2019年河南省高考数学一诊试卷(理科)及解析
河南省高考数学一诊试卷（理科）
、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（ 5 分）已知a∈R，复数z= ，若=z，则a=（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（5 分）已知集合M={x| ≤0}，N={x| y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩
N=（）
3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最
高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月
D．最低气温低于0℃的月份有4 个
4．（5 分）在等比数列{a n}中，若a2= ，a3= ，则=（）A．B．C．D．2
A．[ 1，] B．（，3] C．（1，）D．（，2）
5．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7 尺和 5 尺，高为8 尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）
A．128π平方尺B．138π平方尺C．140π平方尺D．142π平方尺
6．（5分）定义[ x] 表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[ x] ，例如[ 2.1] =2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）
A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣ 4.6 D．﹣ 2.8
7．（5 分）若对于任意x∈R 都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f （2x）图象的对称中心为（）
A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）
8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不
唯一，则实数 a 的值为（）
A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2
9．（5 分）函数f（x）=的部分图象大致是（
10．（
5
分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
A．20+12 +2 B．20+6 +2 C．20+6 +2 D．20+12 +2 11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得| PA|+| PF| =9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）
A．
B．
x）≤0 恒成立，则的最小值为（）
B．﹣C．﹣D．﹣
C．D．
已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中 e 是自然对数的底
数，
12．（5 分）
若不等式f
A．﹣
、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）在△ ABC中，| + | =| ﹣| ，| |=2，则? =
14．（5 分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+?+a7x7，a∈R，若
a0+a1+a2+?+a6+a7=0，则a3= ．
15．（5分）已知S n为数列｛ a n｝的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有
ka n=a n S n﹣S 成立，若S99= ，则k= ．
16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1
的直线l 与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ ABF2 为等边三角形，则双曲线的实轴长为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）如图，在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠
BAE=∠CAE．
（1）求线段AD 的长；
（2）求△ ADE的面积．
18．（12 分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12 位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字 1 到12 的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7 到12 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3 的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子
中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．
（1）求甲获得奖品的概率；
（2）设X 为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．
19．（12 分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E
⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ ACB=9°0．（1）证明：B1C∥平面A1DE；
（2）求二面角A﹣BB1﹣C 的正弦值．
20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p>0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．
（1）求抛物线 E 的方程；
（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，证明：
为定值．
21．（12 分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x= 是它的极值点．（1）求 a 的值；
（2）求f（x）在[ t﹣1，t+1] 上的最大值；
（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有| g
（x1）﹣g（x2）| < + +1．
请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[ 选修4-4 ：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t 为参数），直线l2的参数方程为（m 为参数），设l1与l2的交点为p，当k 变化时，
p 的轨迹为曲线c1
（Ⅰ）写出C1 的普通方程及参数方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．
[ 选修4-5 ：不等式选讲] 23．已知f（x）=| x+a| （a∈R）．
（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；
（2）若? x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a 恒成立，求实数a的取值范围．
2018 年河南省高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（ 5 分）已知a∈R，复数z= ，若=z，则a=（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：z= = = +a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵ =z，
