高考数学压轴专题(易错题)备战高考《矩阵与变换》经典测试题

【高中数学】高中数学《矩阵与变换》期末考知识点

一、15

1．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ?=?

???

，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11??????，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .

【答案】2314A ??

=????

【解析】【分析】

根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】由题意可知，1155115a b c d ????????==?

???????????????，且2112a b c d --??????

=????

????????

，所以552122a b c d a b c d +=??+=??-+=-??-+=?，解得2

314

a b c d =??=??=??=?，

即矩阵2314A ??=????. 【点睛】

此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.

2．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4424ax y z x by z x by z ++=??

++=??++=?

有唯一解.

【答案】当0b ≠且1a ≠时【解析】【分析】

计算对应行列式为()11

110121

D b

b a b ==-≠，计算得到答案.

【详解】

424ax y z x by z x by z ++=??

++=??++=?

有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠

所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解【点睛】

本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力.

3．解方程组32

321

x my m mx y m +=+??

+=-?.

【答案】详见解析. 【解析】【分析】

求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】

由题意可得()()2

933D m m m =-=--+，

()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---.

①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()213

13x y m D x D m D m y D m ?+==??+?-?==?+?

；

②当3m =时，方程组335335335x y x y x y +=??+=?

+=?

，令()x t t R =∈，得533t y -=，

此时，该方程组的解有无数多个，为,

()533x t t R t y =??

∈-?=??

；

③当3m =-时，该方程组为331

337x y x y -=-??-+=-?

17?-=，所以该方程组无解.

【点睛】

本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.

4．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360

260x y kx k y +=??++=?

的解满足0x y >>，求实数k

的取值范围.

【答案】5,42?? ???

【解析】

【分析】

由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由0

x y D >>??≠?列出关于k 的不

等式组，解出即可. 【详解】

由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.

由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()6018

6048x y k D x D k D k y D k ?-==??+?-?==?+?

，

由于00

D x y y ≠??>??>?，即()()()806016048860408

k k k k k k k ??+≠?--?>?++??->?+?，整理得80

2508408k k k k k ?

?+≠?

-?>?

+?-?

???

. 【点睛】

本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

5．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααα

απααα-=?≤≤?+=?

【答案】见解析. 【解析】【分析】

求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】

由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，

()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+，

22sin cos cos2y D ααα=-=-.

0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.

①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22

α≠且322π

α≠

时，即当4πα≠且34

πα≠时，

11sin cos x y D x D

D y D αα?

==???

?==-?+?

； ②当4πα=

时，方程组为22

x x =

=??

，则该方程组的解为1x y R =??∈?

；

③当34πα=

时，方程组为x x =?

??，该方程组的解为1x y R =-??∈?

. 【点睛】

本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.

6．用行列式解方程组231231x y z x y az ay z +-=-??

-+=-??-=?

，并加以讨论.

【答案】当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +?=-?+?

=?+?

?=?+?

；

当5

a =-

时，方程组无解；当1a =时，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-??

=+∈??=?

【解析】【分析】

分别得到D ，x D ，y D ，z D ，然后分别得到它们等于0，得到相应的a 的值，然后进行讨论. 【详解】

()()21312

2510

D a a a a

-=-=-+--，()()113

11111

x D a a a a

--=--=-+-，()21313

210

y D a a --=-=---，()211123510

z D a a

-=--=-

当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +?=-?+?

=?+?

?=?+?；

当5

2a =-时，原方程等价于2315232512x y z x y z y z ?

?+-=-?

?--=-??

?---=??

，方程组无解；

当1a =时，原方程组等价于231231x y z x y z y z +-=-??

-+=-??-=?，

方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-??

=+∈??=?

【点睛】

本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.

7．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1

323ax y ax ay a +=-??-=+?

解的情况.

【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12

x a y ?

??=-?；②当0a =时，方程组无

解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31

x t

t R y t =?∈?=-?.

【解析】【分析】

由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,

无穷多解的情况即可【详解】

()21

333a D a a a a a a

=--=-+-, ()()11

233323x D a a a a a a

-==-+=--=-++-, ()()212332623323

y a

D a a a a a a a a a -=

=++=+=++,

①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x y a D x D a a a D a a y D a a ?-+===?-+??+?===-?-+?

,即12x a y ?=?

??=-?；

②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；

③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解

可表示为()31x t

t R y t =?∈?=-?

【点睛】

本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想

8．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c

，且sin

cos

sin 222sin

cos 022sec

A A c

B B -=-求角

C 的大小.

【答案】

π 【解析】【分析】

先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值【详解】

由sin

cos

sin 222sin

cos 0sin cos sin sin cos 2222222sec

A A c

B A B

C B A B -=?++=-

sin sin 22A B C +??

?+= ?

