(完整word版)普里姆算法求最小生成树
沈阳航空航天大学
课程设计报告
课程设计名称：数据结构课程设计
课程设计题目：Prim算法求最小生成树
院（系）：计算机学院
专业：计算机科学与技术（物联网方向）
班级：
学号：
姓名：
指导教师：
学术诚信声明
本人声明：所呈交的报告（含电子版及数据文件）是我个人在导师指导下独立进行设计工作及取得的研究结果。尽我所知，除了文中特别加以标注或致谢中所罗列的内容以外，报告中不包含其他人己经发表或撰写过的研究结果，也不包含其它教育机构使用过的材料。与我一同工作的同学对本研究所做的任何贡献均己在报告中做了明确的说明并表示了谢意。报告资料及实验数据若有不实之处，本人愿意接受本教学环节“不及格”和“重修或重做”的评分结论并承担相关一切后果。
本人签名: 日期：2015 年 1 月15 日
沈阳航空航天大学
课程设计任务书
计算机科学与技术课程设计名称数据结构课程设计专业
（物联网方向）
学生姓名班级学号
题目名称Prim算法生成最小生成树
起止日期2015 年 1 月 5 日起至2015 年 1 月16 日止
课设内容和要求：
在n个城市之间建立网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法，利用Prim算法输出n个城市之间网络图，输出n个节点的最小生成树。其中，n个城市表示n个节点，两个城市间如果有路则用边连接，生成一个n个节点的边权树，要求键盘输入。
参考资料：
算法与数据结构，严蔚敏、吴伟民，清华大学出版社，2006
C程序设计，谭浩强，清华大学出版社，2010
教研室审核意见：教研室主任签字：
指导教师（签名）年月日
学生（签名）2015 年 1 月15 日
目录
学术诚信声明 .............................................................................................................. - 1 -一课程设计目的和要求.......................................................................................... - 4 -1.1课程设计目的 .. (4)
1.2课程设计的要求 (4)
二实验原理分析 ........................................................................................................ - 5 -2.1最小生成树的定义 (5)
2.2P RIM算法的基本思想 (5)
三概要分析和设计 .................................................................................................... - 8 -3.1概要分析 . (8)
3.2概要设计 (9)
四测试结果 ............................................................................................................ - 14 -4.1实验一 . (14)
4.2实验二 (14)
4.3实验三 (15)
参考文献 .................................................................................................................... - 16 -附录（关键部分程序清单）.............................................................................. - 17 -
一课程设计目的和要求
1.1 课程设计目的
(一)根据算法设计需要，掌握连通网的数据表示方法；
(二)掌握最小生成树的Prim算法；
(三)学习独立撰写报告文档。
1.2 课程设计的要求
在n个城市之间建立网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法，利用Prim算法输出n个城市之间网络图，输出n个节点的最小生成树。其中，n个城市表示n个节点，两个城市间如果有路则用边连接，生成一个n个节点的边权树，要求键盘输入。
二实验原理分析
2.1 最小生成树的定义
一个有n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或Prim（普里姆）算法求出。
(1). 最小生成树的概述
在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。
最小生成树其实是最小权重生成树的简称。
(2). 最小生成树的分析
构造最小生成树可以用多种算法。其中多数算法利用了最小生成树的下面一种简称为MST的性质：假设N=(V,{E})是一个连通网，U 是顶点集V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值（代价）的边，其中u∈U，v∈V-U，则必存在一棵包含边(u.v)的最小生成树。2.2 Prim算法的基本思想
假设G =（V，E）是一个具有n个顶点的连通网，T=(U,TE)是G的最小生成树，其中U是T的顶点集，TE是T的边集，U和TE的初值均为空集。算法开始时，首先从V中任取一个顶点（假定取V0），将它并入U中，此时U={V0}，然后只要U是V的真子集，就从那些其一个端点已在T中，另一个端点仍在T外的所有边中，找一条最短（即权值最小）边，假定为（i,j），其中Vi∈U,Vj∈(V-U),并把该边（i,j）和顶点j分别并入T的边集TE和顶点集U，如此进行下去，每次往生成树里并入一个顶点和一条边，直到n-1次后就把所有n个顶点都并入到生成
树T的顶点集中，此时U=V，TE中含有n-1条边，T就是最后得到的最小生成树。可以看出，在普利姆算法中，是采用逐步增加U中的顶点，常称为“加点法”。为了实现这个算法在本设计中需要设置一个辅助数组closedge[ ]，以记录从U到V-U具有最小代价的边。当辅助数组中存在两个或两个以上的最小代价的边时，此时最小生成树的形态就不唯一，此时可以在程序中采用递归的算法思想求出每个最小生成树。
(1). 在prim算法中要解决两个问题
1)在无向网中，当从一个顶点到其他顶点时，若其边上的权值相等，则可能从
某一起点出发时，会得到不同的生成树，但最小生成树的权值必定相等，此时我们应该如何把所有的最小生成树求解出来；
2)每次如何从生成树T中到T外的所有边中，找出一条权值最小的边。例如，
在第k次（1≤k≤n-1）前，生成树T中已有k个顶点和k-1条边，此时T中到T外的所有边数为k(n-k)，当然它也包括两顶点间没有直接边相连，其权值被看作常量的边在内，从如此多的边中找出最短的边，其时间复杂度0（k （n-k）），是很费时间的，是否有好的方法能够降低查找最短边的时间复杂度。
(2). 上述问题的解决方法
针对1）中出现的问题，可以通过算法来实现，详情请看Prim算法的概述；
