基础物理研究性实验报告-氢原子光谱

北航物理实验研究性报告

氢原子光谱和里德伯常数的测量及对钠黄双线能否被分辨的探讨

摘要

本文基于氢原子光谱和里德伯常数的测量的实验，简要介绍了实验的原理、步骤、仪器，并对实验数据进行处理。最后主要对实验过程中未能观察到钠黄双线被分辨这一现象进行了探讨，并提出了光栅刻痕数量不够和爱里斑的干扰这两种可能的原因去尝试解释实验现象，最后根据实验现象结合理论分析得出了合理的结论。

关键词：光栅，钠黄双线，爱里斑

实验重点

（1）巩固、提高从事光学实验和使用光学仪器的能力（分光仪的调整和使用）； （2）掌握光栅的基本知识和方法；

（3）了解氢原子光谱的特点并使用光栅衍射测量巴尔末系的波长和里德伯常数； （4）巩固与扩展实验数据处理的方法——测量结果的加权平均，不确定度和误差的计算，实验结果的讨论等；

实验原理

一、光栅及其衍射

波绕过光栅而传播的现象称为衍射。具有周期性的空间结构的衍射屏称为“栅”。当波源与接收器距离衍射屏都是无限远时所产生的衍射称为夫琅禾费衍射。

光栅是使用最广泛的一种衍射屏。在玻璃上刻画一组等宽度、等间隔的平行狭缝就形成了一个投射光栅；在铝膜上刻画出一组端面为锯齿形的刻槽可以形成一个反射光栅；而晶格原子的周期排列则形成了天然的三维光栅。

本实验采用的是通过明胶复制的方法做成的投射光栅。它可以看成是平面衍射屏上开有宽度为a 的平行狭缝，缝间的不透光的部分的宽度为b ，d=a+b 称为光栅常数。光栅夫琅禾费衍射的具体理论主要有以下几个结论：

1、光栅衍射可以看成是单缝衍射和多缝干涉的综合。当平面单色光正入射到光栅上市，其衍射光振幅的角分布单缝衍射因子乘积，即沿方向的衍射光强

22

0sin sin ()(

)(

)sin N I I α

βθα

β

= 式中，sin /u a πθλ=，sin /d βπθλ=，N 是光栅的总缝数。

当时，也等于0，，形成干涉极大；当时，但不等于0时，，形成干涉极小。它说明：在相邻的两个主极大之间有N-1个极小、N-2个次级大；N 数越多，主极大的角宽度越小。 2、正入射时，衍射的主极大位置由光栅方程决定，单缝衍射因子不改变主极大的位置，只

影响主极大的强度分配。

3、当平行单色光斜入射时，对入射角α和衍射角θ做以下规定：以光栅面法线为准，由法线到光线逆时针入射为正，顺时针为负。这时光栅相邻狭缝对应点所产生的光程差为

)sin (sin αθλ-=?d ,光栅方程应写成λαθk d =-)sin (sin

类似的结果也适用于平面反射光栅。

不同波长的光入射到光栅上时，由光栅方程可知，其主极强位置是不同的。对同一级的衍射光来讲，波长越长，主极大的衍射角就越大。如果通过透镜接收，将在其焦面上形成有序的光谱排列，如果光栅常数已知，就可以通过衍射角测出波长。 二、光栅的色散本领和色分辨本领

和所有的分光元件一样，反映衍射光栅色散性能的主要指标有两个，一是色散率，二是色分辨本领。它们都是为了说明最终能够被系统所分辨的最小的波长差δλ。 1、色散率

色散率讨论的是分光元件能把不同波长的光分开多大角度。若两种光的波长差为δλ，它们衍射的角间距为δθ，则角色散率定义为δ/δD θθλ≡。D θ可由光栅方程导出：当波长由δλλλ→+时，衍射角由δθθθ→+，于是cos d k θδθδλ=，则

cos k D d θθλθ

δ≡

=δ 上式表明，D θ越大，对相同的λδ的两条光线分开的角度θδ也越大，实用光栅的d 值很小，所以又较大的色散能力。这一特性使光栅成为一种优良的光谱分光元件。

与角色散率类似的另一个指标是线色散率。它指的是波长差为λδ的两条谱线，在观察屏上分开的距离l δ有多大。这个问题并不难处理，只要考虑到光栅后面望远镜的物镜焦距即可，l f θδ=δ，于是线色散率

