正交基
§2 正交基
一、标准正交基
定义5 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.
按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.
正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个.
定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.
设n εεε,,,21 是一组标准正交基，由定义，有
?
??≠==.,0;,1),(j i j i j i 当当εε (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的.
在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即
n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++= . (2)
在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设
.2211n n x x x εεεα+++=
.2211n n y y y εεεβ+++=
那么
.),(2211Y X y x y x y x n n '=+++= βα (3)
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所
有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位.
二、规范正交基的存在性及其正交化方法
定理1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基.
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基.
定理2 对于n 维欧氏空间中任意一组基n εεε,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n ηηη,,,21 ，使
=),,,(21i L εεε .,,2,1,),,,(21n i L i =ηηη
应该指出，定理中的要求
=),,,(21i L εεε .,,2,1,),,,(21n i L i =ηηη
就相当于由基n εεε,,,21 到基n ηηη,,,21 的过渡矩阵是上三角形的.
定理2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt ）正交化过程.
例1 )1,1,1,1(),1,0,0,1(),0,1,0,1(),0,0,1,1(4321--=-===αααα
变成单位正交组.
三、正交矩阵
上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式.
设n εεε,,,21 与n ηηη,,,21 是欧氏空间V 中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是)(ij a A =，即
=),,,(21n ηηη ??????
? ??nn n n n n n a a a a a a a a a 21222211121121),,,(εεε 因为n ηηη,,,21 是标准正交基，所以
???≠==.
,0;,1),(j i j i j i 当当ηη (4) 矩阵A 的各列就是n ηηη,,,21 在标准正交基n εεε,,,21 下的坐标.按公式(3),(4)式可以表示为
???≠==+++.
,0;,12211j i j i a a a a a a nj ni j i j i 当当 (5) (5)式相当于一个矩阵的等式
E A A =' (6)
或者
A A '=-1
定义7 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵，如果E A A ='
由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基.
最后指出，根据逆矩阵的性质，由
E A A ='
即得
E A A ='
写出来就是
???≠==+++.
,0;,12211j i j i a a a a a a jn in j i j i 当当 (7) (5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的.
例2 考虑定义在闭区间]2,0[π上一切连续函数所作成的欧氏空间]2,0[πC .函数组
.,sin ,cos ,,sin ,cos ,1 nx nx x x
构成]2,0[πC 的一个正交组.
把上面的每一向量除以它的长度,就得到]2,0[πC 的一个标准正交组:
.,sin 1
,cos 1
,,sin 1
,cos 1
,21
nx nx x x πππππ
例3 欧氏空间n R 的基 ））（0,,0,1,0,,0( i i =ε,n i ,,2,1 = 是n R 的一个标准正交基.
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独立同分布随机变量序列的顺序统计方法 设有限长度离散随机变量序列12,,...,n x x x ，对其按从小到大的顺序排列，得到新的随机序列12,,...,n y y y ，满足：12...n y y y ≤≤≤；假设12,,...,n x x x 是独立同分布的连续取值型随机变量，每个变量的概率分布函数及概率密度分布函数分别为(),()F x f x 。 (1)求(1)k y k n ≤≤的概率密度分布函数()k y f y 解：k y 在y 处无穷小邻域取值的概率()k y f y dy 可以等效为这样一些事件发生的概率之 和：12,,...,n x x x 这n 个随机变量中有任意一个在y 处无穷小邻域取值，而剩余的n -1个随机变量中有任意k -1个的取值小于等于y ，对应的另外n -k 个变量的取值大于等于y 事件的个数(变量的组合数)为111n n k -???? ???-???? ，每个事件的概率为1[()]()[1()]k n k f y dy F y F y ---，则 11()()()[1()]11k k n k y n n f y dy f y dyF y F y k ---????=- ???-???? => 1!()()[1()]() (1)(1)!()! k k n k y n f y F y F y f y k n k n k --= -≤≤-- (2)求随机变量,(1)k l y y k l n ≤<≤的联合概率密度分布函数(,)k l y y f u v 解：(,) ()k l y y k l <在平面上的点(,) ()u v v u ≥处无穷小邻域取值的概率
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将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这
正交基
