习题三 数理方法
习题三
一、选择题
1. 设C 为正向圆周11=?z ， 则积分∫
=??C dz z z )3)(1(1 【 】 （A ） ； （B ） ； （C ） 01i π； （D ） i π?。
2. 设C 为正向圆周 ，如果积分
3||=z ∫=C dz z f 0)(，
则=)(z f 【 】 (A) 21?z ； (B) 2)2(1?z ； (C) 21??z z ； (D) 2)
2(1??z z 。 3. 设C 为正向闭曲线，则以下曲线中，使积分∫=??C
i dz z z π)3)(1(1的曲线C 是 【 】 （A ）2
1||:=z C ； （B ）1|1|:=?z C ； （C ）1|3|:=?z C ； （D ）。 4||:=z C 4. 设在简单闭曲线C 内解析，在C 上连续，在C 内，则有 【 】
)(z f 0z (A) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫?=?2
0'20)(1)()()( ； (B) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫?=?0'20)()()(； (C) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫?=?0
0201!2)()()(； (D) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫?=?0020)()()(。 5. 下列命题中，不正确的是 【 】 （A）积分
dz a
z r a z ∫=??||1的值与半径的大小无关； (0r r >)（B） 1)(22<+∫C dz iy x ，其中C 为连接i ?到i 的线段；
（C）若()f z 在0z 1<<内解析，且沿任何圆周:(0c z r r 1)=<<的积分等于零，
则()f z 在处解析；
0z =（D）设函数)(z g 在区域D 内有定义，且()()f z g z ′=，则在D 内()g z ′存在且解析。
二、填空题
1. 设c 为正向圆周3z =，则积分∫+C dz z z z |
|＝____________________。
2. 设C 为正向圆周，则积分2||=z ∫=?C
dz z z ___________)1(sin 2。 3. 设曲线为由点到点的直线段，则积分 C )0,0()2,1(=∫C dz z 2
。 4. 设为任意一条绕原点的正向简单闭曲线， C ∫
=C z
t dz z e t f 3)(，则__________)1(=′f 。 5. 设在内解析，在闭圆)(z f 1|| ∫==++1||._______________)()]1(2[z z dz z f z z 三、计算题 1. 计算积分z z z z I C z d )1(sin ||22∫=?= ，其中：（1）C 为正向圆周21||=z ；（2）C 为正向圆周。 2||=z 2. 设，计算积分 201322012321)(z z z z f ++++=L dz z z f z z ∫ =1||2011)()(。 3. 计算积分∫ ?+C dz z z 22) 1)(1(1，其中：C 为曲线的正向。 )(222y x y x +=+4. 计算积分∫=?+2/3||2 2)2)(1(1z dz z z 。 5. 设，计算积分2||≠a ∫ =?=222sin z iz dz a z z e I 。 四、证明题 1. 设为单连通区域，, 在内除外均解析，且在的邻域内有界。证明：D D z ∈0)(z f D 0z |)(|z f 0z 0)(=∫C dz z f ，其中：C 为内任一包含的闭曲线。 D 0z 2. 设函数在上解析，且在)(z f 2||≤z 2||=z 上有|||)(|z z z f ≤?，证明：()81'≤f 。 3. 求积分∫=1||z z dz z e 的值，从而证明定积分 cos 0 cos(sin )e d πθθθπ=∫。 4. 设函数在全平面上解析，且)(z f )(z f 有界，证明：为常数。 )(z f USACO 题解 Chapter1 Section 1.1 Your Ride Is Here (ride) 这大概是一个容易的问题，一个“ad hoc”问题，不需要特殊的算法和技巧。 Greedy Gift Givers (gift1) 这道题的难度相当于联赛第一题。用数组incom、outcom记录每个人的收入和支出，记录每个人的名字，对于送礼人i，找到他要送给的人j，inc(incom[j],outcom[i] div n)，其中n 是要送的人数，最后inc(incom[i],outcom[i] mod n)，最后输出incom[i]-outcom[i]即可。（复杂度O(n^3)）。 用Hash表可以进行优化，降复杂度为O(n^2)。 Friday the Thirteenth (friday) 按月为单位计算，模拟运算，1900年1月13日是星期六（代号1），下个月的13日就是代号(1+31-1) mod 7+1的星期。 因为数据小，所以不会超时。 当数据比较大时，可以以年为单位计算，每年为365天，mod 7的余数是1，就是说每过一年所有的日和星期错一天，闰年第1、2月错1天，3月以后错2天。这样，只要先求出第一年的解，错位添加到以后的年即可。 详细分析：因为1900.1.1是星期一，所以1900.1.13就等于(13-1) mod7+1=星期六。这样讲可能不太清楚。那么，我来解释一下：每过7天是一个星期。n天后是星期几怎么算呢？现在假设n是7的倍数，如果n为14，那么刚好就过了两个星期，所以14天后仍然是星期一。但如果是过了15天，那么推算就得到是星期二。这样，我们就可以推导出一个公式来计算。(n天mod 7（一个星期的天数）+ 现在日期的代号) mod 7 就等于现在日期的代号。