高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》知识点总复习有答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习知识点

一、选择题

1．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πω?ω???

=+∈>>< ??

的图象（部分）如图所示，则ω，?分别为（）

A ．,3

ωπ?==

B ．2,3

ωπ?==

C ．,6

ωπ?==

D ．2,6

ωπ?==

【答案】C 【解析】【分析】

由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23

f =确定?. 【详解】由图可得，2A =，511

4632T =-=，所以22T πω

==，ωπ=，又1()23f =，

所以12sin()23π??+=，2,32k k Z ππ?π+=+∈，即2,6

k k Z π

?π=+∈，又2

，故6

?. 故选：C 【点睛】

本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中

档题.

2．已知函数()sin()f x x π?=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（）

A ．

B ．

C 255

D 7

6565

【答案】B 【解析】【分析】

过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32

CD =

，11,2AD DE ==

，3

tan 2CD CAD AD ∠=

=，1tan 2

ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.

【详解】

过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3

(,1)2

A a +，所以32

CD =

，1

1,2AD DE ==，

tan 2CD CAD AD ∠=

=，1tan 2

ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EAD

BAC CAD EAD CAD EAD

∠-∠∠=∠-∠=

+∠?∠

31422317122-=

=+?. 故选：B

【点睛】

本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.

3．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin B ．cos

C ．tan

D ．cos2θ

【答案】C 【解析】【分析】

直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可．【详解】

由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C 【点睛】

本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．

4．若函数tan 23y x k π?

=-+ ??

?，0,6x π??

∈ ???

的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（） A ．)

3,?+∞? B ．

(

)

3,+∞

C ．()

3,-+∞

D ．()

3,0

【答案】A 【解析】【分析】

计算3tan 203x π?

-<-< ??

?，tan 23x k π?

?->- ??

?恒成立，得到答案.

【详解】

∵0,6x π??∈ ???，∴2033x ππ-<-<，∴3tan 203x π?

?-< ??

?，

函数tan 23y x k π?

+ ??

?，0,6x π??

∈ ???

的图象都在x 轴上方，

即对任意的0,6x π??

∈ ??

，都有tan 203x k π??

+> ??

?，即tan 23x k π?

?->- ???

，

∵tan 23x π?

-> ??

k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】

本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形

【答案】C 【解析】【分析】

根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案．【详解】

根据题意，在ABC ?中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=，变形可得：

sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，

即有sin sin a A c C =，

又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ．【点睛】

本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．

6．已知2433sin 5cos 77ππαα????+=-+ ? ?????，则tan 14πα?

?-= ??

?（）

A ．5

B ．35

C ．

D ．

【答案】B 【解析】【分析】

根据诱导公式计算得到35tan 73πα??+= ???，故3tan tan 147

2πππαα??

????-=+- ? ?????????，解得

答案. 【详解】

由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα????????

+=++=-+ ? ? ??????????

?，又2433sin 5cos 77ππαα????+=-+

? ?????得333sin 5cos 77ππαα????-+=-+ ? ?????

，所以35tan 73

πα??+= ???，313tan tan 314725tan 7πππααπα??

????-=+-=-=- ?

???????????+ ???

. 故选：B . 【点睛】

本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.

7．

已知sin α

，sin()10

αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（） A ．

512

B ．

π C ．

π D ．

π 【答案】C 【解析】【分析】由题意，可得22

αβ-

<-<

，利用三角函数的基本关系式，分别求得

cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.

【详解】

由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2

π. 又sin(α－β)

＝－

10，∴cos(α－β)

＝

. 又sin α

cos α

∴sin β＝si n[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝

－

×? ??

.∴β＝4π. 【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8．函数()[]()

cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的

和为（） A ．

π B ．2π

C ．

π D ．π

【答案】B 【解析】【分析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】

令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1

sin 2

x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-

或32x π=或6x π=或56

x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522

266

s π

πππ

π=-+

++=，故选B. 【点睛】

本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.

9．已知在锐角ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

2cos cos b C c B =，则

111

tan tan tan A B C

++的最小值为（）

A B C D ．【答案】A 【解析】【分析】

先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】

∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴

()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+????22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1

B C B B

B C B B +=-

=-=---，

∴21112tan 111

tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++

27tan 3

6tan B B =+.

