y -64 解 （知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法） 将方程两边对x 求导得 460z z x z y x x ??+-=??，解得 46z x x y z ?=?- 3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则 答（ C ） （A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解 （知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系） 由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ?=. 平面过原点 0D ?=，所以有 0D ,0B ==， 选（C ）. 4、 设u =(0,0) u x ?=? 答（ A ） （A ）等于0 （B ）不存在 （C ）等于1- （D ）等于1
华南理工大学_高等数学B下随堂练习参考答案
华南理工大学网络教育平台-*高等数学B(下)-随堂练习参考答案2013-4-10 1.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 2.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 3.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析：
4.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 5.,则的定义域为（） （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 6.下列函数为同一函数的是（） （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析：
7. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 8. （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 9. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 10. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C
问题解析： 11. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 12. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 13. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 14. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交）
大学文科数学复习资料
一、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分） 1、设函数)(x f 的定义域是[0,1]，那么(1)f x +的定义域是( B )。 A. [0,1] B. [1,0]- C. [1,2] D. [0,2] 2、x x x 3sin lim ∞ →= ( D )。 A. 3 B. 1 C. 3 1 D. 0 3、下列为0→x 时的等价无穷小的是（ C ）。 A. x 2sin 与x B. 12 -x e 与x C. )1ln(x +与x D. x cos 1-与2 2x 4、过曲线x x y ln =上0M 点的切线平行于直线x y 2=，则切点0M 的坐标是（ D ）。 A.(1,0) B.(e, 0) C. (e, 1) D. (e, e) 5、设函数)(x f y =二阶可导，如果01)(")('00=+=x f x f ，那么点0x ( A )。 A. 是极大值点 B. 是极小值点 C. 不是极值点 D. 不是驻点 6、在区间),(+∞-∞内，下列曲线为凹的是（ D ）。 A.)1l n(2x y += B .32x x y -= C.x y cos = D.x e y -= 7、设)(x f 为连续函数，则]')2([?dx x f =（ B ）。 A. )2(2 1x f B. )2(x f C. )2(2x f D. )(2x f 8、若C e x dx x f x +=?22)(，则)(x f =（ D ）。 A. x xe 22 B. x e x 222 C. x xe 2 D. )1(22x xe x + 9、下列关系式正确的是（ C ） A. )()(x f dx x f d =? B. )()(x df dx x f d =? C. dx x f dx x f d )()(=? D. C x f dx x f d +=?)()( 10、?-)cos 1(x d =（ C ）。 A. x cos 1- B. C x x +-sin C. C x +-cos D. C x +sin 二、填空题（共10空，每空2分，共20分） 11x x x ) 1 321(lim ++ ∞ →= 32 e 12、 设1)('0=x f ，则h x f h x f h ) ()2(lim 000 -+→= 2 。
华南理工大学高数习题册答案汇总
第七章 多元函数微分学 作业1 多元函数 1．填空题 （1）已知函数22,y f x y x y x ? ?+=- ???，则(),f x y =()() 222 11x y y -+； （2）49 arcsin 222 2-+++=y x y x z 的定义域是(){} 22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是 (){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+?<<≤+； （4）函数??? ??=≠=0, 0,sin ),(x y x x xy y x f 的连续范围是 全平面 ； （5）函数2222y x z y x +=-在2 2y x =处间断. 2．求下列极限 （1 ）00 x y →→； 解：0000 1 6x t t y →→→→===- （2）2 2 () lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞ +）.
解：3 y x =22()2() lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞ →+∞ →+∞ ??+=+-??）） 由于1lim e lim lim 0t t t t t t t t e e -→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0t t t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====， 故22() 2()lim (e lim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞ →+∞→+∞ →+∞ ??+=+-=??）） 3．讨论极限2630 0lim y x y x y x +→→是否存在. 解：沿着曲线()()3 ,,0,0y kx x y =→,有3 36626262000 lim lim 1x x y kx x y kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26 30 0lim y x y x y x +→→不存在 4．证明?? ???=+≠++=0,00,2),(22222 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续. 解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡ 从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线 ()(),,0,0y kx x y =→,有22 22222000 222lim lim 1x x y kx xy kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0 lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.