当括号内的值为7的倍数时，其代号就为0，那么，此时就应该是星期日这样，我们可以得出题目的算法： int a[13]={0，31，28，31，30，31，30，31，31，30，31，30，31} int b[8]={0} a数组保存一年12个月的天数（因为C语言中数组起始下标为0，所以这里定义为13）。 b数组保存星期一到星期日出现的天数。用date记录目前是星期几的代号，然后用两个循环，依次加上所经过的月份的天数，就出那个月是星期几，当然，要注意判断闰年！知道了这个方法，实现起来就很容易了。 注意考虑闰月的情况。 最后注意要换行，否则会错误。 Broken Necklace (beads) 这道题用标准的搜索是O(n^2)的，可以用类似动态规划的方法优化到O(n)。 用数组bl，br，rl，rr分别记录在项链i处向左向右收集的蓝色红色珠子数。 项链是环形的，但我们只要把两个同样的项链放在一块，就把它转换成线性的了。 我们只要求出bl，br，rl，rr，那么结果就是max(max(bl[i]，rl[i])+max(br[i+1]，rr[i+1])) (0<=i<=2*n-1)。 我们以求bl，rl为例： 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 排列组合专题复习及经典例题详解 1.学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 （1）特殊元素优先安排的策略： （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略． 3.难点 综合运用解题策略解决问题． 4.学习过程: (1)知识梳理 m种不完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1．分类计数原理（加法原理）：1mm种不同的方法，类型办法中有种不同的方法……在第n同的方法，在第2类办法中有n2N?m?m?...?m 种不同的方法．那么完成这件事共有n12m种不步有个步骤，做第12．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n1mm种不同的方法；那么完成这步有种不同的方法……，做第同的方法，做第2步有n n2N?m?m?...?m种不同的方法．件事共有n12特别提醒： 分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏． 3．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n m?nm?n 时叫做全排列. 时叫做选排列，排列个不同元素中取出m个元素的一个，4．排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同m P. 个元素的排列数，用符号表示元素中取出m n n!?m）?Nmn（m?)...()(1n?2n?m1)??,n、?(?Pnn5．排列数公式： n(n?m)!1mmm?mPPP??排列数具有的性质：nn1?n特别提醒： 规定0!=1 1 6．组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合. 7．组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个m C. 个不同元素的组合数，用符号表示不同元素中取出m nm Pn(n?1)(n?2)...(n?m?1)n!mn???C．组合数公式：8 nm)!m!(n?m!mP mmn?mmmm?1C?CC?C?C；②组合数的两个性质：①nnnnn?1特别提醒：排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. 《概率与数理统计》 第一章 随机事件与概率 典型例题 一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解 1.设,,A B C 为三个事件，且()0.9,()0.97P A B P A B C ==U U U ，则()________.P AB C -= 2.设,A B 为两个任意事件，证明：1|()()()|.4 P AB P A P B -≤ 二、古典概型与几何概型的概率计算 1.袋中有a 个红球，b 个白球，现从袋中每次任取一球，取后不放回，试求第k 次 取到红球的概率.（a a b +） 2.从数字1,2,,9L 中可重复地任取n 次，试求所取的n 个数的乘积能被10整除的 概率.（58419n n n n +--） 3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太 弱，从而成为不合格品，试求10个部件都是合格品的概率.（19591960 ） 4.掷n 颗骰子，求出现最大的点数为5的概率. 5.（配对问题）某人写了n 封信给不同的n 个人，并在n 个信封上写好了各人的地址，现在每个信封里随意地塞进一封信，试求至少有一封信放对了信封的概率. （01(1)! n k k k =-∑） 6.在线段AD上任取两点,B C，在,B C处折断而得三条线段，求“这三条线段能构成三角形”的概率.（0.25） 7.从(0,1)中任取两个数，试求这两个数之和小于1，且其积小于 3 16 的概率. （13 ln3 416 +） 三、事件独立性 1.设事件A与B独立，且两个事件仅发生一个的概率都是 3 16 ，试求() P A. 2.甲、乙两人轮流投篮，甲先投，且甲每轮只投一次，而乙每轮可投两次，先投 中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为p和1 3 .（1）求甲取胜的概率； （2）p求何值时，甲、乙两人的胜负概率相同？