变系数方程的差分格式(5)

(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：（1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式

一维热传导方程

一维热传导方程一．问题介绍考虑一维热传导方程：（1） ,0),(22T t x f x u a t u ≤<+??=?? 其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类：第一类、初值问题（也称Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（∞<<∞-x ）和初始条件：（2） ),()0,(x x u ?= ∞<<∞-x 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（l x <<0）和初始条件：（3） ),()0,(x x u ?= l x <<0 及边值条件 (4) .0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0 假定)(x ?在相应区域光滑，并且在l x ,0=满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。二．区域剖分考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中N,M 都是正整数。用两族平行直线：将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x 。以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h Γ=h G --h G 是网格界点集合。三．离散格式第k+1层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。第k+1层值不能通过第k 层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。 1. 向前差分格式（5） ,221 11j k j k j k j k j k j f h u u u a u u ++-=--++τ

变系数线性常微分方程的求解

变系数线性常微分方程的求解张慧敏，数学计算机科学学院摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.

Poisson方程九点差分格式_米瑞琪

数值实验报告I 实验名称Poisson方程九点差分格式实验时间2016年 4 月 15 日姓名米瑞琪班级信息1303学号04成绩一、实验目的，内容 1、理解Poisson方程九点差分格式的构造原理； 2、理解因为网格点的不同排序方式造成的系数矩阵格式的差异； 3、学会利用matlab的spdiags(),kron()函数生成系数矩阵；二、算法描述针对一个Poisson方程问题：在Poisson方程五点差分格式的基础上，采用Taylor展开分析五点差分算子的截断误差，可以得到：为了提高算子截断误差的精度，在(1)式中配凑出了差分算子的形式，将原Poisson方程代入（1）式有：考虑，有：

将（3）代回（2）可得得到Poisson方程的九点差分格式：在计算机上实现（4）式，需要在五点差分格式的基础上在等式两端分别增加一部分，将等式左侧新增的部分写成紧凑格式，有：对于该矩阵，可以看成是两个矩阵的组合：

以及则生成这两个矩阵可以采用Kroncker生成，方法类似于五点差分格式。对于右端添加的关于f(x,y)的二阶导数，可以采用中心差分格式进行近似代替，即：写成相应的紧凑格式有：

该式中的矩阵又可以分解为两个矩阵的和：

%计算误差 u_real=@(x,y)exp(pi*(x+y))*sin(pi*x).*sin(pi*y); for i=1:N1-1 u_m((i-1)*(N2-1)+1:i*(N2-1))=u_real(x(i),y); end u_v=u_m'; err_d=max(abs(u_d-u_v)); sol=reshape(u_d,N2-1,N1-1); mesh(X,Y,sol) 四. 数值结果针对课本P93给出的问题，分别采用步长，将计算出的误差列表如下：步长五点差分格式误差九点差分格式误差可见采用九点差分格式可以进一步缩小误差，达到更高阶的精度。五. 计算中出现的问题，解决方法及体会在生成九点差分格式的时候，等号右端涉及到了对f的二阶偏导，我最初利用符号函数定义了f,随后求出其二阶偏导（仍然是符号函数）之后带入网格点，求f二阶偏导的精确解，但是代入过程相当繁琐，运行速度非常慢，最终我改变策略，选用f关于x,y的二阶中心差分格式替代精确值，最终得到了相对满意的结果。教师评语指导教师：年月日

热传导方程向后差分格式的MATLAB程序

向后差分格式MATLAB编程： c lear;clc; format short e a=input('请输入系数a的值'); l=input('请输入长度l的值'); M=input('请输入将区间[0,1]等分的个数M '); ot=input('请输入时间增量ot的值'); n=input('请输入运行次数n的值'); ox=1/M; x0=zeros(M+1,1) for ii=1:M x0(ii+1)=ii*ox; end u=sin(pi*x0/l); r=a*ot/(ox)^2; for ii=1:n %数据的输入 B=zeros(M-1,1); A=zeros(M-2,1); C=zeros(M-2,1); S=zeros(M-1,1); for ii=1:M-2 B(ii)=1+2*r;A(ii)=-r;C(ii)=-r; S(ii)=u(ii+1,1); end B(M-1,1)=1+2*r;S(M-1,1)=u(M,1);u(1,2)=0;u(M+1,2)=0; S(1,1)=S(1,1)+r*u(1,2);S(M-1,1)=S(M-1,1)+r*u(M+1,2); %追赶法 S(1)=S(1)/B(1);T=B(1);k=2; while k~=M B(k-1)=C(k-1)/T; T=B(k)-A(k-1)*B(k-1); S(k)=(S(k)-A(k-1)*S(k-1))/T; k=k+1 end k=1; while k~=M-1 S(M-1-k)=S(M-1-k)-B(M-1-k)*S(M-k); k=k+1; end u(2:M,2)=S; u(:,1)=u(:,2); end %计算精确解 for x=0:M

