集合的有关概念及运算

第一章集合与简易逻辑

学习札记第一单元集合的有关概念及运算

【背景材料】

康托儿与集合论的产生

现代数学中将研究集合的理论称为集合论，它是数学的一个基本分支，在数学

中占据着极其独特的地位，其基本概念已经渗透到数学的所有领域．如果把现代数

学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说，集合论正是构成这座大厦的基石．集合

论的创始人是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家康托儿（德国数学家，集合论

的创始者．1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷），他也以其

集合论的成就被誉为二十世纪数学发展影响最深的学者之一．

17世纪数学中出现了一门新的分支：微积分，并且在以后的一二百年中这一崭

新学科获得了飞速发展并结出了丰硕的成果．由于微积分的快速发展使人们来不及

检查和巩固它的基础理论，在19世纪初，许多迫切问题得到解决后，就出现了一场

重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托儿开始了集合论的研究，1874年，

康托儿给出了“集合”的定义：把若干确定的有区别的事物（无论是具体的或抽象

的）合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．这

和我们今天的集合的概念基本一致，我们会感觉很自然和简单，但是康托儿的研究

道路却布满荆棘，并使他承受了强烈的外界压力和刺激，导致他患上了精神分裂症

并最终因此病逝．

数学与无穷的关系可谓紧密，但如何看待无穷却是数学家们很头疼的问题，他

们始终持怀疑和回避的态度，形象地将“无限”解释为：无限可看作是永远延伸着

的，一种变化着成长着的东西．按照这种解释，无限永远处在构造中，永远完成不

了，是潜在的而不是实在的．这种观念称为潜无限思想．18世纪数学王子高斯（德

国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、

牛顿并列，同享盛名．高斯1777年4月30日生于不伦瑞克，1855年2月23日卒于

格丁根）就持此观点：“我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许

的．所谓无穷，只是一种说话方式……”．而康托儿首先把全体自然数看作了一个

集合，称为自然数集，用字母N表示．事实上就是把一个无限的整体作为了一个构

造完成了的东西，进而就肯定了作为一个整体的无穷是可以完成的，这种观念称为

实无限思想．由于潜无限思想已经在微积分的基础重建中取得了全面胜利，康托儿

的实无限思想遭到了一些数学家的强烈批评和攻击，但他没有就此止步，而是继续

正面探讨无穷，在实无限思想观念的基础上，进一步得出一系列的结论，创立了令

人振奋的、意义十分深远的理论．这些理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特

的无限世界．

最能显示他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究．他在研究过程中关注

了这样一个问题：像自然数集那样的无穷集合与像实数集那样的无穷集合之间存在

着怎样的关系？1873年11月29日，康托儿在给戴德金的信中将上述问题以更明确

的形式提了出来：全体正整数集合N与全体实数集合R能否建立一一对应？这个问

题看起来似乎不成问题，因为N是离散的，R是连续的．但康托儿认为问题也许并

不那么简单，不能过分相信直觉．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，

用“等势”表示．由于一个无穷集可以与它的真子集等势（很容易建立一一对应，比如自然数集与正偶数集之间就存在着一一对应），这与传统的观念“全体大于部分”

相矛盾．而康托儿认为这恰恰是无穷集的特征．在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，因而正偶数集是可数集，接着他又证明了有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集．他的证明如下：

考虑正有理数按以下方式排成的阵列：

12341111

12342222

12343333

12344444

→→→↓↓

在其中，第一行依大小次序包括所有以1为分母的正分数，即全体正整数；第二行依大小次序包括所有以2为分母的正分数；第三行依大小次序包括所有以3为分母的正分数；……．显然，每个正有理数都出现在这个阵列中．如果我们按箭头所示依次重新排序，略去已经出现过的数，就得到全体正有理数的一个无穷序列1234{r r r r ，，，，}，于是序列112233{0r r r r r r ，-，，-，，-，，}就是包括所有有理数的集合，这就证明了有理数集合的可数性．

而且康托儿还证明了：全体实代数数的集合也是可数的．而直觉上实代数数似乎比有理数要多得多．（注：整系数一元n 次方程的根称为代数数，实数中不是代数数的数称为超越数．显然所有有理数是代数数，大量无理数也是代数数，

