空间向量巧解平行,垂直关系
高中数学空间向量巧解平行、垂直关系
编稿老师刘咏霞一校黄楠二校杨雪审核郑建彬
一、考点突破
知识点课标要求题型说明
空间向量巧解
平行、垂直关系
1. 能够运用向量的坐标判断两个
向量的平行或垂直。
2. 理解直线的方向向量与平面的
法向量。
3. 能用向量方法解决线面、面面的
垂直与平行问题，体会向量方法在
立体几何中的作用。
选择题
填空题
解答题
注意用向量方
法解决平行和垂直
问题中坐标系的建
立以及法向量的求
法。
二、重难点提示
重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。
难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。
考点一：直线的方向向量与平面的法向量
1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。
2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。
【核心归纳】
① 一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。
② 在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的。 【随堂练习】
已知A （1，1，0），B （1，0，1），C （0，1，1），则平面ABC 的一个法向量的单位向量是（ ）
A. （1，1，1）
B. C. 111
(,,) 333
D. (333
- 思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。
答案：设平面ABC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），AB u u u r
＝（0，－1，1），BC uuu r ＝（－
1，1，0），AC u u u r ＝（－1，0，1），则·0
·0·
0AB y z BC x y AC x z ?=-+=??
=-+=??=-+=??n n n u u u r u u u r u u u
r ，∴x ＝y ＝z ， 又∵单位向量的模为1，故只有B 正确。
技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： （1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）。
（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a ＝（a 1，b 1，c 1），b ＝（a 2，b 2，c 2）。 （3）根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组·
0·
0.=??=?n a n b （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
考点二：用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系
【核心突破】
①
用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。
②用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
建立立体图形与空间
向量的联系，用空间
向量表示问题中涉及
的点、直线、平面，
把立体几何问题转化
为向量问题。
通过向量运算，研究
点、直线、平面之间
的位置关系以及它们
之间的距离和夹角等
问题。
把向量的运算结果
“翻译”成相应的几
何意义。
例题1（浙江改编）如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，
AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC。证明：PQ∥平面BCD。
思路分析：利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。
答案：证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz。
由题意知，A（02，2），B（020），D（02，0）。
设点C的坐标为（x0，y0，0）。因为3
AQ QC
=
u u u r u u u r
，所以Q
00
3231
,,
4442
x y
??
+
?
?
??
。
因为M为AD的中点，故M（02，1），又P为BM的中点，故P1
0,0,
2
??
?
??
，
所以PQ
uuu r ＝00323,,044
x y ??+ ? ???
。 又平面BCD 的一个法向量为a ＝（0，0，1），故PQ uuu r ·a ＝0。
又PQ ?平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD 。
技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，可证直线的方向向量与平面内某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。
例题2 如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点。求证：AB 1⊥平面A 1BD 。
思路分析：证明线面垂直可以通过证明线与面的法向量平行来实现。
答案：证明：如图所示，取BC 的中点O ，连接AO ，因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC 。
∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1，
取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB uuu r ，1OO u u u u r ，OA u u u
r 所在直线为x 轴，y 轴，z
轴建立空间直角坐标系，则B （1，0，0），D （－1，1，0），A 1（0，23），A （0，0，
3，B 1（1，2，0）。
1BA u u u r ＝（－1，23）
，BD u u u r
＝（－2，1，0）。1u u u r AB =（1，2，3-） 设平面A 1BD 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），
因为n ⊥1BA u u u r ，n ⊥BD u u u r ，故10230
200BA x y z x y BD ???=-++=?????-+=??=???