热传导方程向前差分格式的MATLAB程序

向前差分格式MATLAB编程： c lear;clc; format short e a=input('请输入系数a的值'); l=input('请输入长度l的值'); M=input('请输入将区间[0,1]等分的个数M '); ot=input('请输入时间增量ot的值'); n=input('请输入运行次数n的值'); ox=1/M; x0=zeros(M+1,1) for ii=1:M x0(ii+1)=ii*ox; end u=sin(pi*x0/l); r=a*ot/(ox)^2; for ii=1:n %数据的输入 B=zeros(M-1,1); A=zeros(M-2,1); C=zeros(M-2,1); S=zeros(M-1,1); for ii=1:M-2 B(ii)=1+2*r;A(ii)=-r;C(ii)=-r; S(ii)=u(ii+1,1); end B(M-1,1)=1+2*r;S(M-1,1)=u(M,1);u(1,2)=0;u(M+1,2)=0; S(1,1)=S(1,1)+r*u(1,2);S(M-1,1)=S(M-1,1)+r*u(M+1,2); %追赶法 S(1)=S(1)/B(1);T=B(1);k=2; while k~=M B(k-1)=C(k-1)/T; T=B(k)-A(k-1)*B(k-1); S(k)=(S(k)-A(k-1)*S(k-1))/T; k=k+1 end k=1; while k~=M-1 S(M-1-k)=S(M-1-k)-B(M-1-k)*S(M-k); k=k+1; end D=(1-2*r)*eye(M-1); temp=r*linspace(1,1,M-2); D=D+diag(temp,1)+diag(temp,-1); S=D*S

对流扩散方程有限差分方法.

对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。 3.1 中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[ 2 1 11 1122h u u u v h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j -+-+++-=-+-τ （3）若令 h a τ λ=，2h v τ μ=，则（3）式可改写为 )2()(2 111111 n j n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4）从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1 +n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对流扩散方程的显示格式。假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1 +n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处进行Taylor 展开： )(),(),(211ττO t u t x u t x u u n j n j n j n j +??? ?????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????-==-- 代入(4)式，有 2 111 1122),(h u u u v h u u a u u t x T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-+++---+-= τ )()()(2222 h O v x u v h O a x u a O t u n j n j n j ?-????????-?+????????++????????=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u n j n j n j ?-++????????-??? ?????+????????=τ

【文献综述】热传导方程差分格式的收敛性和稳定性

文献综述信息与计算科学热传导方程差分格式的收敛性和稳定性在实际研究物理问题过程中, 往往能给出问题相应的数学表达式, 但是由于实际物理问题的复杂性, 它的解却一般不容易求出. 由此计算物理应运而生, 计算物理是以计算机为工具, 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科, 是物理、数学和计算机三者结合的交叉性学科. 它产生于二战期间美国对核武器的研究, 伴随着计算机的发展而发展. 计算物理的目的不仅仅是计算, 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律. 这一点它与传统的实验物理和理论物理并无差别, 所不同的只是使用的工具和方法. 计算物理早已与实验物理和理论物理形成三足鼎立之势, 甚至有人提出它将成为现代物理大厦的“栋梁”. 在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观, 更有价值. 在实际求解方程时, 除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外, 在一般情况下, 当方程或定解条件具有比较复杂的形式, 或求解区域具有比较复杂的形状时, 往往求不到, 或不易求到其精确解. 这就需要我们去寻找方程的近似解, 特别是数值近似解, 简称数值解. 这里主要研究的是热传导方程. 有限差分法是微分方程和积分微分方程数值解的方法. 其基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组, 即有限差分方程组, 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解. 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解. 热传导的差分法是求解热传导方程的重要方法之一. 对于差分格式的的求解, 我们首先要关注差分格式的收敛性和稳定性. 对于一个微分方程建立的各种差分格式, 为了有实用意义, 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程, 即相容性要求. 一个差分格式是否有用, 就要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解, 即收敛性的概念. 此外, 还有一个重要的概念必须考虑, 即差分格式的稳定性. 因为差分格式的计

几类二阶变系数常微分方程解法论文

二阶变系数常微分方程几种解法的探讨胡博（111114109）（湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000）摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解 To explore the solution of some ordinary differential equations of two order variable coefficient Zhang jun(111114128) (School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000) Abstract:Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present there

