2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题04 四边形(逐题详解版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编

专题04 四边形

一、单选题

1．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（）．

A ．am n

B ．an m

C ．am m n +

D ．an m n

+ 2．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，DE BC //，DF AC //，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（）

A ．AD DE D

B B

C = B ．AE BF AC BC = C ．B

D BF AD D

E = D ．DG B

F GF FC

= 3．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//,3AD BC BC AD =，对角线AC BD 、交于点,O EF 是梯形ABCD 的中位线，EF 与BD AC 、分别交于点G H 、，如果OGH ?的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（）

A ．12

B ．14

C ．16

D ．18

二、填空题 4．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90C ∠=?，10AB =，1cot 2

B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边A

C 、BC 上，点

D 、

E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．

5．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6．则该三角形的重心到其直角顶点的距离是________．

6．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC 的边BC 长60厘米，高AH 为40厘米，如果DE=2DG ，那么DG=______厘米．

7．（2021·上海嘉定区·九年级一模）正方形的边长与其对角线长的比为________.

8．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，已知ABC 是边长为2的等边三角形，正方形DEFG 的顶点,D E 分别在边,AC AB 上，点,F G 在边BC 上，那么AD 的长是_____．

9．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于_________．

10．（2021·上海九年级一模）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果QAB 、QBC 和QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图2，在四边形

ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，8BC =，60B ∠=?，

如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ =___．

11．（2021·上海九年级一模）直角三角形的重心到斜边中点的距离为2，那么该直角三角形的斜边长为____________．

12．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，

12AE EB =，联结DE 交对角线AC 于点O ，那么AO OC

的值为_____．

13．（2021·上海静安区·九年级一模）在△ABC 中，点G 是重心，△BGC =90°，BC =8，那么AG 的长为____． 14．（2021·上海宝山区·九年级一模）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC △，90C ∠=?，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果4AF =，9GB =，那么正方形铁皮的边长为______．

15．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为

，那么其周长为______．

三、解答题 16．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，8BC =，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE EF FD ==，AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ．

（1）求HD 的长；

（2）设BGE △的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．（用含a 的代数式表示）

2021年上海市16区中考数学一模汇编

专题04 四边形

一、单选题

1．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（）．

A ．am n

B ．an m

C ．am m n +

D ．an m n

+ 【答案】D

【分析】先证明：四边形DEBF 是平行四边形，可得DF BE =，利用::AF FB m n =，再求解

AF m AB m n

=+，再证明ADF ACB ∽，利用相似三角形的性质求解BE ，再利用线段的和差可得答案．【详解】解： //AB DE ，//BC DF ，∴ 四边形DEBF 是平行四边形，DF BE ∴=， ::AF FB m n =，AF m

AB m n

∴=+，//DF BC ，ADF ACB ∴∽ ，AF DF AD AB BC AC ∴==, //AB DE ，BE AD m

BC AC m n ∴

==+，BC a =，ma BE m n ∴=+，.ma na CE a m n m n

∴=-=++ 故选：.D 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．

2．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，DE BC //，DF AC //，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（）

A ．AD DE D

B B

C = B ．AE BF AC BC = C ．B

D BF AD D

E = D ．DG B

F GF FC

= 【答案】C

【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可．

【详解】解：△DE△BC ，DF△AC ，△四边形DFCE 是平行四边形，△DE=CF ，DF=CE ，

△DE△BC ，DF△AC ，△△ADE△△ABC ，△BFD△△BAC ，△AD DE AB BC

=，故A 错误； AE AD AC AB BC CF ==，即AE CF AC BC

=，故B 错误； △DF△AC ，△BD BF BF AD CF DE

==，故C 正确； △DE△BC ，△

DG DE CF GF BF BF ==，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和平行线分线段成比例是解答的关键．

3．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//,3AD BC BC AD =，对角线AC BD 、交于点,O EF 是梯形ABCD 的中位线，EF 与BD AC 、分别交于点G H 、，如果OGH ?的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（）