/cos l kf

D l fD d θλθ

≡δδ==

2、色分辨本领

色散率只反映了谱线（主极强）中心分离的程度，它不能说明两条谱线是否重叠。色分辨本领是指分辨波长很接近的两条谱线的能力。由于光学系统尺寸的限制，狭缝的像因衍射而展宽。光谱线表现为光强从极大到极小逐渐变化的条纹。如果谱线宽度比较大，就可能因相互重叠而无法分辨。

根据瑞利判别准则，当一条谱线强度的极大值刚好与另一条谱线的极小值重合时，两者刚可分辨。波长差λδ的计算，则可如下推出。由cos d k θδθδλ=可知，波长差为λδ的两条谱线，其主极大中心的角距离/cos k d δθδλθ=，而谱线的半角宽度cos Nd λ

θθ

?=；

当两者相等时，λδ刚可被分辨：

cos cos N k d d δλθλ

θ

=，由此得

kN

λλ

δ=

光栅的色分辨率定义为

/kN R λλ≡δ=

上式表明光栅的色分辨本领与参与衍射的单元总数N 和光谱的级数成正比，而与光栅常数d 无关。注意上式中的N 是光栅衍射时的有效狭缝总数。由于平行光管的限制，本实验中的有效狭缝总数N=D/d ，其中D=2.20cm ，是平行光管的通光口径。

实验仪器

主要仪器：分光仪、投射光栅、钠灯、氢灯、会聚透镜。

1、 分光仪

本实验中用来准确测量衍射角，其仪器结构、调整和测量的原理与关键已经在上个学期的课程中进行了研究。

2、 投射光栅

本实验中使用的是空间频率约600/mm 、300/mm 的黑白复制光栅。 3、 钠灯及电源

钠灯型号为ND20，用功率20W ，工作电压20V ，工作电流1.3A 的电源点燃，预热约10分钟后会发出平均波长为589.3nm 的强黄光。本实验中用作标准谱线来校准光栅常数。

4、 氢灯及电源

氢灯用单独的直流高压电源点燃。使用时极性不能接反，也不能用手触碰电极。直视时呈淡红色，主要包括巴耳末系中n=3,4,5,6的可见光。

主要步骤

本实验要求通过巴耳末系的2~3条谱线的测定，获得里德伯常数R h的最佳实验值，计算不确定度和相对误差，并对实验结果进行讨论。

1、调节分光仪

基本要求是使望远镜聚焦于无穷远，其光轴垂直仪器主轴；平行光管出射平行光，其光轴垂直仪器主轴。

2、调节光栅

调节光栅的要求是使光栅平面与仪器主轴平行，且光栅平面垂直平行光管；光栅刻线与仪器主轴平行。

3、测光栅常数

λ=作为标准谱线校准光栅常数d。

用钠黄光589.3nm

4、测量氢原子里德伯常数

R。

测定氢光谱中2~3条可见光的波长，并由此测定氢原子的里德伯常数

H

数据处理

1.校准光栅常数

原始数据列表处理，如下表：

测量次数谱线级数标盘读数1 标盘读数2

+1 329°10′149°04′

第一次

-1 308°49′128°45′

+1 252°22′72°17′

第二次

-1 232°06′52°02′

+1 180°45′0°45′

第三次

-1 160°30′346°31′

第四次+1 118°39′298°40′

-1 98°20′ 278°22′ 第五次

+1

48°26′ 228°28′ -1

28°08′

208°07′

1）由数据，计算第一级谱线的偏角，设其为1θ，可由+1级的标盘读数+1θ和-1级的标盘读

数-1θ计算得到，即2

111-

+-=

θθθ。本实验中，利用4

1_21_21_11_11-

+-+---=

θθθθθ

其中+1_i θ代表读数i 中+1级的角度。则有下面计算：

'10104

'

45128'0414949'10'-30832911?=?-?+??=

θ

'75.7104

'