n n u u u r
u u u r
， 令x ＝1，则y ＝2，z 3n ＝（1，23A 1BD 的一个法向量，
而1AB u u u r ＝（1，23），所以1AB u u u r ＝n ，所以1AB u u r
∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD 。
技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与
平面的法向量平行。
例题3 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为
BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C 。
思路分析：建系写出坐标，分别求出两个平面的法向量，证明两个平面垂直。 答案：证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A （2，0，0），A 1（2，0，1），C （0，2，0），C 1（0，2，1），E （0，0，
1
2
）， 则1AA u u u r ＝（0，0，1），AC u u u r ＝（－2，2，0），1AC u u u u r ＝（－2，2，1），AE u u u r ＝（－2，0，12
）。
设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝（x ，y ，z ），则11·
0·
0AA AC ?=??=??1n n u u u r u u u r
?0220z x y =??-+=? 令x ＝1，得y ＝1，∴n 1＝（1，1，0）。 设平面
AEC 1的一个法向量为n 2＝（x 0，y 0，z 0），则
21
·0·0AC AE ?=??=??2n n u u u u r u u u r ?000002201
202
x y z x z -++=???-+=??
令z 0＝4，得x 0＝1，y 0＝－1。
∴n 2＝（1，－1，4）。∵n 1·n 2＝1×1＋1×（－1）＋0×4＝0， ∴n 1⊥n 2.∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C 。
技巧点拨：利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直。向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系。恰当建系或用基向量表示后，只须经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度。
利用向量解决立体几何中的探索性问题
【满分训练】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，棱BB 1上是
否存在一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1。
思路分析：设出点M 的坐标，利用线面垂直列方程组求解。
答案：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为2，则E （2，1，0），
F （1，2，0），D 1（0，0，2），B 1（2，2，2）。
设M （2，2，m ），则EF u u u r ＝（－1，1，0），1B E u u u r ＝（0，－1，－2），1D M u u u u u r ＝（2，2，m －2）。
∵D 1M ⊥平面EFB 1， ∴D 1M ⊥EF ，D 1M ⊥B 1E ，
∴1D M u u u u u r ·EF u u u r
＝0且1D M u u u u u r ·1B E u u u r ＝0，
于是22022(2)0
m -+=??---=?，∴m ＝1。
故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1。
技巧点拨：对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件做出判断，再
进一步论证。另一种是利用空间向量，先设出假设存在的点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”。
（答题时间：40分钟）
1. （东营高二检测）已知平面α的法向量为a ＝（1，2，－2），平面β的法向量为b ＝（－2，－4，k ），若α⊥β，则k ＝（ ）
A. 4
B. －4
C. 5
D. －5
2. （青岛高二检测）若AB u u u r ＝λCD uuu r ＋μCE u u u r ，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 在平面内
D. 平行或在平面内
3. 已知AB u u u r ＝（1，5，－2），BC uuu r ＝（3，1，z ），若AB u u u r ⊥BC uuu r ，BP u u u r ＝（x －1，y ，－
3），且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为（ ）
A.
337，－157，4 B. 407，－15
7
，4 C. 407，－2，4 D. 4，407，－15
4. （汕头模拟）如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1。
（1）求证：E ，B ，F ，D 1四点共面； （2）若点G 在BC 上，BG ＝2
3
，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1。
5. 下列命题中，正确的是________。（填序号）
① 若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则n 1∥n 2?α∥β； ② 若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β?n 1·n 2＝0；
③ 若n 是平面α的一个法向量，a 与平面α共面，则n ·a ＝0；
④ 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。
6. 平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知（DB u u u r ＋DC u u u r －2DA u u u r ）·（AB u u u r －AC u u u
r ）＝0，
则△ABC 的形状是 三角形。
7. 如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点。在DD 1上是否存在一点N ，使MN ⊥DC 1？并说明理由。
8. （衡水调研卷）如图所示，在四棱柱ABCD －1111A B C D 中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱1A A ＝2。
（1）证明：AC ⊥1A B ；
（2）是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP u u u r
＝λ1PA u u u r ，且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1。
1. D 解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5。
2. D 解析：∵AB
u u u r
＝λCD
uuu r
＋μCE
u u u r
，∴AB
u u u r
、CD
uuu r
、CE
u u u r
共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内。
3. B 解析：∵AB
u u u r
⊥BC
uuu r
，∴AB
u u u r
·BC
uuu r
＝0，即3＋5－2z＝0，解得z＝4，
又∵BP⊥平面ABC，∴BP
u u u r
⊥AB
u u u r
，BP
u u u r
⊥BC
uuu r
，则
1560
31120
x y
x y
(-)++=
?