A ．12

B ．14

C ．16

D ．18

【答案】C 【分析】设AD=2x ，BC=6x ，根据EF 是梯形ABCD 的中位线，求得EG=FH=12AD =x ，GF=12

BC =3x ，证得GH=AD ，由此得到1OGH AOD S S ??==，39BOC OGH S S ??==，033A B DOC AOD S S S ???===，即可求出答案．

【详解】设AD=2x ，BC=6x ，△EF 是梯形ABCD 的中位线，

△点E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BD 、AC 的中点，EF△AD△BC ，△EF=1()2

4AD BC +=x ， △EG=FH=12AD =x ，GF=12

BC =3x ，△GH=2x ，△GH=AD ， △GH△AD,△△OAD△△OHG,△1OD AD OG GH

==，△OG=OD ，1OGH AOD S S ??==， △GH△BC,△△OGH△△OBC ，△

2163GH x BC x ==，△99BOC OGH S S ??==， △O 是DG 的中点，G 是BD 的中点，△033A B DOC AOD S S S ???===，133916ABCD S ∴=+++=，故选：C ．

．

【点睛】此题考查梯形中位线的性质定理，三角形中位线的性质定理，同底或同高三角形面积的关系，相似三角形的性质，这是一道与中位线相关的综合题．

二、填空题

4．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90C ∠=?，10AB =，1cot 2

B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边A

C 、BC 上，点

D 、

E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．

【答案】207

【分析】作CM△AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF△△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案．

【详解】作CM△AB 于M ，交GF 于N ，如图所示：

△Rt△ABC 中，△C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2

=，

△设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB 2＝AC 2＋BC 2，即：102＝（2k ）2＋k 2，解得：k ＝

△BC ＝AC ＝△CM ＝AC BC AB ?＝10

＝4，

△正方形DEFG 内接于△ABC ，△GF ＝EF ＝MN ，GF△AB ，△△CGF△△CAB ， △CN GF =CM AB ，即4EF EF 410

-=，解得：EF ＝207；故答案为：207．

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

5．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6．则该三角形的重心到其直角顶点的距离是________．

【分析】根据题意，画出图形，如解图所示，连接CO 并延长交AB 于点D ，利用勾股定理求出AB ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD ，再利用三角形重心的性质即可求出结论．

【详解】解：Rt△ABC 中，△ACB=90°，AC=6，BC=3，点O 为三角形的重心，连接CO 并延长交AB 于点D ，

，CD 为△ABC 的中线，△CD=12AB =2

△O 为△ABC 的重心，△该三角形的重心到其直角顶点的距离CO=

23 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和重心的定义及性质，掌握勾股定理、直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半和重心的定义及性质是解题关键．

【答案】15

【分析】如图，记,AH DG 的交点为M ，

设,DG x = 2,402,DE x AM x ==-再证明：,ADG ABC ∽利用相似三角形的性质可得：,DG AM BC AH

=再列方程，解方程可得答案．【详解】解：如图，记,AH DG 的交点为M ，

设,DG x = 2DE DG =， 2,DE x ∴= ,AH BC ⊥ 四边形DEFG 为矩形，40AH =，

2,402,MH DE x AM x ∴===- ,AH DG ⊥ //,DG EF ,ADG ABC ∴∽ ,DG AM BC AH ∴

= 60BC =， 402,6040

x x -∴= 402400120,x x ∴=- 1602400,x ∴= 15,x ∴= 15.DG ∴=

故答案为：15.

【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．

7．（2021·上海嘉定区·九年级一模）正方形的边长与其对角线长的比为________.

【答案】1

【分析】设正方形的边长为1，计算即得结果.

