2020-2021学年高考总复习数学(理)第二次八校联考模拟试题及答案解析

3s t = 5sin s t =

最新高三第二次八校联考数学（理科）试卷

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。) 1.设集合{}|215A x x =->，集合{}|lg(6)B x y x ==-，则B A I 等于（ ） A ．()3,6B ．[]3,6 C ．(]3,6D ．[)3,6 2.设i 是虚数单位，若复数5

()2a a R i

-∈-是纯虚数，则a 的值为( ) A ．32-

B ．－2

C ．2

D ．32 3.2016

(25)x y +展开式中第1k +项的系数为( )

A ．20161201625k

k

k C --

B ．12017120162

5k k

k C --- C ．12016k C -

D ． 201620162

5k

k

k C -

4.已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线22

1y x m

+=的焦点坐标为 ( )

A ． (3,0)

B ．(0,3)

C ．(3,0)或(5,0)

D ．(0,3)或(5,0)

5.等差数列{}n a 的公差0d <且22

113a a =，则数列{}n a 的前n 项和n s 有最大值，当n s 取得最大值时的项数n 是( )

A ．6

B ．7

C ．5或6

D ．6或7

6. 执行右面的程序框图，如果输入的[1,]t π∈-，则输出的S 属于（ ）

A.3[3,

]2π- B.3[5,]2π-

C.[5,5]-

D.[3,5]-

7.如右图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A.4

B.

163 C. 203

D.8 8.设,a b R ∈，则a b >“”

是 ()()a a b b

a e e

b e e --+>+“”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

9. 已知等腰直角ABC ?，4AB AC ==，点,P Q 分别在边,AB BC 上，

()0PB BQ BC +?=u u u r u u u r u u u r ,2PM PQ =u u u u r u u u r ,0AP AN +=u u u r u u u r r

,直线MN 经过ABC ?的重心，则||AP uuu r =（ ）

A. 43

B. 2

C. 8

3

D.1

10. 已知直线1y x =-与双曲线22

1ax by +=（0,0a b ><）的渐近线交于,A B 两点，且

过原点和线段AB 中点的直线的斜率为3-

b a

的值为 （ ）

A. 32-

B.33-

C. 932-

D. 3

27

-

11.函数2016sin x

y x =-的图像大致是 （ ）

A B C D 12.已知函数2

1()()ln ()2

f x a x x a R =-+∈.在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．1(,]2

-∞B ．11,22??

-

????

C ．1(,)2+∞

D ．1(,)2-∞

第Ⅱ卷（非选择题90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-24题为选考题，学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若函数1

()121x a f x -=+

+为奇函数，ln 0()0

ax

a x x g x e

x >?=?≤?，则不等式()1g x >的解集为 .

4.若实数,x y满足不等式组

230

10

y

x y

x y

≥

?

?

-+≥

?

?+-≤

?

，则2||

z y x

=-的最小值是________________．

15.如图所示的几何体是由正四棱锥和圆柱组合而成，且该几何体内接于球（正四棱锥的顶点都在球面上），正四棱锥底面边长为2，体积为4

3

，则圆柱

的体积为.

16.已知数列{}

n

a是等差数列，数列{}

n

b是等比数列，对一切*

n N

∈，都有1n

n

n

a

b

a

+=，则数列{}

n

b的通项公式为.

三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）设ABC

?的三个内角,,

A B C所对的边分别为,,

a b c，点O为ABC

?的外接圆的圆心，若满足2

a b c

+≥

（1）求角C的最大值；

（2）当角C取最大值时，已知3

a b

==，点P为ABC

?外接圆圆弧上一点，若OP xOA yOB

=+

u u u r u u u r u u u r

，求x y?的最大值.

