高考二轮复习文科数学完全复习教师版
专题1 函数与导数
一、函数
1.函数的三要素是什么?
定义域、值域和对应关系是函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先”. 2.求函数的定义域应注意什么?
求函数的定义域时,若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组).在实际问题中,除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.已知f (x )的定义域是[a ,b ],求
f (
g (x ))的定义域,是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围,而已知f (g (x ))的定义域是[a ,b ],指的是x ∈[a ,b ].
3.判断函数的单调性有哪些方法?
单调性是函数在其定义域上的局部性质.常见判定方法:①定义法,取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有通分、配方、因式分解;②图象法;③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;④导数法.
4.函数的奇偶性有什么特征?
奇偶性的特征及常用结论:①若f (x )是奇函数,0在其定义域内,则f (0)=0.②f (x )是偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称;f (x )是奇函数?f (x )的图象关于原点对称.③奇函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相反的单调性.④若f (x+a )为奇函数,则f (x )的图象关于点(a ,0)对称;若f (x+a )为偶函数,则f (x )的图象关于直线x=a 对称.
5.指数函数、对数函数的图象与性质有哪些?
指数函数与对数函数的图象和性质:
指数函数y=a x
对数函数y=log a x
图象
性质
当0
0
0
a>1,
当x>0时,y>1; 当x<0时,0
当x>1时,y>0; 当0 6.函数图象的推导应注意哪些? 探寻函数图象与解析式之间的对应关系的方法: (1)知图选式:①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;②从图象的变化趋势,观察函数的单调性;③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;④从图象的循环往复,观察函数的周期性. (2)知式选图:①从函数的定义域,判断图象左右的位置,从函数的值域,判断图象的上下位置;②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;③从函数的奇偶性,判断图象的对称性;④从函数的周期性,判断图象的循环往复. 7.确定函数零点的常用方法有哪些? 函数零点个数的判断方法:(1)直接法:令f (x )=0,则方程解的个数为函数零点的个数.(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求曲线f (x )在[a ,b ]上是连续的,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图象,常会通过分解转化为两个函数的图象,然后通过数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 二、导数 1.如何利用导数的方法研究函数的单调性?利用导数研究函数的单调性有什么应用? 在某个区间(a ,b )内,如果f'(x )>0(f'(x )<0),那么函数y=f (x )在这个区间内单调递增(单调递减). 利用导数研究函数单调性的应用:(1)利用导数判断函数的图象.(2)利用导数解不等式.(3)求参数的取值范围:①y=f (x )在(a ,b )上单调,则(a ,b )是相应单调区间的子集.②若函数单调递增,则f'(x )≥0;若函数单调递减,则 f'(x )≤0. 2.如何判断函数的极值?如何确定函数的最值? 当f'(x 0)=0时,若在x 0附近左侧f'(x )>0,右侧f'(x )<0,则f (x 0)为函数f (x )的极大值;若在x 0附近左侧f'(x )<0,右侧f'(x )>0,则f (x 0)为函数f (x )的极小值. 将函数y=f (x )在[a ,b ]上的各极值与端点处的函数值f (a ),f (b )比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 3.利用导数可以解决哪些不等式问题? (1)利用导数证明不等式: 证明f (x ) (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题: ①f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立?I 是f (x )>g (x )的解集的子集?[f (x )-g (x )]min >0(x ∈I ); ②?x ∈I ,使f (x )>g (x )成立?I 与f (x )>g (x )的解集的交集不是空集?[f (x )-g (x )]max >0(x ∈I ); ③对?x 1,x 2∈I ,f (x 1)≤g (x 2)?f (x )max ≤g (x )min ; ④对?x 1∈I ,?x 2∈I ,f (x 1)≥g (x 2)?f (x )min ≥g (x )min . 函数是一条主线,贯穿于整个高中数学,导数是重要的解题工具,是解决函数问题的利器,因此,函数与导数在高考数学中的地位不言而喻.本专题内容也是高考中重要的考点之一,从近年高考的命题情况来看,本专题在高考分值中占20%左右,试题的易、中、难比例相当,选择题、填空题和解答题均有考查. 一、选择题和填空题的命题特点 (一)考查函数图象的判断及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的解析式、定义域、值域及单调性、奇偶性等性质的综合. 1.