（ 95 ; 5414 p p p = + ） 四、条件概率与积事件概率的计算 1.已知10件产品中有2件次品，现从中取产品两次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）两次均取到正品；（2）在第一次取到正品的条件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）两次中恰有一次取到正品；（5）两次中 至少有一次取到正品.（28741644 ;;;; 45954545 ） 2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的数字不再重复，试求下列事件的概率：（1）拨号不超过3次而接通电话；（2）第3次拨号才接通电话.（0.3；0.1） 五、全概率公式和贝叶斯公式概型 1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件为一等品，现从两箱中随意挑选出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品 的概率.（2690 ; 51421 ） 2.有100个零件，其中90个一等品，10个二等品，随机地取2个,安装在一台设备上，若2个零件中有i个（0,1,2 i=）二等品，则该设备的使用寿命服从参 四川理工学院试卷（2014至2015学年第1学期） 课程名称：数理统计（A 卷） 命题教师： 适用班级：统计系2013级1、2班 注意事项： 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、填空题（每空3分，共 24 分） 1. 设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本， 2σ已知，令∑==16 1161i i X X ，统计量σ -164X 服从分布为 （写出分布的参数）。 2. 设),(~2σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 __________ 。 3. 设12,, ,n X X X 是来自总体X ~(1,1)U -的样本， 则()E X =___________， ()Var X =__________________。 4．已知~(,)F F m n ，则 1 ~F 5. ?θ和?β 都是参数a 的无偏估计，如果有_________________成立 ，则称?θ是比 ?β 有效的估计。 6．设()2,0.3X N μ~，容量9n =，均值5X =，则未知参数μ的置信度为0.95 的置信区间是___________________ (查表0.975 1.96U =） 7. 设123456,,,,,X X X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令 22123456()()Y X X X X X X =+++-- 则当C = 时CY ～2(2)χ。 二、选择题（每小题3分，共 24分 ） 1. 已知n X X X ,,,21 是来自总体2(,)N μσ的样本，μ已知，2σ未知，则下列是统计量的是（ ） （A ）2 1()n i i X X =-∑ （B ） 22 1 1 ()n i i X X σ =-∑ (C) 2 211 ()n i i X μσ=-∑ (D) 2 21 ()11n i i X n μσ=--∑ 2．设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN 的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是（ ）. （A ）221 11?()n i i X X n σ==-∑ （B ）2221 1?()1n i i X X n σ==--∑ (C)223 11?()n i i X n σμ==-∑ (D)2 241 1?()1n i i X n σμ==--∑ 3. 设81,,X X 和101,,Y Y 是分别来自相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的 样本, 21S 和2 2S 分别是其样本方差，则下列服从)9,7(F 的统计量是( ) )(A 222152S S )(B 22 2 145S S )(C 2 22154S S )(D 222125S S 《数理统计》例题 1.设总体X 的概率密度函数为： 2 2 1)(ββ x e x f -= )0(>β 试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。 解：（1）矩法 由于EX 为0， πβββββ βββββββ2 00 2 2 2 22 2 1][) ()2 (2) ()2(21 2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = +-=- =- - ===???? ?∞ +-∞+- ∞ +- - ∞ +- ∞ ++∞ ∞ -dx e xe e d x x d xe dx e x dx x f x EX x x x x x πβ2 222 1= -=X E EX DX 令2S DX =得：S π β2 ?= （2）极大似然法 ∑= ==- =- ∏ n i i i x n n i x e e L 1 2 22 2 1 11 1 β ββ β ∑=- -=n i i x n L 1 22 1 ln ln ββ 2 31 ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =β d L d 得∑==n i i x n 1 2 2?β 2. 