§2 正交基 一、标准正交基 定义5 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个. 定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 设n εεε,,,21 是一组标准正交基，由定义，有 ? ??≠==.,0;,1),(j i j i j i 当当εε (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的. 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++= . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 .2211n n x x x εεεα+++= .2211n n y y y εεεβ+++= 那么 .),(2211Y X y x y x y x n n '=+++= βα (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所
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【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移： 将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 ? 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法 2中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. ? 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变 （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩” ? 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式
§2 标准正交基§5 子空间
§5 子空间 一、 欧氏空间中的正交子空间 1．定义： 1) 1V 与2V 是欧氏空间V 中的两个子空间，如果对1V α?∈，V β∈，恒有 (),0αβ=， 则称子空间1V 与2V 为正交的，记作12V V ⊥. 2) 对给定向量V α∈,如果对?1V β∈,恒有 (),0αβ=， 则称向量α 与子空间1V 正交，记作1V α⊥. 注： ① 12V V ⊥当且仅当1V 中每个向量都与2V 正交． ② {}12120V V V V ⊥??=. ( ()12,00V V αααα?∈??=?=.) ③ 当1V α⊥且V α∈时，必有0α=. 2．两两正交的子空间的和必是直和． 证明：设子空间12,,,s V V V 两两正交， 要证明12s V V V ⊕⊕⊕,只须证： 12s V V V +++中零向量分解式唯一． 设 12s ααα+++=0, i i V α∈, 1,2,,i s = 12V V ⊥, i j ≠ ∴ ()()()12,0,,0i i s i i ααααααα=+++==
由内积的正定性，可知 0,i α= 1,2,,i s = 二、子空间的正交补 1．定义： 如果欧氏空间V 的子空间12,V V 满足12V V ⊥,并且12V V V +=, 则称 2V 为1V 的正交补. 2．n 维欧氏空间V 的每个子空间1V 都有唯一正交补. 证明：当{}10V =时，V 就是1V 的唯一正交补． 当{}10V ≠时，1V 也是有限维欧氏空间. 取1V 的一组正交基12,,,,m εεε 由定理1，它可扩充成V 的一组正交基 121,,,,,,,m m n εεεεε+ 记子空间()12,,.m n L V εε+= 显然, 12V V V +=. 又对 11221m m x x x V αεεε?=+++∈, 112m m n n x x V βεε++=++∈, ()()1111 ,,,0m n m n i i j j i j i j i j m i j m x x x x αβεεεε==+==+??=== ???∑∑∑∑ ∴ 12V V ⊥. 即2V 为1V 的正交补. 再证唯一性. 设23,V V 是1V 的正交补，则 1213V V V V V =⊕=⊕ 对2,V α?∈由上式知 13V V α∈⊕ 即有 13,ααα=+ 1133,V V αα∈∈ 又 1213,V V V V ⊥⊥ ∴ 131,,αααα⊥⊥
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高斯消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解') x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x
2.运行结果：
高斯选列主元消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次选列主元后的增广矩阵']) temp=max(abs(A(i:m,i))); [a,b]=find(abs(A(i:m,i))==temp); tempo=A(a(1)+i-1,:); A(a(1)+i-1,:)=A(i,:); A(i,:)=tempo disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解')
x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x 2.运行结果：
标准正交基
标准正交基 一、标准正交基的定义及相关概念 1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,); （3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,); （4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0; 这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。 2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 二、标准正交基的相关性质 1、正交向量组的性质： （1）正交向量组是线性无关的。 证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα 由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。