又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-??

???

，

sin sin sin cos 2222A B C C C +??

+=?+= ?

，

sin 12424C C ππ????

+=?+= ? ?????

，又Q 3,

2444C πππ??+∈ ???

，242C ππ

+=∴，解得2

C π

【点睛】

本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题

9．证明：（1）

1112

2212

a b a a a b b b =；（2）

121

222

a ka

b kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】

（1）根据行列式的运算，分别化简得

112122

2a b a b b a a b =-，12

122112

a a a

b a b b b =-，即可求解；

（2）根据行列式的运算，分别化简得

1212

122122

a ka

b kb a b a b a b ++=-，

122122

a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】

（1）根据行列式的运算，可得

112122

2a b a b b a a b =-，12

122112

a a a

b a b b b =-，

所以

112

2212

a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得

1212

12212222

()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+ 122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，

又由

112212

a b a b a b a b =-，所以121211

2222a ka b kb a b a b a b ++=.

【点睛】

本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

10．已知点()3,1A ，()1,3B -，i v

，j v

分别是基本单位向量.

（1）若点P 是直线2y x =的动点，且0AP i AP j BP j

BP i

??=-??u u u v u u u v v v u u u v u u u v v v ，求点P 的坐标（2）若点(),P x y 满足12

6101

y -=且OP OA OB λμ=-u u u v u u u v u u u v

，λ，μ是否存在自然数解，若存在，求出所有的自然数的解，若不存在，说明理由.

【答案】（1）()0,0，()2,4（2）存在，0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，

0μ=

【解析】【分析】

(1)设P 的坐标为(),2x x ,再根据行列式的运算求解即可.

(2)利用12

6101

x y -=求出(),P x y 满足的关系式,再根据OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r

求出关于

(),P x y 满足的关系式,再求自然数解即可.

【详解】

(1)由题,设P 的坐标为(),2x x ,因为0AP i AP j

BP j BP i

??=-??u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,

故

()()()()

0AP i BP i BP j AP j ???--???=u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,化简得0AP BP ?=u u u r u u u r , 即()()3,211,230x x x x --?+-=,即2222348305100x x x x x x --+-+=?-=. 解得0x =或2x =.代入可得()0,0或()2,4

(2)由12

6101

y -=得12(6)4(2)(26)0y x y x ----++=.化简得8y x =-.

又OP OA OB λμ=-u u u r

u u u r

,故()()()3,11,3,x y λμ=--,即33x y λμ

λμ

=+??

=-?.

故33824λμλμλμ-=+-?+=,又,λμ为自然数.故0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，0μ= 【点睛】

本题主要考查了向量与行列式的基本运算等,需要根据题意求得关于(),P x y 的关系式,属于中等题型.

11．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-??

(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值. 【答案】2

θ=

【解析】【分析】

在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】

在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)

cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-?-?????????==?????????+?????????

故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ=-'=+'???

，

又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-

即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++= 因为l 与l ′垂直，故

sin 2cos 1

=cos 02sin cos 2

θθθθθ-?=+

又(0,)θπ∈，故2

θ=.

【点睛】

本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12．变换T 1是逆时针旋转

角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101??

????

．（1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；

（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】

试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-??

???

，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2?M 1＝1110-??

，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.

试题解析：解：(1)M 1＝0110-??

????

， M 121??????＝12-??

???

．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2?M 1＝1110-??

???

，设x y ??

????

是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ??????,

则M 00x y ???

???＝x y ??

????

,也就是000{x y x x y -==即00{y y x x y =-= 所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换

13．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110?????? ，B=1002??

????. 求AB;

若曲线C 1;22

y =182

x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.

【答案】（1）0210????

（2）22

8x y += 【解析】

试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．

试题解析：解：（1）因为A =0110??????， B =1002??

????，所以AB =01101002???????????? 0110?????? 1002??????=0210?????? 0210??????

. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,

则000210x x y y ??????=????????????，即002y x x y =??=?，所以002x y

x y =??

?=??. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以22

00188x y +=，

从而22

188

x y +=，即228x y +=.

因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：

8x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++??????=??????++??????；（2）矩阵变换：a b x x c d y y ??????=??????????'??

'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ??

??变换下变成点(,)x y ''．

14．已知二阶矩阵13a M b ??=????的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-??

????. （1）求矩阵M ；

（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程. 【答案】（1）2130M ??=??

（2）2

92y x x =- 【解析】【分析】

（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；

（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程．【详解】

解：（1）依题意得111333a b -??????

?=??????-??????

，

即31

333a b -+=??-+=-?，解得20a b =??=?，

所以2130M ??

=????

；（2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(

)

,P x y '

，

则2130x x y y ''??????=????????