设总体X 的概率密度函数为： ?? ???<≥--=αα βαββαφx x x x ,0),/)(exp(1 ),;( 其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。 解：（1）矩法 经统计得：063.0,176.2==S X β αβαβ φα β α α β ααβ α β α α β α α +=-=+-=-===∞ +-- ∞ +-- ∞ +-- -- ∞ +-- ∞ +∞ +∞-?? ? ?x x x x x e dx e xe e xd dx e x dx x x EX ][) (1 )( ) (222][) (1 222 22 2βαβαβαβ β α α αβ α β α α β α α ++=+=+-=-==--∞ +∞ +-- --∞ +-- ∞ +?? ?EX dx e x e x e d x dx e x EX x x x x 222)(β=-=EX EX DX 令???==2S DX X EX 即???==+2 2S X ββα 故063.0?,116.2?===-=S S X βα （2）极大似然法 ) (1 1 1),;(αβ β α β β βα---- == =∏X n n X n i e e x L i )(ln ln αβ β-- -=X n n L )(ln ,0ln 2αβ βββα-+-=??>=??X n n L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥L 所以05.2?)1(==X α 第五章 大数定律与中心极限定理 一、 典型题解 例1设随机变量X 的数学期望()(){}2,3E X u D X X u σσ==-≥方差，求P 的大小区间。 解 令3εσ=，则有切比雪夫不等式有： ()() ()22 221 ,339D X P X E X P X E X σεσεσ????-≥≤ -≥≤=????有 例2在n 次独立试验中，设事件A 在第i 次试验中发生的概率为()1,2,....i p i n = 试证明：A 发生的频率稳定于概率的平均值。 证 设X 表示n 次试验中A 发生的次数，引入新的随机变量0i A X A ?=??1,发生? ，不发生 ()12,...i n =， ，则X 服从()01-分布，故 ()()(),1i i i i i i i E X p D X p p p q ==-=， 又因为 () ()2 2 4140i i i i i i i i p q p q p q p q -=+-=-≥， 所以 ()()1 1,2, (4) i i i D X p q i n =≤ = 由切比雪夫大数定理，对,o ε?>有()11lim 1n i i n i p X E X n ε→∞ =?? -<=???????? ∑ 即 11lim 1n i n i X p p n n ε→∞ =?? -<=???? ∑ 例 3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学 生无家长，1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求参加会议的家长数X 超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。 解（1）以()400,,2,1 =k X k 记第k 个学生来参加会议的家长数，则k X 的分布律为 k X 0 1 2 k P 0.05 0.8 0.15 数理统计试题 It was last revised on January 2, 2021 2015-2016学年第1学期《数理统计学》考试试题 1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。 2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。 3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。 选择题答案表 一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项）。 1. 设总体),(~211σμN X ，),(~2 2 2σμN Y 相互独立，样本量分别为1n ，2n ，样本方差分别为21S ，22S ，检验2221122210::σσσσn n F S S α D. )1,1(21222 2 1-->n n F S S α 2. 假设?θ 是θ的一个点估计，那么以下说法中错误的是（ ）。 A.如?()E θ θ=，则?θ是θ的无偏估计 B.如?θ 是θ的无偏估计，则?()g θ是()g θ的无偏估计 C.如?θ 是θ的极大似然估计，()g θ有单值反函数，则?()g θ是()g θ的极大似然估计 D.?θ 的均方误差定义为2??()()MSE E θθθ=- 3. 设n X X X ,,,21 为来自正态分布),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本均值， ∑=-=n i i n X X n S 1 22)(1，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。 数理统计 一、填空题 1．设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。 2．设母体 ),,(~2 N X 已知，则在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为 3．设母体X 服从方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4．