（2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。 （3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。） 2、标准正交基的性质： （1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：? ??≠==.,0; ,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εε j i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。 （2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。 例如：????? ???? ? ?-=????????? ??=????????? ??-=????????? ??=212100,212100,002121,0021214321e e e e 由于?????====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e j i j i 所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。 （3）n 维欧氏空间中，一组基为标准正交基的充要条件是这组基的度量矩阵为单位矩阵。 因为度量矩阵是正定的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵等同于单位矩阵，这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵，由此可以断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的。
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分部积分法顺序口诀 对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。 一、口诀 “反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。 将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。 （分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。） 反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领 当出现两种函数相乘时 指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算 而反三角函数不需要动 再具体点就是： 反*对->反(对) 反*幂->反(幂) 对*幂->对(幂) 二、相关知识 （一）不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C 4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C 6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C （二）求不定积分的方法： 第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。 分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）
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《图象变换的顺序寻根》 题根研究？ 一、图象变换的四种类型 从函数y二f (x)到函数y二A f ( ： "「)+m其间经过4种变换： 1. 纵向平移——m变换 2. 纵向伸缩——A变换 3.横向平移一一变换 4. 横向伸缩一一总变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y二sin x到y二A sin ( ' ：」)+m为例，讨论4种变换的顺序问题 V：= / (x)= 1+ 3sin( 2x- ［例1】函数 ' -的图象可由y二sin x的图象经过怎 样的平移和伸缩变换而得到 【解法1】第1步，横向平移: 将y二sin x向右平移：，得 第2步，横向伸缩: L-1—A ——J — 将. 二的横坐标缩短二倍, 第3步：纵向伸缩: v 二s￡n( 2x——''i 将. -的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移: v = 3sin(2x——) v = 1 + —— 将二向上平移1,得
【解法2】第1步，横向伸缩:
2 将y 二sin x 的横坐标缩短二倍，得 y 二sin 2 x 第2步，横向平移: 第3步，纵向平移: y — sinC2x ——） 将， -向上平移】；，得 第4步，纵向伸缩: v = — 4- sinf 2x — 将1 1的纵坐标扩大 71 【说明】 解法1的“变换量”（如右移：）与参数值（「对应，而解法2 71 71 中有的变换量（如右移1）与参数值（一）不对应，因此解法1的“可靠性” 大, 而解法2的“风险性”大. 【质疑】 对以上变换，提出如下疑问： （1） 在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有 变 （2） 在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反一一 如当匚<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向） （3） 在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反一一 如1^1 > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩” 【答疑】 对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式 y 二A f （-八i ）+m 中x 和y 的地位在形式上“不平等”所至.如果把函数式变为方 程式 -r （y^' ） = f （一」），则x 、y 在形式上就“地位平等”了 v = 1 + 2x- — （v — 1） = sinf 2x -—） 71 将y 二sin 2 x 向右平移；一：，得 尸二 sin （ 2孟一— .-I + 3sin( 2x —— 3倍，得. - 71
001顺序结构讲义