(2018·全国Ⅱ卷·文T3改编)函数 f (x )=5x -5-x x 2 的图象大致为( ). 解析?∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=5-x-5x =-f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A; x2 又当x>0时,5x>1>5-x,∴f(x)>0,排除D;f(2)>1,排除C.故选B. 答案? B 的部分图象大致为(). 2.(2017·全国Ⅰ卷·文T8改编)函数y=sin2x 1+cosx 解析?因为函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以选项C,D错误; 又当x=0时,y=0,所以选项B错误.故选A. 答案? A (二)考查函数的基本性质及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性及图象的推理能力等. 3.(2018年·全国Ⅱ卷·文T12改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=(). A.-2018 B.0 C.2 D.50 解析?∵f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x), ∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0, ∴f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即函数f(x)是周期为4的周期函数. ∵f(1)=2, ∴f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=504[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C. 答案? C (三)考查基本初等函数的性质及应用.试题难度较大,综合考查基本初等函数的性质与图象. 4.(2018·全国Ⅲ卷·文T16改编)已知函数f(x)=log2(√1+x2-x)+2,f(a)=3,则f(-a)=. 解析?因为f(x)log=2(√1+x2-x)+2, 所以f(x)+f(-x)=log2(√1+x2-x)+2+log2[√1+(-x)2-(-x)]+2=log2(1+x2-x2)+4=4. 因为f(a)=3,所以f(-a)=4-f(a)=4-3=1. 答案? 1 5.(2018·全国Ⅰ卷·文T13改编)已知函数f(x)=log3(x2+a),若f(2)=1,则a=. 解析?∵f(2)=1,log∴3(4+a)=1,∴4+a=3,∴a=-1. 答案?-1 6.(2017·全国Ⅱ卷·文T8改编)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间是(). A.(-1,1] B.[1,3) C.(-∞,1] D.[1,+∞) 解析?令t=-x2+2x+3,由t>0,求得-1 故函数的定义域为(-1,3),且y=ln t, 故本题为求函数t=-x2+2x+3在定义域内的单调递减区间. 利用二次函数的性质求得t=-(x-1)2+4在定义域内的单调递减区间为[1,3),故选B. 答案? B (四)考查函数零点的判断及应用,同时考查函数与方程的思想、转化思想及数形结合思想,试题难度较大. 7.(2017·全国Ⅲ卷·文T12改编)已知函数f(x)=x2-4x+a(10x-2+10-x+2)有唯一零点,则a=(). A.4 B.3 C.2 D.-2 解析?函数f(x)有唯一零点等价于方程4x-x2=a(10x-2+10-x+2)有唯一解, 等价于函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象只有一个交点. 当a=0时,f(x)=x2-4x,此时函数有两个零点,矛盾; 当a<0时,由于y=4x-x2在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最高点为B(2,2a),由于 2a<0<4,所以此时函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象不可能只有1个交点,矛盾; 当a>0时,由于y=4x-x2在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最低点为B(2,2a),由题意可知点A与点B重合时满足条件,即2a=4,解得a=2,符合条件.故选C. 答案? C (五)考查导数的几何意义及简单的导数计算.导数的几何意义一直是高考的热点和重点,试题综合考查导数的计算及直线方程的知识,难度较小. 8.(2018·全国Ⅰ卷·文T6改编)设函数f(x)=x3+(a+1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为. 解析?因为函数f(x)是奇函数,所以a+1=0,解得a=-1,所以f(x)=x3-x,f'(x)=3x2-1,所以f'(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=-x. 答案?y=-x 二、解答题的命题特点 在全国卷中,函数与导数的综合试题一般为第21题,是全卷的压轴题.试题难度较大,综合性强,主要考查函数单调性的判断,函数零点个数的判断,极(最)值的应用,恒成立问题,不等式的证明等. 1.(2018·全国Ⅰ卷·文T21改编)已知函数f (x )=a e x +ln x+1. (1)设x=2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间; (2)证明:当a ≤-1e 时,f (x )≤0. 解析? (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ea x +1x . 由题设知,f'(2)=0,所以a=-12e 2 . 从而f (x )=-12e 2 e x +ln x+1, 则f'(x )=-12e 2e x +1x . 当0 所以f (x )在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减. (2)当a ≤-1e 时,f (x )≤-e x e +ln x+1. 