0252'177206'22'-23225212?=?-?+??=

θ

同上计算可得13θ=10°7.25′，14θ=10°9.25′，15θ=10°9.75′

5

15

141312111θθθθθθ++++=

=10°8.8′

下面计算1θ的不确定度：

20

)'95.0()'45.0()'55.1()'05.1()'2.1(4

5)()(2

22225

1

2

111++-+-+=

?-=

∑=i i

a u θθ

θ=0.55′ 标盘系统误差为1′，即仪?=1′，而计算过程中利用了2

111-

+-=

θθθ，则

2

1

3)(1??=

仪

θb u =0.289′ 则)()()(12

121θθθb a a u u u +==0.621'

故1θ的最终结果可以表示为：

'±'?=±621.08.810)(11θθu

由于0.001′=rad 7

109.2-?。而0.621′=rad 4

10806.1-?，故可以直接引用精度为0.001′的不确定度转化为弧度制，则：

rad u )000181.01777093.0()(11±=±θθ（在此处1θ的不确定度多保留了几位是为了保证

后续计算的精确度） 2）再计算光栅常数d ：

由公式λθk d =sin ，在此处为1级谱线，k=1，λ=589.3nm ，1θ已经计算出，则

m m k d 691103451.3621.0sin 103.589sin --?='

?==θλ

由1sin θλk d =

，则)(sin )

cos ()()(11

2

111θθθλθθu k u d d u ?-=???=， 代入计算得，m 1039.3000181.0621.0sin )621.0cos (103.589)(92

9--?=?'

'-??=d u )(d u 取一位有效数字，则光栅常数的最终结果为：

m d u d 610)003.0345.3()(-?±=± 2、里德伯常数的计算

原始数据列表处理： 测量次数

光谱级数 谱线颜色 标盘读数1 标盘读数2 第一次

+1

红

49°35′

229°39′

蓝

46°40′

226°40′

-1

蓝

29°52′

209°51′

红 26°57′ 206°57′ 第二次

+1

红

109°08′

289°10′

蓝

106°11′

286°14′

-1

蓝

89°26′

269°29′

红 86°30′ 266°29′ 第三次

+1

红

167°56′

347°55′

蓝 164°58′ 344°55′ -1

蓝

148°14′

328°15′

红

145°15′ 325°18′

2)用蓝光计算里德伯常数

用类似1中计算1θ的的方法可计算蓝光的偏角，因为此处只观察了第一级谱线，故用B θ表示第一级蓝光的偏角，用R θ表示第一级红光的偏角。

'?='

?'?+'?'?=

25.2484

51209-402265229-40461B θ

'?='

?'?+'?'?=5.2284

29269-142862689-111062B θ

'?='

?'?+'?'?=

2184

15328-5534414148-581643B θ

所以'?=++=

58.2283

3

21B B B B θθθθ

再计算B θ的不确定度：

'=?-=

∑=939.02

3)()(3

1

2

i B

Bi B a u θθ

θ

同1中计算，标盘系统误差为1′，即仪?=1′，则2

1

3)(??=仪

B b u θ=0.289′ 则'=+=982.0)()()(2

2

B b B a B u u u θθθ

则'±'?=±982.058.228)(B B u θθ（此处不确定度多保留了几位是为了保证后续计算的精度，以后计算不是最终结果数据的不确定度均多保留几位），化为弧度制

u B B )

000286.0146195.0()(±=±θθ

下面利用第一级蓝光偏角计算里德伯常数：

B B d k θλsin =，k=1，因此m d B B 7108730.4sin -?==θλ

()()m

u d d u u d u d u B B B B B B

B B 92

22

2

10068.1)(cos )(sin )()()(-?=?+?=???

? ????+??? ????=θθθθθλλλ由公式

??? ??-=2211

1

n m

R H λ，本实验中观察的谱线为巴尔末线系，m=2

蓝光对应的n 为4，设由蓝光计算出的里德伯常数为HB R ，

1722100944611.14121

11

-?=??

? ??-?

=

m R B HB λ

14222103987.2)(141211)()(-?=????

? ??-=??=

m u u R R u B B

B B HB HB λλλλ 所以1910)0023987.00944611.1()(-?±=±m R u R HB HB 3）用红光计算里德伯常数

同上面蓝光的计算方法，用R θ表示第一级红光的偏角，

'?='

?'?+'?'?=

20114

57206-392295726-35491R θ

同理计算得'?=75.19112R θ，'?=5.19113R θ

'?=++=

75.19113

3

21R R R R θθθθ

再计算R θ的不确定度

'=?-=

∑=144.02

3)()(3

1

2

i R Ri

R a u θθ

θ，'=?

