晶体结构 习题
第一章晶体结构
1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。
另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？
解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：
晶格点阵＋基元＝实际晶体结构
3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？
解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。
解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。
从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。
（b）“边心”立方不是布喇菲格子。
从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。
（c）“边心+体心”立方不是布喇菲格子。
从“边心+体心”立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有6个；从边心任一点来看，与它最邻近的点子有2个；从体心点来看，与它最邻近的点子有12个。显然这三种点所处的几何环境不同，因而也不是布喇菲格子，而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。
（d ）“面心四方” 从“面心四方”任一顶点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个；从“面心四方”任一面心点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个，并且在空间的排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因此“面心四方”格子是布喇菲格子，它属
设一种晶体的正格基矢为1a 、2a 、3a ，根据倒格子基矢的定义：
?????????
Ω?=
Ω?=Ω
?=
][2][2][2213132321a a b a a b a a b πππ
式中Ω是晶格原胞的体积，即][321a a a ??=Ω，由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格
矢有一一对应的关系。
7.为什么说晶面指数（321h h h ）和Miller 指数（hkl ）都能反映一个平行晶面族的方向？
解：晶面指数（321h h h ）是以固体物理学原胞的基矢1a 、2a 、3a 为坐标轴来表示面指数的，而Miller 指数（hkl ）是以结晶学原胞的基矢a 、b 、c 为坐标轴来表示面指数的，但它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的，而这三个截距的倒数之比就等于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比，从而反映了一个平行晶面族的方向。 8.试画出体心立方、面心立方的（100），（110）和（111）面上的格点分布。
些对称操作？
解：对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。
晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。
而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。
正八面体中有3个4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面；6个2度轴；6个与2度轴垂直的对称面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。
解：7种典型的晶体结构的配位数如下表1.1所示：
晶体结构 配位数 晶体结构 配位数 面心立方 六角密积 12 氯化钠型结构 6 体心立方 8 氯化铯型结构 8 简立方
6
金刚石型结构
4
11.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为 （1）简单立方
6π；（2）体心立方83π；（3）面心立方6
2π （4）六角密积
62π；（5）金刚石16
3π
。 解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，
则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：
6)
2(34134133
33π
ππα=?=?=R R a R
（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数3/4R a =，则体心立方的致密度为：
83)
3/4(34
23423
3
33πππα=?=?=R R a R （3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 22=，则面心立方的致密度为：
6
2)
22(34
23443
3
33π
ππα=?=?=R R a R
（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，
R a c )3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为：
6
2)3/64(4
)2(3634643634623
23π
ππα=??=??=R
R R c a R （5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a )3/8(=，则金刚石的致密度为：
163)3/8(34
83483
33
33πππα=?=?=R
R a R 12.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
解：我们知体心立方格子的基矢为：
???
?
?
????-+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a k j i a k j i a a a a
根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：
???
?
?
????+=Ω?=+=Ω?=
+=Ω?=)(2][2)(2][2)(2][2213132321
j i a a b k i a a b k j a a b a a a
ππππππ 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒
格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 13. 对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为
j i a a a 2
321+=
j i a a a 2
322+-=
k a c =3
试求倒格子基矢。
解：根据倒格子基矢的定义可知：
][2321321a a a a a b ???=π
)]()2
3
2[()232()
()232(2k j i j i k j i c a a a a c a a ?+-?+?+-=π c a ac
ac 22
32232j i +=π
＝)3
2(2j i +a π
][2321132a a a a a b ???=π
)]()2
3
2
[()232()232()(2k j i j i j i k c a a
a a a a
c ?+-?++
-?=π c a ac
ac 22
32232j i +-=π
＝)3
2(2j i +-a π
][2321213a a a a a b ???=π
)]()2
3
2[()232()
232()232(2k j i j i j i j i c a a a a a a a a ?+-?++-?+=π c a a 2
2
2
3232k
π==k c π2 14. 一晶体原胞基矢大小m a 10
10
4-?=，m b 10106-?=，m c 10108-?=，基矢间夹角
90=α， 90=β， 120=γ。试求：
（1） 倒格子基矢的大小； （2） 正、倒格子原胞的体积；
（3） 正格子(210)晶面族的面间距。 解：(1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为：
ai =1a
)2
3
21(2j i a +-=b
k a c =3
由此可知：
][23213
21a a a a a b ???=π
=abc bc 2
3)2123(
2j i +π
=)3
1(2j i +a π
]
[23211
32a a a a a b ???=π
=abc ac 2
32j π
=
j 3
22?b π ][2321213a a a a a b ???=π=abc ab
2
3232k
π
=k ?c π2 所以
1b ＝
22)31
(12+?a π＝
110108138.134-?=m a π 2b ＝2)32
(2?b π＝
110102092.134-?=m b π 3b ＝
212?c π＝110107854.02-?=m c
π (2) 正格子原胞的体积为：
][321a a a ??=Ω＝)]()2321([)(k j i i c b a ?+
-?＝328106628.12
3
m abc -?= 倒格子原胞的体积为：
][321b b b ??=Ω*
＝)](2)32(2[)31(2k j j i c b a πππ??+＝3303
104918.1316-?=m abc
π (3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：
h h d K π2=
=3210122b b b ++π=j i )3434(42b
a a π
πππ
++ =
m b
a a 1022104412.1)3131()1(1
42-?=++?π
π
15.如图1.36所示，试求：
（1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数；
（2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数；
（
为晶面AGK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为
1:1:11
1:11:11=-，故该晶面的密勒指数为（111）。 晶面FGIH 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1/2，∞和1，则其倒数之比为
1:0:21
1
:1:2/11=∞，故该晶面的密勒指数为（201）。 2/11
16.矢量a ，b ，c 构成简单正交系。证明晶面族)(hkl 的面间距为
222)()()(1
c l b k a h
d hkl ++=
解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：
???
