江苏高三上学期期末数学试题分类之应用题

江苏高三上学期期末数学试题分类之应用题精

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十、应用题

（一）试题细目表

地区+题号 类 型 考 点

思 想 方 法 2018·南通泰州期末·18

解 答

直线、圆、三角函

数的定义、基本不等式

建模思想

2018·无锡期末·17 解 答

2018·镇江期末·17 解 答 2018·扬州期末·17 解 答 2018·常州期末·17 解 答 2018·南京盐城期末·17 解 答 2018·苏州期末·17 解 答 2018·苏北四市期末·17 解 答

（二）试题解析

1.（2018·南通泰州期末·18）

如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形

ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道

AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部

分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F .（道路宽度忽略不计）

【答案】【解】以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系.

（1）直线PB 的方程为2y x ，

半圆O 的方程为22240x y +=(0)y ≥，

由222

2,40(0),

y x x y y =??+=≥?得165y =. 所以，点P 到AD 的距离为165m .

（2）①由题意，得(40cos ,40sin )P θθ. 直线PB 的方程为

sin 2

80(40)cos 1

y x θθ++=

++，

令0y =，得

80cos 8040sin 2E x θθ+=

-+80cos 40sin sin 2

θθ

θ-=+.

直线PC 的方程为sin 2

80(40)cos 1

y x θθ-+=

--， 令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++80cos 40sin sin 2θθ

θ+=+.

所以，EF 的长度为

()F E f x x θ=-80sin sin 2θθ=

+，0,2πθ??

∈ ???

.

②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为

1180sin 80802sin 2S θθ??=?-? ?

+??6400

sin 2θ=+， 区域Ⅱ的面积为

2140sin 2S EF θ=??180sin 40sin 2sin 2θθθ??=?? ?+??21600sin sin 2

θ

θ=

+， 所以2121600sin 6400

sin 2S S θθ++=+(0)2πθ<<.

设sin 2t θ+=，则23t <<，

2121600(2)6400

t S S t

-++=

. 8

1600(4)t t

=+-1600(284)≥-6400(21)=-.

当且仅当22t =，即sin 222θ=-时“=”成立.

所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为26400(21)m -. 答：当sin 222θ=-时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.

2.（2018·无锡期末·17）

如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，3

CAB π

∠=

，

AB BD ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C

通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设PAB θ∠=.

（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；

（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低请说明理由. 【答案】解：（1）由题意，3

CAP π

θ∠=-，所以3

CP π

θ=

-，

又cos 1cos PQ AB AP θθ=-=-， 所以观光专线的总长度

()1cos 3

f π

θθθ=

-+-cos 13

π

θθ=--+

+，03

π

θ<<

，

因为当03

π

θ<<

时，'()1sin 0f θθ=-+<，

所以()f θ在(0,)3

π

上单调递减，

即观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小. （2）设翻新道路的单位成本为(0)a a >，

则总成本()(22cos )3g a πθθθ=-+-(2cos 2)3a πθθ=--++，03

π

θ<<，

'()(12sin )g a θθ=-+，

令'()0g θ=，得1sin 2θ=，因为03πθ<<，所以6

π

θ=， 当06

π

θ<<

时，'()0g θ<，当

6

3

π

π

θ<<

时，'()0g θ>.

所以，当6

π

θ=时，()g θ最小.

答：当6

π

θ=

时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.

3.（2018·镇江期末·17）

如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆

AC 分成 AD , CD 两段，其中两固定点 A ，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹

角为 60 ，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 4a 元/米. 设 ADB ，则制作整个支架的总成本

记为 S 元.

（1）求 S 关于 的函数表达式，并求出 的取值范围； （2）问 AD 段多长时， S 最小？

【答案】在△ABD 中,由正弦定理得12sin sin sin()33BD AD

ππαα==

-，

所以331

,2sin 2sin 2

BD AD ααα=

=+， 则3cos 13cos 13

(

)2[1()]4()22S a a ααα=+-++

433cos 3

)2

a α-=+，

由题意得2(,)33

ππ

α∈

（2）令214cos 30sin S a αα-'==，设0

1

cos 4

α= α

0(,)3π

α

0α

02()3πα，

cos α

11(,)42

14

11[,)24

- S ' － 0 ＋ S

单调递减

极大值

单调递增

所以当1

cos 4

α=时，S 最小， 此时153cos 155

sin 2AD αα+=

==

答：（1）S 关于 的函数表达式为433cos 3

(

)2

S a α-=+，且2(,)33ππα∈；

（2）当55

10

AD +=

时S 最小. 4.（2018·扬州期末·17）

如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上。经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即∠POQ ）为3

2π、半径为1千米。为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区

域外修建一条公路MN ，分别与射线OA 、OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S 。设∠POS=α（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.

(1) 试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围： (2) 试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.

【答案】解：⑴因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN .

在RT OSM 中，因为OS =1，∠MOS=α，所以SM =tan α， 在RT

OSN 中，∠NOS=

23πα-，所以SN=2tan()3

πα-， 所以223(tan 1)

tan tan()33tan 1

MN παααα+=+-=

- .………4分 其中

6

2

π

π

α<<

..………6分

⑵ 因为

6

2

π

π

α<<

10α->，

令10t

α=->，则tan (1)3

t α=

+，

所以4

(2)3MN

t t

=

++， . .………8分

由基本不等式得2)3MN ≥

?=， ………10分 当且仅当4

t t

=

即2t =时取“=” . .………12分

此时tan α=6

2

π

π

α<<

，故3

π

α=

. . .………13分

答：⑴2tan tan()3MN παα=+-=

，其中62ππα<<

⑵当3

π

α

=

时，MN 长度的最小值为 .. .………14分

注：第⑵问中最小值对但定义域不对的扣2分

5.（2018·常州期末·17）

已知小明（如图中AB 所示）身高米，路灯OM 高米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O ．点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作

AB'．

（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积；

（2）若3=OA 米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，

3

π

1=

∠OAA ，且101=AA 米．t 秒时，小明在地面上的影子长度记为)(t f （单位：米），求)(t f 的表达式与最小值．

【答案】解：（1）由题意AB OM ∥，

' 1.81

' 3.62AB AB OB OM ===，3

OA =，所以'6OB =，

小明在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环，其面积为

226327()πππ?-?=平方米；

（2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由（1）知

000'1

2

A B AB OB OM ==，所以22000000()'2cos f t A B OA OA AA OA AA OAA ===+-?∠，

化简得2()39,010f t t t t =-+<≤，2

327()24f t t ??=-+ ???

，当32t =时，()f t 的最小值为

33

， 答：2()39,010f t t t t =-+<≤，当32t =（秒）时，()f t 的最小值为33

2

（米）．

6.（2018·南京盐城期末·17）.

有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足

够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=?的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．

（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；

（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

（第17

C B E F

O

E F M

【答案】解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，

在Rt OET ?中，因为1602EOT EOF ∠=∠=?，所以2

R

OT =，则

2R

MT OM OT =-=．

从而2

R

BE MT ==，即22R BE ==. ……………2分

故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ?=-扇形

2

2114sin1203323R R ππ=-?=-. ……………4 又所得柱体的高4EG =，

所以V S EG =?=16433

π

-.

答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积 为16433

π-立方分米. …………………6分

（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积

OEF OEF S S S ?=-扇形222114sin120(3)323

R R x π

π=-?=.

又所得柱体的高62EG x =-，

所以V S EG =?=328(23)(3)3

x x π

--+，其中

03x <<. …………………10分

令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，

解得2x =. …………………12分 x (0,2)

2

(2,3)

()f x ' ＋ 0 － ()f x

增

极大值

减

A B E

G F

O

M N H T

答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分

7.（2018·苏州期末·17）

如图，B ,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100km ，海岛A 在城市B 的正东方50km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角（π2

αθ<≤，其中锐角α的正切值为

1

2

）航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C ．已知船速为25km/h ，车速为75km/h .

（1）试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式； （2）试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．

【答案】解（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以90BAP θ∠=?-，50AB =，

则5050cos(90)sin AP θθ

=

=

?-，50sin(90)50cos 50tan(90)cos(90)sin BP θθ

θθθ?-=?-==?-． 50cos 100100sin PC BP θ

θ

=-=-

． ················································· 4分 （注：AP ，BP 写对一个给2分）

由A 到P 所用的时间为12

25sin AP t θ

=

=

， 由P 到C 所用的时间为250cos 10042cos sin 7533sin t θθθθ

-

==-， ················· 6分 所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为

12242cos 62cos 4

()sin 33sin 3sin 3

t f t θθθθθθ-==

+=++-． ·

·························· 8分 函数()f θ的定义域为(,]2

απ，其中锐角α的正切值为1

2.

（2）由（1），62cos 4()3sin 3f θθθ-=+，(,]2

θαπ

∈，

A

2(13cos )()9si 6n f θθθ

-'=

，令()0f θ'=，解得1

cos 3θ=

，························ 10分 设θ0(0,)2π，使01

cos 3

θ=

θ 0(,)αθ

θ0 0(,)2

θπ ()f θ' - 0 + ()f θ 减函数 极小值 增函数 ························································································ 12分 所以，当0θθ=时函数f (θ)取得最小值，此时BP =

0050cos 252

sin 2

θθ=≈ km ， 答：在BC 上选择距离B 为 km 处为登陆点，所用时间最少． ······· 14分 （注：结果保留根号，不扣分）

8.（2018·苏北四市期末·17）

某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的

内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，

π

02

θ<<

，圆锥的侧面积为S cm 2． ⑴求S 关于θ的函数关系式；

⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时

腰AB 的长度．

【答案】（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，

在AOE ?中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分

在ABD ?中，sin 20cos sin BD AB θθθ=?=?，

…………………………………………………………4分

所以1

220sin cos 20cos 2

S θθθ=?π??

2400sin cos θθ=π，(0)2

π

θ<<

……………………6分

A B

C O

A B C O θ 图1 图2 （第17 D

θ

A B

C

O

E

（2）要使侧面积最大，由（1）得：

23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分 设3(),(01)f x x x x =-<<

则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x

当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '<

所以()f x 在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以()f x 在x =时取得极大值，也是最大值；

所以当sin θ=时，侧面积S 取得最大值， (11)

分

此时等腰三角形的腰长20cos AB θ===答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为

．…………14分