线性规划知识总结

1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域

（1）直线0:=++C By Ax l 把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。

（2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。对于二元一次不等式b kx y +≥表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的上方（包括直线y ＝kx ＋b ）。对于二元一次不等式b kx y +≤表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的下方（包括直线y ＝kx ＋b ）。

注意：二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax 与二元一次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。 2. 线性规划

我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问题的基本步骤是：

（1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。

（2）对目标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则

取得最大值（或最小值）时，z 也取得最大值（或最小值）；若b ＜0，则反之。

（3）一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。（4）注意实际问题中的特殊要求。

说明：1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。

知识点一：二元一次不等式（组）表示的平面区域例1：基础题

1. 不等式组201202

y x x y -->??

?-+≤??表示的平面区域是

（）

A B C D

2. 如图，不等式组50

03x y x y x -+≥??

+≥??≤?

表示的平面区域面积是

________________。

3. 如图所示的△ABC ，其平面区域对应的不等式组是________________。

（其中A 、B 、C 三点坐标分别是A （1，2），B （4，1），C （－2，－3））

【思路分析】

1. 表示的平面区域在直线02>--x y 02=--x y 的上方，不包括直线2--x y ＝0

022

0221≤+-≤+-y x y x 表示的平面区域在直线的上方，包括直线22

+-y x ＝0，故不等式组表示的平面区域是其

公共部分。

2. 先画出不等式组表示的平面区域，再根据区域的形状，计算出面积。

3. 分别写出AB ，AC ，BC 的直线方程，根据对应的区域写出不等式组，注意分析是否包括AB 、AC 、BC 这三条直线。

【解题过程】 1. 不等式组表示的平面区域是不等式02x 2

02-x -y ≤+->y ，的公共部分，故选D 。 2. 求出A （3，8）B （3，－3），C )25,25(-。,11||=AB C 点到AB 的距离是

11。 4

121

2111121=

??=

∴?ABC S 3. AB 的直线方程是：x ＋3y －7＝0，AC 的直线方程是：3y －5x －1＝0，BC 的直线方程是：

3y －2x ＋5＝0。

故平面区域对应的不等式组是??

??≥+-<--≤-+0523*******x y x y y x 。

【解题后的思考】

画不等式组表示的平面区域时应注意是否包括此直线，求平面区域的面积时可根据区域的形状，采用适宜的方法求解。

例2：中档题

1. 点P （a ，4）在不等式033>-+y x 表示的平面区域内，且到直线022=+-y x 的距离是5，则点P 的坐标是________。

2. 如图，若不等式组??

??≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区

域被直线3

+=kx y 分为面积相等的两部分，则k ＝___________。

3. 如图，在平面直角坐标系中，不等式组

??≥+-≤-≥-+010

101y ax x y x （a ＞－1为常数）表示的平面区域面积等于2，则a ＝________。

【思路分析】

1. 根据点P 到直线022=+-y x 的距离建立关于a

的方程，再根据P 点在不等式033>-+y x 表示的区域内求出a 的取值范围，进而决定a 的取舍。

2. 画出不等式组表示的平面区域，根据直线34+

=kx y 过定点3

,0(）再确定直线所通过的区域内的某一定点，才能保证此直线平分该区域。然后把区域内的定点坐标代入直线方程，即可求

k 的值。

3. 根据区域面积建立等量关系，进而求a 的值。【解题过程】 1. 310343->?>-+a a Θ.

1115)

2(1|

28|22==?=-++-a a a 或

）或（,411)4,1(P ∴

2. 由图得：不等式组表示的平面区域是ABC ?的边界内部，且包括边界，直线3

=kx y 过定点A 34

0(）（即直线x ＋3y ＝4与y 轴的交点），要使直线3

+=kx y 平分该区域，则直线过BC 的中点，易求BC 的

中点坐标为)25

,21(。

故3

7342125=?+?=k k

3. 由已知，得：)1,1(1

+???

?=+=a A x ax y

由)0,1(011B y x x ????=-+=，)1,0(011C y x ax y ??

??=-++=

32)1(2

|1|21=?=+=+=∴?a a a S ABC 。

【解题后的思考】

解决与本例题型相关问题的关键在于：一是理解点在平面区域内的含义（即点的坐标满足不等式），二是准确地画出平面区域，判断可行域的形状。

例3：应用与创新题 1. 已知复数yi x z +=，（),R y x ∈，在复平面内对应的点是M ，若]4,0[],3,0[∈∈y x ，则

点M ),(y x 的坐标满足不等式组??

??≥≥≤-+000

32y x y x 的概率是_____________。

2. 实数n m ,满足条件???