18. （本小题满分12分）骨质疏松症被称为"静悄悄的流行病"，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如下表：（单位：人）

有骨质疏松症状无骨质疏松症状总计

常喝碳酸饮料的同学22 8 30

不常喝碳酸饮料的同学8 12 20

总计30 20 50

（1

（2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

附表及公式

19.已知菱形ABCD，2,

3

AB BAC

π

=∠=，半圆O所在平面垂直于平面ABCD,点P在半圆弧上. （不同于,B C）.

(1) 若PA与平面ABCD

2

，求出点P的位置；

（2）是否存在点P,使得PC BD

⊥,若存在，求出点P的位置，若不存在，说明理由.

20.给定椭圆C：

x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知点(2,1)

A是椭圆22

:4

G x y m

+=上的点.

（1）若过点10)

P的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求l被椭圆G的伴随圆

1

G所截得的弦长；

（2）椭圆G上的,B C两点满足

12

41

k k?=-（其中

12

,k k是直线,

AB AC的斜率），求证：,,

B C O三点共线.

21.对于函数()

y F x

=，若在其定义域内存在

x，使得

00

()1

x F x

?=成立，则称

x为函数()

F x的“反比点”.已知函数()ln

f x x

=，2

1

()(1)1

2

g x x

=--

（1）求证：函数()f x 具有“反比点”，并讨论函数()f x 的“反比点”个数； （2）若1x ≥时，恒有()(())x f x g x x λ?≤+成立，求λ的最小值.

请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）

如图，在三角形ABC 中，ACB ∠=90°，CD ⊥AB 于D ，以CD 为直径的圆分别交AC 、BC 于、F 。 （1）求证：F CED S =BF AE ?四边形；

（2）求证：3

3

BF BC =

AE AC .

23.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，椭圆C 的参数方程为2cos sin x y θ

θ=??=?

（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程

为=θα（0ρ≥）（注：本题限定：0ρ≥，[)0,2θπ∈）

（1）把椭圆C 的参数方程化为极坐标方程；

（2）设射线l 与椭圆C 相交于点A ，然后再把射线l 逆时针90°，得到射线B O 与椭圆C 相交于点B ，试确定2

2

11OA

OB

+

是否为定值，若为定值求出此

定值，若不为定值请说明理由．

24. （本小题满分10分） 已知函数()2f x x =-

（Ⅰ）解不等式；()(21)6f x f x ++≥；

（Ⅱ）已知1,0)a b a b +=>（

．且对于x R ?∈，41

()()f x m f x a b

---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.

（理科）答案

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。)

13. 1

(,0)(0,)e --∞U 14. _____3

2

-_______

． 15.2π. 16.1n b =.

三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.

解：（1）

222

222

22

(

)3()1312cos 228444

1

2

cos (0,),03

a b a b a b c

a b C ab

ab ab C C C ππ

++

-+-+=

≥

=-≥-

=

∈∴

<∠≤

Q Q 在时递减……………3分

∴角C 的最大值为

3

π

…………………6分 （2）由(1)及a b ==

ABC ?为等边三角形，如图建立平面直坐标系，设角POA α∠=[0,2)απ∈

则点

(cos ,sin )P α

α1(1,0),(2A B -因为OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ， 1(cos ,sin )()2x y y αα∴=-

1cos cos 2sin 2x x y y y αααα

α??==-????

∴∴????==????

21

(cos sin(2)363x y παααα∴=+

=-+g

3

π

α∴=

时，x y ?的最大值为1……………………………………………………..12分

18.

解：(1)由表中数据得2

K 的观测值()2

25022128850 5.556 5.024*********

K ??-?==≈>???

所以根据统计有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关.）……………5分

（2)由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ?种；两人都被抽到有221C =种…………………………………7分

X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，12

3(1)287P X ===，1

(2)28

P X ==

X 的分布列为：

151211()0+1+22828282E X ∴=?

??=.…………………………………12分

19.