??===k a j a i a c b a 3
21 由此可求得其倒格子基矢为：
???
?
??
???==???===???===???=k k a a a a a b j j a a a a a b i i a a a a a b c ab abc b ac abc a bc abc πππππππππ2)(2][][22)(2][][22)(2][][2321213321132
321321
根据倒格子矢量的性质有：
3
2122b b b K l k h d hkl hkl ++=
=
π
π 222)()()(1
2222c
l
b k a h l c
k b h a ++=
++=
k j i ππππ
17.设有一简单格子，它的基矢分别为i a 31=，j a 32=，)(5.13k j i a ++=。试求： （1） 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？
（2） 该晶体的倒格子基矢；
（3） 密勒指数为（121 （4） 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？ （5） [111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？
解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。 （2）由倒格子基矢的定义可知：
???
?
?
?
???=?=???=-=-?=???=
-=-?=???=k
k a a a a a b k j k j a a a a a b k i k i a a a a a b 5.125.1392][][2)(325.13)(5.42][][2)(325.13)(5.42][][2321213321132321321
πππππππππ （3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（）晶面族的面间距为
3
211
121122122b b b K -+?=
=
π
πd
10
3030352(3
22==
-+=
k j i π
π （4）由于面密度d ρβ=，其中d 是面间距，ρ是体密度。对布喇菲格子，ρ等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为)(321h h h ，则该晶面族的面间距321h h h d 应为最大值，所以有
3
32211223
21321b b b K h h h d h h h h h h ++=
=
π
π
max )2(3
])2([3
222132121321=--++=
--++=
k
j i k j i h h h h h h h h h h π
π
由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距2/3，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。 （5）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为
3
213213213211
11111111111)
()(arccos
a a a a a a a a a a a a R R R R -+?++-+?++=
??=α
53.485.15.15.15.15.45.4)
5.15.15.1()5.15.45.4(arccos
=-+?++-+?++=k
j i k j i k j i k j i
18.已知半导体GaAs 具有闪锌矿结构，Ga 和As 两原子的最近距离d ＝2.45×10-10m 。试求：
(1) 晶格常数；
(2) 固体物理学原胞基矢和倒格子基矢； (3) 密勒指数为(110)晶面族的面间距；
(4) 密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角。
解：(1)由题意可知，GaAs 的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga 原子和一个As 原子，其中Ga 原子处于面心立方位置上，而As 原子则处于立方单元体对角线上距离Ga 原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示： 由此可知：
a d 4
3=
—Ga 原子 —As 原子
故 m d a 101045.23
43
4-??=
=
=m 101059.5-?
(2)由于GaAs 的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：
???
?
?????+?=+=+?=+=+?=+=---)(10795.2)(2)(10795.2)(2)(10795.2)(210310
210
1j i j i a i k i k a k j k j a a a a
其倒格子基矢为：
???
?
?
????-+?=-+=+-?=+-=++-?=++-=--)(10124.1)(2)(10124.1)(2)(10124.1)(2103102101k j i k j i b k j i k j i b k j i k j i b a a a πππ (3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：
m a d 1032111011010795.22
01122-?==?+?+?==
b b b K ππ (4)根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢110K 和111K 之间的夹角，设为α，则有：
3
213213213211
11110111110111011)
111()011(arccos
b b b b b b b b b b b b K K K K ?+?-???+?+??+?-???+?+?=
??=α
＝
55.107)3015.0arccos(=-
19. 如图1.37所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a ，试求：
(1) 正格子基矢和倒格子基矢； (2) 画出第一布里渊区，并求出第一布里渊区的内接圆半径。
解：(1)取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使1a 的方向和i 的方向相同，于是有：
??