?=

289.02

1

3

)(仪R b u θ 合成不确定度'=+=323.0)()()(2

2

R b R a R u u u θθθ 由上得'±'?=±323.075.1911)(R R u θθ,化为弧度制

rad u R R )000094.0197731.0()(±=±θθ

由第一级红光的偏角可得m d R R 7

105713.6sin -?==θλ

()()m

u d d u u d u d u R R R R R R

R R 102

22

2

1034.7)(cos )(sin )()()(-?=?+?=???

? ????+??? ????=θθθθθλλλ

本实验中，红光对应的n 为3，用HR R 表示红光计算出的里德伯常数，因此

1722100956736.1312

1

11

-?=??

? ??-?

=

m R R HR λ

14222102239.1)(131211)()(-?=????

? ??-=??=

m u u R R u R R

R R HR HR λλλλ 最后得到1910)0012239.00956736.1()(-?±=±m R u R HR HR 3)里德伯常数的加权合成 由最小二乘法，282222

10188514.1)

(1

)(11

)

(1

1)(-?=+

=

=

∑m R u R u R u R u HR HB Hi

H

所以14100902.1)(-?=m R u H

1722222

10095424.1)(1)

()()

(1)(-?=+==∑∑m R u R u R R u R R u R u

R R H HR HR

HB HB Hi

Hi Hi H

不确定度保留一位有效数字，里德伯常数最佳测量值为：

1710)001.0095.1()(-?±=±m R u R H H

有关钠黄双线能否被观测到分开的探讨

1、角色散率和分辨本领的计算

本次试验中只测量了第一级光谱的数据，因此只计算第一级的角色散率和分辨本领。 由角色散率的定义θ

δλδθθcos d k

D =≡ 则第一级k=1，1

-6

1m 3050338.810cos 103451.31cos 1='

???==

-θθd D 再计算光栅分辨本领，就是657710345.3022.06

=?====

-d D kN R δλλ 此处D 为平行光管的通光口径。 当δλ

λ

>

=kN R 时，说明波长为λ，波长差为δλ的两束光可以被分辨。

带入钠黄光的数据，

2.9826

.03.589==δλλ，其远小于R ，这说明钠黄双线被分开了。 但是实际上，在实验过程中，起码是第一级光谱中并没有钠黄双线被分开的情况，如果有的话，就会影响实验过程中数据的记录了。

2、谱线半角宽度和角间距

用分辨本领来表示钠黄双线是否被分开过于抽象，下面从谱线的角宽度方面来分析。 由衍射光强的分布公式22

0sin sin ()(

)(

)sin N I I α

βθα

β

=，其θλ

πβsin d

=

。知道若在衍射角θ处为主极大位置，设相邻的极小值处衍射角为θθ?+，θ?即为主极大的半角宽

度，且有：θ

λπβπβsin {11d

k == 和 )s i n ()

({2

2θθλ

πβπ

πβ?+=+=d N k N N 这样就会满足

0!sin sin 11=ββN 为光强极大值点而0sin sin 2

2

=ββN 为光强极小值点。

可以解得θ

λ

θcos Nd =?

实验中观察的为第一级光谱，则第一级光谱主极大半角宽度为

rad 10721.28.810cos 10345.36577103.589cos 56

9

1width

---?='

?????==θλ

θNd 而钠黄双线之间的角间距为（θ

δλδθθcos d k D =≡

由λθk d =sin 微分导出）rad 10830.1106.03050334-9-?=??=??=????=

???λλλ

θθθλ

λD 通过半角宽度的计算，可以知道钠黄双线间的角间距λθ??远大于谱线主极大的半角宽度width θ，这更具体地解释了第一级的光谱中钠黄双线的确被分开。进一步支持了1中的结论。