??≤≤-<≤-≤-+1

11101n m n m ，则函数n mx y +=的图像经过第一、二、三象限的概

率是_______。

【思路分析】

1. 点M 的坐标满足不等式组???

??≥≥≤-+0

0032y x y x ，等价于点M 落在不等式组表示的平面区域内，

而对任意的点M 的坐标满足]4,0[],3,0[∈∈y x 是一个矩形区域，故点M 的坐标满足不等式组的概率是不等式组表示的区域面积1S 与矩形区域面积2S 的比。（几何概率） 2. 画出不等式组??

??≤≤-≤≤-≤-+11110

1n m n m 表示的平面区域，函数n mx y +=的图像经过第一、二、三

象限0,0>>?n m ，即满足条件的区域是第一象限的部分。故所求的概率是第一象限的区域面积与不等式组表示的平面区域面积的比。

【解题过程】 1. 任意点M （x ，y ）落在矩形区域ABCD 内，区域面积122=S ，满足条件的区域OAD ?（如图）的面积4

233211=??=

S 。

故所求的概率是16

1249

==P

2. 画出不等式组??

??≤≤-≤≤-≤-+111101n m n m 表示的平面区域（如图），函数n mx y +=图像经过第一、二、

三象限0,0>>?n m ，故满足条件的区域是第一象限的阴影部分。

故所求的概率是7

721

==p

【解题后的思考】解题过程中，几何概率知识常与平面区域面积问题联系在一起，解决此类问题的关键是准确地画出基本事件总数（无限个）对应的区域和某一事件A 发生所对应的区域，设它们的面积分别是S 、1S ，则事件A 发生的概率S

S P 1

。

知识点二：求目标函数的最值及线性规划知识的实际应用例4：基础题

1. 设变量x ，y 满足不等式组：??

??≥≤+-≤-1255334x y x y x

则y x z +=2的最大值是____________，最小值是_____________。

2. 已知点P （x ，y ）满足条件：k k y x x

y x (020??

??≤++≤≥是常数）若y x z 3+=取得最大值是8，则k ＝_______________。

【思路分析】

1. 先画出不等式组表示的平面区域，（如图）

目标函数2z x y =+z x y +-=?2，此时z 是直线z x y +-=2在y 轴上的截距。故z 的最值就是直线z x y +-=2在y 轴上的截距的最值。

作直线:0l x y 2-=（此时z ＝0，即x ＝0，y ＝0），然后作与直线0l 平行的直线。找到通过区域上某一点，能使直线z x y +-=2在y 轴上的截距的最大、最小值的点（x ，y 的值）就是目

标函数的最优解。最后把点的坐标代入目标函数方程即可求z 的最值。

2. 画出不等式组表示的平面区域，在区域内找出使目标函数y x z 3+=取得最大值的点，即可求出k 的值。

【解题过程】

1. 作出不等式组表示的平面区域（如图）

作直线:0l x y 2-=（此时z ＝0，即x ＝0，y ＝0），然后作与直线0l 平行的直线，当该直线通过B 点时直线z x y +-=2在y 轴上的截距最小。该直线通过A 点时，直线z x y +-=2在y 轴上的截距最大。

易求A （5，2），B （1，1）。

故

max 25212z =?+=

min 2113z =?+=

2. 画出不等式组表示的平面区域

目标函数y x z 3+=在点B （)3

,3k

k --处取得最大值是8

68)3

(33-=?=-?+-

∴k k

k 【解题后的思考】

对于求线性目标函数的最值问题仍是先要准确地画出可行域，作出目标函数通过原点的直线

0l ，然后作平行于直线0l 的直线，在可行域内找到最优解，一般来说，可行域的边缘点有可能

就是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。

例5：中档题。

已知不等式组??

??≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求下列目标函数的最

值或取值范围。

（1）求z ＝x ＋2y －4的最大值。

（2）求2510z 2

+-+=y y x 的最小值。（3）求1

2++=

x y z 的取值范围。

【思路分析】

（1）只要求出线性目标函数P ＝x ＋2y 的最大值就可以求出z 的最大值。

（2）2510z 2

+-+=y y x ＝（x －0）2＋（y －5）2，故z 可以看作是可行域内任意一点P （x ，y ）到定点Q （0，5）的距离的平方。即要求z 的最小值，只要求出|PQ|2的最小值即可。

（3）由1

12++=x y z ＝)1()

21(2----?

x y 可知：z 表示可行域内的任意一点P （x ，y ）与定点T )21,1(--的连线的斜率的2倍，故要求z 的取值范围，只要求出斜率)