?
(-)+-=
?
，解得
40
7
15
7
x
y
?
=
??
?
?=-
??
。
4. 证明：（1）以B为原点，以BA，BC，BB1为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，则B（0，0，0），E（3，0，1），F（0，3，2），D1（3，3，3），则u u u r BE ＝（3，0，1），
u u u r
BF＝（0，3，2），
1
u u u u r
BD＝（3，3，3），所以
1
u u u u r
BD＝
u u u r
BE＋
u u u r
BF。由向量共面的充要条件知E，B，F，D1四点共面。
（2）设M（0，0，z0），G2
0,,0
3
??
?
??
，则GM＝
2
0,,
3
z
??
-
?
??
，而
u u u r
BF＝（0，3，2），由题设得GM·
u u u r
BF＝－
2
3
×3＋z0·2＝0，得z0＝1。故M（0，0，1），有ME
u u u r
＝（3，0，0）。
又
1
u u u r
BB＝（0，0，3），
u u u r
BC＝（0，3，0），所以
u u u r
ME·
1
u u u r
BB＝0，
u u u r
ME·
u u u r
BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC。又BB1∩BC＝B，故EM⊥平面BCC1B1。
5. ②③④解析：②③④一定正确，①中两平面有可能重合。
6. 等腰解析：（DB
u u u r
＋DC
u u u r
－2DA
u u u r
）·（AB
u u u r
－AC
u u u r
）＝（DB
u u u r
－DA
u u u r
＋DC
u u u r
－DA
u u u r
）·CB
u u u r ＝（AB
u u u r
＋AC
u u u r
）·CB
u u u r
＝0，故△ABC为等腰三角形。
7. 解：如图所示，建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的坐标系，
则C1（0，2，3），M（1
2
，2，0），D（0，0，0）。设N（0，0，h），
则MN u u u u r ＝（－1
2
，－2，h ），1DC u u u u r ＝（0，2，3），
由MN u u u u r ·1DC u u u u r ＝（－1
2，－2，h ）·
（0，2，3）＝－4＋3h . ∴当h ＝4
3
时，MN u u u u r ·1DC u u u u r ＝0，此时MN u u u u r ⊥1DC u u u u r 。∴存在N ∈DD 1，使MN ⊥DC 1。
8. 证明：以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，1，0），A 1（0，0
），B （1，1，0），D 1（－1，0
，B 1（0，1
），C 1（－1，1
）。
（1）AC u u u r ＝（－1，1，0），1A B u u u r ＝（1，1
，∴AC u u u r ·1A B u u u r
＝0，∴AC ⊥A 1B .