3、提出可能原因

上面的论证结果与实验结果不符，为此提出可能原因：

由于光栅的分辨本领与光谱级数k 和参与衍射的光栅刻痕数量N 直接相关，若k 和N 改变则会直接影响实验结果。

1）"D"比理论值小

但是首先实验中只观察了第一级光谱，k=1是固定的，那就只能从N 考虑了。猜测是实际试验过程中从平行光管出射的光线不是平行光管的通光口径D=2.2cm ，若实验过程中分光仪的调节不好，也许有可能发生。但该情况很快被排除掉，原因有下：

a ）若是D 的原因导致光栅分辨能力不强，则实际试验中的“D ”至少满足

λ

λ?<=d D k

R ，代入计算可得m D 3

1029.3-?<，也就是说实际试验中起作用的光栅只有3mm ，这与平行光管通光口径相差太大，基本不可能发生。

b ）就算实验中D 的确满足m D 3

1029.3-?<的条件，由于D 很小，d

D

N =

自然也会小。由衍射光强表达式可知，主极大的强度与2

N 成正比，现在D 小于理论值的约7

1，那

主极大的光强至多就是实验设定时的49

1

，那主极大的亮度会很小，主极大与次极大光强差

距缩小。然而实际中主极大与次极大光强差距依然很大，观察到的是很细锐的亮线。

从以上两点基本可以排除有关D 的缩小的假设。

2）探讨可能存在的其他原因

如果派排除了D 缩小这个可能性，那与仪器有关的因素就全部排除了。如果实验操作也正确的话，那似乎就没有其他因素了。那为什么理论与实验现象如此不符合呢？实际上在这里忽略了一个问题，那就是钠黄双线被分开与钠黄双线被观测到分开是不等价的。

首先说一下最开始的论证。最开始的论证中是建立在如果一跳谱线的极大值刚好与另一条谱线的极小值重合时，两者可以被分辨，也就是瑞利判据。一开始的论证中，λθ??远大于width θ，则说明两条谱线可以被分辨。这个结论是正确的。

在此说明一下“理论上可分辨”和“理论上可观测”，刚开始的论证说明了两条谱线理论上可分辨，但是“理论上可分辨”与“理论上可观测”是同一个意思吗？答案应该是否定的，举个例子，放在桌子上面的离的很近的两根筷子，近处看他们是两根，在很远的地方看他们就是一根了。这样就说明了“理论上可分辨”与不等价于“理论上可观测”，这是两个

问题，不能化为一谈。那实验中的观察到钠黄双线被分开是属于“理论上可观测”，在此可以做出假设，第一级钠黄双线是理论上不可观测的，如果这个假设成立，实验中原本的“理论与实验冲突”就不纯在了。

既然最开始的论证已经说明钠黄双线理论上可以被分辨，而却不能被观测到，那就应该考虑从“分辨”到“观测”中间到底发生了什么。再去看最开始计算的钠黄双线角距离

rad 10830.14-?=??λθ，化为弧度制，是"'?75.3700，这是一个非常小的角度。在后面要

证明这正是“无法观测的”原因。

这里要注意到“被观测”是被实验操作者用眼睛去观测。利用瑞利判据，λθ??远大于

width θ可以说明钠黄双线被分辨。联想上一段举的例子中两根筷子无法被人眼观测到，即要

证明人眼能够观测到，就要引入考虑到爱里斑的影响。

3）爱里斑对实验的影响

爱里斑是光束通过小孔时形成的圆孔衍射花样。当阻碍光束传播的小孔直径比较小时，就不能忽略爱里斑衍射对图形成像的影响。而人眼的瞳孔直径在2mm~8mm 之间，爱里斑对观测的影响就比较大了。现在计算爱里斑对观测的影响。

查资料的JJY 型分光仪望远镜物镜的焦距是mm f 168=，自准直望远镜放大倍数为5倍。如上

40cm （估算），其中红色箭头所指出大

约对应物镜焦平面位置。

参考下面的光路图，从光栅中出射的光，假设望远镜旋转到某一角度时，黑色的光平行望远镜光管入射，也即垂直物镜入射。另一条途中红色表示的光谱，由于和黑色光线波长很

物镜焦平面

近，夹角比较小，微微倾斜入射望远镜。他们刚开始夹角为λθ??。

经过物镜后聚焦于物镜焦平面，也就是叉丝板的位置。两束光此时在叉丝板上的距离差为f l ??=??λθ。然后观察者通过望远镜的目镜观察叉丝板上的像，也就是相距l ?的两条光谱，这两条光谱进入人眼的夹角为L

