【附加15套高考模拟试卷】浙江省2020届高三高考模拟训练评估卷(3)数学(文)试题含答案

浙江省2020届高三高考模拟训练评估卷（3）数学（文）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m n αα⊥，∥，则m n ⊥；②若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥；

③若m αββγα⊥∥，∥，，则m γ⊥；④若m n m n αγβγ==I I ，，∥，则αβ∥. 其中真命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①④

2．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，向量=(a ＋c ，a －b)，=(b ，a －c)，若∥，则∠C=( ) A ．

B ．

C ．

D ．

3．若向量a r ，b r 满足同3a =r 2b =r ，()

a a

b ⊥-r r r ，则a r 与b r

的夹角为（ ）

A ．2π

B ．23π

C ．6π

D ．56π

4．已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（ ）

A ．1

B ．12-

C ．1或12-

D ．

1

12-或

5．若函数f （x ）=()x 1

2

22a x 1

log x 1x 1?++≤?

?+??，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．

()5,∞-+

B ．

[)5,∞-+ C ．(),5∞--

D ．

(],5∞--

6．已知椭圆22

221x y a b

+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45o 的直线与椭圆交于,A B 两点，且

112F B AF =u u u r u u u r

，则椭圆的离心率=（ ）

A ．3

B ．3

C ．2

D ．2

7．设正数,x y 满足,23x y x y >+=,则

195x y x y

+-+的最小值为( ) A ．83

B ．3

C ．3

2 D ．33

8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知

5a =，2c =，2

cos 3

A =

，则b= A

．2 B ．3 C ．2

D ．3

9．已知函数()sin()(0,)2

2

f x x π

π

ωθωθ=+>-≤≤

的图象相邻的两个对称中心之间的距离为

2

π

，若将函数()f x 的图象向左平移

6

π

后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ） A ．

[,]36ππ

-

B ．7[,]412ππ

C ．[0,]3π

D ．5[,]26ππ

10．已知双曲线的离心率

，点是抛物线

上的一动点，到双曲线的上

焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为

，则该双曲线的方程为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A ．2843122++

B ．3643122++

C ．3642123++

D ．44122+

12．已知函数()sin()f x A x ω?=+（0A >，0>ω，||?π<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）

A ．()23sin(

)84

x f x ππ=+

B ．3()23sin(

)84

x f x ππ

=+

C ．

()23sin(

)84x f x ππ

=- D ．3()23sin()84x f x ππ

=-

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知sin 6πα??+ ??

?＝13，则cos 223πα??-

???＝________． 14．在四面体P ABC -中，1PA PB PC BC ====，则该四面体体积的最大值为________． 15．3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则

这样的不同站法有__________种（用数字作答）．

16．已知实数x y ，满足约束条件

3,

,60,

x y x y ππ+≤???≥?

?≥??则

()

sin x y +的取值范围为__________（用区间表示）．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知如图（1）直角梯形ABCD ，//AB CD ，90DAB ∠=?，4AB =，2AD CD ==，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起（如图2），使90BED ∠=?.

证明：BE ⊥平面AECD ；求点E 到平面BCD 的距

离.

18．（12分）已知函数()|41||2|f x x x =--+．解不等式()8f x <；若关于x 的不等式

2()5|2|8f x x a a ++<-的解集不是空集，求a 的取值范围．

19．（12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n 的样本，得到一周参加社区服务的时间统计数据如下表： 服务时间超过1小时 服务时间不超过1小时 男 20 8 女

12

m

（1）求,m n ；将表格补充完整，并判断能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？ 服务时间超过1小时 服务时间不超过1小时 合计 男 20 8 女

12

m

合计

（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.

附：2

2

()()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=

++++ ()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0k

2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

20．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱

11111,,AC B C BB 的中点．求证：1AC ∥平面DEF 求证：平面1ACB ⊥平面DEF ;在线段1AA 上是否存在

一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为300?如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．

21．（12分）已知抛物线E ：2x 2py(0p 2)=<<的焦点为F ，圆C ：22x (y 1)1+-=，点()00P x ,y 为

抛物线上一动点.当5p PF 2=

时，PFC V 的面积为1

2

． ()1求抛物线E 的方程；

()2若01y 2

>，过点P 作圆C 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点，求PMN V 面积的最小值，并求出此

时点P 的坐标．

22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ACD ∠=?，2CD =，PAC

?