针对2）中出现的问题，通过对Prim算法的分析，可以使查找最短边的时间复杂度降低到O(n-k)。具体方法是假定在进行第k次前已经保留着从T中到T外的每一顶点（共n-k个顶点）的各一条最短边，进行第k次时，首先从这n-k条最短边中，找出一条最最短的边，它就是从T中到T外的所有边中的最短边，假设为（i,j），此步需进行n-k次比较；然后把边（i,j）和顶点j分别并入T中的边集TE和顶点集U中，此时T外只有n-(k+1)个顶点，对于其中的每个顶点t，若（j,t）边上的权值小于已保留的从原T中到顶点t的最短边的权值，则用（j,t）修改之，使从T中到T外顶点t的最短边为（j,t），否则原有最短边保持不变，这样，就把第k次后从T中到T外每一顶点t的各一条最短边都保留下来了，为进行第k+1次运算做好了准备，此步需进行n-k-1次比较。所以，利用此方法求第k次的
最短边共需比较2(n-k)-1次，即时间复杂度为O(n-k)。
三概要分析和设计
3.1 概要分析
通过对上述算法的分析，将从以下三方面来进行分析：
(1). 输入数据的类型
在本次设计中，是对无向图进行操作，网中的顶点数，边数，顶点的编号及每条边的权值都是通过键盘输入的，他们的数据类型均为整型，其中，权值的范围为0~32768（即“∞”）；
(2). 输出数据的类型
当用户将无向图创建成功以后，就可以通过键盘任意输入一个起点值将其对应的最小生成树的生成路径及其权值显示出来；
(3). 测试数据
本次设计中是通过用Prim算法求最小生成树，分别用以下三组数据进行测试：
(一)假设在创建无向图时，只输入一个顶点，如图1所示，验证运行结果；
A
图1.单一节点的无向图
(二)假设创建的无向图如图2所示，验证运行结果；
图2.网中存在权值相等的边
(三)假设创建的无向图如图3所示，验证结果；
图3，网中的权值各不相等
3.2 概要设计
在本次设计中，网的定义为G=(V,E),V表示非空顶点集,E表示边集,其存储结构这里采用邻接矩阵的方式来存储。1 数据类型的定义在本设计中所涉及到
的数据类型定义如下：
(1). 符号常量的定义
算法中涉及到两个符号常量，定义如下：
#define MAX 20 功能：用于表示网中最多顶点个数；
#define INFINIT 32768 功能：用于表示权的最大值，即∞。
(2). 结构体的定义
整个算法中涉及的结构体定义如下：
?定义结构体ArcNode
功能：用于存放边的权值
typedef struct
{
int adj;//权值
}ArcNode;
?定义结构体AdjMatrix
功能：用于表示网的结构及存储方式。
typedef struct
{int vexs[MAX]；//vexs表示顶点向量
int vexnum,arcnum；//分别表示图的顶点数和弧数
ArcNode arcs[MAX][MAX]；//邻接矩阵
}AdjMatrix
?定义结构体Node
功能：用于表示求最小生成树时用到的辅助数组。
typedef struct
{int adjvex;//存放顶点编号
int lowcost;//存放顶点权值
}Node;
?外部变量的定义
算法中涉及到两个外部变量，定义如下：
Node close[MAX]
功能：存放每个顶点所连接的边所对应的权值；
int flag=0
功能：标志变量，当创建网时，输入的顶点个数<=1时，直接输出“不存在最小生成树”程序不在往后执行，否则继续往下执行。
(3). 函数模块
在本设计中一共包括六个模块：
一、子函数int Locate(AdjMatrix *G,int V)
功能：是求出某个顶点在顶点向量表中的位置，在其函数体中通过for循环将某一顶点与顶点向量表中的所有顶点进行比较，当出现两者相等时，将该顶点在vexs[MAX]数组中的下标通过return语句返回，否则返回-1；
二、子函数AdjMatrix *creat(AdjMatrix *G)
功能：是完成无向网的创建，在其函数体中，首先通过键盘输入网中顶点数，若顶点个数<=1时，将标志变量flag置为1并显示“最小生成树不存在”，然后返回主调函数；否则，继续通过键盘输入网中的边数，通过二重for循环初始化邻接矩阵，然后输入各个顶点的编号及每条边的权值，调用函数Locate()求出每条边所对应的两个顶点在顶点向量表中的位置后，将对应在邻接矩阵中的相应位置赋予权值，从而在邻接矩阵中存放了相关连的顶点之间边的权值，完成无向网的存储；
三、子函数int Minium(AdjMatrix *G,Node close[])
功能：是求出辅助数组close[]中权值最小的边，在其函数体中，首先将最小权值（min）置为INFINIT（∞），通过for循环将辅助数组中的各条边的权值与min进行比较，最终使得min中存放的是当前数组close[]中最小的权值，并将其在辅助数组中的相应位置返回主调函数中；
四、子函数void prim(AdjMatrix *G,int u)
功能：是利用PRIM（普里姆）算法求出无向网所对应的最小生成树，在其函数体中，首先，定义AdjMatrix *p用于存放最小生成树中的顶点（按生成最小生成树时的顺序存放），调用函数Locate()求出起点u在顶点向量表中的位置，将u存放到p的顶点向量表中，初始化初始化U={u}，利用for循环对V-U中的顶点i,初始化close[i]，再利用for循环找n-1条边(n=G->vexnum)，其中，调用函数Minium()求出辅助数组close[]中权值最小的边, 并将其在辅助数组中的相应位置返回到主调函数中并赋给k0，此时close[k0]中存有当前最小边(u0, v0)的信息，将边所对应的终点放入p的顶点向量表中，累加边的权值；然后，输出<起点终点权值>；最后，在顶点v0并入U之后,利用for循环更新closedge[i]；当所有的顶点v0都纳入U集合之后，输出最小生成树中的顶点序列及最小生成树的权值之和。
五、子函数void display(AdjMatrix *G)
功能：是创建的无向网所对应的邻接矩阵；
六、主函数void main()
功能：是完成对上述各子函数的调用，完成本次设计的要求，在其函数体中，通过while循环可以实现重复创建网以及可以从网中的不同顶点出发求出对应的最小生成树。
(4). 流程图
开始
输入ch, 用于判断是否创建
无向网
Ch=“Y”
1．调用create()函数
Flog=0
2．调用display()函数
输入起点st
st=0
3．调用prim()函数
4．调用minium()函数
结束
图 4.流程图
上述流程图反映了整个算法中各个子函数之间的嵌套调用，从主函数开始顺序往下执行，首先调用creat()函数创建无向网并采用邻接矩阵的方式来存储；然后将该网对应的邻接矩阵通过调用display()函数输出；最后调用prim ()函数求出该网所对应的最小生成树，并且在prim ()函数中通过嵌套调用Minium ()函数求出辅助数组close[]中权值最小的边，从而完成了本设计的要求。
四测试结果
该部分是对前面任务定义中的测试数据进行验证和分析：
4.1实验一
只含一个顶点的无向图。
图5. 只含一个顶点的无向图
4.2实验二
假定创建的无向网的顶点个数>1，并且网中有些边的权值相等。
图7.运行结果