l

?=

入射α。其中L 为叉丝板到人眼的距离。由于望远镜的存在，实际入射角度应为入射α5，5是望远镜放大倍数。

下面计算钠黄双线的入射α：rad L l 45100248.13

.0100744.3--?=?=?=入射

α 已知f=168mm ，则m f l 5

4

100744.3168.010830.1--??=??=??=?λθ

由于无法得知叉丝板到人眼的距离，只能粗略用望远镜筒的长度减去物镜焦距估算一下，取了L=30cm 。虽然这样，L 的误差不会超过10cm ，这保证了结果和理论值在一个数量级，不会和实际误差过大。

光栅

物镜

叉丝位置

观察者

考虑爱里斑的存在，有爱里斑的半角宽度公式d

22

.1λ

θ=?爱，这里的d 为圆孔的直径。

不妨取人眼瞳孔直径为2mm ，人眼要能分辨两个物体，则入射角度最小为

rad mm 49

min

1059473.3002

.0103.58922.1222.1--?=?==λ

?

实际第一级光谱的钠黄双线有min 5?α>入射，但是仔细观察可发现min 5?α和入射在一个数量级，而且相差不大。也就是说在实验中钠黄双线的距离处在被人眼观察的边缘。在实验中两条钠黄光的主极大很亮，两条钠黄光又处于爱里斑判定的能被肉眼分辨的边缘，很容易被实验者观察成一条。所以可以说在第一级光谱中钠黄双线基本无法被观察者用肉眼分开，爱里斑的假设可以解释实验现象。

再考虑第二级光谱，第二级光谱可由公式计算，由λθk d =2sin ，可以计算得到第二级光谱偏角2θ=20°37′=0.3601rad ，在计算二级谱线钠黄双线夹角。

rad 10660.3106.0305033224-9-22?=???=??=??=??λλθθθλD D

rad L f 442

2100496.23

.0168

.010660.3--??=?=?=λθα入射 此时，rad rad 4min 321059473.3100245.15--?=>?=?α入射，而且相差比较大，有比较大的可能性用肉眼观察到钠黄双线被分开。询问其他同学，的确有同学观察到第二级光谱钠黄双线被分开，而且很模糊，这也间接验证了爱里斑造成无法观测钠黄双线被分开的猜想。

因此，有理由说是爱里斑的存在造成了无法用肉眼在第一级光谱观测钠黄双线被分开，且钠黄双线是理论上在第一级光谱可以被分辨。

4、最终结论

钠黄双线在理论上可以被分辨，但是由于存在爱里斑的原因钠黄双线在第一级光谱中不能被肉眼分辨。“可被分辨”不等于“可被肉眼观测”

实验感想

在这一个学期里，新的实验让我们了解到了更多的知识。其中，在本实验中，学习了很

多东西。

氢原子光谱实验是一个十分精密的实验。在实验之前，我们都很认真的在预习，希望在试验中不要有什么差错。实验中比较难得地方我认为是调节绿色叉丝的部分。将绿色叉丝调整好是整个实验要做好的前提。而在这个部分，需要很认真的调解仪器，掌握正确的方法调节，才能很快很好的完成。当然，我认为也需要一点点好运气。同时，在实验中，要认真仔的观察所出现的谱线，准确、清楚的记录下相应数据，才能在后续的数据处理中得到正确的结论。但是在实验中，有一个现象令我们不能理解：钠黄双线的分开在实验中观察不到。这个问题书中没有解释，同时实验老师也有说道，让我们自己去思考。在实验中，这也是一件很有趣的事情。对于这个问题，我们用了很多时间去思考，心中也有着不一样的答案，一开始认为是由于光栅中参与衍射的刻痕不够，但是结合实际很快排除了这个想法。后来陷入山穷水尽的地步，认为实验仪器没有问题，操作没有问题，但是理论就是与实际冲突。后来突然联想到两根筷子不能被分开的现象，想到了爱里斑的影响。最终经过一些计算验证，验证了的确是爱里斑造成的实验结果的偏差。在这样一个过程中，我们的思维得到的锻炼，同时也锻炼了我们的耐心与细心。报告的完成，让我们也更加相信自己。这些都是我们从实验中所感悟到的。