傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用

1.前言

1.1背景

利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。

类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。

积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，

比如乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用

含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函

数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要

积分变换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能

够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号

的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立

叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。

拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家

Pierre Simon Laplace （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究

中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在

他的著名作品《概率分析理论》之中。即使在19世纪初，

拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研

究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学

家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利

弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算

子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题

很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴

趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依

据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论

的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文

章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关

性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变

换和拉普拉斯变换的区别与联系。

1.2预备知识

定理1.2.1（傅里叶积分定理）

若在（-∞，+∞）上，函数满足一下条件：

（1）在任意一个有限闭区间上面满足狄利克雷条件；

（2），即在（-∞，+∞）上绝对可积；

则的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点处

在它的间断点处

定义1.2.1（傅里叶变换）

设函数满足定理 1.2.1中的条件，则称

为的傅里叶变换，记作。定义1.2.2（傅里叶级数）

设函数的周期为T，则它的傅里叶级数为：

上式中，

定义1.2.3（傅里叶逆变换）

定义1.2.4（拉普拉斯变换）

若函数满足积分收敛，那么该积分记作

式中s为复数，为积分核，上式称为拉普拉斯变换. 定义1.2.5（拉普拉斯逆变换）

称为F(s)的拉普拉斯逆变换

＝-1

定义1.2.6（卷积）

假如?

1(t)和?

2

(t)是（-∞，+∞）上面有定义的函数，则

?1(τ) ?

2

(t-τ)dτ

称为?

1(t)和?

2

(t)的卷积，记为?

1

(t)*?

2

(t)

?

1

(t)*?

2

(t)＝?

1

(τ) ?

2

(t-τ)dτ

2.傅里叶变换的性质及应用2.1傅里叶变换的性质

性质2.1.1（线性性质）

设常数，[?

1(t)]，[?

2

(t)]则：

性质2.1.2（位移性质）

设＝，则

性质2.1.3（微分性质）

设＝，在连续或可去间断点仅有

有限个，且，则：