为边长为2的等边三角形，PA CD ⊥．

证明：平面PCD ⊥平面ABCD ；求二面角A PB D --的余弦值．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 9．B 10．B 11．B 12．D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．79-

14．312

15．40

16．1,12?????

?

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）详见解析（22 【解析】 【分析】

(1)由折叠前可得BE CE ⊥，折叠后90BED ∠=?，由线面垂直的判定定理证明 (2)运用等体积法E BCD B ECD V V --=，分别表示出三棱锥体积计算出结果 【详解】

（1）由已知可得BCE ?为直角三角形，所以BE CE ⊥. 又90BED ∠=?，所以BE ED ⊥，CE ED E ?=

所以BE ⊥平面AECD .

（2）因为BE ⊥平面AECD ，AE ?平面AECD ，所以BE AE ⊥， 又因为AE CE ⊥，CE ?平面BCE ，BE ?平面BCE ，BE CE E ?=， 所以，AE ⊥平面BCE ，又因为//DC AE ，所以DC ⊥平面BCE ， 又因为BC ?平面BCE ，所以DC BC ⊥. 在直角BCE ?

中，BC =

=

设点E 到平面BCD 的距离为d ，由E BCD B ECD V V --=，

则1111

22223232

?

??=????

，所以d =【点睛】

本题考查了证明线面垂直，由其判定定理即可证明，在求点到面的距离时运用了等体积法求解，需要掌握解题方法 18． (1) 911

{|}53

x x -<< (2) 1a <-或9a > 【解析】 【分析】

（1）分类讨论去绝对值，分别解得每一段的解集，取并集即可. （2）直接利用绝对值三角不等式求得最小值，解得a 的范围即可. 【详解】

（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x f x x x x x ?

?-+≤-?

?

=---<

?

-≥??

，

当2x ≤-时，338x -+<，得5

3

x >-

，无解； 当124x -<<时，518x --<，得95x >-，即91

54x -<<；

当14x ≥时，338x -<，得113x <，即111

43

x ≤<

. 所以不等式的解集为911

{|}53

x x -<<.

（2）()5241489f x x x x ++=-++≥， 则由题可得289a a ->， 解得1a <-或9a >. 【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义及应用，考查了分类讨论思想，属于中

档题.

19．（Ⅰ）8m =，48n =（Ⅱ）没有95%把握（Ⅲ）4人 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据分层抽样比例列方程求出n 的值，再计算m 的值；（Ⅱ）根据题意完善2×2列联表，计算K 2，对照临界值表得出结论；（Ⅲ）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可． 【详解】

（Ⅰ）由已知，该校有女生400人，故12400

208560

m +=+，得8m =， 从而20812848n =+++=.

（Ⅱ）作出列联表如下：

()

2

2481609624

0.6857 3.84128203216

35

K -=

=

≈

483

P ==，故估计这6名学生一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人. 【点睛】

本题考查列联表与独立性检验的应用问题，也考查了用频率估计概率的应用问题，是基础题． 20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1. 【解析】 【分析】

(1) 方法一：取1AA 中点为G ,连结FG ,，要证1//AC 平面DEF ，即证：1AC DG P ,；方法二：以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，求出平面DEF 的法向量

为()1,1,1=n ，又因为()12,0,2AC =-u u u u v ,1 0AC n ?=u u u u v ，

即可得证.(2)方法一：要证平面1ACB ⊥平面DEF ，转证EF ⊥平面1ACB ，即证1EF AC EF B C ⊥⊥，；方法二：分别求出两个平面的法向量即可得证.(3)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可得到结果. 【详解】

方法一：(1)取1AA 中点为G ,连结FG , 由11AA BB P 且11AA BB =,

又点F 为1BB 中点，所以11FG A B P ,

又因为,D E 分别为11A C ,11B C 中点,所以11DE A B P , 所以DE FG P ,

所以,,,D E F G 共面于平面DEF ,

因为D ,G 分别为111,A C AA 中点, 所以1AC DG P ,

1AC ?平面DEF ,

DG ?平面DEF ,

所以1AC P 平面DEF .