又∵在锐角ABC ?中, tan 0B >,∴

27tan 36tan B B +≥=

，当且

仅当tan 2

B =

时取等号，

∴min

111tan tan tan 3A B C ??++=

???，故选A. 【点睛】

本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.

10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知

sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c

，则C =

A ．

π12

B ．

π6

C ．

π4

D ．

π3

【答案】B 【解析】【分析】【详解】

试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，

∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1， ∵

＜A ＜π， ∴A=

3π4

，由正弦定理可得

c sin sin a

C A

=， ∵a=2，

，

∴sinC=sin c A a

=12=22

， ∵a ＞c ， ∴C=

π6，故选B ．

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，

正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

11．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9

）的图象上所有点（） A ．向左平移518

个单位长度 B ．向右平移518

个单位长度 C ．向左平移536

个单位长度 D ．向右平移

536

个单位长度【答案】D 【解析】【分析】

先将函数cos 29y x π??

=- ??

转化为7sin 218

y x π??

，再结合两函数解析式进行对比，得出结论．【详解】函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ????

???

???=-

=-+=+=++ ? ? ? ????

??????

??? ∴要得到函数sin 29y x π?

?=+ ??

?的图象，

只需将函数cos 29y x π?

=- ??

的图象上所有点向右平移

536

个单位长度，故选D ．【点睛】

本题考查函数()sin y A x b ω?=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．

12．设函数f (x )=cos (x +

)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为?2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=

对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6

π D ．f(x)在(

,π)单调递减【答案】D 【解析】

f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确；

f 8π3??

???＝cos 8ππ33??

+ ???

＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ?

?++ ??

?＝－cos π3x ??+ ???，∴f ππ6??

+ ?

＝－cos ππ63??+ ???＝－cos 2π＝0，故C 正确；由于f 2π3??

???＝cos 2ππ33??+ ?

＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ?? ???上不单调，故D 错误．故选D.

13．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角 2341?'

2357?'

2413?'

2428?'

2444?'

正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代

公元元年

公元前2000年

公元前4000年

公元前6000年

公元前8000年

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年

【答案】D 【解析】【分析】

先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．【详解】

解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：

则16tan 1.610α=

=，169.4tan 0.6610

β-==， tan tan 1.60.66

tan()0.4571tan tan 1 1.60.66

αβαβαβ---=

=≈++?g ．

0.4550.4570.461<

∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．

故选：D ．【点睛】

本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．

14．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60?的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（） A ．152km B ．30km

C ．15km

D ．153km

【答案】D 【解析】【分析】

如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出

BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离．【详解】

设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，

可得60DBC ∠=?，30ABD ∠=?，45BC =

30ABC ∴∠=?，120BAC ∠=?

在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：

sin sin AC BC

ABC BAC

=∠∠，

可得

sin 1

sin 2

BC ABC AC BAC ∠=

==∠ 故选D 【点睛】

本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．

15．已知曲线1:sin C y x =，21

:cos 2

3C y x π??=- ???，则下面结论正确的是（）

A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π

个

单位长度，得到曲线2C

B ．把1

C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3

π个单位长度，得到曲线2C

C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个

单位长度，得到曲线2C

D ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3

π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】【分析】

根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】

A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12

倍得：sin 2y x =；向右平移3π

个单位长度后

得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ?

????

?=-

=-=--=-- ? ? ? ??

??????

?，A 错误；

B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin

y x =；向右平移3π

个单位长度后

得：11121sin

sin cos cos 232622

632y x x x x πππππ??????????

=-=-=--=- ? ? ? ?????????????，B 错

误；

C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12

倍得：sin 2y x =；向左平移3π

个单位长度后

得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ?

????

?=+

=+=++=+ ? ? ? ??

???????

，C 错误；

D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin

y x =；向左平移3π

个单位长度后

得：1111

sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ??????????=+=+=-+=- ? ? ? ????????????

?，D 正确. 故选：D 【点睛】

本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.