假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 6．某地区的年降雨量),(~2 N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 的矩估计值为 。 7．设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 22 21,S S 分别是两个子样的方差，令2 2222121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22 2221 ，则__________, b a 。 8．假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。 9．假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ，则____ 。 10．设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ， X 为子样均值，而 01.0)( X P ， 则____ 11．假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 N ，令 16 11 10 1 43 i i i i X X Y ，则Y 的 分布 矩阵快速幂 hrbust1140 数字和问题 Description 定义一种操作为：已知一个数字，对其各位数字 反复求和，直到剩下的数是一位数不能求和为止。 例如：数字2345，第一次求和得到2 + 3 + 4 + 5 = 14，再对14的各位数字求和得到1 + 4 = 5，得到5将不再求和。 现在请你求出对a^b进行该操作后，求最终得到的数字. Input 第一行，包含两个数字a（0 <= a <= 2000000000）和b（1 <= b <= 2000000000） Output 输出对a^b进行操作后得到的数字是什么 #include 第七章 假设检验 三、典型题解 例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 解: 根据样本值判断5.05.0≠=μμ还是.提出两个对立假设 0100:5.0:μμμμ≠==H H 和 选择统计量：)1,0(~/0 N n X Z σμ-= 取定0.05a =，则/20.025 1.96,z z a ==又已知 9, 0.015, n s ==由样本计算得0.511x =， 2.2 1.96=>，于是拒绝假设 0H , 认为包装机工作不正常. 例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布),(2 σμN ， s cm s cm /2,/40==σμ，现用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n =只，测得燃 烧率的样本均值为s cm x /25.41=.设在新方法下总体均方差仍为s cm /2，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？（取显著性水平05.0=α） 解：根据题意需要检验假设 00 :40H m m ?（即假设新方法没有提高了燃烧率）, 10 :H m m >（即假设新方法提高了燃烧率）, 这是右边检验问题，拒绝域为 0.05 1.645x z z = ?，由 3.125 1.645 x z = =>可得z 值落到拒绝域中故在显著性水平0.05 a =下拒绝0 H . 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高. 例3：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今 201 5- 2016学年第1学期《数理统计学》考试试题 1、 考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。 2、 计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留 2位小数。 3、 请将选择题的答案（用字母 A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。 选择题答案表 一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项） 1.设总体X~N （,「2 ），Y~N （」2，打）相互独立，样本量分别为 n 1，n 2，样本 方差分别为S ；， S ；，检验H o :打一匚； 比：打心的拒绝域为（ 2. 3. So A. -2 ::: F-.g -1, n 2 —1) S ； B. s 2 ~2 ::: F-.2(n 1 —^1, 门 2 ~ S C.鲨 F.(01 -1,n 2 -1) S ； D. S 2 2 F 2 (n 1 - 1 n 2 - 1 ) S 2 假设?是二的一个点估计, 那么以下说法中错误的是（ A.如E （马“，则?是二的无偏估计 B.如?是二的无偏估计，则g （国是g （“的无偏估计 C.如？是的极大似然估计，g （J 有单值反函数，则g （珀是g （R 的极大似然估 D.彳的均方误差定义为 MSE （^） = E （^-^）2 设X 1,X 2，…,X n 为来自正态分布N （=二2）的简单随机样本，X 为样本均值, n _ （X j -X ）2 ，则服从自由度为n-1的t 分布的统计量为（ n i A.奶（乂-卩） B. .n (X - J S n C J n—1(X —卩) a D. n — 1(X ■■) Sn 4.下面不正确的是（)° A. 5 二-u B. [.