顺序结构讲义 一、顺序结构程序设计至少由三部分组成。 1、输入部分：确定已知变量的值； 2、处理部分：按顺序进行求解； 3、输出部分：给出结果。 结构化程序设计语言提供了输入（read、readln）、赋值（：=）和输出（write、writeln）语句实现算法中三部分内容最基本的描述。 二、顺序问题解决方案：顺序结构算法设计——使用输入、赋值、输出语句实现算法程序设计——执行程序得到正确结果。 三、变量与常量。（一）变量。1、定义：在程序运行过程中，其值可以改变的量称为变量。2、要素：变量名、变量类型、变量值。3、标识符：变量名也称变量标识符。Pascal语言对标识符有如下规定：（1）定义：标识符是以字母开头的字母、数字序列，可以用来标识常量、变量、程序、函数和过程等；（2）标识符分为标准标识符（Pascal 已定义的，具有特殊含义的）和用户自定义标识符（定义时不能与标准标识符相同，最好用英语单词或汉语拼音）。4、数据：是程序处理的对象，数据的一个非常重要的特征就是它的类型。数据类型不仅确定了该类型数据项的表示形式和取值范围，而且还确定了对它所进行的各种运算。5、Pascal常用的标准数据类型：（1）实型（real）：2.9×10-39～1.7×1038；（2）整型（integer）：-32768～32767；长整型（longint）：-231～231-1；（3）字符型（char）：单个字符用一对单引号括起来的数据；字符串（string）：一个或一串用一对单引号括起来的数据；（4）布尔型（boolean）：值只有true和false。6、变量定义格式：V ar <变量标识符>[，<变量标识符>]：<类型> （二）常量。1、定义：在程序运行过程中，其值不能改变的量称为常量。2、定义格式：const <常量标识符>=<常量>{注意区别}。 3、常量说明部分既定义了常量名及其值，还隐含定义了常量类型。 四、赋值语句。1、格式：变量名：=表达式（函数名：=表达式）； 2、功能：计算表达式的值，并赋值给变量。 3、几点说明：（1）赋值语句严格遵从式子左边为变量名，右边为表达式的格式，其意义是先计算表达式的值，然后赋值给变量。（2）“：=”称为赋值号，与数学中的“=”意义不同，赋值语句兼有计算和赋值双重功能。（3）任何一个变量必须首先赋初值，然后才能使用，否则变量的值将不确定。（4）赋值号“：=”右边表达式值的类型必须与左边的变量类型相同或相兼容。 五、Pascal常用函数库。 Pascal把常用的一些运算定义为系统标准函数，只要在程序中写出某一函数名以及此函数所需的参数，系统就会自动运算得到结果。在使用标准函数时，需要注意如下几点。（1）正确书写标准函数名和提供正确的调用参数。（2）每一个标准函数对自变量的数据类型都有一定的要求（例如要求使用整形，不能使用实型）。（3）函数值的类型也是一定的。
分部积分法顺序口诀
不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。 根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 5 本词条无参考资料, 欢迎各位编辑词条，额外获取5个金币。 基本信息 中文名称 分布积分法 外文名称 Integration by parts 目录 1定义 2应用 折叠编辑本段定义
不便于进行换元的组合分成两部份进行积 分部积分法 分部积分法 分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 折叠编辑本段应用 在不定积分上的应用 具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组 分部积分法 分部积分法 成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv
移项后，成为：udv = d(uv) -vdu 两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu 例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。 在定积分上的应用 与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a =[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a =[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx 简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu 例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。
标准正交基
§2 标准正交基 一、正交向量组 1．定义5 欧氏空间V 的一组非零的向量, 如果它们两两正交，就称为一个 正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 2．正交向量组是线性无关的. 3．上述结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个. 二、标准正交基 1．定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基； 由单位向量组成的正交基称为标准正交基组. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 2． 设n εεε,,,21 是一组标准正交基，由定义，有 ? ??≠==.,0; ,1),(j i j i j i 当当εε (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质. 换句话说，一组基为标准正交基的 充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵. 3．因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵 合同于单位矩阵.这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵. 由此断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的. 4．在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++= . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 .2211n n x x x εεεα+++= .2211n n y y y εεεβ+++=
那么 .),(2211Y X y x y x y x n n '=+++= βα (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的. 这说明了，所有的 标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 三、标准正交基的存在性及其正交化方法 1．把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中 称为施密特（Schimidt ）正交化过程 设 12,, ,m ααα 是一组线性无关的向量 (1) 正交化 11βα= 2122111(,) (,) αββαβββ=- 313233121122(,)(,) (,)(,) αβαββαββββββ=-- 43414244123112233(,)(,)(,) (,)(,)(,) αβαβαββαβββββββββ=- -- 由此推出 1 1 (,) (,) k k i k k i i i i αββαβββ-==-∑ (2) 单位化 例1 1234(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,1,1,1)αααα===-=-- 变成单位正交组 2．定理1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.