16．已知函数()sin()f x x ω?=+（0>ω，2

ω<）的最小正周期为π，且其图象向左

平移

个单位后，得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（） A ．关于直线12

x π

=对称

B ．关于直线512

x π

=对称 C ．关于点(,0)12

对称

D ．关于点5(

,0)12

对称【答案】C 【解析】

试题分析：依题意()()2,sin 2f x x ω?==+，平移后为

2sin 2cos 2,36x x ππ????++==- ???，()sin 26f x x π??=- ???，关于,012π??

???

对称.

考点：三角函数图象与性质.

17．已知函数())(0f x x ω?ω=+>，)22

ππ-

(3A ，0)为()f x 图象的对称中

心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是(

)

A ．2(23k -，4

2)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，4

2)3k ππ+，k Z ∈

C ．2(43k -

，4

4)3

k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，4

4)3

k ππ+，k Z ∈

【答案】C 【解析】

【分析】

由三角函数图像的性质可求得：2

ω=

，6

?=-

，即()sin(

)26

f x x π

=-，再令222262

k x k ππππ

ππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.

【详解】

解：函数())(0f x x ω?ω=+>，)22

ππ

A ，0)为()f x 图象的对称中心，

B ，

C 是该图象上相邻的最高点和最低点，

又4BC =，∴2

()42T +=，即221216πω

+=，求得2πω=．

再根据123k π?π+=g ，k Z ∈，可得6

π?=-，()3sin()26f x x ππ

∴=-，

令222262k x k ππππππ--

+剟，求得24

4433

k x k -+剟，故()f x 的单调递增区间为2(43k -，4

4)3

k +，k Z ∈，故选：C ．【点睛】

本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.

18．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π

B ．()f x 的最大值为2

C ．()f x 在区间2,63ππ??

???

上单调递减

D ．3f x π??+ ??

?的一个零点为6x π= 【答案】D 【解析】【分析】

先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6

x π

=代入

3f x π?

+ ??

判断D . 【详解】

()

sin f x x x = 23sin x π?

?=+ ???，

()f x 周期22,1

T A π

π=

=正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，

25,

,,63326

x x πππππ????

∈∴+∈ ?

?????

Q ， ()f x ∴在2,63ππ??

???

上递减，C 正确；

x π

=时，1032f x f ππ????+==≠ ? ??

???

， 6x π

不是3f x π??

的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】

本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.

19．化简

sin 352sin 20??

-=（）

A ．

12 B ．12

C ．1-

D ．1

【答案】B 【解析】【分析】

利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论. 【详解】

依题意，原式1cos701

1cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202

==-?=-?=-

o o o o o o ，故选B. 【点睛】

本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.

20．设2

是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（）象限角 A ．一 B ．二

C ．三

D ．四

【答案】B 【解析】【分析】

计算得到720180720k k α?<

∵

α是第一象限角，∴360903602k k α

∴720180720k k α?<

∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角，

∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角. 故选：B . 【点睛】

本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.

高考数学选择题常考考点专练3

高考数学选择题常考考点专练3 21．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点P (3 ，3a ) ，Q （4 ，4a ）的直线的斜率为（） A ．4 B ． 4 1 C ．－4 D ．－14 【标准答案】 A. 解析：依题意，∵{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，∴1522a a +=，设公差为d ，则d=4，又43 443 PQ a a k d -===- 22．直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝2，侧棱AA 1=1,则该三棱柱的外接球的表面积为（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．5π 【标准答案】B 解析：由于直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC —A 1B 1C1 补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为3，表面积为3π. 23. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（） A ．a 2 + a 15 B ． a 2·a 15 C ．a 2 + a 9 +a 16 D ． a 2·a 9·a 16 【标准答案】解析：∵ 17S = 2 ) (17171a a +为一确定常数， ∴ 1a + 17a 为一确定常数，又1a + 17a = 2a + 16a = 29a ， ∴2a + 16a 及9a 为一确定常数，故选C 。说明：本题是一道基础题，若直接用通项公式和求和公式求解较复杂，解答中应用等差数列的性质m a + n a =p a + q a ，结论巧妙产生，过程简捷，运算简单。 24 (理科)记二项式（1+2x ）n 展开式的各项系数和为a n ，其二项式系数和为b n ，则 23lim n n n n n b a b a →∞-+等于（） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不存在【标准答案】