(n) n) C. t1_：.(n) - -t：.(n) 1 D F (n m)— F1v(n,m)- F/m, n) 5.以下关于假设检验的说 法， 正确的是（)° A.第一类错误是指，备择假设是真，却接受了原假设 B.利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显着性水平称为检验的p值 C.当检验的p值大于显着性水平:时，拒绝原假设 D.犯两类错误的概率不可以被同时减小 6.对于单因素试验方差分析的数学模型，设S T为总离差平方和，S e为误差平方 和，S A为效应平方和，则不正确的是（）? A.无论零假设是否成立，都有S T=Se ?S A B.无论零假设是否成立，都有% ~ 2r -1 ■. C.无论零假设是否成立，都有S E2~ 2门_「 CT D.零假设成立时，才有S A （r ~1） ~ F r -1, n—r Se.. （n-r） 7.下面关于」的置信度为1八的置信区间的说法，不正确的是（？?？ ） A.置信区间随样本的变化而变化，是随机变量？ B.对固定的样本，置信区间要么一定包含真值，要么一定不包含真值」 C.」落入区间的概率为1 D.随机区间以1— a的概率包含了参数真值J 学习好资料 第一套试卷及参考答案 一、选择题 ( 40 分) 1、根据某医院对急性白血病患者构成调查所获得的资料应绘制 ( B ) A 条图B 百分 条图或圆图C 线图D 直方图 2、均数和标准差可全面描述D 资料的特征 A 所有分布形式E负偏态分布C正偏态分布D正态分布和近似正态分布 3、要评价某市一名5岁男孩的身高是否偏高或偏矮，其统计方法是( A ) A 用该市五岁男孩的身高的95%或99%正常值范围来评价 B 用身高差别的假设检 验来评价 C 用身高均数的95%或99%的可信区间来评价 D 不能作评价 4、比较身高与体重两组数据变异大小宜采用( A ) A 变异系数 B 方差 C 标准差 D 四分位间距 5、产生均数有抽样误差的根本原因是( A ) A. 个体差异 B. 群体差异 C. 样本均数不同 D. 总体均数不同 6、男性吸烟率是女性的10 倍，该指标为( A ) (A)相对比(B)构成比(C)定基比(D )率 7、统计推断的内容为( D ) A.用样本指标估计相应的总体指标 B.检验统计上的“检验假设” C. A和B均不是 D. A和B均是 8、两样本均数比较用t 检验，其目的是检验( C ) A两样本均数是否不同B两总体均数是否不同 C 两个总体均数是否相同 D 两个样本均数是否相同 9、有两个独立随机的样本，样本含量分别为n i和住，在进行成组设计资料的t 检 验时，自由度是( D ) (A) n i+ n2 (B) n i+ n2 - C) n1+ n2 +1 D) n1+ n2 -2 10、标准误反映( A ) A 抽样误差的大小 B 总体参数的波动大小 C 重复实验准确度的高低 D 数据的离散程度 11、最小二乘法是指各实测点到回归直线的(C) A垂直距离的平方和最小E垂直距离最小 C纵向距离的平方和最小D纵向距离最小 12、对含有两个随机变量的同一批资料, 既作直线回归分析, 又作直线相关分析。 令对相关系数检验的t值为t r，对回归系数检验的t值为t b, 二者之间具有什么关系？( C) A t r >t b B t r ○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○ ………… 学校: ___ ___ _ _ __ _姓名：___ _ __ ___ _ _班级：__ __ _ _ ___ _ _考号：_ _____ __ ___ ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … …○ … … … … 订… … … … ○ … ………线…………○………… 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a 和b 所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有 家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 《数理统计》考试题及参考答案 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2 (0,3)N ，而12 9(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分 别来自X 和Y 的样本，则U = 服从的分布是_______ .解：(9)t ． 2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2?θ的期望与方差满足_______ . 解：1212 ????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β =_______ .解：1?-''X Y β=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则 ____D___ . （A ）(0,1)nX N ； （B ）22()nS n χ； （C ） (1)()n X t n S -； （D ） 2 122 (1)(1,1)n i i n X F n X =--∑. 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的置 信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ . （A ）T e A S S S =+； （B ） 22 (1)A S r χσ -； 【题型】单选题 【题干】把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是： 【选项】 A．