培训班数学老师面试题(超经典)

尚尚教育笔试（数学） 一、选择题（参考时间8分钟） 1、某种果树前x 年的总产量y 与x 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前x 年的年平均产量最高，则x 的值为（ ）

A ．3

B ．5

C ．7

D ．9

2、有3张边长为a 的正方形纸片，4张边长分别为a 、b(b ＞a)的矩形纸片，5张边长为b 的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）

A ．a ＋b

B ．2a ＋b

C ．3a ＋b

D ．a ＋2b

3、函数3

12-+-=x x y 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x=3 B ．x ≤2 C ．x<2且x ≠3 D ．x ≤2且x ≠3

4、关于x 的一元二次方程0)5(52=-+-m mx x 的两个正实数根分别为x1、x2，且7212=+x x ，则m 的值是（ ）

A ．2

B ．6

C ．2或6

D ．7

5、如图，在等腰直角△ACB 中, ∠ACB ＝90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE ＝90°，DE 交OC 于点P ．则下列结论：

(1)图形中全等的三角形只有两对；

(2)△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；

(3)CD ＋CE ＝2OA ；

(4)AD 2＋BE 2＝2OP?OC．其中正确的结论有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题（参考时间12分钟） 1、若关于m 的不等式组m -a 30,2m +4￡1

ìí?,恰有三个整数解，则关于x 的一次函数y =14x -a 的图像与反比例函数y =3a -4x

的图像公共点的个数为 。 2、在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8。过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的T 处，折痕为MN ．当点T 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动．若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上移动，则线段AT 长度的最大值与最小值之和为_________ (计算结果不取近似值)．

3、设S 1=1+112+122,S 2=1+122+132,S 3=1+132+142,…, S n =1+1n 2+1(n +1)

2

设S =S 1+S 2+...+S n ，则S=_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．

4、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF FD =13

，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF=2，AF=3。给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=52；④S△DEF=4。其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）。

5、如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm2，已知y 与t 的函数关系的图象如图2(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论：

①AD ＝BE ＝5cm ；②当0＜t≤5时，y =25t 2；③直线NH 的解析式为y =-25

t +27； ④若△ABE 与△QBP 相似，则t =94

秒，其中正确的是 。（填写序号）

（3题图）

三、几何证明（参考时间10分钟）

1、如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 内接圆⊙O ，AC BD ⊥于点H ，P 为CA 延长线上的一点，且PDA ABD ∠=∠.

（1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由：

（2）若3tan 4ADB ∠=，433PA AH -=，求BD 的长；

（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积.

尚尚教育笔试（数学答案解析）

一、选择题（参考时间8分钟）

1、某种果树前x 年的总产量y 与x 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前x 年的年平均产量最高，则x 的值为（ C ）

A ．3

B ．5

C ．7

D ．9

【解析】：由已知，图象中表示某种果树前x 年的总产量

y 与x 之间的关系，可分析出平均产量的几何意义，结合图象

可得答案．

2、有3张边长为a 的正方形纸片，4张边长分别为a 、b(a ＞b)的矩形纸片，5张边长为b 的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为（ B ）

A ．a ＋b

B ．2a ＋b

C ．3a ＋b

D ．a ＋2b

【解析】：根据3张边长为a 的正方形纸片的面积是3a 2，4张边长分别为a 、b （a ＞b ）的矩

形纸片的面积是4ab ，5张边长为b 的正方形纸片的面积是5b 2，得出2a 2+4ab+4b 2=（2a+b ）2，

再根据正方形的面积公式即可得出答案．

3、函数3

12-+-=x x y 中自变量x 的取值范围是（ B ） A ．x=3 B ．x ≤2 C ．x<2且x ≠3 D ．x ≤2且x ≠3

【解析】：略

4、关于x 的一元二次方程0)5(52=-+-m mx x 的两个正实数根分别为x1、x2，且7212=+x x ，则m 的值是（ B ）

A ．2

B ．6

C ．2或6

D ．7

【解析】：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系和两根都为正根得到x1+x2=m ＞0，x1·x2=5（m-5）＞0，则m ＞5，由2x1+x2=7得到m+x1=7，即x1=7-m ，x2=2m-7，于是有（7-m ）（2m-7）=5（m-5），然后解方程得到满足条件的m 的值．