高等数学 习题册解答_10.重积分(青岛理工大学).
第十章重积分 § 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值dxdy y x I D ??+=22 其中D 为：422≤+y x ( dxdy y x I D ??+=22=πππ3 16 2. 4. . 312. 4. = - 2、设D 为圆域, 0, 222>≤+a a y x 若积分 dxdy y x a D ?? --2 2 2 =12π，求a 的值。 解： dxdy y x a D ?? --2
2 2 =3 . 34. 21a π 81 =a 3、设D 由圆, 2 1( 2(22围成=-+-y x 求??D dxdy 3 解：由于D 的面积为π2, 故??D dxdy 3=π6 4、设D ：}10, 53| , {(≤≤≤≤y x y x ， ????+=+=D D dxdy y x I dxdy y x I 221][ln(, ln(，比较1I , 与2I 的大小关系 解：在D 上，ln(y x +≤ 2][ln(y x +, 故1I ≤2I 5、设f(t连续，则由平面 z=0，柱面 , 122=+y x 和曲面2]([xy f z =所围的立体的体积，可用二重积分表示为??≤+=1 :222]([y x D dxdy xy f V 6、根据二重积分的性质估计下列积分的值 ??D
ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0, 0: (≤ 0??D ydxdy x 22sin sin 2π≤ 7、设f(x,y为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求??→D a dxdy y x f a , (1 lim 2 0π 解：利用积分中值定理及连续性有 0, 0( , (lim , (1lim 8 2 0f f dxdy y x f a a D a ==→→??ηξπ § 2 二重积分的计算法 1、设?? +=D dxdy y x I 1，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x，x=0所围成的区域，则I=（） A ： 2
大学文科数学复习资料
一、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列函数为初等函数的是( B ) (B). y = (C).?????=≠--=101112x x x x y (D).???≥<+=001x x x x y 2.当x →0时，与sin x 等价的无穷小是( A ) (A) 2x x + (B) x x sin x 2 3.设)0(f '存在，则0(0)()lim x f f x x →--＝( D ) (A) )0(f '- (B) )0(2f '- (C) )0(2f ' (D) )0(f ' 4. 物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D ） (A)函数值 (B)极限 (C) 积分 (D)导数 5.若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ C ） (A) x cos 1+ (B) sin x x + (C) sin x x - (D)x cos 1- 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设函数cos , 0() ,0 x x f x x a x 且210x ->, 所以函数()ln(21)f x x =-的定义域：132 x << 2. 设ln(2)y x =-，求其反函数
大一经典高数复习资料经典最新经典全面复习
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高等数学(本科少学时类型) 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 １．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） １.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；） ２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则 关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算 设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子 分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →--
华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案
第 11 章（之1）（总第59次） 教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-2 2 1连续区域是 ． 答：x y 2 2 1+> **（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=? ?? ? ?22 2222000 ， 则（ ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）= u y x -； 解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分： （2）)1ln(),(xy y x f +=； 解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）． （3）y x y x z +-= ． 解： ()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000．
***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→． 解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在． 解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同． 首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ， 其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ， 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．
湖南大学高等数学复习资料大全