【详解】解：设正方形的边长为1，所以正方形的边长与其对角线长的比为

【点睛】此题主要考查对正方形的性质和线段比的定义的理解及运用．难度不大，属于基础题型． 8．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，已知ABC 是边长为2的等边三角形，正方形DEFG 的顶点,D E 分别在边,AC AB 上，点,F G 在边BC 上，那么AD 的长是_____．

【答案】6

【分析】根据等边三角形以及正方形的性质，在Rt△CDG 中运用正弦的定义建立方程求解即可．

【详解】根据题可知，△ADE 为等边三角形，即：AD=DE ，根据正方形的性质可知DE=DG ，DG△BC ，△C=60°，设AD=x ，则DG=x ，DC=AC -AD=2-x ，△在Rt△CDG 中，DG sinC CD

=，

即：602DG x sinC sin CD x =?===-6=x ，

经检验6=x 是上述分式方程的解，故答案为：6．

【点睛】本题考查正方形和等边三角形的性质，以及利用锐角三角函数解直角三角形，灵活根据题意找准合适的直角三角形是解题关键．

9．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边

AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于_________．

【分析】由折叠的性质可得Rt BCD Rt BED ???，由矩形的性质可证明Rt DAB Rt BCD ???，故可得Rt DAB Rt BED ?=?，再证明Rt BCD Rt CDF ??求得CD=2，在Rt AEF ?中由勾股定理可得解．

【详解】解：△四边形ABCD 是矩形，△BED 是由△BCD 翻折得到，

△Rt BCD Rt BED ???，CE BD ⊥，△4AD BC ==，AB CD ED ==，

△四边形ABCD 是矩形，△AD=BC ，AB=CD ，又BD=DB△Rt DAB Rt BCD ???

△Rt DAB Rt BED ???△AB ED =，ABD EDB ∠=∠△四边形ABDE 是等腰梯形，

△CE BD ⊥，//AE BD △CE AE ⊥，△EAD ADB DBC =∠=∠

△△90,90DBC FCB FBC FCD ??+∠=∠+∠=△△DBC FCD =∠

△Rt BCD Rt CDF ??△FD CD CD BC =，即14

CD CD =△2CD =或-2（舍去）在Rt DCB ?中，21tan 42CD DBC BC ∠=

==，△△EAD DBC =∠△1tan 2EAD ∠= 在Rt AEF ?中，12

EF AE =由勾股定理得，222AE AF EF =- 即2221()()2AE AD FD AE =--△2221(41)4

AE AE =--

解得：AE =．故答案为：5

．

【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，8BC =，60B ∠=?，

如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ =___．

【答案】3+3

【分析】过点A 作AE△CD ，交BC 于点E ，可证四边形ADCE 是平行四边形，由平行四边形的性质可得AD 的

长，利用“强相似点”的定义可得△ABQ△△DQC ，则由相似三角形的性质可得AQ DC AB DQ

=，再根据线段之间的数量关系建立关于AQ 的方程，求解后即可求出AQ 的长．

【详解】解：如图，过点A 作AE△CD ，交BC 于点E ，

△在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，△四边形ADCE 是平行四边形，

△AE ＝CD ＝AB ＝2，AD ＝CE ．△60B ∠=?，△△ABE 是等边三角形．

△BE＝AE＝AB＝2．△AD＝BC－BE＝6．

△点Q是边AD上的“强相似点”，△△ABQ△△DQC．△AQ DC AB DQ

=．

设AQ＝x，则DQ＝6－x，即

．解得

x，

x．

故答案为：3+3

【点睛】本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键．

11．（2021·上海九年级一模）直角三角形的重心到斜边中点的距离为2，那么该直角三角形的斜边长为____________．

【答案】12

【分析】先根据三角形重心的性质求出斜边中线的长，再根据三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得斜边的长．

【详解】解：由题意得，GD=2，△点G是△ABC的重心，△CD=3GD=6，CD是△ABC的中线，

在Rt△ACB中，△ACB=90°，CD是△ABC的中线，△AB=2CD=12，故答案为：12．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质和重心的性质，熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半以及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解决问题的关键．

12．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，

=，联

结DE交对角线AC于点O，那么AO

的值为_____．

【答案】1 3

【分析】由题意可以得到△AOE△△COD，再根据三角形相似的性质和已知条件可以求得AO：OC的值．【详解】解：△四边形ABCD是平行四边形，△△OAE=△DCO，△OEA=△ODC，