?
??+==j i a i a 23221a a a 那么有：
图1.37
???
???
?
=????=-=????=j
k a a a k b j i k a a k a b a a 34)(2)31(2)(221122121ππππ
20.试求面心立方结构、体心立方结构和金刚石结构的几何结构因子；并讨论其衍射相消条
件。
解：（1）在面心立方结构的原胞中包含有4个原子，其坐标为
000，
21210，21021，0212
1
由此可知，其几何结构因子为 )
(22j j j j
lw kv hu n i j
j i
j
j hkl e
f e
f F ++?∑∑==
πλ
π
R S
[
]
)()()
(1l k n i l h n i k h n i e e e f ++++++=πππ
∴[]{2
2
2
)(cos )(cos )(cos 1l k n l h n k h n f
F hkl
++++++=πππ
[]}
2
)(sin )(sin )(sin l k n l h n k h n ++++++πππ 由于
h 、k 、l 和n 都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有
[]2
22
)(cos )(cos )(cos 1l k n l h n k h n f F hkl
++++++=πππ
由此可知，当nh 、nk 和nl 奇偶混杂时，即nh 、nk 和nl 不同为奇数或偶数时，此时
02
=hkl
F ，即出现衍射相消。
（2）在体心立方结构的原胞中包含有2个原子，其坐标为
000和
21212
1
由此可知，其几何结构因子为
)
(22j j j j
lw kv hu n i j
j i
j
j hkl e
f e
f F ++?∑∑==πλ
π
R S
[]
)(1l k h n i e f +++=π
∴[]
[]{}
2
2
2
2
)(sin )(cos 1l k h n l k h n f
F hkl ++++++=ππ
由于
h 、k 、l 和n 都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有
[]2
22
)(cos 1l k h n f F hkl
+++=π
由此可知，当)(l k h n ++为奇数时，此时有02
=hkl
F ，即出现衍射相消。
（3）在金刚石结构的原胞中含有8个原子，其坐标为
000，
414141，21210，21021，02121，414343，434341，43414
3
由此可知，其几何结构因子为
)
(22j j j j
lw kv hu n i j
j i
j
j hkl e
f e
f F ++?∑∑==πλ
π
R S
?
?????+++++++=+++++++++++)33(2)33(2)33(2)
()()()(21l k h n i l k h n i l k h n i l k n i l h n i k h n i l k h n i e e e e e e e f π
ππππππ[]
)()()
()(211l k n i l h n i k h n i l k h n i e e e
e f ++++++++??
????+=ππππ
∴[{+++??
???
???????????+++??????+++=)(cos 1)(2sin )(2cos 12
22
2
k h n l k h n l k h n f F hkl
πππ
][]}
2
2
)(sin )(sin )(sin )(cos )(cos l k n l h n k h n l k n l h n ++++++++++πππππ
由于
h 、k 、l 和n 都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有
[]2
2
22
)(cos )(cos )(cos 1)(2cos 1l k n l h n k h n l k h n f F hkl
++++++??
????+++=ππππ
由此可知，当nh 、nk 和nl 奇偶混杂时，即nh 、nk 和nl 不同为奇数或偶数时或者当
nh 、nk 和nl 全为偶数，且)12(4)(+=++m l k h n （其中m 为整数）时，有有02
=hkl
F ，
即出现衍射相消。
21.用钯靶αK X 射线投射到NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl 晶胞中Na ＋
与Cl －
的距离为2.82×10-10m ，晶体密度为2.16g/cm 3。求： （1） X 射线的波长； （2） 阿伏加德罗常数。
解：（1）由题意可知NaCl 晶胞的晶胞参数1010
1064.510
82.22--?=??=a m ，又应
为NaCl 晶胞为面心立方结构，根据面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶面族的面指数为（111），而又易求得此晶面族的面间距为
1010
2
221111026.33
1064.5111--?=?=
++=
a d m
又根据布拉格定律可知：
91011110702.69.5sin 1026.32sin 2--?=??== θλd m
（2）由题意有以下式子成立
NaCl A M a N =?ρ4
3
∴ 23
6
310310038.610
16.2)1064.5(5.5844?=????==
-ρa M N NaCl A