角函数图像变换顺序详解
《图象变换的顺序寻根》 题根研究? 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. ? 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 ? 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移：
将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 ? 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. ? 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变 （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩” ? 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这
施密特正交化求标准正交基
#include 第四章顺序结构程序设计 （4学时） 一、教学目的及要求 要求学生了解结构化程序设计的基本思想、算法的表示方法，熟练掌握C 语言语句、格式输入/输出函数、字符输入/输出函数。 二、教学重点及难点 重点：结构化程序设计的基本思想，输入/输出函数的使用方法。 难点：流程图的绘制。 三、教学手段 板书与多媒体课件演示相结合 四、教学方法 启发式教学、讲解、演示 五、作业 1、P88页：4.3、4.4、4.6、4.8、4.9 2、习题册本章练习。 六、参考资料 1、谭浩强、张基温、唐永炎主编《C语言程序设计教程》，第三章 2、杨非主编《C语言程序设计应试辅导—二级》，第三章 七、教学内容与教学设计 上节课我们介绍了几种常用的基本数据类型，以及不同数据类型的相互转换，变量赋初值。 这节课我们继续介绍几种常用的运算符以及表达式。形式回顾类型转换的两种类型 【讲授新课】 一、算法与结构化程序设计 1 、算法 例：求长方形的面积。 算法指解决一件事情的方法和步骤，怎样表示一个算法？用流程图表示算法。 流程图表示算法，直观形象，易于理解。 流程图中常用符号的含义如下： 例如将求长方形的面积的算法用流程图表示。讲解 [板书] [幻灯片] [重点] 算法在程序设计中的地位及表示 [板书] [幻灯片] [重点] [难点] [课堂设计]请同学回答，通过例题加强对 二、程序基本结构 1. 顺序结构： 2. 选择结构： 3. 循环结构概念的理解。[重点] [幻灯片] [重点] [课堂设计]利用生活中的例子，如跑步、走路等解释不 3.1.4 结构化程序设计方法 ● 自顶向下； ● 逐步细化； ● 模块化设计； ● 结构化编码。 Ｃ程序的结构： 源程序文件1预处理命令全局变量声明函数首部局部变量声明执行语句 函数体 函数1函数n 源程序文件2源程序文件n C程序 三、顺序结构程序设计 1．顺序执行语句概述 Ｃ程序的执行部分是由语句组成的。 程序的功能也是由执行语句实现的。 C 语句可分为以下五类： 1. 表达式语句：表达式语句由表达式加上分号“；”组成。 同结构的表示方法。 [幻灯片] [重点] 分部积分法顺序口诀 首先，我们要清楚选择的原则，我们在选取u和v的时候要遵循两个原则。 1v要比u更容易求出；二、∫vdu要比∫udv更容易计算。在清楚这两个原则以后，我们可以开始看选择的方法。 2然后我们来看选择的方法，第一点，我们要将被积函数视为两个函数之积。也就是u和v的积的形式。 3然后，我们记住一个口诀来选择u、v，这个口诀就是“反对幂指三”，什么叫反对幂指三呢？反就是反三角函数，对就是对数函数，幂就是幂函数，指就是指数函数，三就是三角函数。 4在记住口诀后，我们把两个被积函数在口诀中排个顺序，在前面的选为u，在后面的选为v的导数。这样我们就可以进行进一步的计算了。 分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部 积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。一般地，从要求的积分式中将凑成是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取，因为一旦确定，则公式中右边第二项中的也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取则要依的复杂程度决定，也就是说，选取的一定要使比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。[2] 记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）指（数函数）三（角函数） 有序顺序表插入方法2：三个函数组成，第一个是定位插入位置，第二个为在指定位置插入，第三个为有序表的插入： int LocateElem_SortedSq(SqList L, ElemType e,Status (*cmp)(ElemType,ElemType)){ //在顺序表L中查找第一个满足cmp(e,x)的元素x的位序,找不到则返回，当cmp为SmallEqual时用于定位第一个满足SmallEqual(e,x)的元素x，即定位第一个“大于等于”e的x； //当cmp为BigEqual时定位第一个满足BigEqual(e,x)的元素x，即第一个“小于等于”e的元素x； cmp 为Equal时定位第一个等于e的元素x。