高考数学选择题之压轴题

高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭

高考数学选择题秒杀技巧

10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧特值法：从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等例1 (2017·卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1 b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2 a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a 例2．设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n =（） A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一（特值法）：令0n =，则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--，对照选项，只有D 成立。思路二：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--，选D 。这属于直接法。例3.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（） A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2 (1)y x =-，则(2)y f x =变为2 (21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ，选C 例4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m(++)OH OA OB OC ，则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ，点O 为斜边的中点，点H 与三角形直角顶点C 重合，这时候有=++OH OA OB OC ，所以m=1

高考数学高考必备知识点总结

高考数学高考必备知识点总结 Jenny was compiled in January 2021

高考前重点知识回顾第一章-集合（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系：原命题：若P 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数一、函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 x 且对数函数y=log a x （a>0且a ≠1）的图象和性质:

高考文科数学重要考点大全

高考文科数学重要考点大全一考点一：集合与简易逻辑集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。考点二：函数与导数函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数一次和二次函数、指数、对数、幂函数的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。考点三：三角函数与平面向量一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型. 考点四：数列与不等式不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目. 考点五：立体几何与空间向量

高考数学选择题技巧精选文档

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高考数学选择题的解题策略解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。（一）数学选择题的解题方法 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。

例1、某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为（）解析：某人每次射中的概率为，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（）

高三年级数学必背知识点

高三年级数学必背知识点【篇一】一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和： Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1). 两个防范 (1)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误. 三种方法等比数列的判断方法有： (1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或an/an-1=q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列. (2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列. 注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列. 【篇二】 1.课程内容：必修课程由5个模块组成：

必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用

重点高中数学必修一知识点(树状图分布)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

高一数学必修1知识网络集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????????=∈∈???=??=?=???????????=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????

2020年艺考生高考数学知识点训练题库A部分

2020 年全国卷1 卷高考数学艺考生复习大纲基础点整理 A 部分（集训题目）课题:___ 数学___ 目标: ______________ 姓名: ______________

学校: ______________

① 集合，高考 5 分考点：交集，并集，补集，子集【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．【终极小测摸底细】来源:Z#xx#https://www.360docs.net/doc/313588102.html,] 1. 【课本典型习题改编】当 ɑ-1=0 时，设集合 A x( x a)(x 3) 0,a R ， B x (x 4)(x 1) 0 ，求 A B ， A B ． 2. 【 2018 高考新课标 1 押题】设集合 A x x 2 4x 3 0 已知集合 xx 2 ，B xx a ，若 A B A ，则实数 a 的取值范围为 4.【基础经典试题】设 U R,A xx 0,B xx -1，则 A (C U B) ( ) C 中的元素的非空子集个数为 ( ) 个。 ,B= x 2x 3 0 ,, 则 3. 【深圳高三质检卷改编】 A ． B ．R C xx 0 D ． 0 5.【改编自 2017 年江西模拟】若集合 A x3 x 0 ,B 1,2,3,4 ,C A B, ，则集合 A ) D ) 3 2

高考数学经典选择题(含答案)

高考数学经典选择题(含答案) 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则AOB ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 3 2 C 、 3 D 、 53 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦点是 2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、4 3 B 、83 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32 ()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题：（1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根，（2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根（3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根（4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则 24z x y =+-的最大值为 A 、 21 B 、 20 C 、 19 D 、 18 7、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ?的垂心，6PA =，则此三棱锥体积的最大值为 A 、 36 B 、 48 C 、 54 D 、 72 8、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且 ()0,+∞在上递增，(1,2)A -、(4,2)B 是其图象上两点，则不等式(2)2f x +<的解集为 A 、 ()(),44,-∞-?+∞ B 、 ()(){}4,11,40--??

