控制工程基础学习笔记

控制工程基础学习笔记

一、概论

1.1基本概念

控制：由人或用控制装置使受控对象按照一定目的来动作所进行的操作。

输入信号：人为给定的，又称给定量。

输出信号：就是被控制量。它表征对象或过程的状态和性能。

反馈信号：从输出端或中间环节引出来并直接或经过变换以后传输到输入端比较元件中去的信号，或者是从输出端引出来并直接或经过变换以后传输到中间环节比较元件中去的信号。

偏差信号：比较元件的输出，等于输入信号与主反馈信号之差。

误差信号：输出信号的期望值与实际值之差。

扰动信号：来自系统内部或外部的、干扰和破坏系统具有预定性能和预定输出的信号。

1.2控制的基本方式

开环控制：系统的输出量对系统无控制作用，或者说系统中无反馈回路的系统，称为开环控制系统。

闭环控制：系统的输出量对系统有控制作用，或者说系统中存在反馈回路的系统，称为闭环控制系统。

1.3反馈控制系统的基本组成

给定元件：用于给出输入信号的环节，以确定被控对象的目标值（或称给定值）。

测量元件：用于检测被控量，通常出现在反馈回路中。

比较元件：用于把测量元件检测到的实际输出值经过变换与给定元件给出的输入值进行比较，求出它们之间的偏差。

放大元件：用于将比较元件给出的偏差信号进行放大，以足够的功率来推动执行元件去控制被控对象。

执行元件：用于直接驱动被控对象，使被控量发生变化。

校正元件：亦称补偿元件，它是在系统基本结构基础上附加的元部件，其参数可灵活调整，以改善系统的性能。

1.4对控制系统的性能要求

稳定性：指系统重新恢复稳态的能力。稳定是控制系统正常工作的先决条件。

快速性：指稳定系统响应的动态过程的时间长短。

准确性：指控制系统进入稳态后，跟踪给定信号或纠正扰动信号影响的准确度。

二、控制系统的动态数学模型

2.1 控制系统的运动微分方程 2.1.1 建立数学模型的一般步骤

用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：

(1)分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量。 (2)从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件动态微分方程。

(3)消去中间变量，得到一个描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程。 (4)写成标准化形式。将与输入有关的项放在等式右侧，与输出有关的项放在等式的左侧，且各阶导数项按降幂排列。

2.2 拉氏变换与反变换 2.2.1 拉普拉斯变换的定义

如果有一个以时间t 为自变量的实变函数f(t)，它的定义域是t>=0，那么f(t)的拉普拉斯变换定义为

F(s)=L[f(t)]= 式中,s 是复变数， 称为拉普拉斯积分；F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称F(s)为f(t)的象函数，而称f(t)为F(t)的原函数；L 表示进行拉普拉斯变换的符号。

阶跃函数的拉氏变换

单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/s 2

指数函数at e 的拉氏变换

)()()0

e d st

F s L f t f t t ∞

-=??????)()()0e d st

F s L f t f t t ∞

-=??????

()()[]?

∞

-?==0

dt e At t f L s R st

?

?∞

-∞-∞-+

=---=0

001

0)(|dt

Ae s

dt s Ae e s A t st st st 2

s A

=

[]=

=

?

∞

-0

dt e e e L st at at ()a

s dt e t a s -=

?

∞

--1

正弦函数和余弦函数的拉氏变换

常见函数的拉氏变换表

2.3拉氏变换的常用定理

（1）线性定理

（2）延迟定理

（3）位移定理

（4）微分定理

（5）积分定理

()()()()

+

-+=???????0110f s s s F dt t f L t

[]=

=

?

∞

-0

sin sin dt te

t L st

ωω2

2

2ωω

θθ+=-?