利用中心差分格式数值求解导数

利用中心差分格式数值求解导数目录一、问题描述 (2) 二、格式离散 (2) 二阶导数中心差格式离散 (2) 追赶法求解线性方程组简述 (3) 计算流程图 (5) 三、程序中主要符号和数组意义 (5) 四、计算结果与讨论 (6) 五、源程序 (9)

一、问题描述利用中心差分格式近似导数22/dx y d ，数值求解 ()x dx y d 2sin 22= ()10≤≤x 1 /,0/10====x x y y 步长分别取 0001.0,001.0,01.0, 05.0=?x 二、格式离散将x 轴上[0,1]之间的线段按上述步长，等步长的离散为n 个小段，包括端点，共n+1个网格节点，示意图如下：线段上边的数字表示x 轴上的坐标值，线段下边的数字表示节点编号，从0到n 编号。二阶导数中心差格式离散 211222)2sin(x y y y dx y d x i i i ?+-==+- 整理为线性方程形式 )2sin(2211x x y y y i i i ?=+-+- 其中，x ? 为空间离散步长；i=1,2，……，n-1 包括边界条件的线性方程组如下：

边界条件边界条件0 ) *)1(*2sin(2......... ..........) **2sin(2..................) *1*2sin(20 21221122100=?-?=+-??=+-??=+-=--+-n n n n i i i y x n x y y y x i x y y y x x y y y y 改写成矩阵形式： f Ay = 其中，?????? ????????????????????----=1012112112112101 A ，??????????????????????=-n n i y y y y y y 110 ，??????????????????????=-n n i f f f f f f 110 系数矩阵A 中仅三对角线上的数值不全为0，其余位置上的数值全为0，是典型的对角占优的三对角矩阵，列向量f 中，)2sin(2x i x f i ??=，且10==n f f ，作为边界条件。追赶法求解线性方程组简述 ????? ?????????????????=??????????????????????????----=---n n n n n i i i b a c b a c b a c b a c b A 1111110 01012112112112101

一维热传导方程

一维热传导方程Last revision on 21 December 2020

三．离散格式第k+1层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。第k+1层值不能通过第k 层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。 1. 向前差分格式（5） ,22111j k j k j k j k j k j f h u u u a u u ++-=--++τ )(j j x f f =， )(0 j j j x u ??==， 00==k N k u u ，其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1。以2/h a r τ=表示网比。则方程（5）可以改写为：易知向前差分格式是显格式。 2. 向后差分格式（6） ,11111)21(j k j k j k j k j f u ru u u ru τ+=-++-+-+++ )(0 j j j x u ??==， 00==k N k u u ，其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1，易知向前差分格式是显格式。 3. 六点对称格式（Grank-Nicolson 格式）将向前差分格式和向后差分格式作算术平均，即得到六点对称格式：（7） 111112)1(2+-+++-++-k j k j k j u r u r u r =j k j k j k j f u r u r u r τ++-+-+112 )1(2 利用0j u 和边值便可逐层求到k j u 。六点对称格式是隐格式，由第k 层计算第k+1层时需解线性代数方程组（因系数矩阵严格对角占优，方程组可唯一求解）。

变系数_非线性微分方程的求解

变系数/非线性微分方程的求解：Example1: van der Pol equation Rewrite the van der Pol equation (second-order) The resulting system of first-order ODEs is 见：vdp_solve.m及vdp.mdl vdp_solve.m vdp.mdl

Example2: 2 with x(0) = 4 x (0)=0 5(5)5sin()5 +-+= x t x t x 见：exam2_solve.m及exam2.mdl exam2_solve.m exam2.mdl

Example3: ODEs 函数实现及封装说明[以一阶微分方程为例] 510 w i t h (0)4 dx x x dt +==- 引言：一步Euler 法求解[相当于Taylor 展开略去高阶项]： 11()k k k k k k k k k k k x x x Ax bu t x x t x x t Ax bu ++-==+??=+??=+??+ 补充说明1：对于任意方程/方程组可化为如下一阶形式[方程组]： x Ax Bu =+ 或者(,)(,)M t x x f t x = 补充说明2：ODEs 的解法不同之处在于 1、时间步长的选取（及导数的求解？）：有无误差控制变步长； 2、积分方法：选用哪几个时间状态信息。见：my_ode_rough.m[直接求解] / test_my_ode.m[按Matlab/ODEs 方式封装] my_ode_rough.m

二阶变系数线性微分方程的一些解法

y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(21 2dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中 21 2dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0 再作变量替换，令dx dy ＝z 得 y 1dx dz ＋(2dx dy 1 ＋p(x)y 1)z ＝0 分离变量 z 1 dz ＝－[1y 2＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z ＝21 2y C e －∫p(x)dx 其中C 2为任意常数积分得u ＝C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ＋C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y ＝y 1［C １＋C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ］