解(1) P 为圆弧中点或者靠近点B 的三等分点,计算如下：

OD OM BC M M ⊥连接，在半圆内作交圆弧于点，则为圆弧中点

O OD,OC,OM ,,x y z 以为原点，所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系…………2分

设角POC=,

(0,)P θθπθθ∠∈则点（0，cos ,sin )，(3,2,0)A -,

平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =r ，(3,cos 2,sin )AP θθ=-+u u u r

222cos(,)4

13(cos 2)sin n AP θθ

=

=?+++r u u u r 1

cos 0,cos 2θθ==-或

2,2

3

π

πθθ∴=

=

或 P 为圆弧中点或者靠近点B 的三等分点…………………………………6分 （设“长度计算的”和“非向量法的”答题酌情给分）

（2）POC=,P θθθ∠则点（0，cos ,sin )(0,1,0)C ，(0,1,0)B -，(3,0,0)D (3,1,0)BD =u u u r ，(0,cos 1,sin )CP θθ=-u u u r

若PC BD ⊥则0cos 100BD CP θ?=+-+=u u u r u u u r

，cos 1θ=，则与(0,)θπ∈矛盾，

P PC BD ∴⊥在半圆弧上不存在这样的点使得…………………………………12分

【注意】（设“长度计算的”和“非向量法的”答题酌情给分）

20.解：（1）因为点(2,1)A 是椭圆2

2

:4G x y m +=上的点.

222

2

241,8:+182

x y m m G ∴+?=∴==即椭圆…………………………………1分

222218,2,:=10a b G x y ∴==∴+伴随圆

当直线l 的斜率不存在时:显然不满足l 与椭圆G 有且只有一个公共点

当直线l 的斜率不存在时:设直线:10l y kx =+与椭圆2

2

:48G x y +=联立得

22(14)810320k x kx +++=

由直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点得2

2

(810)4(14)320k k ?=-?+?=

解得1k =±，由对称性取直线:10l y x =+即:100l x y -+=…………………3分

圆心到直线l 的距离为|0010|

511

d ++=

=+

直线l 被椭圆G 的伴随圆1G 所截得的弦长210525=-=………………………6分 （2）设直线,AB AC 的方程分别为121(2),1(2)y k x y k x -=--=- 设点1122(,),(,)B x y C x y

联立2

2

:48G x y +=得2

2

2

2

11111(14)(168)+161640k x k k x k k +----=

则22111211616414k k x k --=+得21112188214k k x k --=+同理22222

2

882

14k k x k --=+ 斜率2111112111(2+144+1

82OB

y k x k k k x x k ---===

-） 同理2222244+1

82

OC

k k k k --=

-因为1241k k ?=-所以22

11112

211

114(

)4()+1444161618328()24OC k k k k k k k -----++==--- 221111221141616441

83282

OC

k k k k k k k -++--+==

--OB k = ,,B O C ∴三点共线 …………………………………12分

21.解(1)证明：设()ln 1h x x x =-，'()ln 1h x x =-，'()0(,)'()0(0,)h x x e h x x e >∈+∞<∈得，得 ∵()ln 110h e e e e =-=->，1

111

()ln 110h e e e e

=

-=-<,

∴在(0,)+∞上有解，所以函数()f x 具有“反比点”.且有且只有一个；……………………5分

（2）221

()(())ln ((1)1)

2

1111

ln ()ln ()0

222x f x g x x x x x x x x x x x x λλλλ?≤+?≤--+?≤-?--≤

令22

112()ln (),'()22x x G x x x G x x x

λλ

λ-+-=--= 021,44()()0,20

'()0()[1,)x x G x G x λλλλλ≤-?=---≤-+-≥≥+∞1当时故恒有则恒成立，故在区间上单调递增

()(1)=0G x G ∴≥，这与条件矛盾；

02221

210,0,2[1,)2()2220,'()0()[1,)x y x x x x G x G x λλλλλλλλ-<<=-=<=-+-+∞--+-≥->≥+∞当时故有在区间上单调递增