∞

--s dt e j e e st j j []2

2cos ωω+=s s

t L ()()[]()[]()[]

t f L k t f L k t f k t f k L 22112211+=+()()

s F k s F k 2211+=()()()s F e a t f L as -=-()()

()

a s F t f e L at +=-()()()()()()()()()()

+

-+-+-+-----=0000][12121n n n n n n f sf f s f s s F s t f L

（6）终值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)

（7）初值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)

2.4传递函数

2.4.1传递函数的定义

表示方法：

()()()0

11011a s a s a b s b s b s X s Y s G n n n n m m m m ++++++=

=----

2.4.2传递函数的性质

（1）传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统 本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关。

（2）传递函数是复变量 s 的有理分式函数，其分子多项式的次数 m 低于或等于分母多项式的次数 n ，即m ≤n 。且系 数均为实数。

（3）在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输 出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映系统的 物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函 。 （4）传递函数的定义只适用于线性定常系统。

（5）

2.5典型环节的定义

比例环节

输出量不失真、无惯性地跟随输入量，且成比例关系的环节。

惯性环节

()()()1+=

=

Ts K

s X s Y s G

由于惯性环节中含有一个储能元件，所以当输入量突然变化时，输出量不能跟着突变，而是按指数规律逐渐变化 积分环节

()()

s sF t f s t 0

lim lim →∞

→=()()

s sF t f s t ∞

→→=lim lim 0

()

()

()()

]s X s G [L ]s X [L t y i 1

o 1

--==()()()

K

s X s Y s G ==

()()()Ts

s X s Y s G 1

==

积分环节的一个显著特点是输出量取决于输入量对时间的积累过程。输入量作用一段时间后，即使输入量变为零，输出量仍将保持在已达到的数值，故有记忆功能；另一个特点是有明显的滞后作用。 微分环节

()()()Ts

s X s Y s G ==

一阶微分环节

微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，所以也等于给系统以有关输入变化趋势的预告。因而，微分环节常用来改善控制系统的动态性能 振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能相互转换，从而导致输出带有振荡的性质。 二阶微分环节

输出量不仅取决于输入量本身，而且还决定于输入量的一阶和二阶导数 延时环节

输入量加上以后，输出量要等待一段时间后，才能不失真地复现输入的环节.

延迟环节与惯性环节的区别在于：惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近于所要求的输出值；延迟环节从输入开始之初，在 0 到t 的区间内，并无输出，但t 之后，输出就完全等于输入

三、控制系统的时间响应分析

3.1时间响应

时间响应的概念：时间响应是指控制系统在典型信号的作用下，输出量随时间变化的函数关系。

()()()

1+?==

s s X s Y s G τ()()()1

22

2++==

Ts s T K

s X s Y s G ζ()()()

1

222++==

s s s X s Y s G ζττ()()()

s e s X s Y s G τ-==

3.1.1瞬态响应指标：

延迟时间t d :第一次达到稳定态的一半所需的时间

上升时间t r ：第一次达到稳定态所需的时间（产生振荡时）或从稳定态的10%上升到稳态值的90%所需的时间（无振荡时）

峰值时间t p ：达到超调量的第一个峰值所需的时间。 超调量Mp ：超出稳态值（为1）的最大偏离量Mp

调整时间t s ：第一次达到并保持在允许误差范围（一般为稳态值的Δ=5%或2%）内所需的时间

3.2 一阶系统的时间响应

一阶系统：能用一阶微分方程描述的系统的称为一阶系统。典型形式是惯性环节

传递函数的一般形式为

单位阶跃响应

()()[]T

t e

s C L t c -

--==11

3.3 二阶系统的时间响应

()()()

%

100?∞∞-=

C C t C M p p ()()()t f t y b dt

t dy a

=?+()()()1

+=

=

Ts K

s R s C s G t T

e t c 11)(--=t T

e

T t c 1'

1)(-=95

.01)(=-=-

T

t s s e t c 05

.095.01=-=-

T

t s e

T

T t s 305.0ln =-=??

?

??==∞=T c c c 1)0(1)(0

)0('

单位阶跃响应

()()[]()

t e s C L t c n t n ωω+-==--111

四、PID 控制方法

偏差信号()t ε是系统进行控制的最基本、最原始的信号。为了提高系统的控制性能，可对信号加以改造，使其按某种函数关系进行变换，形成新的控制规律，从而使系统达到所要求的性能指标。

所谓PID 控制，就是对偏差信号进行比例、积分和微分运算变换后形成的一种控制规律。

()()()

s R s G s C =s s s n

n n 1

22

22

?++=ωξωω，临界阻尼情况

1)1(=ξ，过阻尼情况

1)2(>ξ()???