高考数学必备知识点总结

2019年高考数学必备知识点总结 1、混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p 的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。 2、忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。 3、判断函数奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。 4、函数零点定理使用不当致误如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，但f（a）f（b）0时，不能否定函数y=f（x）在（a，b）内有零点。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题。 5、函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函

数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。 6、三角函数的单调性判断致误对于函数y=Asin（ωx+φ）的单调性，当ω0时，由于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x的单调区间解决；但当ω0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数 y=sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决。对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断。 7、向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题。数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况。 8、忽视零向量致误零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线。它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视。

上海卷数学高考知识点分布统计表及试题分析

近6年上海高考试题知识点分类表（2006年~2011年）

2009年的高考命题以笔者所见，主要体现出以下几个特点（重点以2009年的理科试题为例进行分析）：

（1）考察的内容日趋全面，如在“二期课改”后新增加的矩阵、行列式（理科填空题第３题）、算法（理科填空题第４题）、离散型随机变量分布（理科填空题第７题）、概率的计算（选择题第１６题）、统计（选择题第１７题）、平面向量（解答题第２１题）、空间向量（解答题第２０题），以上在“二期课改”中新增知识板块和知识点都有所考察到，考察的分数多达30分以上。在文科的试题中也涉及到线性规划（填空题第７题）、概率与统计（填空题第１１题和选择题第１８题）、三视图（选择题第１６题），除了几个主要板块（函数、数列、立体和解析几何）以外的知识也达到了３０分左右。在分值的分布上，2009年的选择题进一步增加到14题，仍保持每题4分，选择题的题量保持不变，解答题减少一题。对新增的向量的和行列式的知识，更强调了向量和行列式作为解题的工具进行使用，如平面向量在解析几何中的应用（解答题第２１题）和空间向量在立体几何中的应用（解答题第19题），这体现了把数学方法作为工具使用的特点，在立体几何中空间向量的使用也淡化了学生思维的难度。（2）对“双基”的考察更加重视，试题更着重对基本概念和基本解题方法的考察，对基本概念的直接考察从填空题的前8题中有很明显的考察(通常只涉及到1到2个知识点) ，对基本方法的考察也“不偏”、“不怪”，如解答题第19题重点考察了用空间向量的方法解答二面角的问题，第21题重点考察平面向量和解析几何的结合，解答题的第22题对考生对反函数的性质的了解提出了很高的要求。在以上习题的解答过程中，充分地渗透出对“双基”的考察力度，为帮助学生从“题海”战术中解脱出来起到了很大的作用，指引学生真正回归课本上的概念和解题方法。从解题方法上看，整张试卷没有考察到技巧性过强的方法，但对学生需要把相关知识进行关联思考的能力提出了很高的要求，如把算法与分段函数结合（填空题第4题），把向量与立体几何和平面几何的结合，把二项式定理判断余数与数列的结合（解答题第23题）等，以上知识点的考察不仅需要学生对各个知识点进行准确地了解，同时要求学生具有综合思考的能力，能灵活和准确地使用各种方法解决问题。

高考数学知识点复习测试题8-

高考数学知识点复习测试题(附参考答案) 一元二次不等式及其解法 ★ 知识梳理 ★ 一.解不等式的有关理论（1）若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；（2）一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；（3）解不等式时应进行同解变形；（4）解不等式的结果，原则上要用集合表示。 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2 >=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 解一元二次不等式的基本步骤：整理系数，使最高次项的系数为正数；尝试用“十字相乘法”分解因式；（3）计算ac b 42-=? （4）结合二次函数的图象特征写出解集。高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解（注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）分式不等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解； ★ 重难点突破 ★ 1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。 2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式 3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式. (1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解问题1. 设0>a ，解关于x 的不等式 11 log 2 <-x ax 点拨:11 log 2<-x ax Θ ∴<-<012ax x 由ax x ->10得：x <0或x >1 ()[]()ax x x a x x -+-<-+-<22102210，讨论：（1）当a =2时，得x <0 （2）当a >2时，--<<220a x / （3）当02< 22 或x <0 综上所述，所求的解为:当a =2时，解集为{}x x |<0 当a >2时,解集为??????<<-- 022|x a x . 当02<022|x a x x 或12/ (2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系. 问题2. 已知函数3222)(a b x a ax x f -++=当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x Y 当，求)(x f 的解析式；点拨:据题意：6,221=-=x x 是方程02322=-++a b x a ax 的两根