本科毕业设计--求解热传导方程的高精度隐式差分格式

新疆大学毕业论文(设计) 题目:求解热传导方程的高精度隐式差分格式所属院系：数学与系统科学学院专业：信息与计算科学

声明本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在开依沙尔老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。声明人（签名）：年月日亚库甫江.买买提同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。指导教师（签名）：年月日

新疆大学毕业论文（设计）任务书班级：信计07-2 姓名：亚库甫江.买买提论文（设计）题目：求解热传导方程的高精度隐式差分格式专题：毕业设计论文（设计）来源：教师自拟要求完成的内容：学习和掌握一维热传导方程已有的各种差分格式的基础上，扩散方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为() 24 τ+数值格式， O h 讨论格式的稳定性，最后数值例子来验证。发题日期：2012 年12月25日完成日期：2012 年5月28 日实习实训单位：数学学院地点：数学学院论文页数：19页；图纸张数：4 指导教师：开依沙尔老师教研室主任院长（系主任）

摘要本文首先对热传导方程经典差分格式进行复习和讨论，然后热传导方程对空间变量四阶紧致格式进行离散,时间变量保持不变，把一维热传导方程转化为常微分方程组的初值问题, 再利用梯形方法构造热传导方程方程的时间二阶空间四阶精度的一种差分格式，并稳定性进行分析，数值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明, 该方法是有效求解热传导方程的数值计算. 关键词: 热传导方程,高精度紧致格式; 梯形方法；两层隐格式; Crank-Nicolson格式 ABSTRACT This paper first study on some classical finite difference for the heat conduction equation, secondely secondely we apply compact finite difference approximation of fourth order for discretizing spatial derivatives but leave the time variable Continuous. This approach results in a system of ODEs, which can then be used trapezodial formula derived fourth order in space and second order in time unconditionally stable implicit scheme .the stability and local truncation error of the obtained method are analysied. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method for solving diffusion equation Keywords: Heat conduction eqution;Higher- oder compact scheme; Trapezodial formula ;Two- level implict scheme; Crank- Nicolson scheme

二维变系数抛物型方程的一个高阶ADI差分格式

二维变系数抛物型方程的一个高阶ADI 差分格式马小霞1，颜晓琳2，陈汝栋2 （1.焦作大学基础部，河南焦作 454003；2.天津工业大学理学院，天津 300387）摘要：针对二维变系数抛物型方程，构造出了一个高精度、恒稳定的交替方向隐式（ADI ）差分格式，格式的截断误差阶达O （τ2+h 4）.通过数值实验，验证了理论分析的正确性和差分格式的精确性与有效性. 关键词：抛物型方程；ADI 格式；截断误差；恒稳定中图分类号：O241.82 文献标志码：A 文章编号：１６７１－０２４Ｘ（２０14）０1－００77－０4 A high accuracy ADI difference scheme for solving two-dimension variable coefficients parabolic equation MA Xiao-xia 1，YAN Xiao-lin 2，CHEN Ru-dong 2 （1.Department of Basic Course ，Jiaozuo University ，Jiaozuo 454003，China ；2.School of Science ，Tianjin Polytechnic University ，Tianjin 300387，China ） Abstract ：A high accuracy alternation direction implicit scheme （ADI ）for solving the two-dimensional parabolic equations is presented ，and the scheme is absolutely stable and the truncation error is O （τ2+h 4）.The experiments show the scheme is effective and advantage ，and the theory is right by a numerical example. Key words ：parabolic equation ；ADI difference scheme ；truncation error ；absolutely stable 收稿日期：2013-05-31 基金项目：国家自然科学基金（11071279）；河南省教育厅自然科学基础研究基金（2008B110016）第一作者：马小霞（1969—），女，硕士，讲师. 通信作者：陈汝栋（1956—），男，教授，硕士生导师.E-mail ：chenrd@https://www.360docs.net/doc/304347214.html, 天津工业大学学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＩＡＮＪＩＮＰＯＬＹＴＥＣＨＮＩＣＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ第33卷第1期２０14年2月 Vol.33No.1February 2014 抛物型方程在处理废料污染、渗透、驱动、海水入侵以及半导体等工程实际问题中有着广泛的应用，因此研究其高精度、高稳定和计算量较小的数值解法具有重要的意义.用有限差分方法研究这类问题的数值方法目前已做了许多工作[1-5].但这些工作大多是对常系数而言的.文献[4]中对二维变系数抛物型方程数值方法仅对系数依赖于一个变量的情况进行了研究，本文的研究是对系数依赖于两个变量的情形进行的.应用Taylor 展开、算子方法[6]以及粘结系数法[7]得到了一个高精度（截断误差阶达O （τ2+h 4））、恒稳定的ADI 格式.格式的建立和稳定性分析都比文献[4]简单得多，文末的数值实验证明了本文理论分析的正确性和所得格式的精确性与有效性. 1差分格式的建立考虑如下的二维变系数非齐次抛物型方程初边值问题鄣u 鄣t =a （x ，y ）鄣2u 鄣x 2+b （x ，y ）鄣2 u 鄣y 2 +f （x ，y ，t ）（x ，y ，t ）∈Ω×（0，T ]（1）u （x ，y ，0）=φ（x ，y ）（x ，y ）∈Ω軍（2） u （x ，y ，t ）=Ψ（x ，y ，t ）（ x ，y ）∈Γ，0，0＜t ≤T （3≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ ）其中：0＜c 1≤a （x ，y ）≤c 2；Γ为Ω的边界. 设τ=Δt =T/N 为时间步长，h =Δx =Δy =1/M 为空间步长，N 、M 均为正整数.u n j ，k 表示在节点（jh ，kh ，n τ）处的网函数值，微分方程问题（1）—（3）的解函数为u （x ，y ，t ），并记u （jh ，kh ，n τ）=u （j ，k ，n ），f n+12 j ，k = 12 （f n +1j ，k +f n j ，k ）.由Taylor 展开式u （j ，k ，n +1）=u （j ，k ，n ）+τ鄣u （j ，k ，n ）+τ22鄣2u （j ，k ，n ）鄣t 2+…=exp （τ鄣鄣t ）u （j ，k ，n ）（4）

