2018高考湖南文科数学试题及全解全析.doc

(1,1)

(1,2)(2,2)x=1

O

y

x

1

y=2x-y=0

2018高考湖南文科数学试题及全解全析

一．选择题

1．已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则( )

A ．{}6,4=?N M .

B M N U =U

C ．U M N C u =Y )( D. N N M C u =I )( 【答案】B

【解析】由{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，易知B 正确. 2．“21<-x ”是“3

A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】由21<-x 得13x -<<，所以易知选A.

3．已条变量y x ,满足??

?

??≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( )

A ．4 B.3 C.2 D.1 【答案】C

【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点

分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点

(1,1)时,x y +最小值是11 2.+=故选C.

4.函数)0()(2

≤=x x x f 的反函数是( )

)0()(.1

≥=-x x x f

A )0()(.1

≥-=-x x x f

B

)0()(.1

≤--=-x x x f

C )0()(.21

≤-=-x x x f

D

【答案】B

【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),-则其反函数过点(1,1),-验证知只有答案B 满足.

也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。

5.已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( )

.A n β⊥ ,//.βn B 或β?n α⊥n C . ,//.αn D 或α?n

【解析】易知D 正确.

6．下面不等式成立的是( )

A ．322log 2log 3log 5<<

B ．3log 5log 2log 223<<

C ．5log 2log 3log 232<<

D ．2log 5log 3log 322<< 【答案】A

【解析】由322log 21log 3log 5<<< , 故选A.

7．在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?=u u u r u u u r

( )

A ．23-

B ．32-

C ．32

D ．2

3 【答案】D

【解析】由余弦定理得1cos ,4CAB ∠=所以13

32,42

AB AC ?=??=u u u r u u u r 选Ｄ.

8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，

则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A ．15 B ．45 C ．60 D ．75 【答案】C

【解析】用直接法：111221

35353515301560,C C C C C C ++=++=

或用间接法：2222

4635903060,C C C C -=-=故选Ｃ.

9．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，

11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是( )

A ．

42π B ．2

2π C ．π2 D ．2π2 【答案】B

【解析】112BD AC R ===Q R ∴=

设11,BD AC O =Q I 则

OA OB R ===,2

AOB π

?∠=

,2

l R π

θ∴==故选Ｂ.

10．双曲线

)0,0(122

2

2>>=-b a b

y a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )

A ．

B ．)+∞

C ．1]

D ．1,)+∞

X

y P

A

【解析】200a ex a x c -=+Q 20(1)a e x a c ?-=+2

(1),a a e a c

?+≥- 1

111,a e c e

∴-≤+

=+2210,e e ?--≤1212,e ?≤≤+ 而双曲线的离心率1,e >21],e ∴∈故选Ｃ.

二．填空题

11．已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则+=_____________________. 【答案】２

【解析】由(3),||13 2.a b a b +=-∴

+=+=r r r r

Q 12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。 【答案】60

【解析】由上表得15000

(2321)23060.500

-?=?= 13．记n

x

x )12(+的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________. 【答案】5

【解析】由211(2)()2,r

n r

r n r r

n r r n n T C x C x x

---+=?=??得2233222,n n n

n C C --?=?? 所以解得 5.n =

14．将圆12

2

=+y x 沿x 轴正向平移1个单位后所得到圆C ，则圆C 的方程是________,若过点（3，0）的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率为_____________.

【答案】2

2

(1)1x y -+=, 33

±

【解析】易得圆C 的方程是22

(1)1x y -+=,

直线l 的倾斜角为30,150o

o

,

所以直线l

的斜率为k = 15．设[]x 表示不超x 的最大整数，（如[]14

5,22=??

????=）。对于给定的+∈N n ,

定义[][][),,1,)

1()1()

1()2)(1(+∞∈+--+---=

x x x x x x n n n n C x n

ΛΛ则3

28C =________; 当[)3,2∈x 时，函数x

C 8的值域是_________________________。

【答案】

16,3 28

(,28]3

【解析】328

816,332

C =

=当2x =时，288728,21C ?==?当3x →时，[]2,x = 所以88728,323x

C ?=

=?故函数x C 8的值域是28

(,28]3

.