方法二：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC 又因为AC BC ⊥,

以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，

由题意得()()()12,0,0,0,0,2,1,0,2A C D ,()()0,1,2,0,2,1E F .

所以()1,1,0DE =-u u u v ,()0,1,1EF =-u u u v

,

设平面DEF 的法向量为()111,,x y z =n ，则

00n DE n EF ??=?

?=?

u u u v u u u v ，即11110

0x y y z -+=??-=?, 令11x =，得111,1y z ==, 于是()1,1,1=n ,

又因为()12,0,2AC =-u u u u v

,

所以12020AC ?=-++=u u u u v

n ,

又因为1AC ?平面DEF ， 所以1AC P 平面DEF .

（2）方法一：在直棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC , 因为AC ? ABC ，所以1CC AC ⊥, 又因为AC BC ⊥， 且1CC BC C ?=, 所以AC ⊥平面11BB C C ,

EF ?平面11BB C C ，所以AC EF ⊥,

又1BC CC =，四边形11BB C C 为正方形, 所以11BC B C ⊥ ,

又1BC EF P ，所以1B C EF ⊥, 又AC EF ⊥， 且1AC B C C ?=, 所以EF ⊥平面1ACB , 又EF ?平面DEF ,

所以平面1ACB ⊥平面DEF .

方法二：设平面1ACB 的法向量为()222,,x y z =m ，()()12,0,0,0,2,2CA CB u u u v u u u v

==,

10

m CA m CB u u u v

u u u v ??=???=??，即22220220x y z =??+=? , 令21y =，得220,1x z ==-, 于是()0,1,1=-m ,

()()1,1,10,1,10?=?-=n m ,

即⊥n m ，所以平面1ACB ⊥平面DEF .

（3）设直线DP 与平面1ACB 所成角为θ，则30θ=?,

设()101AP AA λλ=≤≤u u u v u u u v ，则()0,0,2AP λ=u u u v , ()1,0,22DP λ=-u u u v

,

所以

1

cos sin302DP DP u u u v

u u u v θ?===?=m m , 解得12λ=

或3

2

λ=（舍）, 所以点P 存在，即1AA 的中点，1AP =. 【点睛】

垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

21．（Ⅰ）2

2x y = （II ）PMN S V

的最小值为2，()

P

【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据题意可得x 02

+（y 02p -）22254

p =，12|12p -|?|x 0|12=，x 02＝2py 0，即可解得p ＝1；

（II ）设P （x 0，y 0），M （0，b ），N （0，c ），且b ＞c ，则直线PM 的方程可得，由题设知，圆心（0，1）到直线PM 的距离为1，把x 0，y 0代入化简整理可得（2y 0﹣1）b 2﹣2y 0b ﹣y 02＝0，同理可得（2y 0﹣1）c 2﹣2y 0c ﹣y 02＝0，进而可知b ，c 为（2y 0﹣1）x 2﹣2y 0x ﹣y 02＝0的两根，根据求根公式，可求得b ﹣c ，进而可得△PMN 的面积的表达式，根据均值不等式可得 【详解】

（Ⅰ）由题意知：()0,

,0,1,02,1,22

p p F C p FC ?

?<<∴=- ???Q 055

,222

p PF p y p =

∴+=， 002,2y p x p ∴=∴=，

11

12222

PFC p S p ??∴=-= ???V , 1p ∴=，

∴抛物线方程为22x y =.

(Ⅱ)设过点P 且与圆C 相切的直线的方程为()00y y k x x -=- 令x=0，得00y y kx =-

∴切线与x 轴的交点为()000,y kx -