分析：在上述创建的无向网中，有些顶点之间没有边相连接，所以在邻接矩阵中用∞表示，由于是以顶点1作为起点生成最小生成树，所以上述运行结果对应的生成树如图7所示。
4.3实验三
假定创建的无向网的顶点个数>1，并且网中有些边的权值不相等。运行结果如下：
参考文献
(1).吴玉蓉，数据结构（C语言版），中国水利水电出版社，2008年；
(2).徐孝凯，数据结构实用教程，清华大学出版社，2005年7月；
(3).谭浩强，C语言程序设计教程，高等教育出版社，2004年5月。
附录（关键部分程序清单）
#include"stdio.h"
#include"string.h"
#include"malloc.h"
#include"iostream.h"
#include"iomanip.h"
#define MAX 20 //最多顶点个数
#define INFINIT 32768//表示极大值，即∞
typedef struct
{
int adj; //adj是权值类型
}ArcNode;
typedef struct
{
int vexs[MAX],vexnum,arcnum; /*vexs表示顶点向量;vexnum,arcnum分别表示图的顶点数和弧数*/ ArcNode arcs[MAX][MAX]; /*邻接矩阵*/
}AdjMatrix;
typedef struct
{
int adjvex;//存放顶点编号
int lowcost;//存放顶点权值
}Node;
Node close[MAX];//求最小生成树时的辅助数组
int flag=0; //功能：标志变量，当创建网时，输入的顶点个数<=1时，直接输出“不存在最小生成树”程序不在往后执行，否则继续往下执行
int Locate(AdjMatrix *G,int V) //求顶点位置函数
{
int j=-1,k;
for(k=0;k
if(G->vexs[k]==V)
{
j=k;
break;
}
return j;
}
AdjMatrix *creat(AdjMatrix *G) //创建无向网
{
int i,j,k,v1,v2,weight,m=1;
printf("请输入网中的顶点数：");
scanf("%d",&G->vexnum);
if(G->vexnum<=1)
{
printf("\n****************最小生成树不存在!*********************\n");
flag=1;
return G;
}
else
{
printf("请输入网中的边数：");
scanf("%d",&G->arcnum);
for(i=0;i
for(j=0;j
if(i==j)
G->arcs[i][j].adj=0;
else
G->arcs[i][j].adj=INFINIT;
printf("请输入网中的顶点编号："); //输入网中的顶点编号
for(i=0;i
scanf("%d",&G->vexs[i]);
printf("输入每条弧所对应的两个顶点及权值<格式：起点终点权值>!\n");
for(k=0;k
{
printf("请输入第%d条边:",m);
m++;
scanf("%d %d %d",&v1,&v2,&weight); //输入一条弧的两个顶点及权值
i=Locate(G,v1);
j=Locate(G,v2);
G->arcs[i][j].adj=weight;
G->arcs[j][i].adj=weight;
}
return(G);
}
}
int Minium(AdjMatrix *G,Node close[])//close[]中权值最小的边
{
int i,min,k;
min=INFINIT;//置最小权值为INFINIT
for(i=0;i
if(close[i].lowcost { min=close[i].lowcost; k=i; } return k;//返回权值最小的边在辅助数组中的位置 } void prim(AdjMatrix *G,int u)//普里姆算法//从顶点u出发,按普里姆算法构造连通网G的最小生成树，并输出生成树的每条边 { int i,j,k,k0,u0,v0,s=0,n=0; AdjMatrix *p; p=(AdjMatrix *)malloc(sizeof(AdjMatrix)); k=Locate(G,u);//k为顶点u的位置 p->vexs[n++]=u; close[k].lowcost=0;//初始化U={u} for(i=0;i if(i!=k) //对V-U中的顶点i,初始化close[i] { close[i].adjvex=u; close[i].lowcost=G->arcs[k][i].adj; } for(j=1;j<=G->vexnum-1;j++)//n-1条边(n=G->vexnum) { k0=Minium(G,close);//close[k0]中存有当前最小边(u0, v0)的信息 u0=close[k0].lowcost;//u0∈U v0=G->vexs[k0]; //v0∈V-U p->vexs[n++]=v0;//将终点放入数组中 s+=close[k0].lowcost;//求最小生成树的权值之和 printf(" <%d->%d\t%d>\n",u,v0,close[k0].lowcost); //输出最小生成树的路径 close[k0].lowcost=0;//将顶点v0纳入U集合 for(i=0;i 算法设计与分析课程设计报告 学院计算机科学与技术 专业计算机科学与技术 年级2011 姓名XXX 学号 2013年5 月19 日 题目：最小生成树问题的算法实现及复杂度分析 摘要：该程序操作简单，具有一定的应用性。数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。而最小生成树算法是算法设计与分析中的重要算法，最小生成树也是最短路径算法。最短路径的问题在现实生活中应用非常广泛，如邮递员送信、公路造价等问题。本设计以Visual Studio 2010作为开发平台，C/C++语言作为编程语言，以邻接矩阵作为存储结构，编程实现了最小生成树算法。构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM 经典算法的算法思想，最后用这种经典算法实现了最小生成树的生成。 引言：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。n个城市之间最多可以设置n（n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。最小生成树是指在所有生成树中，边上权值之和最小的生成树，另外最小生成树也可能是多个，他们之间的权值之和相等。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。而实现这个运算的经典算法就是普利姆算法。 