△△AOE△△COD，△AO AE AE

OC CD AB

==，△

EB AE

=∴=

，，△

AE AE AE

AB AE EB AE

===

，

△

=，故答案为

．

【点睛】本题考查平行四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质、三角形相似的判定和性质是解题关键．

13．（2021·上海静安区·九年级一模）在△ABC中，点G是重心，△BGC=90°，BC=8，那么AG的长为____．【答案】8

【分析】延长AG交BC于D，根据重心的定义，点D为BC的中点，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DG的长，再由重心的性质：三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍进行求解即可．

【详解】解：延长AG交BC于D，△点G是重心，△点D为BC的中点，且AG=2DG，

△△BGC=90°，BC=8，△DG=1

BC=4，△AG=2DG=8，故答案为：8．

【点睛】本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握三角形的重心定义和性质是解答的关键．

14．（2021·上海宝山区·九年级一模）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC △，90C ∠=?，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果4AF =，9GB =，那么正方形铁皮的边长为______．

【答案】6

【分析】设正方形铁皮的边长为x ，证明△AEF△△DBG ，得到EF AF BG DG =，49x x

=，求解即可．【详解】设正方形铁皮的边长为x ，△90C ∠=?，△△A+△B=90?，

在正方形EFGD 中，EF=DG=FG=x ，△EFG=△DGF=90?,△△AFE=△BGD=90?，

△△A+△AEF=90?,△△AEF=△B ，△△AEF△△DBG ，△

EF AF BG DG =，△49x x =，解得x=6（负值舍去），故答案为：6．

【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，根据已知条件证明△AEF△△DBG 是解题的关键． 15．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为

，那么其周长为______．【答案】26

【分析】作DF△BC 于F ，AE△BC 于E ，根据等腰梯形的性质就可以得出△AEB△△DFC 就可以求出FC=BE ，然后根据底角的余弦值为35

，求得BE ，AB ，从而求出周长．【详解】解：如图示，作DF△BC 于F ，AE△BC 于E ，

△四边形ABCD 是等腰梯形，△△B=△C ，AB=CD ，AD△BC ，△△ADF=△DFC=90°，

△△AEF=△DFE=△ADF=90°，△四边形AEFD 是矩形，5EF AD ，

在△AEB 和△DFC 中，△△AEB△△DFC （AAS ），△BE=CF ；△35cos E AB

B B ，设3BE x =，则5AB x =，根据勾股定理，有：2222534AE

AB BE x x ，解之得：1x =（取正值），△3BE =，5AB =，△3FC

BE ，5DC AB ==，

△周长AB BE EF FC CD AD 53535526，

故答案是：26．

【点睛】本题考查了等腰梯形的性质的运用，三角函数，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，能熟练应用相关性质是解题的关键．

三、解答题

16．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，8BC =，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE EF FD ==，AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ．

（1）求HD 的长；

（2）设BGE △的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．（用含a 的代数式表示）

【答案】（1）2HD =；（2）7=2

四边形AEFH a S 【分析】（1）由△ADE△△GBE ，可求出BG 的长，再由△HDF△△GBF ，即可求出HD 的长；

（2）由△ADE△△GBE ，可求出S △ADE =4S △BGE =4a ，再由△HDF△△GBF ，即可求出S △DHF =

14S △BGF ，由三角形的面积公式可求出S △DHF =14

S △BGF ，进而可求四边形AEFH 的面积．【详解】解：（1）△四边形ABCD 是平行四边形，△AD//BC ，AD=BC=8，△△ADE△△GBE ，△AD DE BG BE =． △BE EF FD ==，△BG=12AD=4．△AD//BC ，△△HDF△△GBF ，△HD DF BG BF

=． △BE EF FD ==，△HD=

12BG=2；（2）△△ADE△△GBE ， BE EF FD ==，△S △ADE =4S △BGE =4a ．

△△HDF△△GBF ，△S △DHF =14

S △BGF ．△BE EF =，△S △BGF =2S △BGE ， △S △DHF =12S △BGE =12a ，△17=4-=22

AEFH a S a a 四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．