设 g (x )=-e x e +ln x+1,则 g'(x )=-e x e +1 x . 当0 时,f (x )≤0. 2.(2017·全国Ⅰ卷·文T21改编)已知函数f (x )=e x (e x -a )-a 2 x ,其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性; (2)若f (x )≥0,求a 的取值范围. 解析? (1)f'(x )=e22x -ea x -a 2=(e2x +a )e (x -a ). ①若a=0,则f (x )=e 2x ,其在R 上单调递增. ②若a<0,则由f'(x )=0,得x=ln (-a 2). 当x ∈(-∞,ln (-a 2))时,f'(x )<0;当x ∈(ln (-a 2),+∞)时,f'(x )>0. 故f (x )在(-∞,ln (-a 2 ))上单调递减,在(ln (-a 2 ),+∞)上单调递增. (2)①当a=0时,f (x )=e 2x ≥0恒成立. ②若a<0,则由(1)得,当x=ln (-a 2)时,f (x )取得最小值,最小值为f (ln (-a 2))=a 2[34-ln (-a 2)], 故当且仅当a 2 [34-ln (-a 2 )]≥0,即a ≥- 2e 34时, f (x )≥0. 综上,a 的取值范围是[-2e 3 4,0] . 1.识别函数图象的常用方法:(1)直接法:直接求出函数的解析式并画出其图象.(2)特例排除法,例如,根据已知函数的图象或已知函数的解析式,取特殊点,判断各选项的图象是否经过该特殊点.(3)性质(单调性、奇偶性、过 定点等)验证法.(4)较复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选. 2.函数性质综合问题的常见类型及解题策略:(1)单调性与奇偶性结合.解决此类问题要注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值,常利用奇偶性及周期 性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合. 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解. 3.对于函数零点(方程的根)的确定问题,高考常从以下几个方面进行考查:(1)函数零点值大致所在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两个函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决此类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解. 4.利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化,关键是求出切点的 坐标. 5.利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'(x)>0,f'(x)<0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则;(2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;(3)注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别. 6.利用导数研究函数极值、最值的方法:(1)若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再检查f'(x)在方程根的左右函数值的符号;(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况来求解;(3)求函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. 01函数的基本性质与基本初等函数 1.函数f(x)=2 √1-x +lg(3x+1)的定义域是(). A.(-1 3,1)B.(-1 3 ,+∞) C.(-1 3,1 3 ]D.(-∞,-1 3 ) 解析?若函数f(x)有意义, 则{3x+1>0, 1-x>0,所以-1 3 故函数f(x)的定义域为(-1 3 ,1).故选A. 答案? A 2.若函数f (x )={e x -1,x ≤1, 5-x 2,x >1, 则f (f (2))=( ). A .1 B .4 C .0 D .5-e 2 解析? 由题意知,f (2)=5-4=1,f (1)e=0 =1,所以f (f (2))=1.故选A . 答案? A 3.已知定义在R 上的函数f (x )=2 -|x| ,记a=f (log 0.53),b=f (log 25),c=f (0),则a 、b 、c 的大小关系是( ). A .a B .c C .a D .b 解析? 易知f (x )=2-|x| 是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减, 又f (log 0.53)=f (-log 23)=f (log 23), 而log 25>log 23>0, ∴f (log 25) 即b 4.设偶函数f (x )对任意x ∈R ,都有f (x+3)=-1 f(x) ,且当x ∈[-3,-2]时,f (x )=4x ,则f (2018)= . 解析? 由条件可得f (x+6)=f (x ), 所以函数f (x )的周期为6, 所以f (2018)=f (6×336+2)=f (2)=f (-2)=-8. 答案? -8 能力 1 ? 会求函数的定义域及函数值 【例1】 (1)函数y=lg(1-x 2) 2x 2-3x -2的定义域为( ). A .(-∞,1] B .[-1,1] C .(-1,-12 )∪(-12 ,1) D .[-1,-12 )∪(-12 ,1] (2)设函数f (x )={ x 2+x -2,x ≤1, -lgx,x >1, 则f (f (-4))= . 解析? (1)由题意知{1-x 2>0, 2x 2-3x -2≠0, 即{