（2）假设存在一点P ，∵AP u u u r ＝λ1PA u u u r ，∴P （1
1
λ+，0
，1λ+）。
设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝（x 1，y 1，z 1），
∵1AB u u u r ＝（－1，1
），1AC u u u u r ＝（－2，1
，
∴11111111·
0·
20.AB x y AC x y ?=-+=??=-++=??11n n u u u r u u u u r
令z 1
y 1＝－3，x 1＝0。∴n 1＝（0，－3
）。
同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝（0
，－1）， ∴n 1·n 2＝0
0，即λ＝－4。 ∵P 在棱A 1A 上，与λ>0矛盾。∴这样的一点P 不存在。
人教新课标版数学高二选修2-1 作业 3.2空间向量与垂直关系(第二课时)
1．若两个不同平面α,β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则 ( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α,β相交但不垂直 D ．以上均不正确 解析：u ·v ＝(1,2，－1)·(2,3,8) ＝1×2＋2×3－1×8＝0. ∴u ⊥v .∴α⊥β. 答案：B 2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．8 解析：∵l ∥α，平面α的法向量为(1，1 2，2)， ∴(2，m,1)·(1，1 2，2)＝0. ∴2＋1 2m ＋2＝0.∴m ＝－8. 答案：C 3．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且 BP ⊥平面ABC ，则BP 等于 ( ) A ．(337，－15 7，4) B ．(337，－15 7，－3) C ．(407，－15 7 ，4) D ．(407，15 7 ，－3) 解析：由AB · BC ＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. 又BP ⊥平面ABC ， ∴????? BP ·AB ＝0， BP · BC ＝0，即??? ?? x －1＋5y ＋6＝0， 3x －3＋y －12＝0，解得??? x ＝40 7， y ＝－15 7 . 答案：B 4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )
A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．AA 1 解析：建立如图所示坐标系. 设正方体棱长为1， 则A (1,0,0)，B (1,1,0)， C (0,1,0)，D (0,0,0)， A 1(1,0,1)，E (12，1 2，1)． ∴CE ＝(12，1 2，1)－(0,1,0) ＝(12，－1 2 ，1)， AC ＝(－1,1,0)，BD ＝(－1，－1,0)， 1A D ＝(－1,0，－1)，1A A ＝(0,0，－1)． ∵CE ·BD ＝(12，－12，1)·(－1，－1,0) ＝－12＋1 2＋0＝0， ∴CE ⊥BD ，∴CE ⊥BD . 答案：B 5．在直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________． 解析：由题意得OP ⊥OQ . ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0.∴cos x ＝0或cos x ＝12. 又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π 3. 答案：π2或π 3 6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，且有AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．给出结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是________．
高二数学 用空间向量解决立体几何中的平行与垂直问题课后练习
用空间向量解决立体几何中的平行与垂直练习题 一、选择题 1．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为( ) A ．－2 B ．－2C.2D ．±2 2．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ．－1,2 B ．1，－2 C ．1,2 D ．－1，－2 3．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( ) A ．－3 B ．6 C ．－6 D ．－12 4．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( ) A ．(1,0，－2) B ．(1,0,2) C ．(－1,0,2) D ．(2,0，－1) 5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A. (1，－1,1) B.????1，3，32 C.????1，－3，32 D.? ???－1，3，－32 6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13 AC ， 则( ) A ．EF 至多与A 1D ，AC 中的一个垂直 B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC C ．EF 与B D 1相交D ．EF 与BD 1异面 二、填空题 7．设平面α的法向量为m ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n ＝(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________. 8.如图所示，在三棱锥A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →＝_______.
人教新课标版数学高二选修2-1课时作业 3-2-2空间向量与垂直关系
课时作业24空间向量与垂直关系 时间：45分钟分值：100分 一、选择题(每小题6分，共36分) 1．若向量m同时垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则() A．m∥n B．m⊥n C．m与n既不平行也不垂直D．以上三种情况均有可能 解析：m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0. 答案：B 2．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则() A．α∥βB．α⊥β C．α与β相交不垂直D．以上都不对 →＝(0,1，－1)，AC→＝(1,0，－1)，n·AB→＝－1×0＋(－1)×1解析：AB ＋(－1)×(－1)＝0， →＝－1×1－1×0＋(－1)×(－1)＝0， n·AC ∴n⊥AB→，n⊥AC→.∴n也为α的一个法向量． 又α与β不重合，∴α∥β. 答案：A →是平面ABCD的法向量，则以下等3．在菱形ABCD中，若PA