? ??--+=21221121p e p e t c t

p t p n

ξω，欠阻尼情况

10)3(<<ξ()??

?

?

??

-+

-=-t t e

t c d d

t

n ωξξ

ωξωsin 1cos 12

，零阻尼情况

0)4(=ξ()t

t c n ωcos 1-=1

0)5(->>ξξ

ξθξωωθωξξω2

2

d d 2

-1arctg

1 )

t sin(1

e

-

1c(t) -=-=+-=n t n

4.1PID 控制分解分析

P （比例）控制：控制器的输出与偏差信号之间的关系为

系统引入比例控制器后对系统性能的影响：当取Kp>1时，采用比例控制改善了系统的稳态性能（开环增益加大，稳态误差减小）和快速性（幅值穿越频率增大，过渡过程时间缩短），但系统稳定程度变差。 因此只有原系统稳定裕量充分大时才采用比例控制。若取Kp<1，则对系统性能的影响刚好相反。

PI （比例积分）控制：控制器的传递函数为

改善了系统的稳态性能，快速性变差即是动态性能下降。 PD （比例微分）控制：控制器的传递函数为

PD 控制改善了系统的动态性能；但高频段增益上升，系统抗干扰能力减弱。 PID （比例微分积分）控制：控制器的传递函数为

在低频段主要起积分控制作用，改善系统的稳态性能；在中频段主要起微分控制作用，提高系统的动态性能。

PID 控制规律通常由其相应的校正装置来实现。这些校正装置的物理属性可以是电气的、机械的、液压的、气动的或者是它们的组合形式。究竟采用哪种形式的校正装置为宜，在很大程度上取决于被控对象的性质。如果不存在发生火灾的危险，则一般都愿意采用电气校正装置（即电网络），因为它实现起来最方便。在机械工业也经常采用机械、液压或气动的校正装置。

4.2 PID 控制对系统特性的影响 4.2.1各种串联校正的特性比较

（1）超前校正以其相位超前特性，产生校正作用；滞后校正则通过其高频衰减特性，获得校正效果。

)()???? ??++=s T s T K s s U d i P 11ε)()

t K t u εp =()()??? ?++=s T s T K s s U d i P 11()()()

s T K s s U d P 1+=ε()()????

??+=s T K s s U i p 11ε()()

t K t u εp =

（2）超前校正通常用来增大稳定裕量。超前校正比滞后校正有可能提供更高的增益交界频率。较高的增益交界频率对应着较大的带宽，大的带宽意味着调整时间的减小。超前校正的系统的带宽，总是大于滞后校正系统的带宽。因此，系统若需要具有快速响应的特性，应采用超前校正。当然，如果存在噪声信号，则带宽不能过大，因为随着高频增益的增大，系统对噪声信号更加敏感。

（3）超前校正需要有一个附加的增益增量，以补偿超前校正网络本身的衰减。这表明超前校正比滞后校正需要更大的增益。一般说来，增益越大，系统的体积和质量越大，成本也越高。

（4）滞后校正降低了系统在高频段的增益，但并不降低系统在低频段的增益。系统因带宽的减小而具有较低的响应速度。因为降低了高频增益，系统的总增益可以增大，所以低频增益可以增加，从而提高了稳态精度。此外，系统中包含的任何高频噪声，都可以得到衰减。

（5）如果既需要有快速响应特征，又要获得良好的稳态精度，则可以采用滞后- 超前校正。应用滞后- 超前校正装置，可使低频增益增大（改善了系统稳态性能），也增大了系统的带宽和稳定裕量。

（6）虽然应用超前、滞后和滞后- 超前校正装置可以完成大多数系统的校正任务，但是对于复杂的系统，采用由这些校正装置组成的简单校正，可能仍得不到满意的结果。因此，这种情况下必须采用其它形式的校正装置。