1()

21(----=x y k 的取值范围即可。

【解题过程】

（1）利用图解法求线性目标函数P ＝x ＋2y 的最大值。

由已知得：A （1，3），B （3，1），C （7，9），令x ＋2y ＝0，并把该直线向上平移，显然过可行域内的点C 时，P ＝x ＋2y 最大，此时P 的最大值是25，即z 的最大值是21。

（2）过定点Q 作AC 的垂线（如图），垂足是M 。即|QM|是|PQ|的最小值。

由点到直线距离公式得：|MQ|＝

250|=

+-。故z 的最小值是2

。

（3）由图知：定点T （)2

1,1--与可行域

内的点连线的斜率最大是TA k ，最小是TB k

由斜率公式得：TA k ＝)1(1)21(3----4

7=，83)1(3)

21(1=----=TB

k 故z 的取值范围是：22

432≤≤?≤≤?z k z k TA TB .

【解题后的思考】

在解题过程中，对于非线性目标函数的最值问题常和距离、斜率等问题联系在一起，解决此

类问题时首先要对目标函数进行变形，将其转化为与距离、斜率等相关的问题。在准确画出可行域的情况下，利用数形结合的数学思想解决问题。

例6：实际应用题

制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30％和10%。该投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

【思路分析】

根据已知可设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，并根据已知条件建立x，y 的不等关系，即线性约束条件及目标函数。

【解题过程】

设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目。

则x、y满足的线性约束条件为：

目标函数为z＝x＋0.5y。

上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域。

作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点。

由，得到x ＝4，y ＝6，此时z ＝1×4＋0.5×

6＝7（万元）。

答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，可使可能的盈利最大。【解题后的思考】

对于用线性规划知识解决实际应用的问题，关键是根据已知条件求出线性约束条件和线性目标函数，由于解决线性规划问题多是依据图像完成的，因此作图尽可能地要规范。

从近几年的新课标高考命题来看，考试中常以选择、填空题的形式考查用不等式组表示平面区域图形的形状及求目标函数的最值问题，同学们只要能准确地画出图形，就能很容易地解决问题。在求线性目标函数最值问题时，要注意线性目标函数的斜率与区域边界斜率的大小。当平面区域是封闭区域时，一般都可以在区域的顶点处取得最值，这类题目易得分。对用线性规划知识解决实际问题的题目则要根据已知条件建立线性约束条件和目标函数，然后画出规范的图形，进而求解。对于逆向考查线性规划知识的题型，即已知线性目标函数的最值求约束条件或目标函数中的参数问题，在解题过程中应注意数形结合思想的应用。这类问题已逐渐成为新课标高考命题的新方向。

一、预习新知

1. 排列与组合有何区别及联系？

2. 二项式定理的内容是什么？

二、预习点拨

1. 排列的定义是____________________________________。

2. 排列数的公式是=n

m A __________________＝__________________。当n ＝m 时，=n

m A __________________。

3. 组合的定义是____________________________________。

【反思】（1）组合与排列的区别是什么？

（2）两个相同的组合要满足什么条件？

4. 组合数的定义是____________________________________。

5. 组合数的公式是_________________________________________==n

m C 。

6. 解决排列组合问题有哪些方法？

7. 二项式定理的内容是：____________________________________ 8. 二项式的系数是___________，通项公式是_____________。

9. 二项式n

b a )(+的展开式的特点是（1）__________________，（2）__________________，（3）__________________。

【反思】阅读教材，你能了解到二项式定理的应用有哪些？ 10. 二项式系数有哪些性质？（1）____________________________)2(____,____________________。 11. 杨辉三角与二项式系数有什么关系？（1）二项式系数与项的系数有何区别？

（2）你能用二项式系数的性质证明“一个集合中含有n 个元素，其子集个数是n 2个”这个结论吗？

一、选择题

1. 不等式3260x y +-<表示的平面区域是

（）

A B C D

2. 由不等式组??

??≤≥+-≥++00101x y x y x 表示的平面区域的面积是（）

A. 2

B. 1

C. 2

D. 4

3. 已知x ，y 满足不等式组??

??-≥≤+≤11y y x x y ，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是（）

A. 3

B. 2

C. 21

D. 3

4. 给出平面区域M ，其中A （5，3），B （2，1），C （1，5）如图所示，若使目标函数z ＝ax

＋y ，（a ＞0）取得最小值的最优解有无穷多个，则a 的值是（）

A. 4

B. 2

21 D. 3

2 5. 不等式组??