式中可能不成立的是( ) A.PA →·AB →＝0 B.PC →·BD →＝0 C.PC →·AB →＝0 D.PA →·CD →＝0 解析：∵PA ⊥平面ABCD ，∴BD ⊥PA . 又AC ⊥BD ，∴PC ⊥BD .故选项B 正确，选项A 和D 显然成立．故选C. 答案：C 4．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0且c ·b ＝0是l ⊥α的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 解析：若c ·a ＝0且c ·b ＝0?/ l ⊥α，原因是a 可能与b 共线，而l ⊥α则一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0成立．故选B. 答案：B 5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →等于( ) A ．(337，－157，4) B ．(337，－15 7，－3) C ．(407，－157，4) D ．(407，15 7，－3) 解析：由AB →·BC →＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. 又BP →⊥平面ABC ，
§3.2 立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系
§3.2立体几何中的向量方法(二) ——空间向量与垂直关系 课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． 1．空间垂直关系的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直线面垂直面面垂直 设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?______ 设直线l的方向向量是a＝ (a1，b1，c1)，平面α的法向量 u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α? ________ 若平面α的法向量u＝(a1，b1 ， c1)，平面β的法向量为v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β? ________ 线线垂直线面垂直面面垂直 ①证明两直线的方向向量的数 量积为______． ①证明直线的方向向量与平面的法向 量是______． ①证明两 个平面的 法向量 _________ ___． ②证明两直线所成角为 ______. ②证明直线与平面内的相交直线 ________. ②证明二 面角的平 面角为 ________._ _______. 一、选择题 1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于() A．1B．2C．3D．4 2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是() A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形 3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥α C．l?αD．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．不能确定 5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．不确定 6. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系 是( ) A ．平行 B ．相交 C ．相交且垂直 D ．以上都不是 二、填空题 7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______. 8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中： ①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题 10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱 CC 1上的点，且CN ＝1 4 CC 1.求证：AB 1⊥MN . 11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.
空间向量高中数学教案课程
空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
2018年秋高中数学课时分层作业19空间向量与垂直关系新人教A版选修21
课时分层作业(十九) 空间向量与垂直关系 (建议用时：40分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．已知平面α的法向量为a ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k ＝( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 D [∵α⊥β，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0. ∴k ＝－5.] 2．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP → ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( ) A ．337，－15 7，4 B ．407，－15 7，4 C ．40 7 ，－2,4 D ．4，40 7 ，－15 B [∵AB →⊥B C →，∴AB →·BC → ＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4， 又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC → ， 则? ?? ?? (x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得????? x ＝40 7，y ＝－15 7 .] 3．在菱形ABCD 中，若PA → 是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) 【导学号：46342170】 A ．PA →⊥A B → B ．PA →⊥CD → C ．PC →⊥B D → D ．PC →⊥AB → D [由题意知PA ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面上的线AB ，CD 都垂直，A ，B 正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD ⊥平面PAC ，故PC ⊥BD ，C 选项正确．] 4．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，点D 满足条件：DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，AD ＝BC ，则点D 的坐标为( ) A ．(1,1,1) B ．(－1，－1，－1)或? ?? ??13，13，13
用向量方法证明空间中的平行与垂直
用向量方法证明空间中的平行与垂 直 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑
用向量方法证明空间中的平行与垂直 1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( C > A．若a∥n，则a∥α B．若a·n＝0，则a⊥α C．若a∥n，则a⊥α D．若a·n＝0，则a∥α 解读：由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C.对于选项D，直线a?平面α也满足a·n＝0. 2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论： ①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β； ③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β. 其中正确的是( A > A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3.(原创>已知A(3，－2,1>，B(4，－5,3>，则与向量错误!平行的一个向量的坐标是( C >b5E2RGbCAP A．(错误!，1,1> B． (－1，－3,2> C．(－错误!，错误!，－1> D．(错误!，－3，－2错误!>p1EanqFDPw 解读：错误!＝(1，－3,2>＝－2(－错误!，错误!，－1>，DXDiTa9E3d 所以与向量错误!平行的一个向量的坐标是(－错误!，错误!，－1>，故选C.RTCrpUDGiT 4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2>，l2的方向向量为b＝(－2,3，m>，若l1⊥l2，则m等于 2 .5PCzVD7HxA 5.设平面α的法向量为(1,2，－2>，平面β的法向量为(－2，－4，k>，若α∥β，则k＝ 4 . 解读：因为α∥β，所以(－2，－4，k>＝λ(1,2，－ 2>， 所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4. 6.已知错误!＝(1,5，－2>，错误!＝(3,1，z>．若错误!⊥错误!，错误!＝(x－1，y，－3>，且BP⊥平面ABC，则实数x＝错误!，y＝－错误!，z＝ 4 .jLBHrnAILg 解读：由已知错误!，xHAQX74J0X 解得x＝错误!，y＝－错误!，z＝4. 7.(原创>若a＝(2,1，－错误!>，b＝(－1,5，错误!>，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为2错误!.LDAYtRyKfE 解读：因为a·b＝(2,1，－错误!>·(－1,5，错误!>＝0，
第七节 空间向量的应用(一) 平行与垂直
第七节 空间向量的应用(一) 平行与垂直 高考概览：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理． [知识梳理] 1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量． (2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量． 2．空间位置关系的向量表示 [辨识巧记] 1．确定平面的法向量的两种方法 (1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定． (2)待定系数法：取平面的两条相交向量a ，b ，设平面的法向量 为n ＝(x ，y ，z )，由? ???? n ·a ＝0，n ·b ＝0解方程组求得．
2．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． [双基自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若直线a 的方向向量与平面α的法向量垂直，则a ∥α.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．(选修2－1P 104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n 1 ＝(2,3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不对 [解析] 不能确定唯一的实数λ，使n 1＝λn 2，所以n 1与n 2不平行，故α与β不平行；n 1·n 2＝－6＋3－20＝－23，故α与β不垂直．所以α与β相交但不垂直．故选C. [答案] C 3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A ．(－1,1,1) B ．(1，－1,1) C.? ???? －33，－33，－33 D.? ?? ?? 33，33，－33 [解析] 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量， 则?? ? n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得? ???? －x ＋y ＝0， －x ＋z ＝0， ∴x ＝y ＝z .故选C. [答案] C 4．(2019·陕西黄陵模拟)若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )
人教版数学高二选修2-1练习 空间向量与垂直关系
§3.2立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直 关系 课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． 1．空间垂直关系的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直线面垂直面面垂直 设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?______ 设直线l的方向向量是a＝ (a1，b1，c1)，平面α的法向量 u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α? ________ 若平面α的法向量u＝(a1，b1， c1)，平面β的法向量为v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β? ________ 线线垂直线面垂直面面垂直 ①证明两直线的方向向量的数量积为______．①证明直线的方向向量与平面的法向 量是______． ①证明两 个平面的 法向量 _________ ___． ②证明两直线所成角为 ______.②证明直线与平面内的相交直线 ________. ②证明二 面角的平 面角为 ________._ _______. 一、选择题 1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于() A．1B．2C．3D．4 2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是() A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形 3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥α C．l?αD．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．不能确定 5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．不确定 6. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系 是( ) A ．平行 B ．相交 C ．相交且垂直 D ．以上都不是 二、填空题 7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______. 8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中： ①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题 10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱 CC 1上的点，且CN ＝1 4 CC 1.求证：AB 1⊥MN . 11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.