①③④，②⑤⑥ B．①③⑥，②④⑤ C．①④⑥，②③⑤ D．①③⑤，②④⑥ 【答案】C 【解析】属性类。1、4、6轴对称，2、3、5中心对称。 故正确答案为C。 【题型】单选题 【题干】把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是： 【选项】 A．①⑤⑥，②③④ B．①③⑤，②④⑥ C．①②③，④⑤⑥ D．①②⑥，③④⑤ 【答案】B 【解析】1、3、5是曲线，2、4、6是直线。 故正确答案为B。 【题型】单选题 【题干】把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是： 【选项】 A．①②③，④⑤⑥ B．①⑤⑥，②③④ C．①②④，③⑤⑥ D．①④⑥，②③⑤ 【答案】C 【解析】考查数量类。1、2、4是一个整体，3、5、6图形是分开的。 故正确答案为C。 【题型】单选题 【题干】把下面的六组图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是： 【选项】 A．①④⑥，②③⑤ B．①③⑥，②④⑤ C．①③④，②⑤⑥ D．①②④，③⑤⑥ 【答案】A 【解析】考查样式类。1、4、6右边的大图形，在左边的图形的里面，2、3、5左边的大图形在右边的里面。 故正确答案为A。 【题型】单选题 【题干】从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性： 【选项】 A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【解析】本题属于位置类，题干中每行图形都在逆时针旋转，且每行中第一和第二个图形眼睛旋转后再发生翻转，嘴只是发生旋转，第二和第三个图形眼睛只发生旋转，嘴旋转后再发生翻转。所以选择C选项。 故正确答案为C。 数理统计期末练习题 1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于0.95,则n 至少为多少 2．设n x x ,,1 是来自)25,(μN 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(|≥<-μx P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求 )2.0|(|>-y x P . 5.设161,,x x 是来自),(2 δμN 的样本,经计算32.5,92 ==s x ,试求)6.0|(|<-μx P . 6.设n x x ,,1 是来自)1,(μN 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0≥μ,有α≤ ++-+P k x x x x x x 11．设n x x ,,1 是来自 ),(2 1σ μN 的样本,m y y ,,1 是来自),(22σμN 的样本,c,d 是任意两个 不为0的常数,证明),2(~)()(2 221-+-+-=+m n t s y d x c t m d n c ωμμ其中2 2222,2)1()1(y x y x s s m n s m s n s 与-+-+-=ω分别是两个样本方差. 12．设121,,,+n n x x x x 是来自),(2 σμN 的样本,11,n n i i x x n ==∑_ 2 21 1(),1n n i n i s x x n ==--∑试求常数 c 使得1n n c n x x t c s +-=服从t 分布,并指出分布的自由度 。 13．设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为,,2 22 1s s 试求 ).2(22 2 1>S S p 14. 某厂生产的灯泡使用寿命)250,2250(~2 N X ,现进行质量检查,方法如下：随机抽取若干个灯泡,如果这些灯泡的平均寿命超过2200h,就认为该厂生产的灯泡质量合格,若要使检查能通过的概率不低于0.997,问至少应检查多少只灯泡？ 第八讲 概率统计 【考点透视】 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 【例题解析】 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法. [解答过程]0.3提示:1 33 5 C 33.54C 10 2 P ===? 例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ． [考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法. 用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法. [解答过程]1.20 提示:51.10020P == 例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________． [考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.USACO题解(NOCOW整理版)
概率论与数理统计期末考试试题及解答
排列组合专题复习及经典例题详解
概率与数理统计典型例题
数理统计期末考试试卷
硕士生《数理统计》例题及答案
数理统计复习题第五章
数理统计试题
数理统计习题数理统计练习题
各算法经典例题
数理统计复习题第八章
数理统计试题
医药数理统计习题及答案汇编
统计及概率经典例题(含答案和解析)
《数理统计》考试题及参考答案
图形推理经典例题及答案解析真题
数理统计期末练习题
概率统计例题及练习题(答案)