算法分析与设计实验报告第一次附加实验 附录： 完整代码（贪心法） //贪心算法最小生成树prim算法 #include cin>>c[i][j]; } } cout<<"Prim算法最小生成树选边次序如下："< 最小生成树算法分析 一、生成树的概念 若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从其中任一个顶点出发调用一次bfs或dfs后便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图称为原图的生成树。 对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后一般不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。要访问其它顶点需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs 或dfs，这样得到的是生成森林。 由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。 可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。 二、求图的最小生成树算法 严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。 对于加权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最小的生成树称为图的最小生成树。 求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。 例1、城市公交网 [问题描述] 有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。 [输入] n（城市数，1<=n<=100） e（边数） 以下e行，每行3个数i,j,w ij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。 [输出] n-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。 [举例] 下面的图（A）表示一个5个城市的地图，图（B）、（C）是对图（A）分别进行深度优先遍历和广度优先遍历得到的一棵生成树，其权和分别为20和33，前者比后者好一些，但并不是最小生成树，最小生成树的权和为19。 [问题分析] 出发点：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。那么选哪n-1条边呢？设图G的度为n，G=（V，E），我们介绍两种基于贪心的算法，Prim算法和Kruskal算法。 1、用Prim算法求最小生成树的思想如下： ①设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE，S和TE的初始状态均为空集； ②选定图中的一个顶点K，从K开始生成最小生成树，将K加入到集合S； ③重复下列操作，直到选取了n-1条边： 选取一条权值最小的边（X，Y），其中X∈S，not (Y∈S)； 将顶点Y加入集合S，边（X，Y）加入集合TE； ④得到最小生成树T =（S，TE） #include { printf("请输入有边的2个顶点\n"); scanf("%d %d",&n,&m); while(n < 0 || n > G->vexnum || m < 0 || n > G->vexnum) { printf("输入的数字不符合要求请重新输入:\n"); scanf("%d%d",&n,&m); } G->arc[n][m].adj = G->arc[m][n].adj = 1; getchar(); printf("请输入%d与%d之间的权值:\n", n, m); scanf("%d",&G->arc[n][m].weight); } printf("邻接矩阵为:\n"); for ( i = 1; i <= G->vexnum; i++) { for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++) { printf("%d ",G->arc[i][j].adj); } printf("\n"); } } void sort(edge edges[],MGraph *G)//对权值进行排序{ int i, j; for ( i = 1; i < G->arcnum; i++) { for ( j = i + 1; j <= G->arcnum; j++) { if (edges[i].weight > edges[j].weight) { Swapn(edges, i, j); } } } printf("权排序之后的为:\n"); for (i = 1; i < G->arcnum; i++) { #include { int u, v, w; }EG[5010]; bool cmp(eage a, eage b) //排序调用 { return a.w < b.w; } int Find(int x) //寻找根节点，判断是否在同一棵树中的依据 { if(parent[x] == -1) return x; return Find(parent[x]); } void Kruskal() //Kruskal算法，parent能够还原一棵生成树，或者森林{ memset(parent, -1, sizeof(parent)); sort(EG+1, EG+m+1, cmp); //按权值将边从小到大排序 ans = 0; for(int i = 1; i <= m; i++) //按权值从小到大选择边 { int t1 = Find(EG[i].u), t2 = Find(EG[i].v); if(t1 != t2) //若不在同一棵树种则选择该边，合并两棵树 { ans += EG[i].w; parent[t1] = t2; printf("最小生成树加入的边为:%d %d\n",EG[i].u,EG[i].v); } } } int main() { printf("输入顶点数和边数:"); while(~scanf("%d%d", &n,&m)) { for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d%d", &EG[i].u, &EG[i].v, &EG[i].w); Kruskal(); printf("最小生成树权值之和为:%d\n", ans); } return 0; } 最小生成树的两种经典算法的分析及实现 摘要：数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM和KRUSKAL的两种经典算法的算法思想，对两者进行了详细的比较，最后用这两种经典算法实现了最小生成树的生成。 关键词：连通图，赋权图，最小生成树，算法，实现 1 前言 假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。n个城市之间最多可以设置n （n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。 2图的概念 2.1 定义 无序积 在无序积中， 无向图，其中为顶点(结点)集，为边集，，中元素为无向边，简称边。 