∴ a+1=0，得a=﹣1，
故选：B．
2．（5 分）已知集合M={x| ≤0}，N={x| y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）
A．[ 1，] B．（，3] C．（1，）D．（，2）
【解答】解：∵集合M={x| ≤0} ={ x| 1 N={x| y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}={x| ﹣6x2+11x﹣4>0}={x| }， ∴M∩N={x|1 故选：C． 3．（5 分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10 月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图． = 已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（） A．最低气温与最高气温为正相关 B．10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月D．最低气温低于0℃的月份有 4 个 【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得： 在 A 中，最低气温与最高气温为正相关，故 A 正确； 在 B 中，10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温，故 B 正确； 在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月，故C正确； 在 D 中，最低气温低于0 ℃的月份有 3 个，故 D 错误．故选：D． 4．（5 分）在等比数列{ a n}中，若a2= ，a3 = ，则=（A．B．C．D．2 【解答】解：∵在等比数列{ a n}中，若a2= ，a3= ， ∴公比q= = = ∴ = = = 故选：A． 5．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7 尺和 5 尺，高为8 尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（） A．128π平方尺B．138π平方尺C．140π平方尺D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7 尺和 5 尺，高为8 尺， ∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7 尺、5尺、8 尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球， ∴这个四棱锥的外接球的半径R= = （尺）， ∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π× R2= =138π（平方尺）． 故选：B． 6．（5分）定义[ x] 表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[ x] ，例如[ 2.1] =2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（） = A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣ 4.6 D．﹣ 2.8 【解答】解：模拟程序的运行，可得 x=5.8 y=5﹣ 1.6=3.4 x=5﹣1=4 满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0 满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2 不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣ 2.6）=﹣4.6． 输出z的值为﹣ 4.6． 故选：C． 7．（5 分）若对于任意x∈R 都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f （2x）图象的对称中心为（） A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z） 【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x 代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx， ∴f（x）= sin（x+ ），∴ f（2x）= sin（2x+ ）． 令2x+ =kπ，k∈Z，求得x= ﹣， 故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z， 故选：D． 8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不 唯一，则实数 a 的值为（） A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）． 由z=y﹣ax 得y=ax+z，即直线的截距最大，z 也最大． 若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件， 若a>0，目标函数y=ax+z的斜率k=a>0，要使z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0 平行，此时a=2， 若a<0，目标函数y=ax+z的斜率k=a<0，要使z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z与直线x+ y=1 平行，此时a=﹣3， 综上a=﹣3 或a=2，故选：A． 解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+ =f（x）， f（﹣x）= ∴f（x）为偶函数， ∴f（x）的图象关于y 轴对称，故排除A， 令f（x）=0，即=0，解得x=0， ∴函数f（x）只有一个零点，故排除D， 当x=1时，f（1）= <0，故排除C， 综上所述，只有 B 符合，故选：B． 10．（5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ A．20+12 +2 B．20+6 +2 C．20+6 +2 D．20+12 +2 【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直， PB=PC=4，AB=3． △PAD中AP=PD=5，AD=4 ，∴AD 边上的高为， ∴ S△PAD= ， 则该几何体的表面积为12 +8+6+6+2 =12 +20+2 ， 故选：D 11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1， 1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得| PA|+| PF| =9，则椭圆E的离心率的取值范围是（） 解答】解：记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则| AF1| =1， A．B． B．C．D． ∵| PF1| ≤| PA|+| AF1|， ∴2a=| PF1|+| PF| ≤| PA|+| AF1|+| PF| ≤1+9=10，即a≤5； ∵| PF1| ≥| PA| ﹣| AF1|， ∴2a=| PF1|+| PF| ≥| PA| ﹣| AF1|+| PF|≥9﹣1=8， 即a≥4， 12．