?????，即23x x y y x ''=+??=?，因为2

y x ''

=，所以2

92x x y =+，所以曲线C 的方程为2

92y x x =-．【点睛】

本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．

15．已知矩阵12A c d ??

（c ，d 为实数）.若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为21??????，11??

????

，求矩阵A 的逆矩阵1A -.

【答案】1

2133116

6A -??

-??=?

???????

【解析】【分析】

根据特征值的定义可知A αλα=，利用待定系数法建立等式关系，求出矩阵A ，即可求出逆矩阵1A -．【详解】

解：由题意知，122422121c d c d ????????==????????+????????，12131311c d c d ????????

==????????+????????，所以223c d c d +=??+=?，解得1

4c d =-??

. 所以1214A ??=??

-??

，所以1

133116

6A -??

-??=????????

. 【点睛】

本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．

16．已知矩阵2132A ??=?

???，列向量x X y ??=????，47B ??

=??

，且AX B =. （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；（2）求x ，y 的值. 【答案】（1）1

2132A --??=??-??（2）1

x y =??=? 【解析】【分析】

（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵；（2）由AX B =可得1

214327X A B --????

==????-????

，计算矩阵的乘法，即可得答案. 【详解】

（1）由2132A ??=????，()det 223110A =?-?=≠，所以A 可逆，从而1

2132A --??=??-??. （2）由AX B =得到1

21413272X A B --??????===??????-??????

， ∴12x y =??=?

【点睛】

本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.

17．己知矩阵1221M ??

=????

. （1）求1M -；

（2）若曲线22

1:1C x y -=在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.

【答案】（1）1

12332133M -??-??=?

???-????

；（2）223y x -= 【解析】【分析】

（1）根据逆矩阵的求法，求得M 的逆矩阵1M -.（2）设出1C 上任意一点的坐标，设出其在矩阵M 对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关系式，再代入1C 方程，化简后可求得2C 的方程. 【详解】

解（1）设所求逆矩阵为a b c d ??

????，则122210212201a b a c b d c d a c b d ++????????==????????++????????，即21202021

a c

b d a

c b

d +=??+=??

+=??+=?，解得13232313a b c d ?

=-???=???=???=-

，所以1

12332133M -??-??=????-????. （2）设曲线1C 上任一点坐标为()00,x y ，在矩阵M 对应的变换作用下得到点(),x y ，则001221x x y y ??????

=???

???

??????，即000022x y x x y y

+=??+=?，解得0023

23y x x x y y -?=???

-?=??

. 因为220

1x y -=，所以22

22133y x x y --????-= ? ?

????

，整理得22

3y x -=，所以2C 的方程为22

3y x -=. 【点睛】

本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.

18．已知变换T 将平面上的点11,2??

???，(0,1)分别变换为点9,24??- ???，3,42??- ???

．设变换T 对应的矩阵为M ．（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值．

【答案】（1）33244M ?

??=??-??

（2）1或6

【解析】【分析】

（1）设a b M c d ??

=????

，根据变换可得关于a b c d ,,,的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案；【详解】

（1）设

a b

c d

=??

，则

a b

c d

????

??????

?????

??-

????

，

a b

c d

??????

????

，

即

a b

c d

?+=-

，解得

?=-

，则

-??

．

（2）设矩阵M的特征多项式为()

fλ，可得

()(3)(24)676

λλλλ

==---=-+

，

令()0

fλ=，可得1

λ=或6

λ=．

【点睛】

本题考查矩阵的求解、矩阵M的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

19．已知a，b R

∈，若M=

-??

所对应的变换T M把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a，b．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

设

则

即

此直线即为

则.

20．用行列式解关于x 、y 的方程组3

(31)484mx y m x my m -=??+-=+?

，并讨论说明解的情况.

【答案】当1m =时，无穷解；当14

m =-

时，无解；当1m ≠且1

4m ≠-时，有唯一解，

441x m =

+，83

41m y m +=-

+. 【解析】【分析】先求出系数行列式D ，x D ，y D ，然后讨论m ，从而确定二元一次方程解的情况．【详解】解：

3(31)484mx y m x my m -=??+-=+?

Q 21

431(41)(1)431m

m D m m m m m -∴+-==-+=+-++，

44431

48x D m m

m -==--+，

()()23

853*******

y m D m m m m m m =

=--+++=-，

①当1m ≠且1

m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，

即144(41)4(14)x D m x m D m m -=

==+++-，()()()()83183

41141

y D m m m y D m m m +-+===-+-++， ②当1m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷解． ③当1

m =-时，0D =，0x D ≠，原方程无解．【点睛】

本题主要考查了行列式，以及二元一次方程的解法，属于基础题．

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案

新高考数学《不等式》练习题一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-，故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）

A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得 1 1322 a d a =--，当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立；当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】