?≤≤≥++3

))(5-x x y x y （表示的平面区域的形状是（）

A. 三角形

B. 直角梯形 C . 梯形 D. 矩形

二、填空题

6. 若不等式ax ＋（2a －1）y ＋1＜0 表示直线ax ＋（2a －1）y ＋1＝0的下方区域，则实数a 的取值范围为________。

7. 在约束条件：2x ＋5y ≥10， 2x －3y ≥－6， 2x ＋y ≤10下，求z ＝x 2＋y 2 的最小值是___________。

8. 不等式组??

???≤--≥++≥+-0220202y x y x y x 表示的平面区域为D ，若圆O ：2

22r y x =+所有的点都在区域

D 内，则圆O 面积的最大值是____________。

9. 若线性目标函数y x z +=在线性约束条件??

??≤≤-≤-+a y y x y x 0203下取得最大值时的最优解只有一

个，则a 的取值范围是_____________________。

三、计算题

10. 已知 x 、y 满足约束条件??

??≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x

（1）求20842

2+-++=y x y x u 的最小值。

（2）求2

-+=x y w 的最大值。

11. 某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱可获利润40元，B 种糖果每箱可获利润50

元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果在生产过程中所需平均时间（单位：分钟）

混合

烹调

包装

A 1 5 3

B 2 4 1

每种糖果的生产过程中，用于混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用30机器小时，包装的设备只能用15机器小时，试问每种糖果各生产多少箱可获得最大利润。

一、选择题

1. D 解析：不等式3260x y +-<表示的平面区域在直线3260x y +-=的左下方。

2. B 解析：不等式组表示的平面区域如图中的黄色部分。

其面积1212

=??=

S 3. A 作出可行域△ABC 表示的区域，且求得

(,),(1,1),(2,1)22

A B C ---。作出直线0:20l x y +=，再将直线0l 平移，当直线0l 的平行

线2l 过C 点时，可使2z x y =+达到最大值。

∴

max.22(1)3z =?+-=

4. A 解析：目标函数z ax y +-=的斜率是k ＝－a ＜0，要使其最小值的最优解有无穷多个，则4-==BC k k

4=∴a

注：最大值的最优解有无穷多个时为AC k a =- 5. C 解析：画出平面区域即可得到答案。

二、填空题

6. ),21(+∞ 解析：只要使得21

012>

?>-a a 即可。

7. 29

100 解析：线性约束条件2x ＋5y ≥10，2x －3y ≥－6，2x ＋y ≤10所表示的区域恰好围成

一个三角形区域（含边界），其三个顶点为（5，0），（3，4），（0，2），而z ＝x 2＋y 2表示原点到点（x ，y ）的距离d 的平方，

故问题等价于原点到可行域内的点的距离d 的平方的最小值，

由图形不难得出当d 为原点到直线2x ＋5y ＝10的距离时，所求值最小，最小值为29

100

。 8.

4π

解析：画出平面区域D ，圆O 所有的点都在区域D 内，圆心O 到直线022=--y x 的距离d 是圆的半径的最大值。

25|2|.max =-=

=∴d r ，5

4)5

2max,ππ=

=∴S 。

9. ]2,(-∞ 解析：如图，要使目标函数取得最大值时的最优解只有一个，则直线y ＝a 必在点A 的下方。

三、计算题

10. 作出如图所示的平面区域。

（1）20842

+-++=y x y x u 2

)4()2(-++=y x 故u 表示区域内的点与定点P （－2，4）的距离的平方。故P 点到直线x －y ＋1＝0的距离的平方就是u 的最小值，

142|=

+--=

∴d 2

252min =

=∴d u

（2）22-+=x y w ＝2

)

2(---x y 表示区域内的点P

与定点Q （2，－2）连线的斜率。

易求)0,3(),1,2(),8

,89(C B A --，

由图可知：QC k 最大。

故=.max w 23

2=---=

QC k 11. 解：设生产A 种糖果x 箱，B 种糖果y 箱，可获得利润z 元，则此问题的数学模式在约束条件

272054180000

x y x y x y +≤??+≤?

≥??≥?下，求目标函数4050z x y =+的最大值，

作出可行域，其边界:0OA y = :39000AB x y +-=

:5418000BC x y +-=，:27200CD x y +-=，:0DO x =

由4050z x y =+得4550z y x =-+，它表示斜率为45-，截距为50z 的平行直线系，则50

z 越大，z 越大，从而可知直线过C 点时截距最大，z 取得最大值。

解方程组2720

(120,300)541800x y C x y +=???

+=?

∴max 401205030019800z =?+?=，即生产A 种糖果120箱，生产种糖果300箱，

可获得最大利润19800元。