《高等数学复习》详细教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2 -==>-x x a x （连续性的概念）
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高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-
华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答
华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答
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华东理工大学2013–2014学年第二学期 《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2014.4 开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟 考生姓名： 学号： 班级 任课教师 题序 一 二 三 四 五 六 总分 得分 阅卷人 注 意：试 卷 共 两 页 六 大 题 一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）： 1、微分方程2 22'y x e y x y -= 的通解为 。 答：C e xe e x x y +-= 224 1212 2、微分方程0''9) 4(=+y y 的通解为 。 答：x C x C x C C y 3sin 3cos 4321+++= 3、函数 z x y u )(= 对变量x 的偏导数 =x u 。 答：1 2 )(-- =z x x y x yz u 4、设 ))arctan(,,(xyz e y xze f u z y +=，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数， 则 =??y u 。 答： 3222211f z y x xz f f xze y u y +++=?? 5、设函数z z x y =(,)由方程 ),(y z xz f z = 所确定，其中f 关于所有变量有一阶连续偏
导数，则 ??z y = 。 答： 2 1222 yf f xy y zf --- 6、设1)(-=??c b a ρ ρρ，则=+?+?)]()[(c b b a b ρρρρ? 。 答： 1 7、函数)ln(22z y x u ++ =在点)1,0,1(处最大的方向导数等于 。 答： 2 2 8、微分方程 0'2''=+y xy 的通解=y 。 答： 21 C x C y +- = 9、设平面π过直线???=+-=++0 4, 05:z x z y x L 则原点到平面π距离d 的范围是 。 答： ]22,0[ 10、设),(y x z z =由方程2 xyz e z =所确定，则=dz 。 答： dy xyz e xz dx xyz e yz dz z z 222 2-+-= 11、求一个最低阶的常系数线性齐次微分方程，使得x 和x x cos sin +都是它的 特 解 ， 则 该 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 为 。 答：0'') 4(=+y y 二．选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）： 1、若连续函数)(x f 满足2ln )2 ()(20+=?dt t f x f x ，则=)(x f （ ） （A ）2ln x e ； （B ）2ln 2x e ； （C ）2ln +x e ； （D ）2ln 2+x e 。
高等数学期末复习资料及答案
大学高等数学期末复习资料及答案 课程名称：高等数学 出题教师：岳健民 适用班级：本科多学时（不含职教） 一、 单项选择题（15分，每小题3分） 1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（ ） （A ）x Cosx x - （B ）x Sinx （C ）121-x （D ）x x )11(+ 2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（ ） （A ）无驻点 （B ）无拐点 （C ）无极值点 （D ）0)(>'x f 4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()(
（C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -?'=-ξ 5．广义积分)0(>?∞ +a dx a x p 当（ ）时收敛。 （A ）1>p (B)1
+ =x x x y 在区间 单减； 在区间 单增； 4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ ； 5、若dx x f dx x xf a ??=1 01 02 )()(，则=a ； 三、计算下列极限。（12分，每小题6分） 1、x x x x )1(lim +∞→ 2、 2 00 )1(lim x dt e x t x ?-→
华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案
第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．
华南理工大学《高等数学》试卷A+答案