等就是代数数，π是超越数）．

此时似乎可以说“无穷集都是可数集”，但出乎意料的是，1873年12月他证明出了“自然数集合N 与实数集合R 之间不可能建立一一对应”（1890年，他再次用反证法证明了这个结论）．从而说明了“实数集的势大于自然数集的势”，这意味着“无理数的个数远远多于有理数”， “庞大的代数数与超越数相比也只是沧海一粟”．当时人们发现的超越数只有几个而已，这是何等令人震惊的结果啊．康托儿意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次，于是“所有的无穷集之间存在着无穷多个层次”得到了他进一步的成功证明．并证明了著名的康托儿定理：一个集合的幂集的基数较原集合的基数大．由此他又建立了新的“超限数理论”，作为对传统观念的一次大革新，康托儿又开创了一片全新的领域．

康托儿历经20余年的研究，于20世纪初，他的集合论得到了数学家的赞同和世界的公认，这就是康托儿的“朴素集合论”．至此，数学家们乐观地认为：一切的数学成果都可以建立在集合论的基础之上，这是多么令人陶醉的成果啊．在1900年第二届国际数学大会上，著名数学家庞加莱（庞加莱是十九世纪后期的领袖数学

学习札记

家．庞加莱1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎）就曾兴高

学习札记采烈地宣布：“数学已经被算术化了，今天我们可以说，绝对的严格已经达到了．”

然而仅隔两年，1902年，一个著名的悖论——罗素悖论的出现，又给人们以致命一

击，从而引发了数学史上的第三次数学危机．

一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他

们理发，我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑

口无言．因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人．但是，

招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理．如果由另外一个人给他理发，

他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因

此，他应该自己理．由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．这

是一个著名的悖论，称为“理发师悖论”，也称为“罗素悖论”．这是由英国哲学家、

数学家、逻辑学家罗素（Bertrand Arthur William Russell，公元1872年5月18

日生於蒙茅斯郡特里莱克，公元1970年2月2日卒於威尔士的普拉斯彭，是著名的

英国数学家、逻辑学家，1950年获诺贝儿文学奖）提出来的．事实上，罗素构造了

一个所有不属于自身的集合R，那么问R是否属于集合R？如果R属于R，则R应

该满足R的定义，从而R不属于R；如果R不属于R，则R应该属于R．不管怎么

说都是自相矛盾的．这一仅涉及集合和属于两个最基本概念的悖论如此简单明了，

以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地，使绝对严密的数学陷入了自相矛盾的境

地，同学们，如果是你能甘心吗？这一危机促使众多数学家投入到解决危机的工作

中去．1908年，德国数学家策梅罗（策梅罗，E．F．F．(Zermelo，Ernst Friedrich

Fer-dinand)1871年7月27日生于德国柏林；1953年5月21日卒于德国弗赖堡）提

出了公理化集合论，保留了朴素集合论的有价值的成果，将原本直观的集合概念建

立在严格的公理基础之上，并消除了可能存在的悖论，圆满地解决了第三次数学危

机．至此，集合论完整确立．著名数学家希尔伯特（希尔伯特，德国数学家，20世

纪最伟大的数学家之一．1862年1月23日生于柯尼斯堡,1943年2月14日在格丁根逝

世）激情疾呼：没有人能把我们从康托儿为我们创造的乐园中赶出去．

从康托儿集合论的创立至今，已经历了一百多年，在这段时间内，数学又发生

了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等

等．而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．因而，数学界对康托儿给予了

极高的评价，称他的集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献

之一，是人类纯智力活动的最高成就之一，是这个时代所能夸耀的最伟大的工作．

同学们，我们今天看来很自然很简单的集合问题，不曾想其发展历程却如此曲

折和充满艰辛，而这正是科学发展的规律，也是对待科学的态度，愿我们能够从中

受到启示，树立献身科学的理想，培养科学的精神，提高科学素养．期待着不远的

将来在浩瀚的科学星空中，有我们的科学巨星闪耀，努力吧，未来属于你们！

【知识网络】

1．集合概念及其基本理论，是近、现代数学的一个重要的基础．一方面，许多重

要的数学分支，如高等数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概

率统计、拓扑等都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数

学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在高中数学中，集合的初步知识与其

他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它安排

在高中数学起始章的原因．

2．集合语言是现代数学的基本语言．本节对集合的学习就要将集合作为一种语言来

学习，充分体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，并能在自然语言、图形语言和集合语言之间进行