有向图，其中为顶点(结点)集，为边集，，中元素为有向边，简称边。 有时，泛指有向图或无向图。 2.2 图的表示法 有向图，无向图的顶点都用小圆圈表示。 无向边——连接顶点的线段。 有向边——以为始点，以为终点的有向线段。 2.3 概念 (1)有限图——都是有限集的图。 阶图——的图。 零图——的图。特别，若又有，称平凡图。 (2)关联 (边与点关系)——设边(或)，则称与(或)关联。 无环 孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所对应的边叫悬挂边。 (3)平行边——关联于同一对顶点的若干条边称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。 简单图——不含平行边和环的图。 2.4 完全图 设为阶无向简单图，若中每个顶点都与其余个顶点相邻，则 称为阶无向完全图，记作。 若有向图的任一对顶点，既有有向边，又有有向边，则 称为有向完全图。 例如： 课程设计报告 课程名称：数据结构课程设计 设计题目：克鲁斯卡尔算法求最小生成树 系别：计算机系 专业：软件技术 学生姓名：陈浩学号:2011304040133 日期: 2013年1月5日-2013年1月11日 目录 1. 需求分析 (2) 1.1 设计题目 (2) 1.2 设计任务及要求 (2) 1.3课程设计思想 (2) 1.4 程序运行流程: (2) 1.5软硬件运行环境及开发工具 (2) 2.概要设计 (2) 2.1流程图 (2) 2.2抽象数据类型MFSet的定义 (3) 2.3主程序 (3) 2.4抽象数据类型图的定义 (4) 2.5抽象数据类型树的定义 (6) 3. 详细设计 (8) 3.1程序 (8) 4.调试与操作说明 (11) 4.1测试结果 (11) 4.2调试分析 (12) 5.课程设计总结与体会 (12) 5.1总结 (12) 5.2体会 (12) 6. 致谢 (13) 7. 参考文献 (13) 1.需求分析 1.1 设计题目：最小生成树 1.2 设计任务及要求：任意创建一个图，利用克鲁斯卡尔算法，求出该图的最小生成树。 1.3 课程设计思想：Kruskal算法采用了最短边策略(设G=(V,E)是一个无向连通网，令T=(U，TE)是G的最小生成树。最短边策略从TE={}开始，每一次贪心选择都是在边集E中选择最短边(u,v)，如果边(u,v)加入集合TE中不产生回路，则将边(u,v)加入边集TE中，并将它在集合E中删去。)，它使生成树以一种任意的方式生长，先让森林中的树木随意生长，每生长一次就将两棵树合并，最后合并成一棵树。 1.4程序运行流程: 1)提示输入顶点数目； 2)接受输入，按照项目要求产生边权值的随机矩阵；然后求解最小生成树； 3)输出最小生成树并且退出； 1.5 软硬件运行环境及开发工具：VC 2.概要设计 一、树及生成树的基本概念 树是无向图的特殊情况，即对于一个N个节点的无向图，其中只有N-1条边，且图中任意两点间有且仅有一条路径，即图中不存在环，这样的图称为树，一般记为T。树定义有以下几种表述： (1)、T连通、无圈、有n个结点，连通有n－1条边；(2)、T无回路，但不相邻的两个结点间联以一边，恰得一个圈；(3)、T连通，但去掉任意一边，T就不连通了（即在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图）；(4)、T的任意两个结点之间恰有一条初等链。 例如：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任 意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。若用 六个点v1…v6代表这六个城市，在任意两个城市之间架设电话 线，即在相应的两个点之间连一条边。这样，六个城市的一个 电话网就作成一个图。任意两个城市之间均可以通话，这个图 必须是连通图，且这个图必须是无圈的。否则，从圈上任意去 掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的一个电话网。图5-6是 一个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。 生成树（支撑树） 定义：如果图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’是G的一个支撑树或生成树。例如,图5-7b是图5-7a的一个支撑树。 定理：一个图G有生成树的条件是G是连通图。 证明:必要性显然； 充分性:设图G是连通的，若G不含圈，则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一个生成树。若G含圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个生成树。若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G2。依此类推，可以得到图G的一个生成子 图G K，且不含圈，从而G K是一个生成树。 寻找连通图生成树的方法： 破圈法：从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图 重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个生成树。 取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边e3。在剩下的图 中，再取一个圈（v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4。再从圈（v3,v4,v5,v3） 中去掉边e6。再从圈(v1,v2,v5,v4,v3,v1）中去掉边e7， 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。 避圈法：也称为生长法，从图中某一点开始生长边，逐步扩展成长为一棵树，每步选取与已入树的边不构成圈的那些边。 实验5 最小生成树算法的设计与实现 一、实验目的 1、根据算法设计需要, 掌握连通图的灵活表示方法； 2、掌握最小生成树算法，如Prim、Kruskal算法； 3、基本掌握贪心算法的一般设计方法； 4、进一步掌握集合的表示与操作算法的应用。 二、实验内容 1、认真阅读算法设计教材和数据结构教材内容, 熟习连通图的不同表示方法和最小生成树算法； 2、设计Kruskal算法实验程序。 有n个城市可以用（n-1）条路将它们连通，求最小总路程的和。 设计测试问题,修改并调试程序, 输出最小生成树的各条边, 直至正确为止。 三、Kruskal算法的原理方法 边权排序: 1 3 1 4 6 2 3 6 4 1 4 5 2 3 5 3 4 5 2 5 6 1 2 6 3 5 6 5 6 6 1. 初始化时：属于最小生成树的顶点U={} 不属于最小生成树的顶点V={1，2，3，4，5，6} 2. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（1 3 1），属于最小生成树 的顶点U={1，3}，不属于最小生成树的顶点V={2,4,5,6} 3. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（4 6 2），属于最小生成树的顶点U={{1，3}，{4，6}}（还没有合在一起，有两颗子树），不属于最小生成树的顶点V={2,5} 4. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，3，4，6}（合在一起），不属于最小生成树的顶点V={2,5} 5. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，2，3，4，6},，不属于最小生成树的顶点V={5} 6. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，2，3，4，5，6}此时，最小生成树已完成 xx学院 《数据结构与算法》课程设计 报告书 课程设计题目 PRIM算法求最小生成树 院系名称计算机科学与技术系 专业（班级） 姓名（学号） 指导教师 完成时间 一、问题分析和任务定义 在该部分中主要包括两个方面：问题分析和任务定义； 1 问题分析 本次课程设计是通过PRIM（普里姆）算法，实现通过任意给定网和起点，将该网所对应的所有生成树求解出来。 在实现该本设计功能之前，必须弄清以下三个问题： 1．1 关于图、网的一些基本概念 1．1．1 图图G由两个集合V和E组成，记为G=（V，E），其中V是顶点的有穷非空集合，E是V中顶点偶对的有穷集，这些顶点偶对称为边。通常，V（G）和E（G）分别表示图G的顶点集合和边集合。E（G）也可以为空集。则图G只有顶点而没有边。1．1．2 无向图对于一个图G，若边集E（G）为无向边的集合，则称该图为无向图。1．1．3 子图设有两个图G=（V，E）G’=（V’，）,若V’是V的子集，即V’?V ，且E’是E的子集，即E’?E，称G’是G的子图。 1．1．4 连通图若图G中任意两个顶点都连通，则称G为连通图。 1．1．5 权和网在一个图中，每条边可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权。把边上带权的图称为网。如图1所示。 1．2 理解生成树和最小生成树之间的区别和联系 1．2．1 生成树在一个连通图G中，如果取它的全部顶点和一部分边构成一个子图G’，即：V（G’）= V（G）和E（G’）?E（G），若边集E（G’）中的边既将图中的所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是原图G的一棵生成树。 1．2．2 最小生成树图的生成树不是唯一的，把具有权最小的生成树称为图G的最小生成树，即生成树中每条边上的权值之和达到最小。如图1所示。 图1．网转化为最小生成树 1．3 理解PRIM（普里姆）算法的基本思想 1．3．1 PRIM算法（普里姆算法）的基本思想假设G =（V，E）是一个具有n个顶点的连通网，T=(U,TE)是G的最小生成树，其中U是T的顶点集，TE是T的边集，U和TE的初值均为空集。算法开始时，首先从V中任取一个顶点（假定取V0），将它并入U中，此时U={V0}，然后只要U是V的真子集，就从那些其一个端点已在T中，另一个端点仍在T外的所有边中，找一条最短（即权值最小）边，假定为（i,j），其中V i∈U,V j∈(V-U),并把该边（i,j）和顶点j分别并入T的边集TE和顶点集U，如此进行下去，每次往生成树里并入一个顶点和一条边，直到n-1次后就把所有n个顶点都并入到生成树T的顶点集中，此时U=V，TE中含有n-1条边，T就是最后得到的最小生成树。可以看出，在普利姆算法中，是采用逐步增加U中的顶点，常称为“加点法”。为了实现这个算法在本设计中需要设置一个辅助数组 Kruskal算法求最小生成树（JA V A） 代码： package homework; import java.util.Scanner; import java.util.Arrays; import java.util.ArrayList; class Edge { public int start;//始边 public int end;//终边 public double cost;//权重 } public class MinSpanningTree_Kruskal{ private static int MAX = 100; private ArrayList 开题报告 信息与计算科学 最小生成树算法及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 最小生成树(minimum spanning tree,MST)是计算机学科中一重要内容, 其算法也是重要的计算方法, 是现代科学中比较热门的研究方向. 一个有个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图, 且包含原图中的所有个n n 结点, 并且有保持图联通的最少的边. 许多应用问题都是一个求五项连通图的最小生成树问题. 例如: 要在个城市之间铺设n 光缆, 主要目标是要使这个城市的任意两个之间都可以通信, 但铺设光缆的费用很高, n 且各个城市之间铺设光缆的费用不同; 另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低. 这就需要找到带权的最小生成树. MST 性质: 最小生成树性质: 设是一个连通网络, 是顶点集的一个真(,)G V E =U V 子集. 若是中一条“一个端点在中(例如: ), 另一个端点不在中”的边(,)n u v G U u U ∈U (例如:), 且具有最小权值, 则一定存在的一棵最小生成树包括此边v V U ∈-(,)u v G . (,)u v 求MST 的一般算法可描述为: 针对图, 从空树开始, 往集合中逐条选择并G T T 加入条安全边, 最终生成一棵含条边的MST. 1n -(,)u v 1n -当一条边加入时, 必须保证仍是MST 的子集, 我们将这样的边称(,)u v T {}(,)T u v 为的安全边. 其中主要有两种算法: Prim 算法和Kruskal 算法. T Prim 算法: 该算法由Prim 提出, 但事实上Jarnik 于1930年更早提出. 用于求无向图的最小生成树. 设图 . (),G V E =步骤1: 取一个顶点, 则, . 