务必注意对应关系 ElemType *p=L.elem;//p指向第一个元素 int i=1; //i始终为p所指向元素的位序 while(i<=L.length&&!(*cmp)(e,*p++))++i; if(i>L.length)return 0; return i; }//LocateElem_Sq Status ListInsert_Sq(SqList &L,int i, ElemType e){ //在顺序表L的第i个位置前插入元素e,i的合法值为..L.length+1 if(i<1||i>L.length+1) return ERROR; //插入位置不合法 if(L.length>=L.listsize){ //表满，增加存储容量 ElemType *newbase=(ElemType *)realloc(L.elem,(L.listsize+LISTINCREMENT)*sizeof(ElemType)); if(!newbase) exit(OVERFLOW); L.elem=newbase; L.listsize+=LISTINCREMENT; } ElemType *q=&L.elem[i-1],*p=&L.elem[L.length-1]; while(p>=q){*(p+1)=*p;--p;} //插入位置后的元素右移 *q=e; ++L.length; //表长加 return OK; }//ListInsert_Sq Status ListInsert_SortedSq(SortedSqList &L,ElemType e,Status (*cmp)(ElemType,ElemType)){ //在有序顺序表L中插入元素e,使得L中各元素仍然按cmp序排列,当cmp为SmallEqual时为升序,即将e插入到第第一个大于或等于e的元素之前，当cmp为BigEqual时为降序,将e插入到第一个小于等于e的元素前int i=LocateElem_SortedSq(L,e,(*cmp)); //定位e的插入位置，应插入到第i个元素前 if(i)ListInsert_Sq(L,i,e); //若找到合适的i则在线性表L的第i个位置前插入元素e else ListInsert_Sq(L,L.length+1,e); //若未找到合适的i则在表尾插入元素e return OK; } 欧氏空间 标准正交基 1.(一、欧氏空间定义及基本性质) 2.(二、标准正交基)(本页) 3.(三、正交变换) 在解析几何中, 通常采用直角坐标系, 即空间中选取三个两两正交的单位向量作为这3维空间的基. 由此联想到在维欧氏空间里是否能找到一组两两正交的单位向量作为基, 使一些问题的讨论更方便些. 定义 6 设为欧氏空间, 为中一组非零向量. 如果此组向量两两 正交, 即(, ), 则称为一正交向量组. 定理 2 设是维欧氏空间的一个正交向量组, 则线 性无关, 从而. 证明见提示7.2. 定义 7 设为维欧氏空间. (1) 若是的一个正交组, 则它们构成的一个基, 称为正 交基. (2) 若为的一个正交基, 且()为单位向量, 则称为标准正交基. 显然, 为标准正交基可描述为 其中 例 4在标准欧氏空间中, 向量组, , 是一个标准正交基. 因为, 且. 例 5是标准欧氏空间的一 个标准正交基. 定理 3 设为欧氏空间的一个基, 则为标准正交基的 充分必要条件是度量矩阵为单位矩阵. 引入标准正交基的好处: 设为维欧氏空间的一个标准正交 基, 则 (1) 向量关于的第个坐标等于与的内积: 设, 则 (2) 在标准正交基下, 两向量的内积等于其各个坐标对应乘积之和: 设, , 则由第一节公式(II), (这里是标准正交基的度量矩阵, 由定理3, .) 定理 4 (施密特正交化) 设是欧氏空间的一个基, 则可求出的一个标准正交基 , 且可由线性表示(这一过程称为施密特正交化过程). 例 6由标准欧氏空间的基, , 出发, 施行施密特正交化方法, 求的一个标准正交基. 解, 所以, , , 记为所求的标准正交基. /* 1. 设计线性表顺序存储结构的11个基本操作函数，并编程实现之*/ #include L.length=0; } bool ListEmpty(SqList &L) //若L为空表，返回TRUE，否则FALSE { if(L.length==0) return true; else return false; } int ListLength(SqList L) //返回L中元素个数 { return L.length; } bool GetElem(SqList L,int i,ElemType &e)//用e返回数据中第i个元素的值 { if(!L.length) return false; else if(i>L.length||i<1) return false; else { e=L.elem[i-1]; return true; } } int LocateElem(SqList L,ElemType e) { int i=1; bool cmp=0; if(L.length==0) return 0; else{ while(i<=L.length&&!cmp) { cmp=compare(L.elem[i-1],e); i++; } if(cmp) return i-1; else return 0; } } int PriorElem(SqList L,ElemType cur_e,ElemType &pre_e)//若cur_e是L的数据元素，且不是第一个，用pre_e返回它的前驱。否则操作失败顺序结构程序设计
分部积分法顺序口诀
作业1有序顺序表插入方法2
标准正交基
线性表顺序存储结构的11个基本操作函数