转换，发展运用数学语言进行交流的能力．

3．教科书从我们熟悉的集合（整数的集合、有理数的集合、直线或圆上的点集等）出发，结合实例引出元素、集合的概念，介绍了集合的表示法，以及集合间的关系（包含与相等），集合的运算（交集、并集和补集），并结合相关内容给出了子集、全集等概念．

4．图表网络：

【基础导学】

1．集合是一个原始的、描述性的概念，课本通过一些实例，帮助我们理解了集合的含义．集合中的元素具有三条特性：确定性、互异性和无序性，你是如何理解这三条特性的？试举例说明．_____________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________.

2．集合常见的有五种表示方法：列举法、描述法、图示法、特定字母表示法、区间法．其中：图示法是一种直观的示意性的表示方法，能帮助我们理解问题和解决问题，不是一种独立的严谨的表示方法；特定字母表示法用于几个常用集合（整数集、自然数集、有理数集、实数集等）的表示，简洁实用；区间法是为了研究函数性质而采用的表示连续实数组成的集合的一种简易表示方法，将在第二章《函数》中学习；列举法和描述法是集合表示的基本方法，各有优点．列举法具有直观明了的特点，描述法更能反映集合的特征和涵义，一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法表示；对无限集，一般采用描述法表示．那么，“{ }”的意义是什么？__________________.描述法的基本表示形式是什么？_____________________________________.你能区分}012{2

=--x x ，}012|{2=--x x x ，}12|{2--=x x y y ，}12|),{(2--=x x y y x ，}12|{2--=x x y x ，}12{2--=x x y 的不同含义吗？______________________________________________________________________

学习札记

_____________________________________________________________________.

3．根据集合中所含元素个数的多少，可以将集合分为有限集、无限集、空集．你是如何理解空集的？_____________________________________________________. 空集有哪些性质？_____________________________________________________.

4．元素与集合的关系是集合理论中的最基本关系，是研究集合间关系及运算的基础，那么，元素与集合的关系是什么？_______________________________.如何判断元素与集合的关系？试举例说明．_________________________________________ _____________________________________________________________________.

5．对于两个集合A 和B ，有几种关系？______________________________________.

如何判断两个集合间的关系？_________________________________________.你能否用简洁的数学语言写出两个集合A ，B 满足A ?B ，A ≠

?B ，A=B 的条件？ ________________________________________________________________________.

6．集合间关系的证明是集合理论的较高要求，掌握一些基本问题的证明将有利于我

们进一步理解集合间关系的基本思想．如A B C A C ?

???且B 称为子集关系的传递性，证明如下：

证明：设x 是集合A 中任一元素,

∵A B ?

∴x B ∈

又∵B C ?

∴x C ∈

故,由子集的定义可知：A C ?．

试写出真子集关系的传递性，并证明．

真子集关系的传递性：________________________________.

证明：

7．集合的交集、并集、补集都是由原集合中的元素按照一定条件组成的新的集合，

试用描述法写出A B = ________________________________; A B = ____________________________;U A =e__________________________. 并比较它们的异同．

学习札记

8.集合的交集、并集、补集运算中，应用集合的运算性质，可以使运算简便、快捷，

如：,Φ=Φ A ()()()U U U A B A B = 痧，B A A B A ??= 等，通过学习你能总结出更多的运算性质吗？________________________________________ ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________.

【典例剖析】

[例1]已知},15|{N n n x x A ∈+==，},25|{N n n x x B ∈+==，

},35|{N n n x x C ∈+==，},45|{N n n x x D ∈+==，

若,,,C B A ∈∈∈?βα D ∈γ，则（）

A ．A D D A ∈∈∈∈2222,,,γ?βα

B ．D

C B A ∈∈∈∈2222,,,γ?βα

C ．A B C A ∈∈∈∈2222,,,γ?βα

D ．B D D B ∈∈∈∈2222,,,γ?βα

分析：研究元素与集合的关系，需要正确理解集合的含义，对整数集的分类是集合

中常见的问题，通过此题认真体会元素与集合关系的判断思想．

解：∵A ∈α，则存在,N n ∈使得,15+=n α