1v {}1V v ={}E = 武 夷 学 院 课程设计报告 课程名称： 数据结构（C 言语版本） 设计题目： 最小生成树的应用 学生班级： 10计科1班 学生姓名： 陈娟，谢贤根，黄伟伟，陈开槟 指导教师： 林丽惠 完成日期： 2012-01-05 课程设计项目研究报告 目录 一、问题描述及基本要求....................................................................................... - 1 - 二、实现本程序需要解决的问题如下................................................................. - 1 - 三、测试数据......................................................................................................... - 2 - 四、算法思想......................................................................................................... - 3 - 五、模块划分............................................................................ 错误！未定义书签。 六、算法设计与分析............................................................................................. - 7 - 七、源程序........................................................................................................... - 11 - 八、测试数据....................................................................................................... - 14 - 九、课程设计项目进度表及任务分配表及任务分配表................................... - 15 - 十、设计心得....................................................................................................... - 16 -十一参考文献....................................................................................................... - 17 - 课程设计报告 课程设计名称：数据结构课程设计 课程设计题目：最小生成树Kruskal算法 院（系）： 专业： 班级： 学号： 姓名： 指导教师： 目录 1 课程设计介绍 (1) 1.1课程设计内容 (1) 1.2课程设计要求 (1) 2 课程设计原理 (2) 2.1课设题目粗略分析 (2) 2.2原理图介绍 (4) 2.2.1 功能模块图 (4) 2.2.2 流程图分析 (5) 3 数据结构分析 (11) 3.1存储结构 (11) 3.2算法描述 (11) 4 调试与分析 (13) 4.1调试过程 (13) 4.2程序执行过程 (13) 参考文献 (16) 附录（关键部分程序清单） (17) 1 课程设计介绍 1.1 课程设计内容 编写算法能够建立带权图，并能够用Kruskal算法求该图的最小生成树。最小生成树能够选择图上的任意一点做根结点。最小生成树输出采用顶点集合和边的集合的形式。 1.2 课程设计要求 1.顶点信息用字符串，数据可自行设定。 2.参考相应的资料，独立完成课程设计任务。 3.交规范课程设计报告和软件代码。 2 课程设计原理 2.1 课设题目粗略分析 根据课设题目要求，拟将整体程序分为三大模块。以下是三个模块的大体分析： 1.要确定图的存储形式，通过对题目要求的具体分析。发现该题的主要操作是路径的输出，因此采用边集数组（每个元素是一个结构体，包括起点、终点和权值）和邻接矩阵比较方便以后的编程。 2.Kruskal算法。该算法设置了集合A，该集合一直是某最小生成树的子集。在每步决定是否把边（u,v）添加到集合A中，其添加条件是A∪{（u,v）}仍然是最小生成树的子集。我们称这样的边为A的安全边，因为可以安全地把它添加到A中而不会破坏上述条件。 3.Dijkstra算法。算法的基本思路是：假设每个点都有一对标号（d j,p j）,其中d是从起源点到点j的最短路径的长度（从顶点到其本身的最短路径是零路（没有弧的路），其长度等于零）；p j则是从s到j 的最短路径中j点的前一点。求解从起源点s到点j的最短路径算法的基本过程如下： 1）初始化。起源点设置为：①d s=0,p s为空；②所有其它点：d i=∞,p i=？； ③标记起源点s，记k=s，其他所有点设为未标记的。 2）k到其直接连接的未标记的点j的距离，并设置： d j=min[d j, d k+l kj] 目录 1.需求分析 (2) 1.1 设计题目 (2) 1.2 设计任务及要求 (2) 1.3课程设计思想 (2) 1.4 程序运行流程 (2) 1.5软硬件运行环境及开发工具 (2) 2.概要设计 (2) 2.1流程图 (2) 2.2抽象数据类型MFSet的定义 (3) 2.3主程序 (4) 2.4抽象数据类型图的定义 (4) 2.5抽象数据类型树的定义 (5) 3.详细设计 (7) 3.1程序 (7) 4.调试与操作说明 (10) 4.1测试结果 (10) 4.2调试分析 (11) 5.课程设计总结与体会 (11) 5.1总结 (11) 5.2体会 (11) 6. 致谢 (12) 7. 参考文献 (12) 1.需求分析 1.1 设计题目：最小生成树 1.2 设计任务及要求：任意创建一个图，利用克鲁斯卡尔算法，求出该图的最小生成树。 1.3 课程设计思想：Kruskal算法采用了最短边策略(设G=(V,E)是一个无向连通网，令T=(U，TE)是G的最小生成树。最短边策略从TE={}开始，每一次贪心选择都是在边集E中选择最短边(u,v)，如果边(u,v)加入集合TE中不产生回路，则将边(u,v)加入边集TE中，并将它在集合E中删去。)，它使生成树以一种任意的方式生长，先让森林中的树木随意生长，每生长一次就将两棵树合并，最后合并成一棵树。 1.4程序运行流程: 1)提示输入顶点数目； 2)接受输入，按照项目要求产生边权值的随机矩阵；然后求解最小生成树； 3)输出最小生成树并且退出； 1.5 软硬件运行环境及开发工具：VC 2.概要设计 2.1流程图 图1流程图 2.2抽象数据类型MFSet的定义： ADT MFSet { 数据对象：若设S是MFSet型的集合，则它由n(n>0)个子集Si（i = 1,2...,n）构成，每个子集的成员代表在这个子集中的城市。 数据关系： S1 U S2 U S3 U... U Sn = S, Si包含于S（i = 1,2,...n） Init (n): 初始化集合，构造n个集合，每个集合都是单成员，根是其本身。rank 数组初始化0 Find(x):查找x所在集合的代表元素。即查找根，确定x所在的集合，并路径压缩。 Merge(x, y):检查x与y是否在同一个集合，如果在同一个集合则返回假，否则按秩合并这两个集合并返回真。 } 最小生成树的算法 王洁 引言： 求连通图的最小生成树是数据结构中讨论的一个重要问题．在现实生活中，经常遇到如何得到连通图的最小生成树，求最小生成树不仅是图论的基本问题之一 ,在实际工作中也有很重要的意义，,人们总想寻找最经济的方法将一个终端集合通过某种方式将其连接起来 ,比如将多个城市连为公路网络 ,要设计最短的公路路线;为了解决若干居民点供水问题 ,要设计最短的自来水管路线等.