（5 分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中 e 是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0 恒成立，则的最小值为（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 【解答】解：∵函数 f （x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中 e 为自然对数的底数，∴f ′（x）= +（2e2﹣a），x＞0， 当a≤2e2时， f ′（x）＞0， f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴ f（x）≤0 不可能恒成立， 当a＞2e2时， 由 f ′（x）=0，得x= ， ∵不等式f（x）≤0恒成立，∴ f（x）的最大值为0， 当x∈（0，）时， f ′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（，+∞）时， f ′（x）＜0，f （x）单调递减， ∴当x= 时，f（x）取最大值， ∴4≤a≤5，∴ f（）=﹣ln（a﹣2e2）﹣b﹣1≤0， ∴ ln（a﹣2e2）+ b+1≥0， ∴ b≥﹣1﹣ln（a﹣2e2）， ∴ ? ≥（a> 2e2）， 令F（x）= ，x>2e2， F′（x） 令H（x）=（x﹣2e2）ln（x﹣2e2）﹣2e2， H′（x）=ln（x﹣2e2）+1， 由H′（x）=0，得x=2e2+ ， 当x∈（2e2+ ，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（2e2，2e2+ ）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=2e2+ 时，H（x）取最小值H （2e2+ ）=﹣2e2﹣，∵x→2e2时，H（x）→0，x＞3e2时，H（x）＞0，H （3e2）=0，∴当x∈（2e2，3e2）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数， 当x∈（3e2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数， ∴x=3e2时，F（x）取最小值，F（3e2）= =﹣， ∴ ? 的最小值为﹣， 即有的最小值为﹣． 故选：B． 二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）在△ ABC中，| + | =| ﹣| ，| |=2，则? = ﹣4 【解答】解：在△ ABC中，| + | =| ﹣| ，可得| + | 2=| ﹣|2， 即有2+ 2+2 ? = 2+ 2﹣2 ? ， 即为? =0， 则△ ABC为直角三角形， A 为直角， 则? =﹣? =﹣| | ?| | ?cosB =﹣| | 2=﹣4． 故答案为：﹣4． 14．（5 分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+?+a7x7，a∈R，若 a0+a1+a2+?+a6+a7=0，则a3= ﹣5 ． 【解答】解：（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+?+a7x7中， 令x=1得，a0+a1+?+a7=2?（a﹣1）6=0， 解得a=1，而a3表示x3的系数， 所以a3=C63?（﹣1）3+C62?（﹣1）2=﹣5．故答案为：﹣5． 15．（5分）已知S n为数列｛ a n｝的前n 项和，a1=1，当n≥2时，恒有 ka n=a n S n﹣S 成立，若S99= ，则k= 2 ． 【解答】解：当n≥2 时，恒有ka n=a n S n﹣S 成立，即为（k﹣S n）（S n﹣S n﹣1）=﹣S ，化为﹣= ，化为﹣= ， 可得=1+ ， 可得S n= ． 由S99= ， 可得= ，解得k=2． 故答案为：2． 16．（5 分）设F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l 与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ ABF2 为 等边三角形，则双曲线的实轴长为 2 ． 【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1| ﹣| AF2| =2a， ∵△ ABF2是等边三角形，即| AF2| =| AB| ， ∴| BF1| =2a， 又∵| BF2| ﹣| BF1| =2a， ∴| BF2| =| BF1|+ 2a=4a， ∵△ BF1F2中，| BF1| =2a，| BF2| =4a，∠ F1BF2=120°， ∴| F1F2| 2=| BF1| 2+| BF2| 2﹣2| BF1| ?| BF2| cos120°， 即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2， 解得c2=7a2，b2=6a2， 由双曲线的第二定义可得= = = ， 则m= ， 由 A 在双曲线上，可得﹣=1， 解得a= ，则2a=2 ．故答案为： 2 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）如图，在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠ BAE=∠CAE． （1）求线段AD 的长； （2）求△ ADE的面积． 解答】解：（1）根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC= = ；又由cosC= = = ，解可得a=4， 即BC=4，则CD=2，在△ ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣ 2AC?CDcosC=，6 则AD= ； （2）根据题意，AE平分∠ BAC， 则= = ， 则= = ， 变形可得：CE= BC= ， cosC= ，则sinC= = ， 18．（12 分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12 位同学做一个游戏，第一轮 游戏中，主持人将标有数字 1 到12 的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子 中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7 到12 的卡片的同学留下，其 余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子 中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其 余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3 的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子 中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3 的卡片的同学留下，其 余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖 品．已知同学甲参加了该游戏． 1）求甲获得奖品的概率； 2）设X 为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．解答】解： （1）设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中， 甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关， S△ADE=S△ACD﹣S△ACE= ×2×2×﹣×2× × = ． 2）随机变量X 的取值可以为1，2，3，4． X的分布列为随机变量X 的概率分布列为： 所以数学期望． 19．（12 分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E