一．填空题（每小题4分，共24分） 1.设 432z x y x =+，则(1,2) d z =3412dx dy + 2.曲线cos :sin x a t y a t z ct =?? Γ=??=?在点 (,0,0)a 的切线方程为,y z x a a c == 3.已知2222 ()(,)0(,)0(,)0 x y xy x y f x y x y x y ?-≠? =+??=? ，则(0,)x f y =y -. 4.函数22z x y =+在点0(1,2)P 处沿从点0(1,2)P 到点1(2,2 3) P +方向的方向导数是123+ 5.设L 为取逆时针方向的圆周229x y +=，则曲线积分 2 (22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? 18π- 6.设L 为直线y x =上点(0,0)到点(1,1)之间的一段，则曲线积分2d L xy s = ?2 4 . 二. （本题7分） 计算二重积分2 22e d x y D xy σ??，其中D 是由1,, 0y x y x ===所 围成的闭区域. =2 1 200 2y x y dy xy e dx ?? ------4’ =1 (2)2e ----------------4’ 三. （本题7分）计算三重积分???Ω d v z ，其中Ω是由22222 2 x y z z x y ?++≤??≥+??所确定. =22 21 20 r r d rdr zdz πθ-??? -------4’ =712 π ----------------------3’ _____________ ________ 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………
《高等数学(下)》平时作业-2020年下半年华南理工大学网络教育
《 2020-2021-1高等数学B （下）作业题 》 第 1 页 （共 2 页） 《高等数学（下）》平时作业 2020年下半年华南理工大学网络教育 一、判断题（期末考试只有5小题） 1. （1）若12,y y 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解, 那么， 1122()y x C y C y =+ 就是该方程的通解.（错） （2）若12,y y 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个线性无关的特解, 那么， 1122()y x C y C y =+ 就是该方程的通解.（对） 2.（1）若两个向量 ,a b 平行，则a b ?0.=（错） （2）若两个向量 ,a b 垂直，则a b ?0.=（对） 3.（1）函数(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数存在，则它在00(,)x y 点全微分存在，反之亦然.（错） （2）函数(,)f x y 在00(,)x y 点全微分存在，则它在00(,)x y 点偏导数存在，反之不成立.（对） 4. （1）设(,) f x y D 在有界闭区域 上连续，，则二重积分 (,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积.（错） （2）设 2222(,) +(,){(,)|9}=∈=+≤，f x y x y x y D x y x y ，则二重积分(,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积.（对） 5. （1）lim 0→∞=n n u 是数项级数1 n n u ∞=∑收敛的充分条件.（错） （2）lim 0→∞=n n u 是数项级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件.（对） 二、填空题（期末考试为选择题） 1. 22x y xye x '+= 属于__ ____方程. 2. ,,(9,0,0),(0,2,0),(0,0,3)______________.x y z 已知平面与轴分别交于,则该平面方程为 3. 函数221(,)ln(25)f x y x y =--定义域为______. 4. 224z x y z Ω=+=若是由旋转抛物面与平面所围成的闭区域,则三重积分
深圳大学大一期末高数线代复习资料
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 深圳大学期末考试试卷 开/闭卷 闭 A/B 卷 A 课程编号 课程名称 高等数学B(1) 学分 4 命题人(签字) 审题人(签字) 2006 年 12 月10日 高等数学B （1）21试卷 一.选择与填空题(每题3分，共18分) 1.当0x →时，)sinx x (x +与2x 比较是（ ） A . 同阶但不等价无穷小 B . 等价无穷小 C . 高阶无穷小 D . 低阶无穷小 2.曲线3x x y 3-=上切线平行于x 轴的点有（ ） A .(0,0) B .(1,2) C .(-1,2) D .(1,-2) 3.若c e x dx )x (f -x 2+=? 则=)x (f （ ）。 A . e x x B . x 2e x C . x 2xe D . )x -2x (e 2-x 4.求极限3()1lim x x x x →∞+-=______________________。 5.设x e 是)x (f 的原函数，则?=dx )x (xf __________。 6.曲线2)1(12--=x x y 的铅垂渐近线是____________。 二.计算题：（每题 6分，共48分） 1.求极限4x 23x x lim 222x -+-→ 2.求极限)x 1sinx 1(lim 0x -→ 3 .e sin tan x y x x =+ 求dx dy 。 4. 设y x e x y +=,y 是x 的函数，求'y ；
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 5.设()e f x y = 求y '' ； 6. 322sin , x y x y =设 求d ； 7. 求2ln(1)x dx +?； 8. 求?-dx e x 3 x 2； 三.设f (x )=??? ????>=<0 1sin 0 (0 sin 1x x x x k x x x 常数） 问当k 为何值时，函数在x =0处连续？为什么？（7分） 四、ln(1) 01x x x x x <+<>+ 利用拉格朗日中值定理证明不等式对一切成立．（7分） 五. 判定曲线x x e y -=的单调性、极值、凹向及拐点 （10分） 六. 某厂每批生产某种商品x 单位的费用为 2005x )x (C += （元） 得到的收益是 201x .010x )x (R -= （元） 求:1.生产10个单位时的边际成本和边际收益. 2.每批应生产多少单位时才能使利润最大。 （10分） 附加题：（（每题10分共30分） 1．2lim 1(1)x x x e x →+∞+ （10分） 2. 求L L 中的最大值. 3. 若()f x 的一个原函数是ln(x ，求()xf x dx ''?