故有则恒成立，故在区间上单调递增

()(1)=0G x G ∴≥，这与条件矛盾；

02230'()0()[1,)2()(1)=0x

G x G x x

G x G λ==>+∞∴≥当时,故在区间上单调递增

，这与条件矛盾；

02121212122122222

401,20,2,011,)20,()1,)()(1)=0x x x x x x x x x x x x x x x x G x x G x G λλλλ

λλ<<-+-=<>?<<<∈-+->∴≥当时设的两根为且因+==1,

故故有(时故函数在区间在(上单调递增，这与条件矛盾；

0251,44()()0,20'()0()[1,)x x G x G x λλλλλ≥?=---≤-+-≤≤+∞当时故恒有则恒成立，故在区间上单调递减

()(1)=0G x G ∴≤，命题成立；

综上所述1λ≥，所以λ的最小值为1 (12)

请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分） 证明：（1）∵CD 为圆的直径，且E 、F 与C 、D 两点重合， ∴DF ⊥BC ，DE ⊥AC ，∵ACB ∠=90°，∴四边形CEDF 为矩形， ∴F CED S =CF CE ?四边形，且DF//AC,DE//BC. …………1分

∵CD ⊥AB 于D ， CD 为圆的直径，∴三角形BCD 和三角形ACD 分别是以CDB ∠和CDA ∠为直角的直角三角形。…………2分 ∵DF ⊥BC ，DE ⊥AC ，∴2

DF =BF FC ?，2

DE =CE EA ?(直角三角形射影定理) ……3分 ∵DF//AC,DE//BC ，∴AD AE CF AD

==

DB EC FB DB

，（平行线分线段成比例定理）……4分 ∴

AE CF

=

EC FB

即EC CF=FB AE ?? ∴F CED S =BF AE ?四边形. ……5分 （2）由（1）已证CD ⊥AB 于D ∵在三角形ABC 中，ACB ∠=90°

∴22

,AC AD AB BC BD BA =?=?. 22

BD BC AD AC ∴= （1）……7分 又∵22BD =BC BF AD =AC AE ??，（切割线定理）

∴22

BD BC BF

=AD AC AE ??，（2）……9分 由（1）与（2）可得4

4BC BF AC AE BC AC ?=?

∴3

3BF BC =AE AC

……10分 23.（本小题满分10分）

解：（1）∵椭圆C 的参数方程为sin x y θθ

?=?

?

=??（θ为参数）

∴椭圆C 的普通方程为2

212

x y +=，…………2分

将一点,)x y （化为极坐标)ρθ（， 的关系式 cos sin x y ρθρθ

=??=? 带入 2

212x y +=可得：

2222cos sin 12

ρθ

ρθ+=化简得：222+sin 2ρρθ=…………5分

（2）由（1

）得椭圆的极坐标方程可化为ρ=

…………6分

由已知可得：在极坐标下，可设()12,,,2A B πραρα?

?+ ??

?，…7分

分别代入ρ=中

有1ρ=

，2ρ=221

11sin 2αρ+=

，22211cos 2αρ+=…9分 则2212113

2ρρ+=即221132OA OB +=．故22

11OA OB

+为定值32.…10分 24.

解：（Ⅰ）133,21()(21)|2||21|1,2233,2x x f x f x x x x x x x ?

-

?

++=-+-=+≤≤??

->???

，………2分

当12x <时，由336x -≥，解得1x ≤-；

当1

22

x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥．

所以不等式()6f x ≥的解集为[)(,1]3,-∞-+∞U ．…5分

（Ⅱ）∵1,0)a b a b +=>（

，∴41414)()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=（……6分 ∴对于x R ?∈，41

()()f x m f x a b

---≤+恒成立等价于：对x R ?∈，229x m x -----≤，即max 229x m x ?-----?≤??……7分 ∵

()222(2)=4x m x x m x m

-----≤---+--

∴949m -≤+≤，……9分 ∴135m -≤≤……10分