三．解答题

16．甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格

就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试

合格的概率都是

2

1

，且面试是否合格互不影响。求： （I ）至少一人面试合格的概率； （II ）没有人签约的概率。

解：用,,A B C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知,,A B C 相互独立，且

()()()12

P A P B P C ===

. (1)

至

少有

1

人

面

试

合

格

的概率是

()()()()

3

17

11128

P ABC P A P B P C ??-=-=-= ???

(2) 没有人签约的概率为

()(

)()

()()()()()()()()()

3

3

3

11122238

P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=++??????=++ ? ? ???????=

17．已知函数x x

x x f sin 2

sin 2cos

)(22

+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期；

（II ）当)4

,

0(0π

∈x 且524)(0=

x f 时，求)6

(0π

+x f 的值。

18．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，0

60=∠BCD ， E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，3=PA 。

（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；

（2）求二面角A —BE —P 和的大小。

解 解法一(Ⅰ)如图年示，连结BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，ΔBCD 是等边三角形.

P

A

B

C

E D

因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ，又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB .又因为PA ⊥平面ABCD ，BE 平面ABCD ，所以PA ⊥BE .而PA ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面PAB . 又BE 平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE ⊥平面PAB ，PB 平面PAB ，所以PB ⊥BE .

又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A －BE －P 的平面角. 在Rt ΔPAB 中，tan ∠PBA ＝

3=AB

PA

，∠PBA ＝60°. 故二面角A －BE －P 的大小是60°.

解法二 如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，

C (0,23,

23)，D (0,23,21)，P (3,0,0)，E (0,2

3,1). (Ⅰ)因为3

(0,,0)2BE =u u u v ，平面PAB 的一个法向量是0n u u v ＝(0,1,0)，所以BE u u u v 和0n u u

v 共线.从而BE ⊥平面PAB .又因为

BE 平面BEF ，所以平面PBE ⊥平面PAB .

(Ⅱ)易知PB u u u v

=(1,0,-3), BE =(0,

123

,0), 设1n =(x 1,y 1,z 1)是平面PBE 的一个法向量，则有111111030,3

000.x y z x y z ?+?-=?

??+

+?=?? 所以y 1=0,x 1=3z 1.故可取1n =(3,0,1). 而平面ABE 的一个法向量是2n =(0,0,1).

于是，cos ＜1n ,2n ＞＝

12121

||2

n n n n =g g ||.

故二面角A BE P --的大小是60o .

19已知椭圆的中心在原点，一个焦点是)0,2(F ，且两条准线间的距离为)4(>λλ。 （1）求椭圆的方程；

（2）若存在过点A （1，0）的直线l ，使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，

求λ的取值范围。

于是，当且仅当23

[2(6)]4(4)0,2(6)(4)λλλλλλλλ??=---≥?

-?-?-?

＞0. (*)

上述方程存在实根，即直线l 存在.

解(*)得16,

34 6.λλ?

≤????

＜＜所以4＜λ≤163.

20．数列{}n a 满足,2,021==a a ,,3,2,1,2

sin 4)2cos

1(22

2Λ=++=+n n a n a n n ππ （1）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；

（2）设1231-+++=k k a a a S Λ，k k a a a T 242+++=Λ，)(22+∈+=

N k T S W k

k

k ， 求使1>k W 的所有k 的值，并说明理由。

21．已知函数cx x x x x f +-+=

2342

9

41)(有三个极值点。 （1）证明：527<<-c ；

（2）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[]2,+a a 上单调递减，求a 的取值范围。 解 (Ⅰ)因为函数()43219

42

f x x x x cx =

+-+有三个极值点，所以 ()33390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.

设()3339g x x x x c =+-+，则()()()2369331g x x x x x '=+-=+-. 当x ＜-3时，()0g x '>,g (x )在(-∞,-3)上为增函数, 当-3＜x ＜1时，()0g x '<,g (x )在(-3,1)上为减函数, 当x ＞1时，()0g x '

>,g (x )在(1,+ ∞)上为增函数.

所以函数g (x )在x =-3时取极大值，在x =1时取极小值.

当g (-3) ≤0或g (1) ≥0时，g (x )=0最多只有两个不同实根，因为g (x )=0有三个不同实根，所以g (-3)＞0，且g (1)＜0.即-27+27+27+c ＞0，且1+3-9+c ＜0,解得c ＞-27，且c ＜5.

故-27＜c ＜5.