向前差分格式求解二维热传导方程

用向前差分格式求解二维热传导方程function varargout=liu(varargin) T=1;a=1;h=1/30;dt=1/150; [X,T,Z]=chfenmethed(h,dt,a,T); mesh(X,T,Z(:,:,3)); shading flat; % xlabel('X','FontSize',14); % ylabel('t','FontSize',14); % zlabel('error','FontSize',14); % title('误差图'); function [X,Y,Z]=chfenmethed(h,dt,a,T); %求解下问题 %u_t-a*(u_xx+u_yy)=f(x,y,t) 0

n=length(t); r=a*dt/h^2; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=zeros(m,m,n); U=zeros(m,m,n); for i=1:m for j=1:m U(i,j,1)=d(x(i),y(j)); end end for j=2:n for k=1:m U(1,k,j)=g0(y(k),t(j)); U(m,k,j)=g1(y(k),t(j)); U(k,1,j)=h0(x(k),t(j)); U(k,m,j)=h1(x(k),t(j)); end end for k=2:n for i=2:m-1 for j=2:m-1

1、变系数线性微分方程的求解

本科毕业论文题目：变系数线性微分方程的求解问题院（部）：理学院专业：信息与计算科学班级：信计081 姓名：张倩学号：2008121191 指导教师：庞常词完成日期：2012年6月1日

目录摘要 (Ⅱ) ABSTRACT (Ⅲ) 1前言 1.1微分方程的发展和应用 (1) 1.2二阶变系数线性常微分方程的重要性 (2) 1.3本文的研究内容及意义 (2) 2二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 2.1基本概念 (3) 2.2二阶变系数线性微分方程的求解定理 (3) 2.3二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 (5) 3 微分方程的恰当方程解法 3.1恰当方程的概念 (8) 3.2恰当微分方程解法 (10) 4 微分方程的积分因子解法 4.1积分因子的概念 (14) 4.2积分因子解法 (14) 5二阶变系数微分方程可积的条件结论 (22) 谢辞 (23) 参考文献 (24)

摘要微分方程在数学理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广泛的应用。在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究，它们总是可解的，但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。如果能够确定某一类型的二阶变系数线性微分方程的积分因子或恰当方程，则该二阶变系数线性微分方程就可以求解，问题在于如何确定积分因子和恰当方程及该类方程在何种情况下可积。本文通过对微分方程的理论研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性微分方程的可积类型，借助积分因子和恰当方程的方法求解方程。关键词：变系数；二阶微分方程；积分因子；恰当因子

S olve For Varied Coefficient Second Order Liner Differential Equation ABSTRACT Second order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and technology. In differential equation theory, some special differential equation’s solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard. If we can make integrating factor or exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition. This article utilizes different ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation. Key Words: varied coefficient; second order liner differential equation; integrating factor; exact equation

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