而避开这些问题的实际意义 ,抓住它们的数学本质 ,就表现为最小生成树的构造。下面将介绍几种最小生成树的算法。 一，用“破圈法”求全部最小生成树的算法 1 理论根据 1.1 约化原则 给定一无向连通图 G =（V ,E ）（ V 表示顶点，E 表示边），其中 V={ 1v , 2v ,3v …… n v },E= { 1e , 2e , 3e …… n e }对于 G 中的每条边 e ∈ E 都赋予权ω（i e ）>0，求生成树 T = （V ,H ），H ? E ，使生成树所有边权最小，此生成树称为最小生成树． （1） 基本回路 将属于生成树 T 中的边称为树枝，树枝数为n -1，不属于生成树的边称为连枝．将任一连枝加到生成树上后都会形成一条回路．把这种回路称为基本回路，记为()cf e 。 基本回路是由 T 中的树枝和一条连枝构成的回路． （2） 基本割集 设无向图 G 的割集 S （割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合） ，若 S 中仅包含有T 中的一条树枝，则称此割集为基本割集，记为()S e 。 基本割集是集合中的元素只有一条是树枝，其他的为连枝． （3） 等长变换 设T=(V,H),为一棵生成树，e ∈ H, 'e ∈ E, 'e ? H,当且仅当'e ∈()cf e ，也就是说 e ∈()S e ，则'T =T ⊕{e, ' e }也是一棵生成树。当()e ω='()e ω时，这棵生成树叫做等长变换。 等长变换就是从基本回路中选取与树枝等权边，并与此树枝对换后形成的生成树． 根据以上定理得出2个结论：①若在某个回路C 中有一条唯一的最长边，则任何一棵最小生成树都不含这条边；②若在某个边 e 的割集中有一条唯一最短边，则每棵生成树中都必须含这条边．由上面结论可以得到唯一性：若图 G 中的生成树T = （V ,H ）是唯一的一棵最小生成树，当且仅当任意一连枝e ∈ H, ' e ∈ E 都是其基本回路中唯一最长边，任意一条树边 e 都是其基本割集()S e 中的唯一最短边． 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* kruskal算法及代码 ---含伪代码、c代码、matlab、pascal等代码 K r u s k a l算法每次选择n- 1条边，所使用的贪婪准则是：从剩下的边中选择一条不会产生环路的具有最小耗费的边加入已选择的边的集合中。注意到所选取的边若产生环路则不可能形成一棵生成树。K r u s k a l算法分e 步，其中e 是网络中边的数目。按耗费递增的顺序来考虑这e 条边，每次考虑一条边。当考虑某条边时，若将其加入到已选边的集合中会出现环路，则将其抛弃，否则，将它选入。 目录 Kruskal算法 Kruskal算法的代码实现 Kruskal算法 Kruskal算法的代码实现 算法定义 克鲁斯卡尔算法 假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。 举例描述 克鲁斯卡尔算法(Kruskal's algorithm)是两个经典的最小生成树算法的较为简单理解的一个。这里面充分体现了贪心算法的精髓。大致的流程可以用一个图来表示。这里的图的选择借用了Wikipedia上的那个。非常清晰且直观。 首先第一步，我们有一张图，有若干点和边 如下图所示： 第一步我们要做的事情就是将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择。 排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了 第二步，在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5 数据结构与算法 课程设计报告 课程名称：数据结构与算法课程设计 题目：改进的最小生成树算法 专业：计算机科学与技术 班级：（一）班 学号：1362810118，1362810107，1362810108 学生姓名：王洪，汪妍，罗林芳 一、目录 一、问题描述 (1) 二、需求分析 (1) 1. 性能需求 (1) 2. 功能需求 (2) 3. 问题假设 (2) 三、准备知识 (2) 1. 欧拉图定义： (2) 2. 欧拉图相关定理：......................................................................... 错误！未定义书签。 3. 欧拉图应用：................................................................................. 错误！未定义书签。 四、算法和数据结构设计 (5) 1. 算法分析 (5) 2. 建立模型 (5) 1) 前期准备................................................................................. 错误！未定义书签。 2) 确定模型................................................................................. 错误！未定义书签。 3. 具体算法实现................................................................................. 错误！未定义书签。 4. 时间复杂度分 (6) 5.题目拓展 (8) 五、程序测试......................................................................................... 错误！未定义书签。 1. 测试1（测试没有度数为奇数的顶点） (9) 2. 测试2（测试度数为奇数的定点有4个） (9) 六、总结 (11) 1. 已完成部分 (11) 2. 后期设想 (11) 3. 课程设计思考与体会............................................................. 错误！未定义书签。 七、参考文献 (11)最小生成树问题的算法实现及复杂度分析—天津大学计算机科学与技术学院(算法设计与分析)
贪心算法实验(最小生成树)
最小生成树算法分析
最小生成树的Kruskal算法实现
kruskal算法求最小生成树
最小生成树经典算法
课程设计---克鲁斯卡尔算法求最小生成树
最小生成树(Prim、Kruskal算法)整理版
(完整word版)实验5 最小生成树算法的设计与实现(报告)
PRIM算法求最小生成树
Kruskal算法求最小生成树(java)
【开题报告】最小生成树算法及其应用
最小生成树的应用
数据结构课程设计报告最小生成树Kruskal算法[1]4545
克鲁斯卡尔算法求最小生成树
最小生成树的算法
数学建模-最小生成树-kruskal算法及各种代码
改进的最小生成树算法.