空间向量与立体几何：第五讲 利用空间向量证明平行与垂直问题(1) (1)
第五讲 利用空间向量证明平行与垂直问题 【基础知识】 证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算． 其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可．当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行．其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可． 【规律技巧】 恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键． 【典例讲解】 【例1】 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG . 证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴AB ，AP ，AD 两两垂直． 以A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)． 法一 ∴EF →＝(0，1，0)，EG → ＝(1，2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????n ·EF →＝0，n · EG →＝0，即?????y ＝0，x ＋2y －z ＝0， 令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量， ∵PB → ＝(2，0，－2)，
立体几何中的向量方法-平行与垂直
3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系 【基础知识在线】 知识点一空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角 利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系 知识点二线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系 知识点三线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系 【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间的方向向量与平面的法向量 1. 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向，这个向量a叫做直线的方向向量. ⊥l，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面α的法向量. 2. 直线α (1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法 （1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可. (2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法: 设法向量(),,,z y x u =由???? ?=?=?,00n b n a 得???=++=++, 00 321321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中 的任一个赋值，求出另两个，所得u 即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量. 4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 : 设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则 线线平行：;,////R k b k a b a m l ∈=?? 即：两直线平行或重合?两直线的方向向量共线． 线线垂直：;0=??⊥?⊥b a b a m l 即：两直线垂直?两直线的方向向量垂直． 线面平行：;0//=??⊥?u a u a l α 即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外． 线面垂直：;,//R k u k a u a l ∈=??⊥α 即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内 两条不共线直线的方向向量都垂直． 面面平行：;,////R k v k u v u ∈=??βα 即：两平面平行?两平面的法向量共线． 面面垂直：.0=??⊥?⊥v u v u βα
人教新课标版数学高二选修2-1课堂达标 空间向量与垂直关系
课堂达标·效果检测 1.平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( ) A. B.(6,-2,-2) C.(4,2,2) D.(-1,1,4) 【解析】选D.=( 2,1,1),=(3,-1,-1), 设平面α的法向量为n=(x,y, z). 得 取y=1,则n=(0,1,-1). D选项中(-1,1,4)·(0,1,-1)=1-4=-3≠0. 2.在空间直角坐标系中与平面yOz垂直的向量是( ) A.(1,0,0) B.(0,1,0) C.(0,0,1) D.(0,1,1) 【解析】选A.因为向量(1,0,0)为x轴所在直线的方向向量,又x轴与平面yOz垂直,所以与平面yOz垂直的向量为(1,0,0). 3.若两个不同平面α,β的法向量分别为u=(2,1,-1),v=(3,2,8),则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α,β相交不垂直 D.以上均不正确 【解析】选B.因为u·v=6+2-8=0,所以u⊥v.故α⊥β.
4.两平面α,β的法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,则y+z的值为. 【解析】α⊥β?u·v=0?-6+y+z=0,即y+z=6. 答案:6 5.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,且PA⊥底面ABCD,如果BC⊥PB,求证四边形ABCD是矩形. 【证明】由条件知⊥,⊥,=, 因为BC⊥PB,所以·=0, 即·(-)=0, 所以·-·=0, 因为·=0,所以·=0, 所以AD⊥AB,因为四边形ABCD为平行四边形, 所以四边形ABCD为矩形. 关闭Word文档返回原板块
江苏省淮阴中学高三数学一轮复习 第82课时 利用空间向量证明平行与垂直问题学案(无答案)
第82课时 利用空间向量证明平行与垂直问题 考点解说 利用直线的方向向量和平面的法向量判定直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,掌握用向量方法处理空间中的平行与垂直问题. 一、基础自测 1.已知向量),,3(),5,4,2(y x b a ==分别是直线12,l l 的方向向量,若1l ∥2l ,则=x =y . 2.已知)5,6,2(),,3,8(b n a m ==,若m //n ,则=+b a . 3.已知,,a b c r r r 分别为直线,,a b c 的方向向量且 (0),0,a b b c λλ=≠?=r r r r 则a 与c 的位置关系是 . 4.在空间四边形ABCD 中,E 、F 是分别是AB 、AD 上的点,且AE:EB=AF:FD=1:4,又H,G 分别是BC 、CD 的中点,则EFGH 是 形. 5.正三棱柱111ABC A B C -中,底面边长AB=1,且11AB BC ⊥,则侧棱1AA 的长为 . 6.已知平行六面体1111ABCD A B C D -底面为菱形, 0 1160,C CB BD CA ∠=⊥,则1C CD ∠的大小为 . 7.正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 、P 分别是棱1CC 、BC 、CD 的中点,则直线1A P 与平面MND 所成角为 . 8.空间四边形ABCD 中,,AB CD BC AD ⊥⊥,则AC 与BD 的位置关系为 . 二、例题讲解 例1.如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,O 是AC 和BD 的交点,M 是CC 1的中点,求证:A 1O ⊥平面MBD. 例2.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1,CD 的中点,求证:平面AED ⊥平面A 1FD 1. 例 3.如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M,N,E,F 分别是所在棱的中点,求证:平面AMN ∥平面EFBD.