5、如图，在等腰直角△ACB 中, ∠ACB ＝90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE ＝90°，DE 交OC 于点P ．则下列结论：

(1)图形中全等的三角形只有两对；

(2)△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；

(3)CD ＋CE ＝2OA ；

(4)AD 2＋BE 2＝2OP?OC．其中正确的结论有（ C ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【解析】结论（1）错误．因为图中全等的三角形有3对：分别为△AOC ≌△BOC ，△AOD ≌△COE ，△COD ≌△BOE ．

结论（2）正确．由全等三角形的性质可以判断：

S 四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC＝12

S△ABC；

结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断：∵△△AOD≌△COE，∴

CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=2OA

结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断：二、填空题（参考时间12分钟）

2、若关于m的不等式组

m-a30,

2m+4￡1

ì

í

?

,恰有三个整数解，则关于x的一次函数y=

1

4

x-a的图像与

反比例函数y=3a-4

x

的图像公共点的个数为一个或两个。

【解析】：根据不等式组

m-a30,

2m+4￡1

ì

í

?

恰有三个整数解，可得出a的取值范围；联立一次函数及

反比例函数解析式，利用二次函数的性质判断其判别式的值的情况，从而确定交点的个数．3、在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8。过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为14-27(计算结果不取近似值)．

【解析】：关键在于找到两个极端，即AT取最大或最小值时，点M或N的位置．经实验不难发现，分别求出点M与A重合时，AT取最大值6和当点N与C重合时，AT的最小值8-27．所以可求线段AT长度的最大值与最小值之和．

3、设S

1=1+

1

12

+

1

22

,S

2

=1+

1

22

+

1

32

,S

3

=1+

1

32

+

1

42

,…, S

n

=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

设S=S

1+S

2

+...+S

n

，则S=

n2+2n

n+1

(用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

【解析】：S

n =

[n(n+1)+1]2

n2(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

,

S n =

[n(n+1)+1]2

n2(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

,所以S=

n2+2n

n+1

4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF

FD

=

1

3

，连接AF

并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3。给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；

③tan∠E=

5

2

；④S△DEF=4。其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）。

【解析】：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；

②由=，CF=2，可求得DF 的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；

③由勾股定理可求得AG 的长，即可求得tan∠ADF 的值，继而求得tan∠E=

； ④首先求得△ADF 的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE 的面积，继而求得S△DEF=4．

5、如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm2，已知y 与t 的函数关系的图象如图2(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论：

①AD ＝BE ＝5cm ；②当0＜t≤5时，y =25t 2；③直线NH 的解析式为y =-25

t +27； ④若△ABE 与△QBP 相似，则t =94

秒，其中正确的是 ①②④ 。（填写序号） 【解析】：据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，从而得到BC 、BE 的长度，再根据M 、N 是从5秒到7秒，可得ED 的长度，然后表示出AE 的长度，根据勾股定理求出AB 的长度，然后针对各小题分析解答即可．

（3题图）

三、几何证明（参考时间10分钟）

1、（2013.成都）如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 内接圆⊙O ，AC BD ⊥于点H ，P 为CA 延长线上的一点，且PDA ABD ∠=∠.

（1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由：

（2）若tan DADB =34，PA =43-33

AH ，求BD 的长； （3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积.

【解析】：（1）相切；首先连接DO 并延长交圆于点E ，连接AE ，由DE 是直径，可得∠DAE 的度数，

又由∠PDA=∠ABD=∠E ，可证得PD ⊥DO ，即可得PD 与圆O 相切于点D ；

（2）253；首先由tan DADB =34，可设AH=3k ，则DH=4k ，又由PA =43-33

AH ，易求 得∠P=30°，∠PDH=60°，连接BE ，则∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DE ?cos30°=253；

（3）900+1753

2

；由（2）易得，又由PD2=PA×PC，可得方程：（8k）2=（43﹣3）k×

[43k+4

3

（253﹣4k）]，解此方程即可求得AC的长，继而求得四边形ABCD的面积。