2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第7讲立体几何中的向量方法一证明平行与垂直练习理
第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 一、选择题 1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l α D.l 与α相交 解析 ∵n ＝－2a ，∴a 与平面α的法向量平行，∴l ⊥α. 答案 B 2.若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 解析 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面. 则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内. 答案 D 3.已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A.P (2，3，3) B.P (－2，0，1) C.P (－4，4，0) D.P (3，－3，4) 解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ， ∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内. 答案 A 4.(2017·西安月考)如图，F 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点.E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( ) A.B 1E ＝EB B.B 1E ＝2EB C.B 1E ＝12 EB D.E 与B 重合 解析 分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则D (0，0，0)，F (0，1，0)，D 1(0，0，2)，设E (2，2，z )，D 1F →＝(0，1，－2)，DE → ＝(2，2，z )，∵D 1F →·DE →＝0×2＋1×2－2z ＝0，∴z ＝1，∴B 1E ＝EB . 答案 A
高中数学选修2-1-空间向量与立体几何
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．典例解析 题型1：空间向量的概念及性质 例1、有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③ 题型2：空间向量的基本运算 例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若 AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的 向量是（ ） C1
()A 1122a b c - ++ ()B 11 22a b c ++ ()C 1122 a b c --+ ()D c b a +-21 21 例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b ,求y x ,的值. 例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.（三）强化巩固导练 1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值. 2、 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A 1c ，则下列向量中 与B 1相等的向量是 ( )。A ．-2 1a ＋2 1b ＋c B ．2 1a ＋2 1b ＋c C ．2 1a -2 1b ＋c D ．-2 1a -2 1b ＋c 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大是 。 第二课时 空间向量的坐标运算 （一）、基础知识过关 （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标 例1、（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ） A. ：||=：|| B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3 C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 D.存在非零实数k ，使=k （2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ）
2020届高考数学第七篇立体几何与空间向量专题7.6利用空间向量证明平行与垂直练习
专题7.6 利用空间向量证明平行与垂直 【考试要求】 1.理解直线的方向向量及平面的法向量； 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； 3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理； 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题； 5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题； 6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 【知识梳理】 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 3.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 4.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，
n 〉|＝ |a ·n | |a ||n | . 5.求二面角的大小 (1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD → 〉. (2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 6.点到平面的距离 用向量方法求点B 到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A ，求向量AB → 到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n ，点B 到平面α的距离d ＝|AB →·n | |n |. 【微点提醒】 1.平面的法向量是非零向量且不唯一. 2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系. 3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|. 4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )
向量方法(一)证明平行与垂直
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( ) (4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行.( ) 2.已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不对 3.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l ?α D.l 与α相交 4.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A.(－1，1，1) B.(1，－1，1) C.??? ?－33，－33，－33 D.????33，33，－33 5.所图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的 中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________. 最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 知识梳理 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量. (2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示
用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系
用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系 编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅 目标认知 学习目标： 1．理解直线的方向向量与平面的法向量. 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。 重点： 空间向量共线与垂直的充要条件；空间向量的运算及其坐标表示；用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。 难点： 空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题. 学习策略： 直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置，因此用向量讨论立体几何中的平行和垂直问题，关键就是利用直线的方向向量和平面的法向量，讨论这些向量之间的平行垂直关系，从而得出空间直线、平面间的平行垂直关系。 对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 知识要点梳理 知识点一：基本定理 线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 面面平行判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行。 线面垂直判定定理：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。 面面垂直判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 知识点二：空间向量平行和垂直的充要条件
若，，则 ①，， ② 知识点三：直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。 2．平面的法向量： 如果直线垂直于平面,那么直线的方向向量就叫做平面的法向量；设平面的法向量为，A、P为平面内任意两点，则。 知识点四：用向量语言表述线与面之间的平行与垂直关系. 设空间直线、的方向向量分别为、，平面的法向量分别为、，则： ①线线平行： 或与重合 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 ②线线垂直： 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。